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(共90张PPT)
2.3 圆及其方程
2.3.3 直线与圆的位置关系
探究点一 直线与圆的位置关系的判断
探究点二 圆的切线方程及切线长
探究点三 直线与圆的相交问题
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◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离;
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系;
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
知识点一 直线与圆的位置关系
直线 与圆
的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ___ ___ ___
判断 方法 代数法：由方程组 消元得到一元二次方程的判别式 ___0 ___0 ___0
2
1
0
>
=
<
位置关系 相交 相切 相离
判断 方法 几何法：求圆心到直线的 距离 ___ ___ ___
图形 ________________________ _________________________ _______________________
<
=
>
续表
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )
×
[解析] 若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切,故不正确.
（2）若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次
方程必有解.( )
√
[解析] 直线与圆相交,则必有公共点,方程必有解,故正确.
（3）若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得
到的一元二次方程无解.( )
√
[解析] 圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,方程一定无解,
故正确.
（4）已知一条直线过一个定点，若该定点在圆内，则直线与圆必相
交.( )
√
知识点二 直线与圆相切、相交的性质
1.直线与圆相切
如图①，直线与圆相切，切点为，半径为 .
①
结论：（1） ；
（2）点到直线的距离 ___；
（3）切点在直线 上，也在圆上.
②
2.直线与圆相交
如图②，直线与圆相交于，两点，圆
的半径为，弦的中点为 .
结论：（1）点到直线的距离 ，称
为弦心距；
（2） ；
（3）， .
探究点一 直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程为 ，圆的方程为
.当 为何值时，直线与圆：（1）有两个
公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点？
解：方法一：由消去 得
，则
.
（1）当，即或 时，直线与圆相交，此时直线与
圆有两个公共点.
（2）当，即或 时，直线与圆相切，此时直线与
圆只有一个公共点.
（3）当，即 时，直线与圆相离，此时直线与圆没
有公共点.
方法二：圆的方程可化为 ，则圆心坐标为
，半径.圆心到直线 的距离
.
（1）当，即或 时，直线与圆相交，此时直线与
圆有两个公共点.
（2）当，即或 时，直线与圆相切，此时直线与
圆只有一个公共点.
（3）当，即 时，直线与圆相离，此时直线与圆没
有公共点.
变式（1）［2025·浙江宁波高二期中］已知动直线
，圆，则直线 与圆
的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
[解析] 直线 可化为
.由解得即直线 经过定点，
因为，所以点 在圆的内部，
故直线与圆 相交.故选A.
√
（2）（多选题）已知直线，圆 ，圆
，， ，则下列说法正确的是
( )
A.若圆心在圆内，则圆心在圆 内
B.若圆心在圆内，则直线与圆 相离
C.若直线与圆相切，则直线与圆 相切
D.若直线与圆相切，则圆心在直线 上
√
√
√
[解析] 圆的圆心为，半径 ，圆
的圆心为，半径 .
对于A，若圆心在圆内，则 ，所以
，因此圆心在圆 内，故A正确；
对于B，若圆心在圆内，则，所以点到直线 的
距离，因此直线与圆 相离，故B正确；
对于C，D，若直线与圆相切，则，所以点到直线 的
距离为，则圆心在直线上，因此直线与圆 相交，
故C错误，D正确.故选 .
［素养小结］
直线与圆的位置关系的判断方法：
（1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断.
（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
（3）直线系法：若直线恒过定点，则可通过判断点与圆的位置关系
来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的
直线系.
探究点二 圆的切线方程及切线长
例2（1）求圆的切线方程,使得它经过点 .
解：因为点的坐标满足圆的方程,所以点在圆 上.
由题可知圆心为,则直线的斜率 ,
所以所求切线的斜率.
故经过点的切线方程为 ,即 .
（2）过点作圆的切线,求切线 的方程.
解：因为,所以点 在圆外.
当直线的斜率不存在时,的方程是,不满足题意.当直线 的斜
率存在时，设直线的斜率为,则的方程为 ,即
.
方法一：圆心到切线的距离,解得 或
,因此切线的方程为或 .
方法二:因为直线与圆相切,所以方程组
只有一个实数解，消去,得到关于 的一元二次方程
,
则 ,
整理得,解得或,
因此切线的方程为 或 .
变式（1）已知直线 是圆
的对称轴，过点作圆 的两条
切线，切点分别为和，则 ( )
A.7 B. C. D.
