资源简介

(共63张PPT)
2.3 圆及其方程
2.3.2 圆的一般方程
探究点一 圆的一般方程的理解
探究点二 求解圆的一般方程及其应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握圆的一般方程及其特点；
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的
位置和半径的大小；
3.能运用待定系数法确定圆的方程.
知识点 圆的一般方程
1.定义：当_________________时，二元二次方程
称为圆的一般方程.
2.圆的一般方程的圆心和半径
圆的一般方程 表示的
圆的圆心为__________，半径为________________.
3. 表示的图形
方程 条件 图形
不表示任何图形
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
√
[解析] 圆的一般方程与标准方程可以互化,故正确.
（2）二元二次方程 一定是某个圆的方程.( )
×
[解析] 二元二次方程 表示圆的方程需满
足 ,故不正确.
（3）若方程表示圆,则 .( )
√
[解析] 由圆的一般方程的定义知，即 .
2.（1）在圆的一般方程中,当或或 时,圆
的位置分别有什么
特点
解：当时,圆心在轴上;当时,圆心在轴上;当 时,圆
过原点.
（2）二元二次方程 表示圆的等
价条件是什么
解：,, .
探究点一 圆的一般方程的理解
例1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径.
（1） ；
解：，，， ，
方程不表示任何图形.
（2） ；
解：，，， ，
方程表示点 .
（3） .
解：方程两边同时除以2，得，则 ，
，，， ，
方程表示圆，它的圆心坐标为 ，半径
.
例1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径.
变式（1）“”是“方程 表示圆”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若方程 表示圆，则
，解得或.
由“ ”可以推出“方程 表示圆”，
充分性成立；
由“方程表示圆”不能推出“ ”，
必要性不成立.
所以“”是“方程 表示圆”的
充分不必要条件.故选A.
（2）［2025·广东深圳高二期末］已知圆 的方程为
，若圆 的半径小于8，则 的取值范围
是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 因为圆 的方程为，
所以圆 的标准方程为 ，故
，解得或，所以
的取值范围为 .故选D.
［素养小结］
1.形如的二元二次方程，判断其是否表示
圆时有如下两种方法：
（1）由圆的一般方程的定义，若成立，则表示圆，
否则不表示圆;
（2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征判断.
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是
这种标准形式，若不是，则要先化为这
种标准形式再求解.
2.由圆的一般方程 求圆心和半径的方法：
（1）利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求
出圆心和半径；
（2）运用二元二次方程 判断是否为圆，
如果是，也可以利用公式 写出圆心，利用公式
求出半径.
探究点二 求解圆的一般方程及其应用
例2 ［2025·上海七宝中学高二期中］若圆过点， ， .
（1）求圆 的一般方程；
解:设圆 的一般方程为
，
则解得
故圆 的一般方程为 .
（2）求圆关于直线对称的圆 的标准方程.
解:由（1）得圆的圆心为，半径，则圆 的半径为2.
设，则解得故圆 的标准方程为
.
例2 ［2025·上海七宝中学高二期中］若圆过点， ， .
变式 已知点，，， 在同一个圆上，则这
个圆的一般方程为_____________________.
[解析] 设圆的一般方程为
,
将点，， 的坐标代入上式得解得
满足，则，
点的坐标 也满足 ，
故所求圆的一般方程为 .
例3 ［2025·江苏徐州高二期中］已知 的三个顶点分别为
,, .
（1）求的外接圆 的一般方程.
解：方法一：设圆的一般方程为 ，则
解得所以圆 的一般方程为
.
方法二：因为,,，所以, ，
所以，所以，
又因为 ，
所以是等腰直角三角形，所以圆的圆心是线段 的中点，
即圆心，又圆的半径，
所以圆 的标准方程为，
则圆 的一般方程为 .
（2）设，若点是圆上任意一点，则是否存在点 ，使得
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
例3 ［2025·江苏徐州高二期中］已知 的三个顶点分别为
,, .
