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(共77张PPT)
2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
探究点一 求圆的标准方程
探究点二 点与圆的位置关系的判定
探究点三 圆的标准方程的实际应用
探究点四 与圆有关的最值问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握圆的定义及标准方程;
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系数法求圆的标准
方程.
知识点一 圆的标准方程
1.定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的______是圆，其中定
点是______，定长是__________.
2.标准方程：在平面直角坐标系中，设圆的圆心的坐标为 ,半径
为 ,则圆的标准方程是_______________________.
集合
圆心
圆的半径
3.常见的几种特殊的圆的方程的形式如下表:
条件 方程形式
圆心在原点
过原点
圆与两坐标轴都相切
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )
√
（2）方程 一定表示圆.( )
×
[解析] 当时，方程表示一个点，当 时，方程表示一个圆.
（3）圆的圆心坐标是 ，半径是4.( )
×
[解析] 圆的圆心坐标是 ，半径是2.
（4）若圆的方程为 ，则其圆心坐标为
.( )
×
[解析] 圆的方程可化为 ,因此其圆心坐标为
.
知识点二 点与圆的位置关系
点与圆 的位置关系及判
断方法
位置关系 利用点到圆心的距离 判断 利用方程判断
=
=
>
>
<
<
探究点一 求圆的标准方程
例1（1）求经过点，圆心为点 的圆的标准方程；
解：方法一：由题得圆的半径 ，
圆的标准方程为 .
方法二： 圆心为， 设圆的方程为
.
点在圆上，， ，
圆的标准方程为 .
（2）已知圆的直径的端点为， ，求该圆的标准方程；
解：由已知得圆心坐标为，半径， 圆的标
准方程为 .
（3）求过点,且圆心在直线 上的圆
的标准方程.
解：方法一：设点为圆心，则点在直线上.
设点 的坐标为， 该圆经过，两点， ，
即 ，
解得，，则圆的半径 ，
故所求圆的标准方程为 .
方法二：设所求圆的方程为， .由题知
可得
故所求圆的标准方程为 .
方法三：线段的中点的坐标为 ，
直线的斜率 ，
线段的垂直平分线的斜率， 线段 的垂直平分线的
方程为，即 .
由解得 圆心坐标为 ，
圆的半径 ，
故所求圆的标准方程为 .
变式（1）过点, 且半径最小的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 易知所求圆以为直径，则所求圆的圆心为线段 的中点
，半径 ，则所求圆的方
程为 .故选A.
√
（2）已知圆的圆心在直线上，且和轴相切于点 ，则
圆 的标准方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，，因为圆和轴相切于点 ，所以
，即，则圆的半径，故圆 的标准方程为
.故选B.
√
［素养小结］
求圆的标准方程的方法
（1）几何法：首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方
程.确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有
时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线
的交点必为圆心”等.
（2）待定系数法:设方程 列方程组
（由已知条件,建立关于,,的方程组） 解方程组（解方程组,求出
,,） 得方程（将,,代入所设方程,即得所求圆的标准方程）.
拓展 已知,,, ,问这四点能否在同一个圆上 若
能在同一个圆上,求出圆的标准方程;若不能在同一个圆上,请说明理由.
解：设经过,, 三点的圆的标准方程为
,
则 解得
所以经过,, 三点的圆的标准方程是.
把点的坐标 代入圆的标准方程,得,
所以点在经过,,三点的圆上,故,, , 四点在同一个圆上,
且圆的标准方程为 .
探究点二 点与圆的位置关系的判定
例2 已知两点和,求以线段 为直径的圆的方程,并判
断点,, 与该圆的位置关系.
解：设所求圆的圆心为,半径为,则由题意可知为线段 的
中点,故, ,即圆心为 ，
由两点间的距离公式得 ,
故所求圆的标准方程为 .
因为 ,
,
，
所以点在圆外,点 在圆上,点 在圆内.
变式（1）［2025·黑龙江实验中学高二月考］已知圆
，则原点在( )
A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外
[解析] 由圆的标准方程，知圆心为 ，
半径为,则原点到圆心的距离为，
因为 ，所以 ，即原点在圆外.故选B.
√
（2）已知点和圆，若点在圆 上，
则实数________；若点在圆外，则实数 的取值范围为
______________________.
或-6
[解析] 由题意,当点在圆上时， ,解得
或.
当点在圆外时, ,解得或，
故实数的取值范围为 .
［素养小结］
（1）判断点与圆的位置关系的方法：
①计算该点与圆的圆心之间的距离，并与半径比较大小即可.
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
（2）若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式
或方程，求解参数范围.
探究点三 圆的标准方程的实际应用
例3 如图所示的一座圆拱桥，当水面离拱顶2米时，水面 宽12米，
当水面下降1米后水面宽多少米？
解：以拱顶顶点为坐标原点，以过拱顶顶
点的竖直直线为 轴，建立如图所示的平面
直角坐标系，则
设圆心为 ，圆的半径为，则 ，即圆的
方程为，将点 的坐标代入圆的
方程可得，所以圆的方程是 .
