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4．1　数　　列
4.1.1　数　　列(1)
一、 单项选择题
1 (2024黄山一中月考)已知数列－1，，－，2，－，…，则该数列的第100项为(　　)
A. 10 B. －10
C. －11 D.
2 (2024渭南中学月考)下列叙述中，正确的是(　　)
A. 数列是递增数列
B. 数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n
C. 数列0，0，0，1，…是常数列
D. 数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是相同的数列
3 数列1，，，…的通项公式可能是(　　)
A. an＝ B. an＝
C. an＝ D. an＝
4 在数列{an}中，若an＝则a4＋a5的值为(　　)
A. 17 B. 23 C. 25 D. 41
5 (2025西交大附中期中)意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2 024项中奇数有(　　)
A. 1 012个 B. 1 348个
C. 1 350个 D. 1 352个
6 (2024清远期末)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10 称为三角形数，第二行的1，4，9，16 称为正方形数，则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为(　　)
A. 22 B. 26 C. 35 D. 51
二、 多项选择题
7 (2024曲阳一中月考)下列有关数列的说法中，正确的是(　　)
A. 数列－2 024，0，4与数列4，0，－2 024是同一个数列
B. 数列{an}的通项公式为an＝n(n－1)，则110是该数列的第11项
C. 在数列1，，，2，，…中，第8项是2
D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋1
8 (2024松江二中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则下列数中是该数列中的项的是(　　)
A. 18 B. 12 C. 25 D. 30
三、 填空题
9 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，则33是这个数列的第________项．
10 已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为________．
11 已知an是离最近的整数，如a2＝1，a3＝2，则无穷数列{an}中共有________项的值等于100.
四、 解答题
12 写出下列数列的一个通项公式：
(1) 0，3，8，15，24，…；
(2) 1，－3，5，－7，9，…；
(3) 0，，，，…；
(4) 1，11，111，1 111，….
13 (2024海门实验中学月考)在数列{an}中，an＝(n∈N*).
(1) 求证：此数列的各项都在区间(0，1)内；
(2) 在区间内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？
4．1.2　数　　列(2)
一、 单项选择题
1 (2024南通中学月考)已知数列{an}满足an＋1＝(－1)nan＋1，且a2＝1，则a6的值为(　　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
2 (2024佛山一中期末)在数列{an}中，若a1＝，an＋1＝2－，则下列数中不是数列{an}中的项的是(　　)
A. －1 B. －2
C. 3 D.
3 (2024哈尔滨九中期末)已知数列{an}满足an＝(k∈R)，则“数列{an}是递增数列”的充要条件是(　　)
A. k<0 B. k<1
C. k>0 D. k>1
4 已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
5 (2024海安中学月考)数列{an}满足nan＋1＝(n＋1)an＋1(n∈N*)，且a1＝1，则a2 022的值为(　　)
A. 4 043 B. 4 044
C. 2 021 D. 2 022
6 (2025天一中学月考)已知数列{an}满足an＝，n为正整数，则该数列的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024前黄中学月考)在数列{an}中，a1＝2, an＝1－(n≥2，n∈N*)，则下列结论中正确的有(　　)
A. a2 022＝2 B. a2 023＝2
C. a2 024＝ D. a2 025＝1
8 (2024沧州十校月考)已知数列{an}满足a1＝－12，an＋1－an＝2n－16(n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　)
A. a2＝26
B. {an}为递减数列
C. 数列{an}中有两项的值最小
D. 数列{an}中有16项的值为负数
三、 填空题
9 已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________；猜想其通项公式是an＝________．
10 (2024无锡一中月考)在数列{an}中，a1＝，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
11 (2024天津南仓中学月考)已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N*，则数列{an}的最大项与最小项之和为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)，其中n∈N*.
(1) 求a2的值；
(2) 求证：1≤an<2；
(3) 判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由．
13 设n条直线最多把平面分成an部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成a1＝2部分；两条直线最多把平面分成a2＝4部分；3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在a2部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即a3＝a2＋3＝7；…，依次类推，得an＝an－1＋n，累加化简，得an＝.根据上面的想法，设n个平面最多把空间分成bn部分，且12＋22＋32＋…＋n2＝.
(1) 求b4的值；
(2) 写出bn＋1与bn之间的递推关系式；
(3) 求出数列{bn}的通项公式．
4．1　数　　列
4.1.1　数　　列(1)
1. A　由题意，得该数列的通项公式为an＝(－1)n·，所以a100＝(－1)100×＝10.
2. A　对于A，令an＝，则an＋1－an＝－＝＝>0，所以数列是递增数列，故A正确；对于B，a1＝1≠0，所以an＝n不是数列0，1，2，3，…的一个通项公式，故B错误；对于C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列0，0，0，1，…不是常数列，故C错误；对于D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系，数列1，3，5，7与数列7，5，3，1的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故D错误．
3. A　对于B，当n＝2时，a2＝＝≠，故B错误；对于C，当n＝3时，a3＝＝≠，故C错误；对于D，当n＝3时，a3＝＝≠，故D错误；对于A，an＝同时满足a1＝1，a2＝，a3＝，故A正确．
4. A　由题意，得a4＋a5＝23＋(2×5－1)＝17.
5. C　对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数．因为2 024＝674×3＋2，所以该数列的前2 024项中有2×674＋2＝1 350(个)奇数．
6. C　如图，1，5，12，22称为五边形数，从第二项起，后项与前项的差依次为4，7，10，13，所以五边形数的第5项为22＋13＝35.
7. BCD　对于A，因为数列中的项与顺序有关，故A错误；对于B，令an＝n(n－1)＝110，解得n＝11或n＝－10(舍去)，则110是该数列的第11项，故B正确；对于C，数列1，，，2，，…的一个通项公式为，则第8项是＝2，故C正确；对于D，数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋1，故D正确．故选BCD.
