资源简介

第4节　科学测量:用单摆测量重力加速度
实验器材 游标卡尺
实验原理与设计 摆长l　周期T
实验步骤 2.平衡位置　3.l'+　4.全振动
例1　(1)C　(2)16.3　(3)　(4)B　(5)a
[解析] (1)摆球应该选择密度大的小钢球,为了防止在实验过程由于摆球的摆动导致摆长发生改变,悬点要固定,故C正确.
(2)由图甲,有摆球的直径为d=16 mm+3×0.1 mm=16.3 mm.
(3)由题意有小球单摆周期T=,由单摆周期公式T=2π,其中L=l+,可得g=.
(4)开始计时时,过早按下秒表,导致周期偏大,实验测得g数值应偏小,故A错误;实验时误将49次全振动记为50次,导致周期偏小,实验测得g数值应偏大,故B正确;摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,摆线长度增加,但我们还是利用测量值来计算,所以实验测得g数值应偏小,故C错误.
(5)由上述分析可得T2=l+,所以T2 l图线应该为图线a.
例2　(1) 95.2　(2)ABC　(3)
[解析] (1)由图乙得,秒表的读数为t=90 s+5.2 s=95.2 s.
(2)在摆球运动的过程中,必须保证悬点固定,以保证摆动过程中摆长不会改变,故A正确;摆线偏离平衡位置的角度不能太大,否则单摆就不是简谐运动,故B正确;摆球用直径为2 cm的钢球,不用木球,以减小空气阻力的影响,故C正确;测量周期时,应该从摆球运动到最低点时开始计时,摆球在最低点速度大,从最低点开始计时误差小,故D错误.
(3)由单摆的周期公式有T=2π,整理可得L=T2,结合图丙有=,解得g=.
例3　(1)BD　(2)a　(3)0.3　9.86
[解析] (1)测量筒的下端口到摆球球心之间的距离L,用到毫米刻度尺,测单摆的周期用停表,所以测量工具选B、D.
(2)设摆线在筒内部分的长度为h,由T=2π得,T2=L+h,可知T2 L关系图像为a.
(3)将T2=0,L=-0.3 m代入上式,可得h=0.3 m;将T2=1.20 s2,L=0代入上式,可得g=π2 m/s2≈9.86 m/s2.
随堂巩固
1.D　[解析] 为确保摆线不松动,摆线上方应用铁夹固定,不能缠绕在铁架台的横杆上,故A错误;释放小球时应使摆线与竖直方向夹角小一些,使得小球做简谐运动,故B错误;当摆球稳定后,在摆球经过最低点位置开始计时,而不是只要摆线不触碰到实验桌即可进行测量,故C错误,D正确.
2.(1)C　(2)1.90　 (3)9.76
[解析] (1)在“用单摆测量重力加速度”的实验中,不计摆线的质量,并要测量长度,且摆球大小忽略,所以摆线要选择细些的(这样质量比较小)、摆线伸缩性小些的(这样在摆动过程中长度变化小)、并且适当长一些的(这样摆球的大小相对于摆线可以忽略不计),故A错误;摆球的周期与摆角无关,且要求摆球的摆角要小于5°,否则摆球的运动就不能看成简谐运动了,故B错误;实验时,应使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆,从而减小实验误差,故C正确;改变摆长重复实验时,摆线长度的变化尽量大些,适当长一些,故D错误.
(2)摆球某次经过最低点开始计时并数0,当摆球第60次经过最低点停止计时,则摆球经过30次全振动,由图乙可知单摆在30次全振动所用的时间为t=30 s+27.10 s=57.10 s,则单摆的周期为T== s≈1.90 s.
(3)由单摆周期公式T=2π,可得T2=L,由图示T2 L图像可知,图像的斜率k== s2/m,解得重力加速度为g≈9.76 m/s2第4节　科学测量:用单摆测量重力加速度
1.AC　[解析] 在制作单摆时,摆球直径要尽量远小于摆线长,摆球质量应远大于摆线质量,则应选用密度较大的实心金属小球,A正确;摆长为悬点到球心的距离,即摆长等于摆线长加小球半径,B错误;要保证单摆做简谐运动,摆角要小于5°,C正确;实验中应测出多组摆长和对应的周期,然后探究两者之间的关系,D错误.
2.BC　[解析] 设摆球的重心到摆线与摆球结点的距离为r,则摆长l=l'+r,振动周期T=2π=2π,化简后,有l=T2,l'=T2-r,可见,l'与T2是线性关系,l' T2图线在纵轴上的截距表示-r,据此可求出r,进而可求出摆长,选项A错误,B正确;l'与T2是线性关系,在理论上,l' T2直线的斜率与l T2直线的斜率相同,均是,C正确,D错误.
3.(1)低　2.05 s　(2)0.997 5　(3)
[解析] (1)摆球经过最低点时速度最大,容易观察和计时;图甲中停表的示数为1.5 min+12.5 s=102.5 s,则周期T= s=2.05 s.
(2)从悬点到球心的距离即为摆长,可得L=0.997 5 m.
(3)由单摆周期公式T=2π可得g=.
4.(1)2.26　(2)如图所示　9.86
[解析] (1)小球的直径d=22 mm+0.1 mm×6=2.26 cm.
(2)由T=2π 可得L=T2,则k=,对应图像可得k==0.25,解得g=4π2k≈9.86 m/s2.