当水面下降1米后可设的坐标为，代入圆的方程
可得 ，所以当水面下降1米后水面宽 米.
变式 ［2025·安徽芜湖高二期末］ “陶辛水韵”于1999年被评为芜湖
市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引
远道游客纷至沓来.坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”
赏荷.某圆拱桥的圆拱的水面跨度为20米，拱高约为5米.现有一船，
水面以上高3米，欲通过圆拱桥，则船宽最长约为( )
A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
√
[解析] 如图，设圆拱与水面的交点为，，以所在直线为 轴，
以线段的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，则
，， .
过,,三点的圆的圆心在轴上，设为 ，
则有，即 ，
整理可得 ， 解得，所以圆心为 ，
半径为，所以圆的方程为.
设 ，则有，解得 ，
所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为米.
因为，所以 .故选B.
［素养小结］
（1）审题：学会从题目中抽象出数学模型，明确已知和待求的数据.
（2）建系：建立适当的平面直角坐标系，把已知和待求的数据坐标化.
（3）求解：利用直线和圆的方程、性质等相关知识解决问题.
（4）作答：根据实际意义作答，把求解结果还原为对实际问题的解释.
探究点四 与圆有关的最值问题
例4（1）已知点与圆，点是圆 上任意一
点，求 的最小值.
解：因为，所以点在圆外，所以 的最
小值为 .
（2）已知和满足，求 的最大值和最小值.
解：由题意知表示圆 上的点到坐标原点的
距离的平方，显然当圆 上的点与坐标原点的距离取
最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.
原点 到圆心的距离，因为，所以圆 上的点到
坐标原点的最大距离为，最小距离为.
故 的最大值和最小值分别为和 .
变式（1）已知实数，满足方程，则 的最
大值为_________.
[解析] 方程表示以为圆心， 为半径的
圆， 可以表示圆上的点到原点的距离的平方.
因为圆心到原点的距离为2，所以 .
（2）已知圆上有一个动点，且，点为
轴上的一个动点，则 的最小值为__________.
[解析] 作点关于轴的对称点，连接圆心与 ，设该线段
与圆的交点为，则即为的最小值，
为圆心到点 的距离减去圆的半径，即
.故 的最
小值为 .
［素养小结］
（1）形如的最值问题，可以转化为动点到
定点的距离的平方的最值问题.
（2）求解圆外点到圆上点的距离的最值问题，可以先求解圆外点到
圆心的距离，最大值即为到圆心的距离半径，最小值即为到圆心的
距离-半径.
1.若某圆的标准方程为 ,则此圆的圆心坐标和
半径分别为( )
A., B., C.,3 D. ,3
[解析] 由圆的标准方程可知,此圆的圆心坐标为,半径为 .
故选B.
√
2.经过原点和点且圆心在直线 上的圆的方程为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题知，只有选项A中圆的圆心和B中圆的圆心
在直线上，C，D中圆的圆心分别为， 不
在直线上.
将原点和点 的坐标代入A,B中圆的方程，易得只有A中圆过原点
和点 ，故选A.
√
3.一辆货车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道,则这辆
货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( )
A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米
[解析] 以半圆圆心为原点，半圆直径所在直线为轴,过圆心且与 轴
垂直的直线为 轴,建立平面直角坐标系.
易知半圆所在圆的方程为,当货车恰好在隧道中间行驶
时车篷最高,此时 或,代入,得
（负值舍去）.故选B.
√
4.已知圆，则圆 关于直线
的对称圆的方程为______________________.
[解析] 圆的圆心为，半径为1.设对称圆的圆心为 ，
依题意得解得又圆 的半径与对称
圆的半径相等，所以对称圆的方程为 .
5.［2025·安徽六安高二期中］若实数, 满足
,则 的最小值是___.
1
[解析] 设为圆 上任意一点.
由题得圆的圆心为,半径,则为坐标原点 .
因为 ,
,所以 的最小值为1.
1.一个点在圆上的充要条件是该点到圆心的距离等于半径，即若点
到圆心的距离等于半径，则点在该圆上；若点 在已知圆上，
则点 到圆心的距离等于半径.
2.不一定表示圆，当 时，该方程表示
一个点；当时，该方程表示圆心坐标为 ，半径为
的圆.
1.求圆的标准方程的常用方法
（1）几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程.
（2）待定系数法:设圆的标准方程为
,先根据条件列出关于,, 的方程组,
然后解出,, ,再代入标准方程.
例1 ［2024·北京朝阳区高二期末］如图，已知 ,
，若，则 的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.
√
[解析] 取,的中点分别为,，连接 ,
,，设 .因为，
所以 ，所以 ，
因为，所以 ，所以
.
以为原点，所在直线为 轴，过作的垂线为 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，则,.
