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微专题 11 等边三角形与 角的变化
1.在等边三角形ABC中，点D为线段BC上一点，作点B关于直线AD 的对称点E，连接CE，直线AD与CE 交于点F.
(1)∠F 的度数为 ;
(2)求证:AF=CF+EF.
2.已知：在等边三角形ABC中.
(1)如图1,点M是BC的中点,点N在AB 边上,满足 求 的值；
(2)如图2,点M在AB 边上(M非AB 中点,不与A,B重合),点N在CB 的延长线上且 求证：AM=BN;
(3)如图3,点 P 为AC 边的中点,点E 在AB 的延长线上,点 F 在BC 的延长线上,满足 求 的值.
3.如图，△ABC是等边三角形，M，D分别为BC 和其延长线上的点.
(1)如图1,若AM=MN,∠AMN=60°,求证:CN平分∠ACD;
(2)如图2,若∠AMN=60°,CN平分∠ACD,求证:AM=MN.
4.已知点D,E,F分别是等边三角形ABC 的边BC,AB,AC上的点,连接AD.
(1)∠ADE=∠ADF=60°.
①如图1,当点D是BC 的中点时,求证:BE=CF;
②如图2，当点D不是BC 的中点时，判断BE 与CF 的大小关系，并证明；
(2)如图3,BD=3CD,过点A作∠CAM=∠ADB,且AM=AD,连接BM交AC 于点 P,求 的值.
微专题11 等边三角形与60°角的变化
1.(1)60° (2)过点 A 作 AG⊥CE 于G,∴∠AGF=90°.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.∵B,E 关于AD对称,∴AB=AE,∴AC=AE.又∵AG⊥CE,∴CG=EG.∵∠F=60°,∴∠FAG=90°-60°=30°,∴AF=2FG.∵FC+FE=FC+GE+FG=FC+CG+FG=FG+FG=2FG,∴AF=CF+EF.
2.(1)由条件可知 MN⊥AB,∠BAM=∠BMN=30°,设BN=x,则BM=2x,AB=4x,∴AN=3x,∴AN=3.(2)过点 M 作 MG∥NC 交AC 于点G,易证△AMG为等边三角形,可证∠GMC=∠MCN=∠N,∠MGC =∠NBM,GC= BM, ∴△MGC≌△NBM(AAS).∴MG=NB.∵△AMG为等边三角形,∴AM=MG,∴AM=BN.(3)过点 P 作PM∥BC交AB于点M,同(2)的证法,证△PCF≌△PME,∴CF=ME.∴BF-BE=BC+CF-ME+MB.∵点P为AC的中点，
3.(1)连接AN.∵AM=MN,∠AMN=60°,∴△AMN为等边三角形.∴∠MAN=60°,AM=AN.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∴∠BAM=∠CAN. ∴△BAM≌△CAN(SAS).∴∠B=∠ACN=60°.又∵∠ACB=60°,∴∠NCD=60°.∴∠ACN=∠DCN=60°.∴CN平分∠ACD.(2)延长 NC至H,使CH=CM.连接MH.易证△CMH为等边三角形,∴CM=MH,∠NHM=∠HMC=∠AMN= ∠ACM = 60°. ∴ ∠AMC = ∠NMH.∴△MAC≌△MNH(ASA).∴AM=MN.
4.(1)①∵△ABC 是等边三角形,D 是 BC 中点,∴∠DAE=∠DAF.易证△DAE≌△DAF(ASA),∴AE=AF.∵AB=AC,∴AB-AE=AC-AF,∴BE=CF.②BE=CF,证明略.(2)过点 M作MN∥BC交CA 的延长线于 N,∵∠ADB=∠MAC,∴∠ADC=∠MAN.∵MN∥BC,∴∠N=∠C.又∵AM=AD,∴△MAN≌△ADC(AAS),∴MN=AC.∵AC=BC,∴MN=BC,可得△BCP≌△MNP(AAS),∴CP=NP.∵BD=3CD,设CD=a,则AN=a,BC=AC=4a,∴NC=5a,∴NP=CP= a,

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