解：假设存在点，对任意的点都有 ，
即 ，化简得
，
又，即 ，
所以解得即存在点 满足条件.
变式（1）以点， 所连线段为直径的圆的一般方程
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知线段 的中点即为所求圆的圆心，故圆心坐标为
，点， 之间的距离等于所求圆的直径，则圆的半径
,故所求圆的方程为
，即 ，故选B.
√
（2）已知圆 上所有点都在第
二象限，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 圆 的标准方程为
，所以圆心坐标为 ，半径为3.
因为圆 上所有点都在第二象限，
所以解得，即实数的取值范围为 .故选A.
√
［素养小结］
应用待定系数法求圆的方程时应注意：
（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或
半径列方程组，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出,,.
（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般
方程，再用待定系数法求出,,.
1.［2025·福建福州高二期中］已知圆的一般方程为
，若该圆的半径为4，则实数 的值为( )
A. B. C.或5 D.或
[解析] 圆的标准方程为 ，因为圆的半径为4，
所以，解得 .故选C.
√
2.方程 表示的圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 方程可化为 ，所
以方程表示的圆的圆心坐标为 .故选B.
√
3.已知圆 关于直线
成轴对称图形，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知，圆心在直线 上，所以
.故选A.
√
4.已知圆的面积为 ，则 ____.
[解析] 由 得
，圆的半径为 ，
由圆的面积为 得， ，解得 .
5.［2025·江苏南通高二期中］设, ，若方程
表示关于直线对称的圆，则 的取
值范围为____________________.
[解析] 由方程 表示圆，得
，圆的圆心为 ，
又此圆关于直线对称，所以，即 ，因此
，解得或，所以 的取值范围为
.
用待定系数法求圆的一般方程和标准方程的选择
（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标
或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出 ,
, .
（2）如果已知条件与圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方
程,再用待定系数法求出参数,, .
例 求过,, 三点的圆的方程.
解：方法一:设圆的一般方程为
,
则解得
故所求圆的方程为 .
方法二:连接,，由, ,
得弦的中点坐标为, ,
则弦的中垂线的方程为，即 ，
同理得弦的中垂线的方程为 .
由解得
即圆心坐标为 ,
又因为半径 ，
所以所求圆的方程为 .
练习册
一、选择题
1.［2025·北京西城区高二期中］圆 的圆心
和 的取值范围分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由 ，得
，所以圆心为，
由 ，得 ，故选A.
√
2.［2025·安徽黄山高二期中］若点 在圆
的外部，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为点在圆 的外部，所以
解得，所以实数 的取值范
围是 .故选C.
√
3.［2025·广东佛山高二期中］若圆 的圆
心到两坐标轴的距离相等，则该圆的半径为( )
A.1 B.3 C. D.
[解析] 圆 的标准方程为
，则圆心为 ，
由题意得，解得，则该圆的半径 .
故选C.
√
4.［2024·四川成都蓉城名校高二期末］已知圆
，圆 ，点
为轴上的动点，则 的最小值为( )
A.3 B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心为，半径为 ，圆的标准方程为
，圆心为，半径为，如图所示，
作圆心 关于轴的对称点 ，由对称性可知，，
所以
，当且仅当，，三点共线时，取得最小值 .
故选B
5.［2025·安徽六安二中高二期中］已知三点,, ,
则 外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设外接圆的方程为 ,
由题意得解得
即外接圆的方程为 ，
所以圆心坐标为,所以圆心到原点的距离为 .
6.方程 表示的图形是半径为
的圆，则该圆的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为方程 表示的图形是半
径为的圆，且方程可化为 ，
所以圆心坐标为，，
又 ，所以，解得 ，
所以该圆的圆心在第四象限.故选D.
√
★7.已知,满足，则 的取值范
围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题知.
设 为圆上一动点，设 ，
因为，所以在圆 外，
则，其中表示圆上点与点 距离的平方，
因为，圆的半径 ，所以，
即 ,所以 .故选B.
