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4．2.2　等差数列的通项公式及性质
一、 单项选择题
1 (2024丹阳中学月考)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7的值为(　　)
A. 14 B. 12 C. 28 D. 36
2 已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　)
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
3 (2024重庆二中期中)记等差数列{an}的公差为d(d≥0)，若a是a与a－2的等差中项，则d的值为(　　)
A. 0 B. C. 1 D. 2
4 已知等差数列{an}满足a1＝12，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是{an}中的一项，则d的可能取值有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个
5 (2024城阳实验高级中学月考) 在等差数列{an}中，已知a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，则数列{an}的通项公式可以为(　　)
A. an＝4n－1 B. an＝2n＋1
C. an＝－n＋ D. an＝n－
6 定义高阶等差数列：对于一个给定的数列{an}，令bn＝an＋1－an，则称数列{bn}为数列{an}的一阶差数列，再令cn＝bn＋1－bn，则数列{cn}是数列{an}的二阶差数列．已知数列{An}为2，5，11，21，36，…，且它的二阶差数列是等差数列，则A8的值为(　　)
A. 45 B. 85 C. 121 D. 166
二、 多项选择题
7 在7和21之间插入n(n∈N*)个数，使这n＋2个数成等差数列，则该等差数列的公差可以是(　　)
A. B. 7 C. 5 D. 3
8 对于数列{an}，若a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　)
A. a4＝3
B. 数列{an}是等差数列
C. 数列{a2n－1}是等差数列
D. a2n＝2n－1
三、 填空题
9 (2024前黄中学月考)若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为________．
10 (2024白蒲中学月考)已知等差数列{An}的首项为2，公差为8，在{An}中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}，则数列{an}的通项公式an＝________．
11 已知数列{an}中，a1＝1，an－an＋1＝an＋1·an(n∈N*)，若8am＝1，则正整数m的值为________．
四、 解答题
12 (2024海门实验中学月考)已知等差数列{an}，n∈N*，且满足a1＋a3＋a5＝9.
(1) 求a3的值；
(2) 若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求数列{an}的通项公式．
13 已知在数列{an}中，a1＝2，且满足an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2).
(1) 求a2，a3的值；
(2) 求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(3) 若an<λ·2n恒成立，求实数λ的取值范围．
4．2.2　等差数列的通项公式及性质
1. C　因为a3＋a4＋a5＝12，所以3a4＝12，则a4＝4.又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
2. D　因为{an}，{bn}为等差数列，所以{2an－3bn}为等差数列，设其公差为d，则d＝2an＋1－3bn＋1－2an＋3bn＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.
3. C　设等差数列{an}的公差为d.因为a是a与a－2的等差中项，所以2a＝a＋a－2，即2(a1＋d)2＝a＋(a1＋2d)2－2，整理，得d2＝1.又d≥0，所以d＝1.
4. D　设等差数列{an}的公差为d，am＋an＝at，则a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝a1＋(t－1)d，可得a1＝(1＋t－m－n)d.又d∈N*，所以d是a1的正因数，故d∈{1，2，3，4，6，12}，共6个可能取值．
5. C　方法一：设{an}的首项为a1，公差为d.因为a3＋a8＋a13＝12，所以a1＋7d＝4，所以a1＝4－7d，代入a3a8a13＝28，整理，得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，解得d＝±.当d＝时，a1＝－，an＝n－；当d＝－时，a1＝，an＝－n＋.
方法二：因为a3＋a8＋a13＝3a8＝12，所以a8＝4，所以所以a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，所以或由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，所以an＝a3＋(n－3)d＝n－.同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋.
6. C　该数列的一阶差数列为3，6，10，15，…，则二阶差数列为3，4，5，….因为二阶差数列是等差数列，故二阶差数列后面的项为6，7，8，…，所以一阶差数列后面的项为21，28，36，…，从而原数列后面的项为57，85，121，…，故A8＝121.
7. AB　由题意，得这个等差数列的公差d＝＝，n∈N*，当n＝1时，d＝7，故B正确；当n＝3时，d＝，故A正确；显然不存在正整数n，使得d取5和取3，故C，D错误．故选AB.
8. ACD　由an＋an＋1＝2n(n∈N*)，a1＝1，得a2＝2－a1＝1，a3＝4－a2＝3，a4＝6－a3＝3，故A正确；又an＋an＋1＝2n，an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，两式相减，得an＋2－an＝2，所以a2n＋1－a2n－1＝2，所以{an}不是等差数列，{a2n－1}是等差数列，故B错误，C正确；同理可得，a2n＋2－a2n＝2，所以{a2n}是以a2＝1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，故D正确．故选ACD.
9. 1　设这个等差数列为{an}，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15，a27＋a28＋a29＋a30＋a31＝5a29＝145，所以a3＝3，a29＝29，所以公差d＝＝1.
10. 2n　设数列{an}的公差为d.由题意，得a1＝A1＝2，a5＝A2，则a5－a1＝4d＝8，即d＝2，故an＝2＋(n－1)×2＝2n.
11. 8　因为an－an＋1＝anan＋1(n∈N*)，所以an＋1(1＋an)＝an.因为a1＝1，所以a2(1＋a1)＝a1，即2a2＝1，可得a2＝，同理可得a3＝，以此类推可知，对任意n∈N*，an>0，所以an＋1＝，等式两边取倒数，得＝＝＋1，则－＝1，所以数列为等差数列，首项为＝1，公差为1，所以＝1＋n－1＝n(n∈N*)，故an＝(n∈N*).由8am＝＝1，得m＝8.
12. (1) 因为{an}，n∈N*为等差数列，所以a1＋a5＝2a3.
因为a1＋a3＋a5＝9，
所以a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＝3.
(2) 设等差数列{an}的公差为d.
由题意，得
即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝－1＋2n－2＝2n－3.
13. (1) 由题意，得a2＝×2＋2＝6，a3＝×6＋3＝12，
即a2的值为6，a3的值为12.
(2) 因为－＝－＝1，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以＝n＋1，所以an＝n2＋n.
(3) 由(2)，得n2＋n<λ·2n，所以<λ.
令f(n)＝，则f(n)max<λ.
因为f(n)－f(n－1)＝－＝，
所以当n≤3时，f(n)≥f(n－1)，得f(3)＝f(2)>f(1)；
当n>3时，f(n)f(4)>…>f(n)，
所以当n＝2或n＝3时，f(n)有最大值，
所以λ>，即实数λ的取值范围是.

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