5.(1)l+　(2)　(3)　(4)AB　(5)
[解析] (1)摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长,单摆摆长L=l+.
(2)根据题意可知,单摆的周期为T=.
(3)根据单摆周期公式有T=2π,解得重力加速度g=.
(4)根据单摆周期公式有T=2π,可知重力加速度g=,把摆线的长度l当成了摆长,则所测摆长L偏小,所测重力加速度偏小,故A正确;摆线上端未牢固地固定于O点,振动中出现松动,使摆线变长,则所测摆长偏小,所测重力加速度偏小,故B正确;测量周期时,误将摆球n-1次全振动的时间t记成了n次全振动的时间,所测周期T偏小,所测重力加速度偏大,故C错误;重力加速度的测量值与摆球质量无关,摆球的质量过大不会影响重力加速度的测量值,故D错误.
(5)根据单摆周期公式T=2π,可得T2=L,由图中T2 L图像可知,图像的斜率k=,则g=.
6.(1)　(2)偏小　(3)如图所示
(4)9.7(9.5~9.9)　(5)B
[解析] (1)单摆的振动周期为T=,根据单摆的振动周期公式,即T=2π,可得当地重力加速度为g=.
(2)由于松动后摆长变长,所以摆长的测量值偏小,因此测得的当地重力加速度的数值偏小.
(3)描点,连线,如图所示.
(4)根据公式T2=l可知图像的斜率为k=,根据图像的斜率求得当地重力加速度为g=9.7 m/s2.
(5)图线a中摆长为零时就已出现了振动周期,所以可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长l,故A错误;出现图线c时,相同摆长情况下,周期测量值变小,原因可能是误将49次全振动记为50次,故B正确;图线c的斜率比图线b小,根据斜率k=可知图线c对应的g值大于图线b对应的g值,故C错误;图线d中摆长有了一定的数值时,振动周期还是零,所以可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长l,故D错误.
7.(1)乙　(2)2t0　变大　变大
[解析] (2)一个周期内小球应该两次经过最低点,使光敏电阻的阻值发生变化,故周期为t1+2t0-t1=2t0;小球的直径变大后,摆长变长,根据T=2π 可知,周期变大;每次经过最低点时小球的挡光时间变长,即Δt变大.第4节　科学测量:用单摆测量重力加速度
【实验目的】
1.用单摆测量重力加速度.
2.会使用秒表测量时间.
3.能分析实验误差的来源,并能采用适当方法减小测量误差.
【实验器材】
铁架台及铁夹,金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、　　　　　　.
【实验原理与设计】
单摆做简谐运动时,由周期公式T=2π,可得g=,则测出单摆的　　　　和　　　　,即可求出当地的重力加速度.
【实验步骤】
1.让细线穿过小球上的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的线结,制成一个单摆.
2.将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边上,把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂.在单摆　　　　处做上标记.
3.用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm),用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm),则摆长为l=　　　　.
4.把单摆拉开一个角度,角度小于5°,释放摆球.摆球经过平衡位置时,用秒表开始计时,测出单摆全振动30次(或50次)的时间,求出一次　　　　的时间,即为单摆的振动周期.
5.改变摆长,重复实验多次,将数据填入表格.
【数据处理】
1.平均值法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式中求出g值,最后求出g的平均值.
设计实验表格如下:
实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法:由T=2π得T2=l,作出T2 l图像,即以T2为纵轴,以l为横轴,其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g.
【误差分析】
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点是否固定;球、线是否符合要求;振动是否在同一竖直平面内以及测量哪段长度作为摆长等等.
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量.要从摆球通过平衡位置时开始计时,并采用倒数计时计数的方法,不能多计或漏计振动次数.为了减小偶然误差,要进行多次测量后取平均值.
3.本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时,读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米);在时间的测量中,秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可.
例1 [2024·宁德期末] 在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)为了较精确地测量重力加速度的值,以下三种单摆组装方式最合理的是　　　　(填选项字母).
A　B　C
(2)在摆球自然下垂的状态下,用毫米刻度尺测得摆线长度为l;用游标卡尺测量摆球的直径d,示数如图甲所示,则d=　　　　 mm.
(3)将小球从平衡位置拉开一个小角度静止释放,使其在竖直面内振动.待振动稳定后,从小球经过平衡位置时开始计时,测量N次全振动的时间为t,由本次实验数据可求得g=　　　　(用l、d、N、t表示).
(4)若某次实验测得g数值比当地公认值大,原因可能是　　　　(填选项前的字母).
A.开始计时时,过早按下秒表
B.实验时误将49次全振动记为50次
C.摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,摆线长度增加
(5)改变摆线长度l,重复实验,测得每次实验时单摆的振动周期T,作出T2 l图像为图乙中的　　　　(选填“a”“b”或“c”).
例2 某同学用图甲中的装置研究单摆的运动.
(1)测量单摆的周期时用秒表记下了单摆做50次全振动的时间,如图乙所示,秒表的读数为　　　　s.
(2)为使重力加速度的测量结果更加准确,下列做法合理的有　　　　(填选项前的字母).
A.在摆球运动的过程中,必须保证悬点固定
B.摆线偏离平衡位置的角度不能太大
C.摆球用直径为2 cm的钢球,不用木球
D.测量周期时,应该从摆球运动到最高点时开始计时
(3)该同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T,画出L T2图线,然后在图线上选取A、B两个点,坐标如图丙所示.则当地重力加速度的表达式g=　　　　.