［技巧点拨］ 求解圆外一点到圆上点的距离的最大值、最小值,一般
都是求解圆心到圆外点的距离,最大值则加半径,最小值则减半径.
8.（多选题）若方程 表示圆，
则 的值可能为( )
A. B.0 C.1 D.3
[解析] 因为方程 表示圆，所
以，解得，故选 .
√
√
★9.（多选题）已知圆的方程为 ，则下
列结论中正确的是( )
A.实数的取值范围是
B.实数的取值范围是
C.当圆的周长最大时，圆心坐标是
D.圆的最大面积是
√
√
√
[解析] 圆 的标准方程为
，由，解得 ，
故A正确，B错误；
当 时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大，此时圆的半径为1，
圆心坐标为 ，则圆的最大面积为故C，D正确.故选 .
［技巧点拨］ 解决圆的有关问题,一般都是将圆的一般方程应用配方
的方法转化为圆的标准方程,确定圆的圆心和半径,再进一步解决问题.
二、填空题
10.若点在圆外，则 的取值范
围为____________.
[解析] 由题得圆的标准方程为 ，
因为在圆外，所以
解得.
11.与圆关于直线 对称的圆
的一般方程为__________________________.
[解析] 设圆关于直线 对
称的圆的圆心为，则解得
即，故圆关于直线 对称的圆的方程为
，即 .
12.已知圆的圆心在直线
上,且圆心在第二象限,半径为,则圆 的一般方程为______________
___________________.
[解析] 因为圆的圆心 在直
线上,所以,即.
又圆 的半径,所以 .
由①②可得或
又圆心在第二象限,所以, ,即,,所以
故圆 的一般方程为 .
三、解答题
13.（13分）求满足下列条件的圆的方程.
（1）求过两点，且圆心在直线 上的圆的
标准方程.
解：设圆心为 ，因为点， 在圆上，所以
，解得 ，
所以圆心为，半径 ，
所以圆的标准方程为 .
（2）已知的顶点为，，，求 的
外接圆的一般方程.
解：设的外接圆的方程为 ，
则解得
所以的外接圆的一般方程为 .
14.（13分）［2025·广东湛江高二期中］ 已知, ，
点在轴上，满足 .
（1）求点 的坐标；
解：设，则, ，
由，得 ，
即，解得，故点的坐标为 .
（2）若动点与,的距离的比为，求动点 的轨迹方程.
解：设 .由，得，即 ，
又 ，
，
所以 ，
化简得 ，即 ，
则动点的轨迹方程为 .
14.（13分）［2025·广东湛江高二期中］ 已知, ，
点在轴上，满足 .
15.［2025·贵州铜仁高二期中］已知实数， 满足
，则 的最大值为( )
A. B. C. D.12
√
[解析] 令，则.由 ，
得 ，整理得
，
因为存在实数 满足等式，
所以 ，
解得，则的最大值为 ，
此时， .故选C.
16.（15分）在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的
圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:
①线段的最小覆盖圆就是以 为直径的圆;
②锐角三角形 的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线,,,,为曲线 上
不同的四点.
（1）求实数的值及 的最小覆盖圆的方程;
解：将代入曲线的方程得,故 .
易知为锐角三角形,所以其外接圆就是 的最小覆盖圆.
设外接圆的方程为 ,
则解得
所以的最小覆盖圆的方程为 .
（2）求曲线 的最小覆盖圆的方程.
解：由题意知,曲线 为中心对称图形.
设曲线上一点的坐标为,则 .
因为,且 ，
所以 ,
所以当时, ,
故曲线的最小覆盖圆的方程为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1. 2.
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√ 2.略
满足条件
变式（1）B （2）A
课堂评价 1.C 2.B 3.A 4. 5.
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.A 2.C 3.C 4.B 5.B 6.D 7.B 8.AB 9.ACD
二、填空题
10. 11. 12.
三、解答题
13.（1） （2）
14.（1）（2）2.3.2　圆的一般方程
【课前预习】
知识点
1.D2+E2-4F>0　2.　
诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)圆的一般方程与标准方程可以互化,故正确.
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程需满足D2+E2-4F>0,故不正确.
(3)由圆的一般方程的定义知(-2)2+E2-4×1>0,即E≠0.
2.解:(1)当D=0时,圆心在y轴上;当E=0时,圆心在x轴上;当F=0时,圆过原点.
(2)A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)∵D=1,E=0,F=1,∴D2+E2-4F=1-4=-3<0,∴方程不表示任何图形.
(2)∵D=2a,E=0,F=a2,∴D2+E2-4F=4a2-4a2=0,∴方程表示点(-a,0).
(3)方程两边同时除以2,得x2+y2+ax-ay=0,则D=a,E=-a,F=0,∵a≠0,∴D2+E2-4F=2a2>0,
∴方程表示圆,它的圆心坐标为,半径r==|a|.
变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)若方程x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圆,则k2+(k-2)2-4×5>0,解得k<-2或k>4.由“k>4”可以推出“方程x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圆”,充分性成立;由“方程x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圆”不能推出“k>4”,必要性不成立.所以“k>4”是“方程x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圆”的充分不必要条件.故选A.
(2)因为圆O的方程为x2+y2-2mx+4my+4m2+6m+27=0,所以圆O的标准方程为(x-m)2+(y+2m)2=m2-6m-27,故0探究点二
例2　解:(1)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得故圆C的一般方程为x2+y2-4x=0.
(2)由(1)得圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,则圆C'的半径为2.设C'(m,n),
则解得故圆C'的标准方程为+=4.
变式　x2+y2-4x-2y=0　[解析] 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将点A,B,C的坐标代入上式得解得满足D2+E2-4F>0,则x2+y2-4x-2y=0,点D的坐标(4,2)也满足x2+y2-4x-2y=0,故所求圆的一般方程为x2+y2-4x-2y=0.
例3　解:(1)方法一:设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以圆M的一般方程为x2+y2-4x-4y+4=0.
方法二:因为A(2,0),B(2,4),C(4,2),所以kAC=1,kBC=-1,所以kBC·kAC=-1,所以CA⊥CB,又因为|CA|=|CB|=2,所以△ABC是等腰直角三角形,所以圆M的圆心是线段AB的中点,即圆心M(2,2),又圆M的半径r==2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=4,则圆M的一般方程为x2+y2-4x-4y+4=0.
(2)假设存在点E(m,n),对任意的点P(x,y)都有|PD|=3|PE|,即=3,化简得8x2+8y2-(18m+8)x-(18n-4)y+(9m2+9n2-20)=0,又x2+y2-4x-4y+4=0,即8x2+8y2-32x-32y+32=0,所以解得即存在点E满足条件.
变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题意可知线段AB的中点即为所求圆的圆心,故圆心坐标为,点A,B之间的距离等于所求圆的直径,则圆的半径r=|AB|=×=,故所求圆的方程为+=,即x2+y2-x-y-8=0,故选B.
(2)圆x2+y2-2ax+4ay+5a2-9=0的标准方程为(x-a)2+(y+2a)2=9,所以圆心坐标为(a,-2a),半径为3.因为圆x2+y2-2ax+4ay+5a2-9=0上所有点都在第二象限,所以解得a<-3,即实数a的取值范围为(-∞,-3).故选A.
【课堂评价】
1.C　[解析] 圆的标准方程为(x+a)2+y2=-9+a2,因为圆的半径为4,所以-9+a2=42,解得a=±5.故选C.
2.B　[解析] 方程x2+y2=4x+6y可化为(x-2)2+(y-3)2=13,所以方程x2+y2=4x+6y表示的圆的圆心坐标为(2,3).故选B.
3.A　[解析] 由题意知,圆心在直线x+y=0上,所以D+E=0.故选A.