设，所以 ，，
所以 ，所以，
所以 ，又 ，
当且仅当,,共线，且在 之间时取等号，所以的最小值为1，
从而 的最小值为2.故选C.
2.点与圆 的位置关系的判断
方法
（1）,点 在圆外;
（2）,点 在圆上;
（3）,点 在圆内.
例2 已知圆的标准方程为 .
（1）若点在圆上,求实数 的值;
解： 点 在圆上,
,即 ，
又, .
（2）若点与有一点在圆内,另一点在圆外,求实数 的取
值范围.
解：由题知圆心,连接, .
,
,,
点在圆外,点 在圆内, .
例2 已知圆的标准方程为 .
练习册
一、选择题
1.若点在圆的内部,则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意有,所以,所以 ,即
.故选D.
√
2.［2025·辽宁大连高二期中］过点和，且圆心在 轴上的
圆的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设该圆圆心为，半径为 ，则该圆方程为
，则有解得
故该圆的方程为 .故选D.
√
3.点，在圆上，且点， 关于直线
对称，则该圆的半径是( )
A. B. C.1 D.3
[解析] 由题意知，直线过圆心 ，即
,解得 ，所以该圆的半径
.
√
4.［2025·云南昆明高二期中］已知为坐标原点，点 在圆
上运动，则线段的中点 的轨迹方程为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，，则，，即 ，.
因为点在圆 上运动，所以
.
把①代入②，得，即.
故线段 的中点的轨迹方程为 .故选D.
5.［2025·广东中山高二期中］若一束光线从点 处出发，经
过直线上一点 反射后，反射光线与圆
交于点，则光线从点到点 经过的最短
路线长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
[解析] 由题意可知圆的圆心为 ,半径.
设点关于直线的对称点为 ，则
解得即 ,
则.
因为反射光线与圆交于点 ，所以，
当且仅当,, 三点共线且点为靠近的交点时等号成立.
因为 ，
所以光线从点到点 经过的最短路线长为7.故选C.
6.［2025·广东深圳光明区高二期末］已知等腰三角形 的一个顶
点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点 的轨
迹方程为( )
A.且
B.且
C.且
D.且
√
[解析] 设，根据题意可知且,, 三点不共线，
所以 ，即
.
若,,三点共线，易知直线 的斜率存在，所以，
即，可得 .
由解得或
又因为,, 三点不共线，所以且，因此端点 的轨迹方程为
且 .故选B.
7.几何学史上有一个著名的米勒问题：设点 ,
是锐角的一边 上的两点，试着在边
上找一点，使得 最大.如图，其结论
是：点为过,两点且和射线 相切的圆的
切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角
A. B.
C. D.
坐标系中，给定两点,，点在 轴上移动，当
取得最大值时，过, , 三点的圆的方程是( )
√
[解析] 如图，由题意可知，点为过, 两
点且和轴相切的圆的切点，线段 的中点
坐标为，又 ，所以线段
的垂直平分线的方程为 ，
所以以为弦的圆的圆心在直线 上，设该圆圆心为
，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径 ，
又，所以，解得 或
.当时，是钝角，故舍去.所以 ，则所求圆
的方程为 .
8.（多选题）已知，两点，以线段 为直径的圆为
圆 ，则( )
A.在圆上 B.在圆 外
C.在圆内 D.在圆 外
√
√
√
[解析] 由题得线段的中点的坐标为 ，
，因为线段为圆 的直径，
所以圆的圆心为，半径，所以圆 的方程为
.
对于A，因为 ，所以点在圆 上，故A正确；
对于B，因为所以点在圆 外,故B正确；
对于C，因为所以点在圆 内,故C正确；
对于D，因为，所以点在圆 上，故D错误.
故选 .
9.（多选题）设有一组圆 ，则下
列说法正确的是( )
A.不论如何变化，圆心 始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.经过点的圆 有且只有一个
D.所有圆的面积均为
√
√
√
[解析] 由题知圆心坐标为，在直线 上，故A正确；
把代入圆的方程得 ，化简得
，，
无实数根，故B正确；
把代入圆 的方程得化简得 ，
，有两个不等实根， 经过
点的圆 有两个，故C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为 ，故D正确.故选 .
二、填空题
10.［2025·四川南充高二期中］已知直线 过
定点，直线过定点，直线与直线 的交
点为，则点 的轨迹方程为_____________________.
[解析] 直线的方程可整理为，令
解得所以.直线的方程可整理为 ，
令解得所以.因为 ，
所以，所以两直线的交点是以 为直径的圆上的点，圆心为
，半径为，故点的轨迹方程为 .
11.如图是某圆拱桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度 米，拱高
米，建时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱 的高
度为_____米.（精确到0.01米，参考数据： ）
3.86
[解析] 以为坐标原点，所在直线为
轴，所在直线为 轴，建立如图所示的
平面直角坐标系，则， .