例3 [2024·厦门二中高二月考] 将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外),如图甲所示,将摆球拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁,如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L,并通过改变L而测出对应的摆动周期T,再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像,那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.
(1)现有如下测量工具:
A.时钟;　　　　　　B.秒表;
C.天平; D.毫米刻度尺.
本实验所需的测量工具有　　　　(填测量工具前的选项字母).
(2)如果实验中所得到的T2 L关系图像如图乙所示,那么真正的图像应该是a、b、c中的　　　　.
(3)由图像可知,小筒的深度h=　　　　m;当地的重力加速度g=　　　　m/s2(结果保留三位有效数字).
【注意事项】
实验需要考虑的问题
1.构成单摆的条件:细线的质量要小、弹性要小,选用体积小、密度大的小球,摆角不超过5°.
2.要使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.
3.测周期的方法
(1)要从摆球过平衡位置时开始计时,因为此处对应的速度大、计时误差小,而最高点对应的速度小、计时误差大.
(2)要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时,且在数“零”的同时按下停表,以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.
4.本实验可以采用图像法来处理数据.即用纵轴表示摆长l,用横轴表示T2,将实验所得数据在坐标平面上标出,应该得到一条倾斜直线,直线的斜率k=.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法.
1.(实验操作与注意事项)[2025·江苏南通中学高二月考] 用如图所示的实验装置测定重力加速度,实验操作中正确的是 (　)
A.摆线上方要缠绕在铁架台的横杆上,确保摆线不松动
B.释放小球时应使摆线与竖直方向夹角大些
C.实验过程中只要摆线不触碰到实验桌即可进行测量
D.当摆球稳定后,在摆球经过最低点位置开始计时
2.(数据处理和误差分析) [2024·山东济南期末] 了解地球表面重力加速度的分布,对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域有十分重要的意义.某同学利用图甲所示的装置测量重力加速度.请回答下列问题:
　乙
(1)下列操作中,有助于减小实验误差的是　　　　(填选项前的字母).
A.摆线要选择细些的、弹性大些的,并使其适当长一些
B.拉开摆球时使摆角尽量大些
C.实验时必须保证小球在同一竖直面内摆动
D.改变摆长重复实验时,摆线长度的变化尽量小些
(2)实验中用停表测量单摆的周期.摆球某次经过最低点开始计时并数0,当摆球第60次经过最低点停止计时,停表的示数如图乙所示,则单摆的周期为　　　　 s(结果保留三位有效数字).
(3)改变摆长,多次测量,作出周期的平方与摆长的图像如图丙所示,则重力加速度为　　　　 m/s2(π2取9.86,结果保留三位有效数字). 1.(6分)(多选)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中,下列说法正确的是 (　)
A.制作单摆时,应选用密度较大的实心金属小球
B.记录摆长时,将摆线长与小球直径相加
C.小球摆角应较小,近似满足简谐运动条件
D.测出一次摆长和对应的周期,计算推导得出周期与摆长的关系
2.(6分)(多选)在“用单摆测定重力加速度”的实验中,由于摆球形状不规则,无法准确测量摆长l,但摆线的长度l'可以准确测量.现使用同一摆球,多次改变摆线长度l'并测得每一次相应的摆动周期T,对于数据处理方法,下列说法中正确的是 (　)
A.l'与T2不是线性关系
B.摆长可以利用l' T2图线求出
C.l'与T2是线性关系,在理论上,l' T2直线的斜率与l T2直线的斜率相同
D.l'与T2是线性关系,在理论上,l' T2直线的斜率与l T2直线的斜率不同
3.(6分)[2024·侨光中学高二月考] 在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)(3分)摆动时偏角满足的条件是小于5°,为了减小测量周期的误差,计时开始时,摆球应是经过最　　　　(选填“高”或“低”)点的位置,且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间,求出周期.图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间,则单摆振动周期为　　　　.
(2)(1分)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长,测量情况如图乙所示.O为悬挂点,从图乙中可知单摆的摆长为　　　　 m.
(3)(2分)若用L表示摆长,T表示周期,那么重力加速度的表达式为g=　　　　.
4.(6分)利用单摆测当地重力加速度的实验中:
(1)(2分)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示,小球直径d=　　　　cm.
(2)(4分)某同学测量数据如下表,请在图乙中画出L T2图像.
L/m 0.400 0.500 0.600 0.800 1.200
T2/s2 1.60 2.10 2.40 3.20 4.80
由图像可得重力加速度g=　　　　m/s2(结果保留三位有效数字).
5.(6分)[2024·上杭一中月考] 某同学用单摆测量重力加速度.
(1)(1分)将细线穿过球上的小孔,打个结,制成一个单摆.将做好的单摆用铁夹固定在铁架台的横杆上,把铁架台放在实验桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自由下垂.用游标卡尺测出小球的直径d,再用刻度尺测出从悬点至小球上端的悬线长l,则摆长L=　　　　.
(2)(1分)把单摆从平衡位置拉开一个小角度由静止释放,使单摆在竖直面内摆动.该同学在小球第一次经过最低点时数0,并按下秒表,小球每次经过最低点依次数1、2、3……数到n时停止计时,秒表记录下所用的时间为t,则单摆周期T=　　　　.
(3)(2分)当地重力加速度的表达式为g=　　　　　　　　　　　　(用以上测量量d、l、n、t来表示).
(4)(1分)实验中如果重力加速度的测量值偏小,其可能的原因是　　　　(填选项前的字母).