√
[解析] 圆 的标准方程为
，所以圆心，半径 ,
又直线是圆的对称轴，所以直线过圆心 ，
所以，解得，即 ,因此
，所以切线长
,
又 ，所以四边形的面积为 ，
可得 .故选D.
（2）设过点且与圆 相切的两条直线
的夹角为 ，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 圆 的标准方程为
，则该圆的圆心为 ,半径为1.
易知过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，则 ，
解得或，所以两条直线的方程为或 ，
则，又 ，所以 .故选A.
√
［素养小结］
1.求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定
切线的条数.
（1）若点在圆上：
①先求切点与圆心连线的斜率，再由垂直关系得切线的斜率为，
由点斜式可得切线方程；
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接求得切线方程为
或.
（2）若点 在圆外：
①几何法：设切线方程为 ，由圆心到直线的距离
等于半径建立方程，可求得 ，即可求得切线方程；
②代数法：设切线方程为 ，与圆的方程联立，消
去后得到关于的一元二次方程，由求出 ，即可求得切线方程.
当用上述方法只求出一个方程时，另一个方程应为 ，因为在
上面解法中不包括斜率不存在的情况.
提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况.
2.切线长公式：从圆外一点 引圆
的切线，则切线长
.
拓展 已知圆与直线 ，
过上任意一点向圆引切线，切点为，，若线段 长度的最小
值为，则实数 的值为_ ___.
[解析] 圆的标准方程为，则圆的圆心为 ，
半径.设，则 ，
因为，所以，又，所以 ，
又，所以，即，又 ，
所以 .
探究点三 直线与圆的相交问题
例3 ［2025·四川遂宁高二期中］已知 ，直线
与圆交于,两点，则 的最
小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.
√
[解析] 由，得 ，代入直线方
程得 ，即
，
由 解得故直线恒过点.
设 ，由题得圆的标准方程为，
设圆心为，则 ，,，如图，由图可知，
当时， 最小，故 .
故选C.
变式（1）直线与圆 相
交于，两点，则 的最小值为( )
A. B.2 C. D.4
[解析] 因为直线方程可化为 ，所以直线过定点,
又圆的方程可化为 ,所以圆的圆心为
,半径,所以,
当 时，最小，此时
,故选C.
√
（2）与圆相交所得的弦长为2，且在 轴上的截距
为 的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 将圆的方程化为 ，得圆心
坐标为,半径为 所求直线与圆相交所得弦长为2，半径为2，
弦心距为 .
由题意可知所求直线的斜率存在，设直线方程为，
即，则弦心距 ,解得，
故所求直线的方程为 .故选A.
√
［素养小结］
与圆的弦长有关问题的两种解法：
（1）半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，利用勾股
定理求解，这是常用解法.
（2）联立直线与圆的方程，消元得到关于（或）的一元二次方程，
利用根与系数的关系得到两交点横坐标（或纵坐标）之间的关系，
代入两点间距离公式求解，此解法很繁琐，一般不用.
拓展 圆上到直线 的距离为
1的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 圆 的圆心坐标
为 ,半径为2.由圆心到直线
的距离 ,
如图所示，结合图形可知，圆上有，， 三
个点到直线 的距离为1.故选C.
√
1.直线与圆 的位置关系为( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.相离或相切
[解析] 圆心到直线的距离为 ，因此直线
与圆 相离，故选C.
√
2.直线被圆 所截得的弦长为
( )
A. B. C. D.4
[解析] 圆的方程可化为 ，则圆心坐标为
，半径为，则圆心到直线的距离 ，
故直线被圆 所截得的弦长
等于圆的直径 ，故选C.
√
3.［2025·北京第一六一中学高二期中］过点的直线 与圆
有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知圆的半径为，圆心为原点.当直线 的斜率不存在，即直线
的倾斜角为时，直线的方程为此时直线 与圆相切,满足题意；
当直线的斜率存在时，不妨设直线 的方程为，
则圆心到直线的距离 ，解得，
所以直线的倾斜角的取值范围为.
综上，直线 的倾斜角的取值范围为 .故选A.
4.［2025·广东湛江高二期末］已知圆 ，直线
上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为 ，
，若 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 圆的圆心为，半径 .由，
得 ，又 ，所以，
又直线上存在点 ，满足 ，
所以点到该直线的距离 ，解得，
所以的取值范围是 .故选C.