设 该圆拱所在圆的圆心坐标是，半径是 ，
则该圆的方程是.
因为，两点都在圆上，所以解得
所以该圆的方程是.
将点的横坐标 代入圆的方程，得，
又 的纵坐标，所以
，即支柱 的高度约为3.86米.
12.［2025·广西南宁高二期中］已知实数，满足 ，
则 的取值范围是__________________.
[解析] 由 得，
它表示以 为圆心，3为半径的在轴上方的半圆
（含与 轴的交点），故可以看作半圆上的动点
与定点连线的斜率.
如图，易知 ，，，则，，
则或 .
三、解答题
13.（13分）求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心坐标为，且过点 ；
解：依题意得圆的半径 ，
则所求圆的标准方程为 .
（2）圆心在轴上，半径为5，且过点 .
解：设圆心为，则 ，
解得或，所以圆心坐标为或 ，
故所求圆的标准方程为或 .
14.（13分）以点为圆心作一个圆,使, ,
三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.
解：要使,, 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在
圆内,则需圆的半径是, , 的中间值.
因为 ,
, ,
所以 ,所以圆的半径 ,
故所求圆的方程为 .
15.［2024·湖北武汉外国语学校高二期中］直线与轴、
轴分别相交于点,,为坐标原点,则 的内切圆的方程为_____
_________________.
[解析] 直线与轴、轴分别相交于点, .
由题意设的内切圆的圆心坐标为.
由点 到直线的距离等于,得,可得.
故 的内切圆的方程为 .
16.（15分）如图所示，， 分别为某市两
条互相垂直的主干道所在的直线，其中 为
，的交点.若， 两点分别为该市1路公交
车的起点站和终点站，且， 之间的公交线
路是圆心在上的一段圆弧，站点 到直线
，的距离分别为和，站点 到
直线，的距离分别为和 .
（1）建立适当的坐标系，求该公交线路所在圆弧的方程；
解：以为坐标原点，直线，分别为轴和
轴，建立平面直角坐标系如图所示，则， .
设圆弧 所在圆的方程为 ，
所以 解得
故该公交线路所在圆弧的方程为
.
（2）为了丰富市民的业余生活，市政府决定
在主干道 上选址建一游乐场，考虑到城市居
民住宅区集中区域问题和环境问题，要求游
乐场地址（注：地址视为一个点，设为点 ）
在点上方，且点到点的距离大于
且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场
的距离不小于，求游乐场到点 的距离的最大值.
解：因为游乐场到点 的距离为，
所以 .设 为公交线路上任意一点，
则 ，
即，连接 ，如图，
对公交线路上任意点 均成立，
整理得对任意的 恒成立.
令 ，
因为 ，所以函数
在 上单调递减，
所以 ，
解得或 ，
又，所以 ，
故游乐场到点的距离的最大值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.集合 圆心 圆的半径 2.
【诊断分析】（1）√ （2）× （3）× （4）× 知识点二 = = > > < <
课中探究 例1（1）
（3） 变式（1）A （2）B
拓展 ,,,四点在同一个圆上,且圆的标准方程为
例2 点在圆外,点在圆上,点在圆内
变式（1）B （2）或-6
例3 当水面下降1米后水面宽米 变式 B
例4（1） （2）的最大值和最小值分别为和
变式（1） （2）
课堂评价 1.B 2.A 3.B 4. 5.1
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.D 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.ABC 9.ABD
二、填空题
10. 11.3.86 12.
三、解答题
13.（1） （2）或
14. 2.3　圆及其方程
2.3.1　圆的标准方程
【课前预习】
知识点一
1.集合　圆心　圆的半径　2.(x-a)2+(y-b)2=r2
诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 　[解析] (2)当m=0时,方程表示一个点,当m≠0时,方程表示一个圆.
(3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是2.
(4)圆的方程可化为+=,因此其圆心坐标为.
知识点二
=　=　>　>　<　<
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)方法一:由题得圆的半径r=|CP|==5,
∴圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
方法二:∵圆心为C(8,-3),∴设圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=r2(r>0).
∵点P(5,1)在圆上,∴(5-8)2+(1+3)2=r2,∴r2=25,
∴圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
(2)由已知得圆心坐标为M(2,-1),半径r=|AB|=1,∴圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1.
(3)方法一:设点C为圆心,则点C在直线x-2y-3=0上.设点C的坐标为(2y0+3,y0),∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|,即=,
解得y0=-2,∴C(-1,-2),则圆C的半径r=,
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
方法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,r>0.由题知可得
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
方法三:线段AB的中点的坐标为(0,-4),
直线AB的斜率k0==,
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=-2,∴线段AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即y=-2x-4.
由解得∴圆心坐标为(-1,-2),
∴圆的半径r==,
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
变式　(1)A　(2)B　[解析] (1)易知所求圆以AB为直径,则所求圆的圆心为线段AB的中点M(1,-1),半径r===2,则所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=8.故选A.