A.把摆线的长度l当成了摆长
B.摆线上端未牢固地固定于O点,振动中出现松动,使摆线变长
C.测量周期时,误将摆球(n-1)次全振动的时间t记成了n次全振动的时间
D.摆球的质量过大
(5)(1分)为了减小实验误差,可采用图像法处理数据,通过多次改变摆长,测得多组摆长L和对应的周期T,并作出T2 L图像如图所示.若图线的斜率为k,则用k表示重力加速度的测量值为g=　　　　.
6.(6分)[2024·江苏苏州国际外国语高级中学高二期中] 一位同学做“用单摆测量重力加速度”的实验.
(1)(2分)该同学在安装好如图甲所示的实验装置后,测得单摆的摆长为l,然后让小球在竖直平面内小角度摆动.当小球某次经过最低点时开始计时,在完成N次全振动时停止计时,测得时间为t.请写出测量当地重力加速度的表达式g=　　　　.(用以上测量的物理量和已知量的字母表示)
(2)(1分)在测完摆长后,测量周期时,摆球振动过程中悬点O处摆线出现松动,摆长略微变长,这将会导致通过计算所得的重力加速度的数值　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”).
(3)(1分)为减小实验误差,该同学又多次改变摆长,测量多组对应的单摆周期,准备利用T2 l的关系图线求出当地重力加速度.相关测量数据如表所示,
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
l/m 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20
T/s 1.79 1.90 2.01 2.11 2.20
T2/s2 3.22 3.61 4.04 4.40 4.84
该同学在坐标图中已标出第1、2、3、5次实验数据对应的坐标,请你在图乙中用符号“×”标出与第4次实验数据对应的坐标点,并画出T2 l关系图线.
(4)(1分)根据绘制出的T2 l关系图线,可求得g的测量值为　　　　 m/s2.(计算结果保留2位有效数字)
(5)(1分)已知三位同学作出的T2 l图线的示意图如图丙中的a、b、c、d所示,其中a、b和d平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值.则相对于图线b,下列分析正确的是　　　　(填选项前的字母).
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长l
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
D.出现图线d的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长l
7.(6分)(1)(2分)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中,两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示.测量方法正确的是　　　　(选填“甲”或“乙”).
(2)(4分)实验时,若小球在垂直纸面的平面内摆动,为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数,在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻,如图丙所示.光敏电阻与某一自动记录仪相连,该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丁所示,则该单摆的振动周期为　　　　.若保持悬点到小球顶点的绳长不变,改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验,则该单摆的周期将　　　　(选填“变大”“不变”或“变小”),图中的t将　　　　(选填“变大”“不变”或“变小”).
丙
丁(共79张PPT)
第4节 科学测量:用单摆测量重力加速度
备用习题
随堂巩固
◆
练习册
实验探究
答案核查【导】
答案核查【练】
【实验目的】
1.用单摆测量重力加速度.
2.会使用秒表测量时间.
3.能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差.
【实验器材】
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线左右 、刻度尺、__________.
游标卡尺
【实验原理与设计】
单摆做简谐运动时，由周期公式，可得 ，则测出单摆的_____
__和_______，即可求出当地的重力加速度.
摆长
周期
【实验步骤】
1.让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一
个单摆.
2.将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边上，把单摆上端固定在铁夹
上，使摆球自由下垂.在单摆__________处做上标记.
3.用刻度尺量出悬线长(准确到)，用游标卡尺测出摆球的直径(准确到 )，
则摆长为 ______.
平衡位置
4.把单摆拉开一个角度，角度小于 ，释放摆球.摆球经过平衡位置时，用秒表
开始计时，测出单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次________的时间，
即为单摆的振动周期.
全振动
5.改变摆长，重复实验多次，将数据填入表格.
【数据处理】
1.平均值法：每改变一次摆长，将相应的和代入公式中求出值，最后求出
的平均值.
设计实验表格如下：
实验次 数
1
2 3 2.图像法：由得，作出图像，即以为纵轴，以 为横
轴，其斜率，由图像的斜率即可求出重力加速度 .
【误差分析】
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、
线是否符合要求；振动是否在同一竖直平面内以及测量哪段长度作为摆长等等.
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量.要从摆球通过平衡位置时
开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多计或漏计振动次数.为了减小偶
然误差，要进行多次测量后取平均值.
3.本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可
(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的
有效数字的末位在秒的十分位即可.
例1 ［2024·宁德期末］在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1) 为了较精确地测量重力加速度的值，以下三种单摆组装方式最合理的是___
(填选项字母).
A. B. C.
[解析] 摆球应该选择密度大的小钢球，为了防止在实验过程由于摆球的摆动导
致摆长发生改变，悬点要固定，故C正确.
√
(2) 在摆球自然下垂的状态下，用毫米刻度尺测得摆线长度为 ；用游标卡尺测
量摆球的直径，示数如图甲所示，则_____ .
16.3
[解析] 由图甲，有摆球的直径为 .
(3) 将小球从平衡位置拉开一个小角度静止释放，使其在竖直面内振动.待振动
稳定后，从小球经过平衡位置时开始计时，测量次全振动的时间为 ，由本次
实验数据可求得_ _________(用、、、 表示).
[解析] 由题意有小球单摆周期，由单摆周期公式 ，其中
，可得 .
(4) 若某次实验测得 数值比当地公认值大，原因可能是___(填选项前的字母).