√
5.过点作圆 的切线，则该切线的方程为_________
___________________.
或
[解析] 圆的圆心为 ，因为
，所以点 在圆外.当切线的斜率不存在时，
直线与圆相切，则切线的方程为 ；
当切线的斜率存在时，设所求切线方程为 ，
即，则圆心到切线的距离 ，
解得，所以切线的方程为 .
综上，所求切线的方程为或 .
关于圆的切线方程的常见结论
（1）过圆上一点的切线的方程为 .
（2）过圆上一点 的切线的方程为
.
（3）过圆 上一点
的切线的方程为 .
（4）过圆外一点作圆 的切线，
设切点分别为，,则直线 的方程为
.
（5）过圆外一点可以作圆 的两条
切线，且这两条切线段长度相等，切线段的长度
.
1.直线与圆的位置关系的判定方法
（1）代数法,将圆的方程和直线的方程组成方程组,并消去一个未知
数得到一个一元二次方程,利用该一元二次方程根的判别式判断.
（2）几何法,依据圆心到直线的距离与半径 的大小关系进行判断.
例1 ［2025·广东广州华南师范大学附中高二月考］已知 为坐标原
点，点和直线，点是点关于直线 的对称
点，且点满足 .
（1）求点的坐标及点 的轨迹方程；
解：设，则解得故 .
设，则，整理得 ，
故点的轨迹方程为 .
（2）若点的轨迹与直线有公共点，求 的取值范围.
解：若圆与直线 有公共点，则圆心
到直线的距离小于等于圆的半径 ，即
，解得或，故的取值范围是 或
.
例1 ［2025·广东广州华南师范大学附中高二月考］已知 为坐标原
点，点和直线，点是点关于直线 的对称
点，且点满足 .
2.求圆的切线方程的常用方法
（1）待定系数法,设出切点坐标或切线的斜率,由题意列出方程
（组）,解得切点坐标或斜率,写出切线的点斜式方程,最后将点斜式化
为一般式.
（2）定义法,根据切线方程的定义求出切线方程.
（3）直接法,应用常见结论,直接写出切线方程.
例2（1）［2025·江苏无锡高二期中］经过圆 上
的点的 的切线方程为________________.
[解析] 圆的圆心为，又切点为 ，所以
，所以切线斜率为 ，
则切线方程为，化简得 .
（2）［2025·山东泰安高二期中］已知圆 ，
则过点的圆 的切线方程为( )
A. B.或
C. D.或
√
[解析] 圆的圆心坐标为 ，半径为
2.由，可知点 在圆外.当切线斜率
不存在时，切线方程为 ，符合题意;
当切线斜率存在时，设切线方程为，
即，则 ，解得，
此时直线方程为 ，即.
综上所述，切线方程为 或 .故选D.
（3）［2025·福建福州高二期中］已知实数, 满足
，则 的最大值是( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 由 得
， 点 的轨迹是以
为圆心，3为半径的圆， 的几何意义为该
圆上的点与点 连线的斜率.
当过点的直线斜率不存在，即直线方程为 时，
显然直线与圆不相切；
设过点的圆的切线方程为 ，
即， 圆心到切线的距离，
解得， .故的最大值为 .故选C.
3.已知弦长,求弦所在直线的方程或求圆的方程,往往结合相关直角三
角形直角三角形三边长分别是圆的半径、弦长的一半、弦心距 ,
并利用待定系数法求解.
例3 设圆上的点关于直线 的对称点仍在圆上,且圆
截直线所得的弦长为 ,求圆的方程.
解：设圆的方程为 .
由题意可知,直线 过圆心,则 .
点在圆上, ,
又圆截直线所得的弦长为 ,
.
解由①②③所组成的方程组得或
故所求圆的方程为 或
.
4.与切线长有关的最值问题
切线长最小，则圆外一点到圆心的距离最小，所以解决与切线长有
关的最值问题，关键是解决圆心到圆外一点的距离的最值问题.
例4 已知圆，点是直线 上的动点，
过作圆的两条切线，切点分别为，，则 的最小值为____.
[解析] 圆，即 ，
其圆心为，半径，
因为，分别切圆于点， ，所以，，
，所以，
因为 ，所以，
由圆的性质知 ，所以，
所以，当 最小时，最小，
点到直线的距离即为 的最小值，所以，
所以的最小值为 .