(2)设C(a,2a),a≠0,因为圆C和y轴相切于点A(0,2),所以2a=2,即a=1,则圆C的半径r=1,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=1.故选B.
拓展　解:设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则解得所以经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.把点D的坐标(-1,2)代入圆的标准方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5,所以点D在经过A,B,C三点的圆上,故A,B,C,D四点在同一个圆上,且圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
探究点二
例2　解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r,则由题意可知C为线段P1P2的中点,故a==4,b==6,
即圆心为C(4,6),由两点间的距离公式得r=|CP1|==,故所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-6)2=5.因为|CM|==>,|CN|==,|CP|==<,所以点M在圆外,点N在圆上,点P在圆内.
变式　(1)B　(2)-2或-6　(-∞,-6)∪(-2,+∞)
[解析] (1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-1)2=2a,知圆心为(a,1),半径为,则原点到圆心的距离为,因为0,即原点在圆外.故选B.
(2)由题意,当点P在圆C上时,+(1-1)2=1,解得a=-2或a=-6.当点P在圆C外时,+(1-1)2>1,解得a<-6或a>-2,故实数a的取值范围为(-∞,-6)∪(-2,+∞).
探究点三
例3　解:以拱顶顶点为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(6,-2).设圆心为C,圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2,将点A的坐标代入圆的方程可得r=10,所以圆的方程是x2+(y+10)2=100.当水面下降1米后可设A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),代入圆的方程可得x0=,所以当水面下降1米后水面宽2米.
变式　B　[解析] 如图,设圆拱与水面的交点为A,B,以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-10,0),B(10,0),C(0,5).过A,B,C三点的圆的圆心在y轴上,设为E(0,b),则有|AE|=|CE|,即=|5-b|,整理可得2b+15=0,解得b=-,所以圆心为E,半径为|CE|=|5-b|=,所以圆的方程为x2+=.设D(x,3),则有x2+=,解得x=±,所以要使小船通过圆拱桥,船宽最长为2米.因为6.5<<7,所以13<2<14.故选B.
探究点四
例4　解:(1)因为82+(-6)2=100>25,所以点A在圆C外,所以|AP|的最小值为-5=5.
(2)由题意知x2+y2表示圆(x+1)2+y2=上的点到坐标原点的距离的平方,显然当圆(x+1)2+y2=上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值.原点O(0,0)到圆心C(-1,0)的距离d=1,因为1>,所以圆C上的点到坐标原点的最大距离为1+=,最小距离为1-=.故x2+y2的最大值和最小值分别为和.
变式　(1)7+4　(2)2-1　[解析] (1)方程(x-2)2+y2=3表示以M(2,0)为圆心,为半径的圆,x2+y2可以表示圆上的点到原点的距离的平方.因为圆心到原点的距离为2,所以(x2+y2)max=(2+)2=7+4.
(2)作点B关于x轴的对称点B'(6,-2),连接圆心与B',设该线段与圆的交点为A',则|A'B'|即为|AP|+|BP|的最小值,|A'B'|为圆心(0,2)到点B'(6,-2)的距离减去圆的半径,即|A'B'|=-1=2-1.故|PA|+|PB|的最小值为2-1.
【课堂评价】
1.B　[解析] 由圆的标准方程可知,此圆的圆心坐标为(1,-5),半径为.故选B.
2.A　[解析] 由题知,只有选项A中圆的圆心(5,-10)和B中圆的圆心(1,2)在直线3x+y-5=0上,C,D中圆的圆心(分别为(3,0),(-1,2))不在直线3x+y-5=0上.将原点和点(3,1)的坐标代入A,B中圆的方程,易得只有A中圆过原点和点(3,1),故选A.
3.B　[解析] 以半圆圆心为原点,半圆直径所在直线为x轴,过圆心且与x轴垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.易知半圆所在圆的方程为x2+y2=3.62,当货车恰好在隧道中间行驶时车篷最高,此时x=0.8或x=-0.8,代入x2+y2=3.62,得y≈3.5(负值舍去).故选B.
4.(x-3)2+(y+4)2=1　[解析] 圆M的圆心为M(-1,-2),半径为1.设对称圆的圆心为(a,b),依题意得解得又圆M的半径与对称圆的半径相等,所以对称圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=1.
5.1　 [解析] 设P(x,y)为圆C:(x+5)2+(y-12)2=142上任意一点.由题得圆C的圆心为C(-5,12),半径r=14,则|OC|=13(O为坐标原点).因为x2+y2==|OP|2,|OP|min=r-|OC|=14-13=1,所以x2+y2的最小值为1.2.3　圆及其方程
2.3.1　圆的标准方程
1.D　[解析] 依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,所以a2<,即-2.D　[解析] 设该圆圆心为(a,0),半径为r,则该圆方程为(x-a)2+y2=r2,则有解得
故该圆的方程为(x-2)2+y2=10.故选D.
