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第15章 轴对称图形和等腰三角形（培优）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC 交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF； ②∠BOC＝90°＋ ∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
2．如图所示，等边△ABC和等边△CDE，其中B，C，E三点共线，连结AE，BD，CF，GH，有下列说法：①FC平分∠BFE；②GH∥BE；③S△ACH=S△BCG；④S△AHD=S△CHE.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①的面积是12；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①③ D．②③④
4．如图，中，，角平分线交于点I，交于F，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，等边三角形 ABC 的边长为4，点 O 是△ABC 的中心，∠FOG=120°，绕点 O 旋转∠FOG，分别交线段 AB，BC 于 D，E 两点，连接 DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形 ODBE 的面积始终等于 ；④△BDE 周长的最小值为6.其
中正确结论的个数是(　　).
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ACB＝∠ABC＝45°，点D是AB中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E，给出下列结论：①∠BAE＝∠ACD；②△ADC≌△BEA；③AC＝AF；④∠BDE＝∠EDC；⑤BP平分∠ABE．上述结论正确的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．②④⑤
二、填空题
7．如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则∠MPN的度数是 　 　．
8．如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　．
9．如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为　 　.
10．如图，在矩形中，，，点为直线的一个动点，连接，以为边向下方作等边，连接，则的最小值是　 　．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D．
（1）线段的长为　 　．
（2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为　 　．
12．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为　 　．
三、计算题
13．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．请解答：
（1）的长为______，的长为______；
（2）如图，点是线段上一点，连接，作交于点，连接，求点的坐标并判断的形状；
（3）如备用图，若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C.
（1）点C的坐标为______；（直接写出结果）
（2）如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且.
①求点E的坐标；
②若点M是射线上的动点，连结，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标.
15．如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标；
（3）如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．若点是射线上异于起点的一点，且，则称点为射线的倍衍生点．例如，在图1中，点在射线上，且，则点为射线的2倍衍生点；点在射线上，且，则点为射线的倍衍生点．
（1）填空：已知，
①若点为射线的3倍衍生点，则 ；
②若点为射线的倍衍生点，则 ；
（2）如图2，已知是等边三角形，点为射线的倍衍生点．
①若点为射线的1倍衍生点，满足，求的值；
②若点是直线上异于点的一点，满足，请直接用含的式子表示．
四、解答题
17．问题：如图，在中，，，平分，于点E，说明的理由．
分析：要说明“一条线段等于另一条线段的两倍”，我们容易想到“线段的中点”和“等腰三角形的三线合一”两个基本图形．
如图1，若点C是线段AB的中点，则．
如图2，在中，若，于点D，则．
要求：请根据上述分析完成上述问题的解答．
18．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．
19．（1）特例感知：
如图①，已知线段，线段在线段上运动，分别是的中点．
①若，则_______．
②在线段的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出的长度，如果发生变化，请说明理由．
（2）知识迁移：
我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．
①若，则_______；
②请你猜想和三个角之间有怎样的数量关系．
（3）类比探究：
如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有k的式子表示的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
3．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定
7．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
8．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
9．【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
10．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
11．【答案】；或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
12．【答案】9．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
13．【答案】（1）4，2
（2），是等腰直角三角形；
（3）直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
14．【答案】（1）
（2）①；②点M的坐标为、或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
16．【答案】（1）①12；②2或4
（2）①；②为或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
17．【答案】解：延长，，交于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
18．【答案】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面积=△ACD面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC面积=△CDF面积，
∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，
△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，
∴△BCE面积=△ACF面积，
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，
∴四边形AECF面积=△ABC面积，
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
19．【答案】（1）①16；②；（2）①；②；（3）
【知识点】角的运算；角平分线的性质；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
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