例5 已知是直线上一动点，过点 作圆
的两条切线，切点分别为， ，则四边形
的面积的最小值为___.
2
[解析] 圆的圆心坐标为 ，半径为2，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆 相离，故四
边形 的面积，
所以当 最小时，四边形的面积最小，的最小值即为圆心
到直线的距离，即 ，所以，
故四边形 的面积的最小值为2.
练习册
一、选择题
1.直线与圆 的位置关系是
( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
[解析] 圆的圆心为 ，半径为3，圆
心到直线的距离为，所以直线与圆 相交.故选C.
√
2.过点作圆 的切线，则切线方程为
( )
A. B. C. D.
[解析] 圆的圆心为，将 的坐标
代入圆的方程，得，则点 在圆上，
又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1，所以过点
的切线方程为，即 .故选D.
√
3.若直线与圆交于 ，
两点，且，则 的值为( )
A.5或 B. C. 或15 D.15
[解析] 由题意得圆的标准方程为，则圆
的圆心为，半径为.
由得，圆心 到直线的距离
，所以 ，解得或 .故选C.
√
4.［2025·山东青岛高二期中］为直线上一点，过 总能
作圆的切线，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，直线与圆 相切或相离，
则圆心到直线的距离，解得，所以 的
最小值为 .故选D.
√
5.已知圆，弦过定点，则 不可能的取值
是( )
A. B. C.4 D.
[解析] 圆的半径.
当弦 过圆心时，；
当 时，.
所以 .故选D.
√
★6.一条光线从点射出，经过 轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
[解析] 点关于轴的对称点为 ，故可设反射光线
所在直线的方程为，即，
反射光线与圆相切， 圆心 到直线
的距离，解得或 .故选A.
√
［技巧点拨］ 直线与圆相切一定满足圆心到直线的距离等于半径，
一般地要先设出直线方程，整理成一般式，然后利用点到直线的距
离公式求解即可.
7.［2025·河南濮阳高二期中］已知直线经过点 ，且与圆
相交于，两点，若，则直线
的方程为( )
A.或
B.或
C.或
D.或
√
[解析] 由已知得圆的圆心为，半径 .根据垂径定理知
圆心到直线的距离.
当直线 的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到
直线 的距离为，不满足条件.
当直线 的斜率存在时，设直线的方程为，
即 .
由圆心到直线的距离 ，可得
，解得或.
当时，直线 的方程为，即；
当时，直线 的方程为，即 .
故选A.
8.（多选题）［2024·北京理工大学附中高二期中］ 已知直线
，圆 ，下列说法正确的是
( )
A.对任意实数，直线与圆 有两个不同的公共点
B.当且仅当时，直线被圆所截弦长为
C.对任意实数，圆不关于直线 对称
D.存在实数，使得直线与圆 相切
√
√
√
[解析] 直线的方程可整理得，由
解得即直线过定点，
又圆的半径 ，，所以点在
圆 内，对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点，A正确，D错误；
直线 不过圆的圆心，因此对任意实数，圆不关于直线 对称,C正确；
直线的斜率，当时，直线的斜率为 ，
因此直线，此时直线被圆所截弦是过点 的最短弦，最短弦长
为，因此当且仅当时，直线被圆 所截
弦长为，B正确.故选 .
★9.（多选题）在平面直角坐标系中， ，圆
与轴的正半轴交于点 ，则下列说法正确的有
( )
A.点到圆上的点的距离的最大值为
B.过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长为
C.过点与圆相切的直线方程为
D.过点的直线与圆交于不同的两点，，则直线， 的斜率
之和为定值
√
√
√
[解析] 由题知，点在圆外，，圆的半径 .对于A，点
与圆 上的点的距离的最大值为，
故A正确；
对于B，过点 且斜率为1的直线方程为，即，
圆心 到直线的距离，故所求弦长为 ，
故B正确；
对于C，当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为 ，易
知直线与圆相切，故C错误；对于D，易知过点与圆 有两
个交点的直线的斜率存在且不为0，设斜率为，, ，
则直线方程为，即 ，
由消去 得
，
所以，，
又， ， 所以
，将 ，代入并化简得，
故D正确.故选 .
［技巧点拨］ 当解决直线与圆相交弦或弦长问题时，可以设出直线
方程及交点坐标，将直线方程与圆的方程联立，消元后得到关于 或
的一元二次方程，依据根与系数的关系求解有关的问题.