3.C　[解析] 由题意知,直线x-y+1=0过圆心,即-+1+1=0,解得k=4,所以该圆的半径r===1.
4.D　[解析] 设A(x0,y0),P(x,y),则x=,y=,即x0=2x,y0=2y①.因为点A在圆(x-2)2+(y-2)2=1上运动,所以(x0-2)2+(y0-2)2=1②.把①代入②,得(2x-2)2+(2y-2)2=1,即(x-1)2+(y-1)2=.故线段OA的中点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=.故选D.
5.C　[解析] 由题意可知圆C:(x-4)2+(y-4)2=1的圆心为C(4,4),半径r=1.设点A(1,-1)关于直线y=x+3的对称点为B(m,n),则解得即B(-4,4),则|BC|==8.因为反射光线与圆C交于点Q,所以|AP|+|PQ|=|BP|+|PQ|≥|BQ|,当且仅当B,P,Q三点共线且点Q为靠近l的交点时等号成立.因为|BQ|min=|BC|-r=8-1=7,所以光线从点A到点Q经过的最短路线长为7.故选C.
6.B　[解析] 设C(x,y),根据题意可知|AC|=|AB|且A,B,C三点不共线,所以==2,即(x-2)2+(y-2)2=8.若A,B,C三点共线,易知直线AB的斜率存在,所以kAB=kBC,即=,可得x=y.由解得或又因为A,B,C三点不共线,所以x≠0且x≠4,因此端点C的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=8(x≠0且x≠4).故选B.
7.C　[解析] 如图,由题意可知,点P为过M,N两点且和x轴相切的圆的切点,线段MN的中点坐标为(0,3),又kMN==1,所以线段MN的垂直平分线的方程为y-3=-x,所以以MN为弦的圆的圆心在直线y-3=-x上,设该圆圆心为C(a,3-a),又因为该圆与x轴相切,所以圆的半径r=|3-a|,又|CN|=r,所以(a-1)2+(3-a-4)2=(3-a)2,解得a=1或a=-7.当a=-7时,∠MQP是钝角,故舍去.所以a=1,则所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.
8.ABC　[解析] 由题得线段P1P2的中点的坐标为(5,6),|P1P2|==2,因为线段P1P2为圆P的直径,所以圆P的圆心为(5,6),半径r=,所以圆P的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.对于A,因为(6-5)2+(9-6)2=10,所以点M在圆P上,故A正确;对于B,因为(3-5)2+(3-6)2=13>10,所以点N在圆P外,故B正确;对于C,因为(5-5)2+(3-6)2=9<10,所以点Q在圆P内,故C正确;对于D,因为(2-5)2+(7-6)2=10,所以点R在圆P上,故D错误.故选ABC.
9.ABD　[解析] 由题知圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,故A正确;把(3,0)代入圆Ck的方程得(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ1=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0无实数根,故B正确;把(2,2)代入圆Ck的方程得(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ2=16-8=8>0,∴k2-4k+2=0有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D正确.故选ABD.
10.+(y-6)2=　[解析] 直线l1的方程可整理为m(x-3)+y-4=0,令解得所以A(3,4).直线l2的方程可整理为x-6+m(8-y)=0,令解得所以B(6,8).因为m×1+1×(-m)=0,所以l1⊥l2,所以两直线的交点P是以AB为直径的圆上的点,圆心为,半径为=,故点P的轨迹方程为+(y-6)2=.
11.3.86　[解析] 以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则P(0,4),B(10,0).设该圆拱所在圆的圆心坐标是(0,b),半径是r,则该圆的方程是x2+(y-b)2=r2.因为P,B两点都在圆上,所以解得
所以该圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.将点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,又P2的纵坐标y>0,所以y=-10.5=-10.5≈14.36-10.5=3.86,即支柱A2P2的高度约为3.86米.
12.(-∞,-3]∪　[解析] 由y=得(x-1)2+y2=9(y≥0),它表示以(1,0)为圆心,3为半径的在x轴上方的半圆(含与x轴的交点),故t可以看作半圆上的动点(x,y)与定点A(-1,-3)连线的斜率.如图,易知A(-1,-3),B(4,0),C(-2,0),则kAB=,kAC=-3,则t≤-3或t≥.
13.解:(1)依题意得圆的半径r==2,则所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
(2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,解得b=0或b=-8,所以圆心坐标为(0,0)或(0,-8),
故所求圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
14.解:要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则需圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|==,|PB|==,
|PC|==5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=,
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
15.(x-1)2+(y-1)2=1　[解析] 直线+=1与x轴、y轴分别相交于点A(4,0),B(0,3),如图.由题意设△OAB的内切圆的圆心坐标为M(m,m)(016.解:(1)以O为坐标原点,直线m,n分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系如图所示,
则A(10,1),B(6,9).