8. BD　对于A，若an＝n2＋n＝18，无正整数解，不符合题意；对于B，若an＝n2＋n＝12，解得n＝3或n＝－4，有正整数解n＝3，符合题意；对于C，若an＝n2＋n＝25，无正整数解，不符合题意；对于D，若an＝n2＋n＝30，解得n＝5或n＝－6，有正整数解n＝5，符合题意．故选BD.
9. 5　令33＝2n＋1，解得n＝5.故33是这个数列的第5项．
10. 7　由题意可知，按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n中，1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个．因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7.
11. 200　由已知，得99.5<<100.5，此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响，所以99.5212. (1) 观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，
所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2) 数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1(2n－1).
(3) 因为5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，
所以数列的一个通项公式为an＝.
(4) 原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为10n－1，
所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
13. (1) 因为an＝＝1－(n∈N*)，且n2＋1>1，
所以0<<1，0<1－<1，
所以0(2) 令<<，n∈N*
则所以n＝1，即在区间内有且只有1项数列{an}中的项，为a1＝.
4．1.2　数　　列(2)
1. C　因为an＋1＝(－1)nan＋1，所以令n＝2，得a3＝a2＋1＝2；令n＝3，得a4＝－a3＋1＝－1；令n＝4，得a5＝a4＋1＝0；令n＝5，得a6＝－a5＋1＝1.
2. A　由题意，得a1＝，a2＝2－＝－2，a3＝2－＝3，a4＝2－＝，a5＝2－＝，…，所以{an}为周期数列，且周期为4，则－1不是{an}中的项．
3. B　因为数列{an}是递增数列，且an＝(k∈R)，所以an＋1－an＝－＝>0，解得k<1，故“数列{an}是递增数列”的充要条件是k<1.
4. B　由题意，得a2a1＝a1＋(－1)2，又a1＝1，所以a2＝2.易得a3a2＝a2＋(－1)3，则a3＝.同理，a4＝3，a5＝，故＝.
5. A　因为nan＋1＝(n＋1)an＋1(n∈N*)，所以＝＋＝＋－，所以＋＝＋，即为常数列．又a1＝1，所以＋＝＋＝2，所以＋＝2，解得a2 022＝4 043.
6. B　因为an＝，所以a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.又an＝，n∈N*，且函数y＝在区间(0，)上单调递增，在区间(，＋∞)上单调递减，所以{an}的最大值为a2＝a3＝.
7. BC　因为an＝1－，所以a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，则数列{an}是以3为周期的数列，故a2 022＝a3＝－1，a2 023＝a1＝2，a2 024＝a2＝，a2 025＝a3＝－1，故B，C正确，A，D错误．故选BC.
8. CD　对于A，当n＝1时，a2－a1＝2×1－16＝－14，所以a2＝－26，故A错误；对于B，由an＋1－an＝2n－16，得当n≥2时，an－an－1＝2n－18，同理可得an－1－an－2＝2n－20，…，a2－a1＝－14，将上式相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝(2n－18)＋(2n－20)＋…＋(－14)，所以an＝(2n－18)＋(2n－20)＋…＋(－14)＋(－12)＝－12＝n2－17n＋4，由二次函数的性质可知，{an}不为递减数列，故B错误；对于C，因为an＝n2－17n＋4＝－，所以当n＝8或n＝9时，an取得最小值－68，故C正确；对于D，当an<0时，an＝n2－17n＋4<0，解得09. 　　因为数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以a2＝＝，同理可得a3＝，a4＝.猜想其通项公式是an＝.
10. 　因为an＝an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝，所以an≠0(n∈N*)，所以当n≥2时，＝，所以an＝·a1＝(××…××)×＝，当n＝1时，a1＝＝满足上式，所以an＝.
11. 2　由题意，得an＝＝＝1＋，当n≥11时，>0，且单调递减；当1≤n≤10时，<0，且单调递减，所以数列{an}的最大项为a11，最小项为a10，故最大项与最小项之和为a11＋a10＝＋＝3－1＝2.
12. (1) 由题意，得an＝＝2－，
所以a2＝2－＝.
(2) 由题意，得an＝2－，
因为n为正整数，所以n≥1，即0<≤1，
所以1≤2－<2，所以1≤an<2.
(3) 因为an＋1－an＝－＝>0，
所以{an}是递增数列．
13. (1) 设n个平面最多把空间分成bn部分，
则1个平面最多把空间分成2个部分，即b1＝2；
2个平面最多把空间分成4个部分，增加了2个部分，即b2＝b1＋2＝4；
3个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第三个平面必与前两个平面都相交，产生2条交线，这2条交线都在第3个平面上，并把第三个平面分成4部分平面区域，这4部分平面区域的每一部分区域都在b2部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了4部分空间，即b3＝b2＋4＝8；
4个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第4个平面必与前3个平面都相交，产生3条交线，这3条交线都在第4个平面上，并把第4个平面分成7部分平面区域，这7部分平面区域的每一部分区域都在b3部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了7部分空间，即b4＝b3＋7＝15.
(2) 由(1)知，b1＝2＝1＋1＝1＋，
b2＝4＝2＋2＝b1＋，
b3＝8＝4＋4＝b2＋，
b4＝15＝8＋7＝b3＋，
…
依次类推，bn＝bn－1＋，
所以bn＋1＝bn＋.
(3) 由(2)知，b1＝2＝1＋，
b2－b1＝，
b3－b2＝，
b4－b3＝，
…
bn－bn－1＝，
累加，得bn＝1＋＋＋n，
根据12＋22＋32＋…＋n2＝，1＋2＋3＋…＋(n－1)＝，
化简，得bn＝.

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