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4.2.1　等差数列的概念及通项公式
一、 单项选择题
1 (2024盐城五校期末联考)已知数列是首项为3，公差为2的等差数列，则a11的值为(　　)
A. B. C. 23 D. 25
2 (2024怀仁一中期末)已知数列，，，3，，…，则5是这个数列的(　　)
A. 第11项 B. 第12项
C. 第13项 D. 第14项
3 在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}是(　　)
A. 公差为1的等差数列
B. 公差为的等差数列
C. 公差为2的等差数列
D. 不是等差数列
4 在数列{an}中，a4＝25，＝＋2，则a6的值为(　　)
A. 121 B. 100
C. 81 D. 64
5 (2024江阴二中月考)《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为(　　)
A. 10.5尺 B. 11.5尺
C. 12.5尺 D. 13.5尺
6 (2024咸阳中学期中)若数列{an}为等差数列，则下列说法中错误的是(　　)
A. 数列2a1，2a2，2a3，…，2an，…为等差数列
B. 数列a2，a4，a6，…，a2n，…为等差数列
C. 数列{anan＋1}为等差数列
D. 数列{an＋an＋1}为等差数列
二、 多项选择题
7 (2024三明一中月考)下列数列中，是等差数列的有(　　)
A. 4，5，6，7，8，…
B. 3，0，－3，0，－6，…
C. 0，0，0，0，…
D. ，，，，…
8 在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列{bn}，则下列结论中正确的是(　　)
A. b1＝7 B. b2＝－27
C. b3＝－47 D. b2 022＝a8 087
三、 填空题
9 (2024兴化中学月考)已知在数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则a3＝________．
10 (2024徐州一中月考)在等差数列{an}中，若2a3＋a9＝18，则a2＋3a6的值为________．
11 已知等差数列5，8，11，…与等差数列3，8，13，…都有100项，则这两个数列相同的项共有________项．
四、 解答题
12 (2024启东中学月考)已知在数列{an}中，a3＝9，a5＝5，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，试判断数列{an}是否为等差数列？若是，求数列{an}的首项和公差；若不是，请说明理由．
13 (2024镇海中学期中)已知等差数列－2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}．
(1) 求新数列{an}的通项公式；
(2) 16是新数列{an}中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，请说明理由．
4.2.1　等差数列的概念及通项公式
1. B　由题意，得＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，则an＝，故a11＝.
2. B　数列，，，3，，…，即数列，，，，，…，由数列的前几项，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式an＝＝，令an＝＝5，解得n＝12.
3. B　由2an＋1＝2an＋1，得an＋1＝an＋，即an＋1－an＝.又a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列，故B正确．
4. C　因为＝＋2，所以－＝2，故数列{}是公差为2的等差数列．因为a4＝25，所以＝＋2×2＝5＋4＝9，故a6＝81.
5. C　由题意可设等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，则即解得所以立春的日影子长为a4＝a1＋3d＝15.5＋3×(－1)＝12.5(尺).
6. C　对于A，因为{an}为等差数列，所以设an－an－1＝d(d为常数)，则2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2d，所以数列{2an}也为等差数列，故A正确；对于B，a2n－a2n－2＝2d，所以数列{a2n}为等差数列，故B正确；对于C，anan＋1－an－1·an＝2dan，不是常数，故{anan＋1}不是等差数列，故C错误；对于D，an＋an＋1－(an－1＋an)＝2d，所以数列{an＋an＋1}为等差数列，故D正确．
7. ACD　对于A，是以4为首项，以1为公差的等差数列；对于B，后一项减前一项的差不是同一个常数，所以不是等差数列；对于C，是常数列，所以是等差数列；对于D，是以为首项，为公差的等差数列．故选ACD.
8. BCD　因为a1＝3，d＝－5，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×(－5)＝－5n＋8.因为数列{an}中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27，b3＝a11＝－47，故A错误，B，C正确；设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第k项，则m＝3＋4(k－1)＝4k－1，所以当k＝2 022时，m＝4×2 022－1＝8 087，故b2 022＝a8 087，故D正确．故选BCD.
9. 3　由等差数列的定义，得a－a＝4，故{a}是以4为公差的等差数列，所以a＝a＋4＝5，a＝a＋4＝9，又an>0，所以a3＝3.
10. 24　设等差数列{an}的公差为d.因为2a3＋a9＝18，所以2(a1＋2d)＋a1＋8d＝18，即a1＋4d＝6，所以a2＋3a6＝a1＋d＋3(a1＋5d)＝4(a1＋4d)＝24.
11. 20　由题意，得第一个数列的首项为5，公差为3，所以通项公式为an＝3n＋2；第二个数列的首项为3，公差为5，所以通项公式为bn＝5n－2.设它们的相同项构成数列{cn}，则数列{cn}为等差数列，公差为15，所以cn＝8＋(n－1)×15＝15n－7.又a100＝302，b100＝498，所以15n－7≤302，所以n≤.又因为n∈N*，所以n≤20，即数列{cn}共有20项．
12. 因为an＋2－2an＋1＋an＝0，
所以an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，
即这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，
所以数列{an}是等差数列．
由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，
所以d＝－2，所以a1＝13.
13. (1) 设已知的等差数列为{bn}，易知b1＝－2，b2＝1, 则d＝b2－b1＝3，
所以bn＝b1＋(n－1)·d＝3n－5.
由题意，得2an＝bn＋bn＋1＝3n－5＋3(n＋1)－5＝6n－7，
所以an＝3n－.
(2) 令an＝16，即3n－＝16，解得n＝ N*，
故16不是新数列{an}中的项．

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