设圆弧AB所在圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
所以解得
故该公交线路所在圆弧的方程为x2+(y-1)2=100(6≤x≤10,1≤y≤9).
(2)因为游乐场到点O的距离为d(2设P(x,y)为公交线路上任意一点,
则x2+(y-1)2=100(6≤x≤10,1≤y≤9),即x2=100-(y-1)2,连接CP,如图,则|PC|=≥2对公交线路上任意点P均成立,
整理得2(1-d)y+d2+47≥0对任意的y∈[1,9]恒成立.
令f(y)=2(1-d)y+d2+47,
因为2所以f(y)min=f(9)=d2-18d+65≥0,
解得d≤5或d≥13,
又2故游乐场C到点O的距离的最大值为5 km.2.3　圆及其方程
2.3.1　圆的标准方程
【学习目标】
1.掌握圆的定义及标准方程;
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系数法求圆的标准方程.
◆ 知识点一　圆的标准方程
1.定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的　　　　　是圆,其中定点是　　　　,定长是　　　　　　　.
2.标准方程:在平面直角坐标系中,设圆的圆心的坐标为(a,b),半径为r(r>0),则圆的标准方程是　　　　　　　　　.
3.常见的几种特殊的圆的方程的形式如下表:
条件 方程形式
圆心在原点 x2+y2=r2(r≠0)
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)
圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)
圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. (　 )
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　 )
(3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. (　 )
(4)若圆的方程为(2x-1)2+(2y+1)2=1,则其圆心坐标为(1,-1). (　 )
◆ 知识点二　点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法
位置关系 利用点到圆心的距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|　　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　　r2
点M在圆外 |CM|　　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　　r2
点M在圆内 |CM|　　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　　r2
◆ 探究点一　求圆的标准方程
例1 (1)求经过点P(5,1),圆心为点C(8,-3)的圆的标准方程;
(2)已知圆的直径的端点为A(2,0),B(2,-2),求该圆的标准方程;
(3)求过点A(2,-3),B(-2,-5)且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的标准方程.
变式 (1)过点A(-1,1),B(3,-3)且半径最小的圆的方程为 (　 )
A.(x-1)2+(y+1)2=8
B.(x+1)2+(y-1)2=8
C.(x-1)2+(y+1)2=32
D.(x+1)2+(y-1)2=32
(2)已知圆C的圆心在直线y=2x上,且和y轴相切于点A(0,2),则圆C的标准方程为(　 )
A.(x+1)2+(y-2)2=1
B.(x-1)2+(y-2)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1
D.(x-2)2+(y-1)2=1
[素养小结]
求圆的标准方程的方法
(1)几何法:首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
(2)待定系数法:设方程((x-a)2+(y-b)2=r2)→列方程组(由已知条件,建立关于a,b,r的方程组)→解方程组(解方程组,求出a,b,r)→得方程(将a,b,r代入所设方程,即得所求圆的标准方程).
拓展 已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),问这四点能否在同一个圆上 若能在同一个圆上,求出圆的标准方程;若不能在同一个圆上,请说明理由.
◆ 探究点二　点与圆的位置关系的判定
例2 已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与该圆的位置关系.
变式 (1)[2025·黑龙江实验中学高二月考] 已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0A.圆内 B.圆外
C.圆上 D.圆上或圆外
(2)已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=　　　　;若点P在圆C外,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
[素养小结]
(1)判断点与圆的位置关系的方法:
①计算该点与圆的圆心之间的距离,并与半径比较大小即可.
②把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断.
(2)若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围.
◆ 探究点三　圆的标准方程的实际应用
例3 如图所示的一座圆拱桥,当水面离拱顶2米时,水面AB宽12米,当水面下降1米后水面宽多少米
变式 [2025·安徽芜湖高二期末] “陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一,每年入夏后,千亩水面莲叶接天,荷花映日,吸引远道游客纷至沓来.坐上游船穿过一座座圆拱桥,可以直达“香湖岛”赏荷.某圆拱桥的圆拱的水面跨度为20米,拱高约为5米.现有一船,水面以上高3米,欲通过圆拱桥,则船宽最长约为 (　 )
A.12米 B.13米
C.14米 D.15米
[素养小结]
(1)审题:学会从题目中抽象出数学模型,明确已知和待求的数据.
(2)建系:建立适当的平面直角坐标系,把已知和待求的数据坐标化.
(3)求解:利用直线和圆的方程、性质等相关知识解决问题.
(4)作答:根据实际意义作答,把求解结果还原为对实际问题的解释.
◆ 探究点四　与圆有关的最值问题
例4 (1)已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,点P是圆C上任意一点,求|AP|的最小值.
(2)已知x和y满足(x+1)2+y2=,求x2+y2的最大值和最小值.
变式 (1)已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3,则x2+y2的最大值为　　　　.
(2)已知圆x2+(y-2)2=1上有一个动点A,且B(6,2),点P为x轴上的一个动点,则|PA|+|PB|的最小值为　　　　.