A.开始计时时，过早按下秒表
B.实验时误将49次全振动记为50次
C.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，摆线长度增加
[解析] 开始计时时，过早按下秒表，导致周期偏大，实验测得 数值应偏小，
故A错误；实验时误将49次全振动记为50次，导致周期偏小，实验测得 数值应
偏大，故B正确；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，摆线长度增加，但
我们还是利用测量值来计算，所以实验测得 数值应偏小，故C错误.
√
(5) 改变摆线长度，重复实验，测得每次实验时单摆的振动周期，作出
图像为图乙中的___(选填“”“”或“ ”).
[解析] 由上述分析可得，所以图线应该为图线 .
例2 某同学用图甲中的装置研究单摆的运动.
(1) 测量单摆的周期时用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图乙所示，
秒表的读数为_____ .
95.2
[解析] 由图乙得，秒表的读数为 .
(2) 为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的有______
(填选项前的字母).
A.在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定
B.摆线偏离平衡位置的角度不能太大
C.摆球用直径为 的钢球，不用木球
D.测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
√
√
√
[解析] 在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定，以保证摆动过程中摆长不会
改变，故A正确；摆线偏离平衡位置的角度不能太大，否则单摆就不是简谐运
动，故B正确；摆球用直径为 的钢球，不用木球，以减小空气阻力的影响，
故C正确；测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，摆球在最低点
速度大，从最低点开始计时误差小，故D错误.
(3) 该同学经测量得到6组摆长和对应的周期，画出 图线，然后在图线
上选取、两个点，坐标如图丙所示.则当地重力加速度的表达式
_ _________.
[解析] 由单摆的周期公式有，整理可得 ，结合图丙有
,解得 .
例3 ［2024·厦门二中高二月考］将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为 (未知)且
开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将摆球拉离平衡位
置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实
验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离，并通过改变 而
测出对应的摆动周期，再以为纵轴、 为横轴作出函数关系图像，那么就可
以通过此图像得出小筒的深度和当地的重力加速度 .
(1) 现有如下测量工具：
A.时钟； B.秒表；
C.天平； D.毫米刻度尺.
本实验所需的测量工具有____(填测量工具前的选项字母).
[解析] 测量筒的下端口到摆球球心之间的距离 ，用到毫米刻度尺，测单摆的
周期用停表，所以测量工具选B、D.
(2) 如果实验中所得到的 关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该是
、、 中的___.
[解析] 设摆线在筒内部分的长度为，由得， ，
可知关系图像为 .
(3) 由图像可知，小筒的深度____；当地的重力加速度______
(结果保留三位有效数字).
[解析] 将，代入上式，可得；将 ，
代入上式，可得 .
【注意事项】
实验需要考虑的问题
1.构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，
摆角不超过 .
2.要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位
置后由静止释放.
3.测周期的方法
(1)要从摆球过平衡位置时开始计时,因为此处对应的速度大、计时误差小，而最
高点对应的速度小、计时误差大.
(2)要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数
“零”的同时按下停表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.
4.本实验可以采用图像法来处理数据.即用纵轴表示摆长，用横轴表示 ，将实
验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率 .这
是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法.
1.［2024·上杭一中月考］利用单摆测重力加速度的实验中，若测得的 偏小，
可能是由于( )
A.计算摆长时，只考虑悬线长而未加小球半径
B.测量周期时，将次全振动误记成 次全振动
C.计算摆长时，用悬线长加小球直径
D.单摆振动时，振幅较小
[解析] 由公式可知，若测得的偏小，可能是由于测得的 偏小，A正确，
C错误；也可能是测得的偏大，选项B只能使测得的 偏小，B错误；单摆振动
周期与振幅无关，D错误.
√
2.(1) 如图甲所示为小金在进行“探究单摆摆长和周期关系”实验时，用秒表记录下
单摆50次全振动所用时间，由图可知该次实验中50次全振动所用时间为_____ .
99.8
[解析] 停表的读数为 ，即50次全振动所用时间.
(2) 小金同学以摆线的长度作为纵坐标，以单摆周期的二次方 作为横坐
标，作出 的图像如图丙所示，则其作出的图线是_______(选填“图线1”“图
线2”或“图线3”).若作出的图线的斜率为 ，则能否根据图像得到当地的重力加速
度？__________.(若不可以求出，则填“否”；若可以求出，则写出其表达式)
图线2
[解析] 根据单摆周期，可得 ，
故应为图线2；根据图像斜率可得 .
3.(1) 某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当
(均选填“是”或“否”).
① 把单摆从平衡位置拉开约 角释放：____；
是
[解析] 单摆在最大摆角不超过 时的振动可看作是简谐运动.
② 在摆球经过最低点时启动停表计时：____；
是
[解析] 摆球经过最低点时速度最大，滞留的时间最短，计时误差最小.
③ 用停表记录单摆一次全振动的时间作为周期：____.
否
[解析] 为减小测量周期时的误差，应测量单摆完成30次或50次全振动所用的时
间来求出周期.
(2) 该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据如下表所示.
数据组编号
1 999.3 32.2 2.0
2 999.3 16.5 2.0
3 799.2 32.2 1.8
4 799.2 16.5 1.8
5 501.1 32.2 1.4
6 501.1 16.5 1.4
用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图所示，则该摆球
的直径为___________________________ .根据表中数据可以初
步判断单摆周期随______的增大而增大.
