资源简介

15.3.1 等腰三角形
第 1课时 等腰三角形的性质
双基导学导练
知识点① 等边对等角
1.已知等腰三角形一个内角的度数为40°，则这个等腰三角形底角的度数为 .
2.如图,AB=AC,若∠B=35°,则x的值为 .
3.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,∠ABC=72°,则
4.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=24°,则∠C的度数为 .
5.如图,l ∥l ,点A在直线l 上,点B 在直线l 上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是（ ）
A.70° B.65° C.60° D.55°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,CE平分∠ACB,EC=EA.
(1)求∠A 的度数;
(2)若BD⊥AC,垂足为D,BD交EC 于点F,求∠1的度数.
知识点② 等腰三角形“三线合一”
7.如图，在 中,AB=AC,D是BC 上的一点,O是AD 上一点,且OB=OC,,若BC=4,则BD 的长是 .
8.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点M,N分别在AB,AC上,AM=AN,，连接AD,求证:
真题检测反馈
9.等腰三角形的周长为16 cm,一边长为 4 cm,则腰长为 cm.
10.如图,在 中,AB=AC,AE为BC 边上的中线,CD为AB 边上的高,CD,AE 相交于点 F,若AD=CD,BC=6,则∠AEB= 度, 的面积是 .
11.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是 .
12.如图,∠ 与AC交于点F，与AB 交于点E，连接BF.当△BEF 为等腰三角形时，
13.如图,BC=CD=DE=AE,∠A=20°.
(1)求∠DEC的度数;
(2)求∠B 的度数.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,BD=CF,BE=CD,,G是EF 的中点,求证:DG⊥EF.
创新拓展提升
15.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,线段AB 的垂直平分线交AC于D,且AD=BC.
(1)求∠BAC 的度数;
(2)延长BC到E,使得CE=CD,连接AE,求∠CAE的度数.
第 2课时 等腰三角形的判定
双基导学导练
知识点 等角对等边
1.(1)在△ABC中,若∠A=∠B,AC=2,则BC= ;
(2)△ABC为等腰三角形,AB=AC,∠A=70°,则∠C= .
2.如图,△ABC的外角∠ACD=110°,∠A=40°,AB=6,则AC= .
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,E是AB上一点,且DE∥AC.若DE=3,则AB= .
4.如图,AE=ED,∠A=36°,BD平分∠ABC,BE=BD,则图中的等腰三角形有 个.
5.如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE 相交于点O.求证:
(1)AB=DC;
(2)OE=OF.
真题检测反馈
6.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB,AC 于M,N两点.若 MN=6,则 BM+CN= .
7.如图,D为△ABC的边AB 的延长线上一点,DF⊥AC于点F,交BC于点E,且BE=BD.求证:AB=BC.
8.(2024扬州期末)如图，在△ABC中，已知点D在线段AB 的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若△ABC的周长为25,AB=8,GC=2BG,求AE的长.
9.如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)若AB=AC,求证:CD=ED.
10.如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,AE交BF于点O,∠BAC=80°,∠C=70°.
(1)求∠BOE的度数;
(2)求证:DE=DC.
创新拓展提升
11.下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③④
12.在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD 交边AC 于点D.
(1)如图1,求证:△BCD为等腰三角形;
(2)如图2,若∠BAC的平分线AE 交边BC于点E,求证:BD+AD=BE+AB.
15.3 等腰三角形
15.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1.40°或 70° 2.70° 3.54° 4.39° 5. A
6.(1)∵EA=EC,∴设∠A=∠2=x.∵CE 平分∠ACB,∴∠ACB=2x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x.∵在△ABC中,x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠A=36°.(2)∵∠A=∠2,∴∠2=36°. ∠DFC=54°.
7.2
8.∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAD=∠CAD.又∵AM=AN,AD=AD,∴△MAD≌△NAD(SAS).∴∠ADM=∠ADN.
9.6 10.90 9 11.40° 12.24°或 42°
13.(1)∵ED=EA,∴∠EDA=∠A=20°.∴∠DEC=40°.(2)∵CD=ED,∴∠DCE=∠DEC= 40°.∴∠CDB=∠A+∠DCA=60°.∵CB=CD,∴∠B=60°.
14.连接 ED,DF,∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BED和△CDF 中,(2021-20,∴ △BED≌△CDF(SAS),∴DE=DF.∵G 是 EF 的中点,∴DG⊥EF.
15.(1)连接 BD. ∵D 为AB 的垂直平分线上的一点,∴AD=BD= BC. 设∠BAC=α,∴∠ABD=α.∴∠BDC=∠ACB=2a.∵AB=AC,∴∠ABC=2α.∵α+2α+2α=180°,∴α=36°.∴∠BAC=36°.(2)连接 DE,由(1)知∠BAC=∠ABD=∠DBE=36°,∠ABC=∠ACB=72°,∵CD=CE,∴∠CDE=∠CED=36°.∴∠BAD=∠BED.又∵BD=BD,∴△ABD≌△EBD(AAS),∴AD=ED.∴∠CAE=∠AED=18°.
第2课时 等腰三角形的判定
1.(1)2 (2)55° 2.6 3.6 4.5
5.(1)∵BE=CF,∴BF=CE.在△ABF 和△DCE中,(4)ECC,∴△ABFC∠DCCABC△DCCACDS.∠ACB=DC
(2)由(1)得△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC.∴OE=OF.
6.6
7.∵BE= BD,∴∠BED =∠BDE. ∵∠BED =∠FEC,∴∠BDE=∠FEC.∵DF⊥AC,∴∠FEC+∠C=90°,∠BDE+∠A=90°.∴∠A=∠C.∴AB=BC.
8.(1)∵AE∥BC,∴∠B=∠DAE,∠C=∠CAE.∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠CAE.∴∠B=∠C.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.(2)∵△ABC 的周长为25,AB=AC=8,∴BC=9.∵GC=2BG,∴BG=3,CG=6.∵F 是AC 的中点,∴AF=CF.∵AE∥BC,∴∠C=∠CAE.又∵∠AFE=∠CFG,∴△AFE≌△CFG(ASA).∴AE=CG=6.
9.(1)∵ BD 是△ABC 的角平分线,∴∠CBD =∠EBD.∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.(2)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE.由(1)得,∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.
10.(1)在△ABC 中,∠ABC=180°-∠BAC-∠C=30°,∵AE,BF 是角平分线, 15°,∠BAO= ∠BAC=40°,∴∠BOE=∠ABO+∠BAO=55°.(2)∵∠AEC=∠ABC+∠BAE=70°,∴∠C=∠AEC,∴AE=AC.又∵AD⊥CE,∴DE=DC.
11. C
12.(1)∵∠BAC=75°,∠ACB=35°,∴∠ABC=180°- 分 ∠DCB.∴DB= DC, ∴△BCD 为等腰三角形.(2)过点 E作EF∥BD,交AC于点 F,则∠FEC=∠DBC= 35°. ∴∠AFE=∠C+∠FEC = 70°.∴∠AFE=∠ABE.又∠BAE=∠FAE,AE=AE,∴△BAE≌△FAE(AAS).∴AB=AF,BE=EF.∵∠FEC=35°,∠C=35°,∴∠FEC=∠C.∴EF=CF.∴BE=CF.∴BD+AD=CD+AD=AC,BE+AB=CF+AF=AC.∴BD+AD=BE+AB.

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