[素养小结]
(1)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可以转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.
(2)求解圆外点到圆上点的距离的最值问题,可以先求解圆外点到圆心的距离,最大值即为到圆心的距离+半径,最小值即为到圆心的距离-半径.
1.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心坐标和半径分别为 (　 )
A.(-1,5), B.(1,-5),
C.(-1,5),3 D.(1,-5),3
2.经过原点和点(3,1)且圆心在直线3x+y-5=0上的圆的方程为 (　 )
A.(x-5)2+(y+10)2=125
B.(x-1)2+(y-2)2=25
C.(x-3)2+y2=9
D.(x+1)2+(y-2)2=5
3.一辆货车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为 (　 )
A.2.4米 B.3.5米
C.3.6米 D.2.0米
4.已知圆M:(x+1)2+(y+2)2=1,则圆M关于直线l:2x-y-5=0的对称圆的方程为　　　　　　　　.
5.[2025·安徽六安高二期中] 若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值是　　　　. 2.3　圆及其方程
2.3.1　圆的标准方程
一、选择题
1.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-1,1) B.
C. D.
2.[2025·辽宁大连高二期中] 过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为 (　 )
A.x2+y2=4
B.(x-2)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=5
D.(x-2)2+y2=10
3.点M,N在圆+(y+1)2=-3上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的半径是(　 )
A.2 B.
C.1 D.3
4.[2025·云南昆明高二期中] 已知O为坐标原点,点A在圆(x-2)2+(y-2)2=1上运动,则线段OA的中点P的轨迹方程为 (　 )
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=
D.(x-1)2+(y-1)2=
5.[2025·广东中山高二期中] 若一束光线从点A(1,-1)处出发,经过直线l:y=x+3上一点P反射后,反射光线与圆C:(x-4)2+(y-4)2=1交于点Q,则光线从点A到点Q经过的最短路线长为 (　 )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.[2025·广东深圳光明区高二期末] 已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(2,2),底边的一个端点为B(0,0),则底边的另一个端点C的轨迹方程为 (　 )
A.(x-1)2+(y-1)2=1(x≠0且x≠1)
B.(x-2)2+(y-2)2=8(x≠0且x≠4)
C.(x-1)2+(y-1)2=1(x≠0且x≠4)
D.(x-2)2+(y-2)2=8(x≠0且x≠2)
7.几何学史上有一个著名的米勒问题:设点M,N是锐角∠AQB的一边QA上的两点,试着在边QB上找一点P,使得∠MPN最大.如图,其结论是:点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取得最大值时,过M,N,P三点的圆的方程是(　 )
A.(x-1)2+(y-2)2=2 B.(x+7)2+(y-10)2=100
C.(x-1)2+(y-2)2=4 D.(x+7)2+(y-10)2=10
8.(多选题)已知P1(4,9),P2(6,3)两点,以线段P1P2为直径的圆为圆P,则 (　 )
A.M(6,9)在圆P上 B.N(3,3)在圆P外
C.Q(5,3)在圆P内 D.R(2,7)在圆P外
9.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列说法正确的是 (　 )
A.不论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
二、填空题
10.[2025·四川南充高二期中] 已知直线l1:mx+y-3m-4=0过定点A,直线l2:x-my+8m-6=0过定点B,直线l1与直线l2的交点为P,则点P的轨迹方程为　　　　　　.
11.如图是某圆拱桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20米,拱高OP=4米,建时每间隔4米需要用一根支柱支撑,则支柱A2P2的高度为　　　　米.(精确到0.01米,参考数据:≈5.744)
12.[2025·广西南宁高二期中] 已知实数x,y满足y=,则t=的取值范围是　　　　　　　.
三、解答题
13.(13分)求满足下列条件的圆的标准方程.
(1)圆心坐标为(4,0),且过点(2,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
14.(13分)以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A(3,2),B(5,-3),C(-1,3)三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.
15.[2024·湖北武汉外国语学校高二期中] 直线l:+=1与x轴、y轴分别相交于点A,B,O为坐标原点,则△OAB的内切圆的方程为　　　　　　　　.
16.(15分)如图所示,m,n分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线,其中O为m,n的交点.若A,B两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站,且A,B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧,站点A到直线m,n的距离分别为1 km和10 km,站点B到直线m,n的距离分别为9 km和6 km.
(1)建立适当的坐标系,求该公交线路所在圆弧的方程;
(2)为了丰富市民的业余生活,市政府决定在主干道n上选址建一游乐场,考虑到城市居民住宅区集中区域问题和环境问题,要求游乐场地址(注:地址视为一个点,设为点C)在点O上方,且点C到点O的距离d大于2 km且小于10 km,并要求公交线路(即圆弧AB)上任意一点到游乐场C的距离不小于2 km,求游乐场C到点O的距离的最大值.

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