4.-3　[解析] 由x2+y2-4y-m=0得x2+(y-2)2=m+4(m+4>0),圆的半径为,由圆的面积为π得,π·()2=π,解得m=-3.
5.(-∞,-2)∪(2,+∞)　[解析] 由方程x2+y2+mx+ny+2=0表示圆,得m2+n2-8>0,圆x2+y2+mx+ny+2=0的圆心为,又此圆关于直线y=x对称,所以-=-,即n=m,因此m2+m2-8>0,解得m<-2或m>2,所以m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).2.3.2　圆的一般方程
1.A　[解析] 由x2+y2-2x+4y+a=0,得(x-1)2+(y+2)2=5-a,所以圆心为(1,-2),由5-a>0,得a<5,故选A.
2.C　[解析] 因为点(-2,1)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部,所以解得-23.C　[解析] 圆x2+y2-4ax+2y-1=0的标准方程为(x-2a)2+(y+1)2=4a2+2,则圆心为(2a,-1),由题意得|2a|=1,解得a=±,则该圆的半径r==.故选C.
4.B　[解析] 圆M1的圆心为M1(2,1),半径为r1=,圆M2的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=1,圆心为M2(1,-1),半径为r2=1,如图所示,作圆心M2关于y轴的对称点M(-1,-1),由对称性可知,|PM2|=|PM|,所以|PM1|+|PM2|=|PM1|+|PM|≥|MM1|==,当且仅当M,P,M1三点共线时,|PM1|+|PM2|取得最小值.故选B.
5.B　[解析] 设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得解得
即△ABC外接圆的方程为x2+y2-2x-y+1=0,所以圆心坐标为,所以圆心到原点的距离为=.
6.D　[解析] 因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,且方程可化为+(y-a)2=-a2-3a,所以圆心坐标为,r2=-a2-3a,又r2>0,所以-a2-3a>0,解得-47.B　[解析] 由题知x2+2x+y2=[x-(-1)]2+(y-0)2-1.设P(x,y)为圆C:(x-2)2+(y-3)2=2上一动点,设Q(-1,0),因为(-1-2)2+(0-3)2>2,所以Q(-1,0)在圆C外,则x2+2x+y2=|PQ|2-1,其中|PQ|2表示圆上点P与点Q距离的平方,因为|CQ|=3,圆C的半径r=,所以|CQ|-r≤|PQ|≤|CQ|+r,即2≤|PQ|≤4,所以7≤|PQ|2-1≤31.故选B.
[技巧点拨] 求解圆外一点到圆上点的距离的最大值、最小值,一般都是求解圆心到圆外点的距离,最大值则加半径,最小值则减半径.
8.AB　[解析] 因为方程x2+y2+3ax+ay+a2+a-1=0表示圆,所以(3a)2+a2-4>0,解得a<1,故选AB.
9.ACD　[解析] 圆x2+y2+kx+2y+k2=0的标准方程为+(y+1)2=1-k2,由1-k2>0,解得-[技巧点拨] 解决圆的有关问题,一般都是将圆的一般方程应用配方的方法转化为圆的标准方程,确定圆的圆心和半径,再进一步解决问题.
10.-311.x2+y2+10x+4y+4=0　[解析] 设圆M:(x+3)2+(y+4)2=25关于直线x-y+1=0对称的圆的圆心为N(x,y),则解得即N(-5,-2),故圆M关于直线x-y+1=0对称的圆的方程为(x+5)2+(y+2)2=25,即x2+y2+10x+4y+4=0.
12.x2+y2+2x-4y+3=0　[解析] 因为圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y-1=0上,所以---1=0,即D+E=-2①.又圆C的半径r==,所以D2+E2=20②.由①②可得或又圆心在第二象限,所以-<0,->0,即D>0,E<0,所以故圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
13.解:(1)设圆心为,
因为点A(0,4),B(4,6)在圆上,所以=,解得t=4,
所以圆心为(4,1),半径r==5,
所以圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=25.