均可
摆长
[解析] 螺旋测微器上的固定刻度读数为 ，可动刻度的读数约为
，则测量结果为 .分析
表中数据可以看出，摆长不变时周期不变，摆长增大时，周期增大.
数据组编号
1 999.3 32.2 2.0
2 999.3 16.5 2.0
3 799.2 32.2 1.8
4 799.2 16.5 1.8
5 501.1 32.2 1.4
6 501.1 16.5 1.4
4.(数据处理和误差分析) ［2024·古田一中月考］ 某同学利用如图甲所示装置
测量当地的重力加速度，回答以下问题：
(1) 以下是该同学在实验中进行的一些操作，正确的是___；
A.选用塑料小球，质量较小，更符合单摆的理想化模型
B.先在桌面上将细线拉直，测完摆线长度之后再悬挂小球
C.测量多个周期的总时间，求出单摆周期
D.让小球摆动幅度尽量大一些，以免太快停下来
√
[解析] 为了减少空气阻力对实验的影响，减少误差，单摆应选用质量较大的，
体积较小的钢球，故A错误；应在细线悬挂小球且小球静止时测量摆线长度，
故B错误；测量单摆的周期时，应测量多个周期的总
时间，再计算出单摆的周期，故C正确；单摆做简谐
运动时，其摆角不能太大，即小球摆动的幅度应尽
量小一些，故D错误.
(2) 该同学利用手机上的秒表进行计时，某次小球通过最低点时启动秒表，并
数“1”，以后小球每经过一次最低点均计数，数到“60”时停止计数，秒表读数如
1.98
[解析] 图乙秒表的读数 ，小球振动的周期为
.
图乙所示，则小球振动的周期为_____ ；(结果保留三
位有效数字)
(3) 该同学多次改变摆线长，正确测得其对应的周期，并作出 的关系图
线如图丙所示，若已知该图线斜率为，与纵轴的截距为 ，则当地的重力加速度
为________，这样的数据处理方法________(选填“存在”或“不存在”)系统误差.
不存在
[解析] 设小球的直径为，单摆的周期 ，可得
，可见图像的斜率 ,解得
；由于 图像的斜率与摆球的直径无关，则这样
的数据处理方法不存在系统误差.
5.在“用单摆测量重力加速度”实验中，使用下列实验器材.
A.的细线 B. 的弹性绳 C.带孔的小铁球
D.带孔的软木球 E.光电门传感器
(1) 应选用绳___，应选用球___(填选项字母)，光电门的摆放位置为________
(选填“最高点”或“最低点”).
A
C
最低点
[解析] 为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细线作为摆线，摆线选择A；
为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，摆球应选C；从摆球
经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点.
(2) 如图为光电门传感器电流大小与 的图像，则周期为___.
A. B. C. D.
[解析] 一个周期内单摆两次经过最低点，由图示图线可知，单摆周期
，故C正确.
√
(3) 甲同学用秒表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是
__________________________.
开始计时时，秒表过早按下
[解析] 如果开始计时时，秒表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大.
6.用单摆测重力加速度时,
(1) 摆球应采用直径较小、密度尽可能____的球;摆线长度要在 以上,用细且
不易______的尼龙线.
大
伸缩
[解析] 摆球应采用直径较小、密度尽可能大的球,摆线应选细且不易伸缩的尼龙线.
6. 用单摆测量重力加速度时，
(2) 摆线偏离竖直方向的角度 应______ .
小于
[解析] 摆线偏离竖直方向的角度 应小于 .
(3) 要在摆球通过________时开始计时,摆线每经过此位置___次才完成一次全振动.
最低点
2
[解析] 要在摆球通过最低点时开始计时,摆线每经过此位置2次才完成一次全振动.
(4) 摆球应在____________内摆动,每次计时时间内,摆球完成全振动次数一般选
________次.利用单摆测重力加速度的实验中,摆长的测量应在摆球自然下垂的状
况下从悬点量至__________.某同学组装了如图所示的单摆,并用图中的 作为摆
长,这样测得的 值将偏____(选填“大”或“小”).
同一竖直面
30或50
小球球心
大
[解析] 摆球应在同一竖直面内摆动,防止出现圆锥摆;每次计
时时间内,摆球完成全振动次数一般选30或50次;摆长为从悬
点至小球球心的距离;小球下摆,与横杆的接触点下移,摆长减
小,用图示的作为摆长会偏大,这样测得的 值将偏大.
1.(实验操作与注意事项)［2025·江苏南通中学高二月考］ 用如图所示的实验装
置测定重力加速度，实验操作中正确的是( )
A.摆线上方要缠绕在铁架台的横杆上，确保摆线不松动
B.释放小球时应使摆线与竖直方向夹角大些
C.实验过程中只要摆线不触碰到实验桌即可进行测量
D.当摆球稳定后，在摆球经过最低点位置开始计时
[解析] 为确保摆线不松动，摆线上方应用铁夹固定，不能缠绕在铁架台的横杆
上，故A错误；释放小球时应使摆线与竖直方向夹角小一些，使得小球做简谐
运动，故B错误；当摆球稳定后，在摆球经过最低点位置开始计时，而不是只
要摆线不触碰到实验桌即可进行测量，故C错误，D正确.
√
2.(数据处理和误差分析) ［2024·山东济南期末］ 了解地球表面重力加速度的
分布，对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域有十分重要的意义.某同
学利用图甲所示的装置测量重力加速度.请回答下列问题：
(1) 下列操作中，有助于减小实验误差的是___(填选项前的字母).
A.摆线要选择细些的、弹性大些的，并使其适当长一些
B.拉开摆球时使摆角尽量大些
C.实验时必须保证小球在同一竖直面内摆动
D.改变摆长重复实验时，摆线长度的变化尽量小些
√
[解析] 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，不计摆线的质量，并要测量长度，
且摆球大小忽略，所以摆线要选择细些的(这样质量比较小)、摆线伸缩性小些
的(这样在摆动过程中长度变化小)、并且适当长一些的(这样摆球的大小相对于
摆线可以忽略不计)，故A错误；摆球的周期与摆角无关，且要求摆球的摆角要
小于 ，否则摆球的运动就不能看成简谐运动了，故
B错误；实验时，应使摆球在同一竖直面内摆动，不能
形成圆锥摆，从而减小实验误差，故C正确；改变摆长
重复实验时，摆线长度的变化尽量大些，适当长一些，
故D错误.
(2) 实验中用停表测量单摆的周期.摆球某次经过最低点开始计时并数0，当摆球
第60次经过最低点停止计时，停表的示数如图乙所示，则单摆的周期为_____
1.90
[解析] 摆球某次经过最低点开始计时并数0，
当摆球第60次经过最低点停止计时，则摆球经
过30次全振动，由图乙可知单摆在30次全振动
所用的时间为 ，则
单摆的周期为 .
(结果保留三位有效数字).
(3) 改变摆长，多次测量，作出周期的平方与摆长的图像如图丙所示，则重力
加速度为_____取，结果保留三位有效数字 .
9.76
[解析] 由单摆周期公式 ，可得
，由图示 图像可知，图像的
斜率 ，解得重力加速
度为 .
练习册
(时间：40分钟 总分：42分)
1.(6分)(多选)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，下列说法正确的是
( )
A.制作单摆时，应选用密度较大的实心金属小球
B.记录摆长时，将摆线长与小球直径相加
C.小球摆角应较小，近似满足简谐运动条件
D.测出一次摆长和对应的周期，计算推导得出周期与摆长的关系
√
√
[解析] 在制作单摆时，摆球直径要尽量远小于摆线长，摆球质量应远大于摆线
质量，则应选用密度较大的实心金属小球，A正确；摆长为悬点到球心的距离，
即摆长等于摆线长加小球半径，B错误；要保证单摆做简谐运动，摆角要小于
，C正确；实验中应测出多组摆长和对应的周期，然后探究两者之间的关系，
D错误.
2.(6分)(多选)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于摆球形状不规则，无法
准确测量摆长，但摆线的长度 可以准确测量.现使用同一摆球，多次改变摆线
长度并测得每一次相应的摆动周期 ，对于数据处理方法，下列说法中正确的
是( )
A.与 不是线性关系
B.摆长可以利用 图线求出
C.与是线性关系，在理论上，直线的斜率与 直线的斜率相同
D.与是线性关系，在理论上，直线的斜率与 直线的斜率不同
√
√
[解析] 设摆球的重心到摆线与摆球结点的距离为，则摆长 ，振动周期
，化简后，有，，可见，与 是
线性关系，图线在纵轴上的截距表示，据此可求出 ，进而可求出摆长，
选项A错误，B正确；与是线性关系，在理论上，直线的斜率与
直线的斜率相同，均是 ，C正确，D错误.
3.(6分)［2024·侨光中学高二月考］ 在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1) (3分)摆动时偏角满足的条件是小于 ,为了减小测量周期的误差,计时开始
时,摆球应是经过最____(选填“高”或“低”)点的位置,且用停表测量单摆完成多次
全振动所用的时间,求出周期.图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间,
则单摆振动周期为_______.
低
[解析] 摆球经过最低点时速度最大,容易观察和计时;图甲中停表的示数为
,则周期 .
(2) (1分)用最小刻度为的刻度尺测摆长,测量情况如图乙所示. 为悬挂点,
从图乙中可知单摆的摆长为________ .
[解析] 从悬点到球心的距离即为摆长,可得 .
(3) (2分)若用表示摆长,表示周期,那么重力加速度的表达式为 _ ____.
[解析] 由单摆周期公式可得 .
4.(6分)利用单摆测当地重力加速度的实验中：
(1) (2分)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示，小球直径_____ .
2.26
[解析] 小球的直径 .
(2) (4分)某同学测量数据如下表，请在图乙中画出 图像.
0.400 0.500 0.600 0.800 1.200
1.60 2.10 2.40 3.20 4.80
由图像可得重力加速度________ (结果保留三位有效数字).
[答案] 如图所示
9.86
[解析] 由可得，则 ,对应图像可得
,解得 .
5.(6分)［2024·上杭一中月考］ 某同学用单摆测量重力加速度.
(1) (1分)将细线穿过球上的小孔，打个结，制成一个单摆.将做好的单摆用铁夹
固定在铁架台的横杆上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆
球自由下垂.用游标卡尺测出小球的直径 ，再用刻度尺测出从悬点至小球上端
的悬线长，则摆长 ______.
[解析] 摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，单摆摆长 .
(2) (1分)把单摆从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直面内摆
动.该同学在小球第一次经过最低点时数0，并按下秒表，小球每次经过最低点
依次数1、2、 数到时停止计时，秒表记录下所用的时间为 ，则单摆周
期 ___.