(2)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
14.解:(1)设P(0,b),则=(-3,-b),=(3,-3),
由PM⊥MN,得·=0,
即-3×3+3b=0,解得b=3,故点P的坐标为(0,3).
(2)设Q(x,y).
由=,得|MQ|=2|PQ|,即|MQ|2=4|PQ|2,
又|PQ|==,
|MQ|==,
所以x2+6x+9+y2=4(x2+y2-6y+9),
化简得x2+y2-2x-8y+9=0,
即(x-1)2+(y-4)2=8,
则动点Q的轨迹方程为(x-1)2+(y-4)2=8.
15.C　[解析] 令2x-y=k,则y=2x-k.由x2+y2-4x-2y-4=0,得x2+(2x-k)2-4x-2(2x-k)-4=0,整理得5x2-(4k+8)x+k2+2k-4=0,因为存在实数x满足等式,所以Δ=(4k+8)2-4×5×(k2+2k-4)≥0,解得3-3≤k≤3+3,则2x-y的最大值为3+3,此时x=2+,y=1-.故选C.
16.解:(1)将x=0代入曲线W的方程得y=±2,故t=-2.
易知△ABC为锐角三角形,所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.
设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2+y2-3x-4=0.
(2)由题意知,曲线W为中心对称图形.
设曲线W上一点P的坐标为(x0,y0),则+=16.
因为|OP|2=+,且-2≤y0≤2,
所以|OP|2=+=16-+=-+,
所以当=时,|OP|max=,
故曲线W的最小覆盖圆的方程为x2+y2=.2.3.2　圆的一般方程
【学习目标】
1.掌握圆的一般方程及其特点;
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小;
3.能运用待定系数法确定圆的方程.
◆ 知识点　圆的一般方程
1.定义:当　　　　　　　　时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.
2.圆的一般方程的圆心和半径
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为　　　　,半径为　　　　　　　.
3.x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程 条件 图形
x2+y2+Dx+ Ey+F=0 D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点
D2+E2-4F>0 表示以为圆心,以为半径的圆
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　 )
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　 )
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. (　 )
2.(1)在圆的一般方程中,当D=0或E=0或F=0时,圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的位置分别有什么特点
(2)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的等价条件是什么
◆ 探究点一　圆的一般方程的理解
例1 下列方程各表示什么图形 若表示圆,求出其圆心坐标和半径.
(1)x2+y2+x+1=0;
(2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0);
(3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).
变式 (1)“k>4”是“方程x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圆”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2025·广东深圳高二期末] 已知圆O的方程为x2+y2-2mx+4my+4m2+6m+27=0,若圆O的半径小于8,则m的取值范围是 (　 )
A.(-7,13)
B.(-∞,-3)∪(9,+∞)
C.(3-2,-3)∪(9,3+2)
D.(-7,-3)∪(9,13)
[素养小结]
1.形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判断其是否表示圆时有如下两种方法:
(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆;
(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征判断.
应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要先化为这种标准形式再求解.
2.由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0求圆心和半径的方法:
(1)利用配方法将圆的一般方程化为标准方程,可以非常直观地求出圆心和半径;
(2)运用二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0判断是否为圆,如果是,也可以利用公式写出圆心,利用公式r=求出半径.
◆ 探究点二　求解圆的一般方程及其应用
例2 [2025·上海七宝中学高二期中] 若圆C过点O(0,0),A(4,0),B(2,2).
(1)求圆C的一般方程;
(2)求圆C关于直线l:y=2x+3对称的圆C'的标准方程.
变式 已知点A(0,0),B(0,2),C(3,-1),D(4,2)在同一个圆上,则这个圆的一般方程为　　　　　　　　.
例3 [2025·江苏徐州高二期中] 已知△ABC的三个顶点分别为A(2,0),B(2,4),C(4,2).
(1)求△ABC的外接圆M的一般方程.
(2)设D(-4,2),若点P是圆M上任意一点,则是否存在点E,使得|PD|=3|PE| 若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
变式 (1)以点A(3,-1),B(-2,2)所连线段为直径的圆的一般方程是 (　 )
A.x2+y2-x-y-9=0
B.x2+y2-x-y-8=0
C.x2+y2+x+y-9=0
D.x2+y2+x+y-8=0
(2)已知圆C:x2+y2-2ax+4ay+5a2-9=0上所有点都在第二象限,则实数a的取值范围是(　 )
A.(-∞,-3) B.(-∞,-3]
C. D.
[素养小结]
应用待定系数法求圆的方程时应注意:
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程组,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出D,E,F.
1.[2025·福建福州高二期中] 已知圆的一般方程为x2+y2+2ax+9=0,若该圆的半径为4,则实数a的值为 (　 )
A.-5 B.-
C.-5或5 D.-或
2.方程x2+y2=4x+6y表示的圆的圆心坐标为 (　 )
A.(-2,3) B.(2,3)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
3.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)关于直线x+y=0成轴对称图形,则 (　 )
A.D+E=0 B.D+F=0
C.F+E=0 D.D+E+F=0
4.已知圆x2+y2-4y-m=0的面积为π,则m=　　　　.
5.[2025·江苏南通高二期中] 设m,n∈R,若方程x2+y2+mx+ny+2=0表示关于直线y=x对称的圆,则m的取值范围为　　　　　　. 2.3.2　圆的一般方程
一、选择题
1.[2025·北京西城区高二期中] 圆x2+y2-2x+4y+a=0的圆心和a的取值范围分别 (　 )
A.(1,-2),a<5 B.(-1,2),a>5
C.(2,-4),a≤5 D.(-2,4),a≥5
2.[2025·安徽黄山高二期中] 若点(-2,1)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部,则实数a的取值范围是(　 )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C. D.(-∞,-2)∪
3.[2025·广东佛山高二期中] 若圆x2+y2-4ax+2y-1=0的圆心到两坐标轴的距离相等,则该圆的半径为 (　 )
A.1 B.3
C. D.
4.[2024·四川成都蓉城名校高二期末] 已知圆M1:(x-2)2+(y-1)2=2,圆M2:x2+y2-2x+2y+1=0,点P为y轴上的动点,则|PM1|+|PM2|的最小值为 (　 )
A.3 B.
C. D.
5.[2025·安徽六安二中高二期中] 已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 (　 )
A. B.
C. D.
6.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
★7.已知x,y满足(x-2)2+(y-3)2=2,则x2+2x+y2的取值范围是 (　 )
A.[2,4]
B.[7,31]
C.[2-1,4-1]
D.[8,32]
8.(多选题)若方程x2+y2+3ax+ay+a2+a-1=0表示圆,则a的值可能为 (　 )
A.-2 B.0
C.1 D.3
★9.(多选题)已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则下列结论中正确的是 (　 )
A.实数k的取值范围是
B.实数k的取值范围是∪
C.当圆的周长最大时,圆心坐标是(0,-1)
D.圆的最大面积是π
二、填空题
10.若点P(1,0)在圆C:x2+y2+2x-4y+m=0外,则m的取值范围为　　　　　　.
11.与圆M:x2+y2+6x+8y=0关于直线x-y+1=0对称的圆的一般方程为　.
12.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆C的一般方程为　　　　　　　.
三、解答题
13.(13分)求满足下列条件的圆的方程.
(1)求过两点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程.
(2)已知△ABC的顶点为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2),求△ABC的外接圆的一般方程.
14.(13分)[2025·广东湛江高二期中] 已知M(-3,0),N(0,-3),点P在y轴上,满足PM⊥MN.
(1)求点P的坐标;
(2)若动点Q与P,M的距离的比为1∶2,求动点Q的轨迹方程.
15.[2025·贵州铜仁高二期中] 已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则2x-y的最大值为(　 )
A.3+ B.3+
C.3+3 D.12
16.(15分)在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;
②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程;
(2)求曲线W的最小覆盖圆的方程.

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