[解析] 根据题意可知，单摆的周期为 .
(3) (2分)当地重力加速度的表达式为_ ________(用以上测量量、、、 来
表示).
[解析] 根据单摆周期公式有，解得重力加速度 .
(4) (1分)实验中如果重力加速度的测量值偏小，其可能的原因是_____
(填选项前的字母).
A.把摆线的长度 当成了摆长
B.摆线上端未牢固地固定于 点，振动中出现松动，使摆线变长
C.测量周期时，误将摆球次全振动的时间记成了 次全振动的时间
D.摆球的质量过大
√
√
[解析] 根据单摆周期公式有，可知重力加速度 ，把摆线的长
度当成了摆长，则所测摆长 偏小，所测重力加速度偏小，故A正确；摆线上端
未牢固地固定于 点，振动中出现松动，使摆线变长，则所测摆长偏小，所测
重力加速度偏小，故B正确；测量周期时，误将摆球次全振动的时间 记成
了次全振动的时间，所测周期 偏小，所测重力加速度偏大，故C错误；重力
加速度的测量值与摆球质量无关，摆球的质量过大不会影响重力加速度的测量
值，故D错误.
(5) (1分)为了减小实验误差，可采用图像法处理数据，通过多次改变摆长，测
得多组摆长和对应的周期，并作出图像如图所示.若图线的斜率为 ，
则用表示重力加速度的测量值为 _ ___.
[解析] 根据单摆周期公式，可得，由图中 图像可知，
图像的斜率，则 .
6.(6分)［2024·江苏苏州国际外国语高级中学高二期中］ 一位同学做“用单摆测
量重力加速度”的实验.
(1) (2分)该同学在安装好如图甲所示的实验装置后,测得单摆的摆长为 ,然后让
[解析] 单摆的振动周期为 ,根据单摆的振动周期公式,即
,可得当地重力加速度为 .
小球在竖直平面内小角度摆动.当小球某次经过最低点时开始计时,
在完成次全振动时停止计时,测得时间为 .请写出测量当地重力加
速度的表达式 _ ______. (用以上测量的物理量和已知量的字母表
示)
(2) (1分)在测完摆长后,测量周期时,摆球振动过程中悬点 处摆线出现松动,摆长
略微变长,这将会导致通过计算所得的重力加速度的数值______(选填“偏大”“偏
小”或“不变”).
偏小
[解析] 由于松动后摆长变长,所以摆长的测量值偏小,因此测得的当地重力加速
度的数值偏小.
(3) (1分)为减小实验误差,该同学又多次改变摆长,测量多组对应的单摆周期,准备
利用 的关系图线求出当地重力加速度.相关测量数据如表所示,
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
0.80 0.90 1.00 1.10 1.20
1.79 1.90 2.01 2.11 2.20
3.22 3.61 4.04 4.40 4.84
[答案] 如图所示
该同学在坐标图中已标出第1、2、3、5次实验数据对应的坐标,请你在图乙中用
符号“×”标出与第4次实验数据对应的坐标点,并画出 关系图线.
(4) (1分)根据绘制出的关系图线,可求得 的测量值为______________
.(计算结果保留2位有效数字)
[解析] 根据公式可知图像的斜率为 ,根据图像的斜率求得当地
重力加速度为 .
(5) (1分)已知三位同学作出的图线的示意图如图丙中的、、、 所示,
其中、和平行,和都过原点,图线对应的 值最接近当地重力加速度的值.
则相对于图线 ,下列分析正确的是___(填选项前的字母).
A.出现图线的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长
B.出现图线 的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线对应的值小于图线对应的 值
D.出现图线的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长
√
[解析] 图线 中摆长为零时就已出现了振动周期,所以可能是误将悬点到小球上
端的距离记为摆长,故A错误;出现图线 时, 相同摆长情况下,周期测量值变小,原
因可能是误将49次全振动记为50次,故B正确;图线的斜率比图线 小,根据斜率
可知图线对应的值大于图线对应的值,故C错误;图线 中摆长有了一
定的数值时,振动周期还是零,所以可能是误将悬点到小球下端
的距离记为摆长 , 故D错误.
7.(6分)
(1) (2分)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小
球的直径的操作如图甲、乙所示.测量方法正确的是____(选填“甲”或“乙”).
乙
(2) (4分)实验时，若小球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数
改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光
源与光敏电阻，如图丙所示.光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光
敏电阻阻值随时间 的变化图线如图丁所示，则该单摆的振动周期为____.若保
持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，
则该单摆的周期将______(选填“变大”“不变”或“变小”)，图中的 将______
(选填“变大”“不变”或“变小”).
变大
变大
丙
丁
[解析] 一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故
周期为；小球的直径变大后，摆长变长，根据 可
知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光时间变长，即 变大.
【实验器材】 游标卡尺
【实验原理与设计】 摆长,周期
【实验步骤】 2.平衡位置 3. 4.全振动
例1.（1）C （2）16.3 （3） （4）B （5）
例2.（1）95.2 （2）ABC （3）
例3.（1） （2） （3）,
随堂巩固
1.D 2.（1）C （2）1.90 （3）9.76
1.AC 2.BC 3.（1）低, （2） （3）
4.（1）2.26 （2）如图所示 ,9.86
5.（1） （2） （3） （4）AB （5）
6.（1） （2）偏小 （3）如图所示
. （4） （5）B 7.（1）乙 （2）,变大,变大

展开更多......

收起↑