二、填空题
10.若为圆的弦的中点，则直线 的
方程是_____________.
[解析] 设圆心为，则，由圆的性质知，易知直线
的斜率，所以直线的斜率为1，又直线 过点
，所以直线的方程为，即 .
11.［2025·北京海淀区高二月考］在平面直角坐标系中，圆 经
过点，且圆心在直线 上，若直线
被圆截得的弦长为，则正实数 的值为____.
[解析] 设，圆的半径为 ，则有
可得即圆 的方程为
.
由直线被圆截得的弦长为 ，得，
即，解得，又 为正实数，所以 .
12.［2025·福建泉州高二期中］若直线 与曲线
至少有一个公共点，则实数 的取值范围是
______.
[解析] 直线过定点 ，
由 ，得到
，
所以曲线 表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线 右侧的 半圆（包括点，），如图所示.
当直线 经过点时，与曲线有一个交点，此时；
当 与半圆相切时，由，解得 .
由图可知，当时，与曲线 至少有一个公共点.
三、解答题
13.（13分）已知圆的圆心坐标为，直线被圆 截
得的弦长为 .
（1）求圆 的方程；
解：设圆的标准方程为 ，
由已知得圆心到直线的距离 ，
则 ，
所以圆的标准方程为 .
（2）从圆外一点 向圆引切线，求切线的方程.
解：当切线的斜率不存在时,切线的方程为 ，此时满足直线与圆相切.
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，
即，则圆心到直线 的
距离为，解得 ，所以切线的方程为 .
综上，切线的方程为或 .
13.（13分）已知圆的圆心坐标为，直线被圆 截
得的弦长为 .
14.（15分）在平面直角坐标系中，圆 的方程为
，设直线的方程为 .
（1）若过点的直线与圆 相切，求切线的方程.
解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为 ，符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为 ，即
，
因为圆心到切线的距离 ，
所以，即，所以 ，
则切线的方程为 .
综上，切线的方程为或 .
（2）已知直线与圆相交于，两点.若是线段 的中点，求直
线 的方程.
解：设，则 ，
由解得 或
即或 ，则直线的斜率 ，
故直线的方程为 .
14.（15分）在平面直角坐标系中，圆 的方程为
，设直线的方程为 .
（3）当时，点在直线上，过作圆的切线，切点为 ，
则经过,, 的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标.
解：当时，的方程为 .
设，由于过作圆的切线，切点为，
因此 , 所以过，，的圆即为以 为直径的圆，
14.（15分）在平面直角坐标系中，圆 的方程为
，设直线的方程为 .
该圆的方程为 ，
即 .
由解得或
故经过,,的圆过定点， .
15.［2025·江苏南京高二期中］如图，已知圆
分别与， 轴的正半轴交于
，两点，为圆上的动点.若线段 上有一
点，满足，则点 的轨迹方程为
_______________________.
[解析] 根据题意得，， .
设，，则 ，
.
由于 ，所以 ，
得将其代入 ，
，故点的轨迹方程为 .
16.（15分）在平面直角坐标系中，直线交 轴
于点，以为圆心的圆与直线 相切.
（1）求圆 的方程.
解：由题意得，原点到直线的距离 ，
故圆的方程为 .
（2）是否存在定点，使得对于经过点的直线，当与圆交于 ,
两点时，恒有 若存在，求点 的坐标；若不存在，
请说明理由.
解：存在定点，使得 恒成立.
理由如下：当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
设直线与圆的交点为， .
16.（15分）在平面直角坐标系中，直线交 轴
于点，以为圆心的圆与直线 相切.
由消去得 ，
所以
在直线的方程中，令,得 ，所以 ,
由，得 ,
即，可得 ，则
，化简得 ，
此时直线的方程为 ，
易知直线恒过点 .
当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知，直线过点 时也
满足 .
故存在定点，使得 恒成立.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 2 1 0 > = < < = >
【诊断分析】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 知识点二 1.
课中探究
例1 略 变式（1）A （2）ABD
例2（1） （2）或
变式（1）D （2）A 拓展
例3 C 变式 （1）C （2）A 拓展 C
课堂评价 1.C 2.C 3.A 4.C 5.或
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.A 8.ABC 9.ABD
二、填空题
10. 11. 12.
三、解答题
13.（1）（2）或
14.（1）或（2）
（3）经过,,的圆过定点，
思维探索 15.
16.（1） （2）存在定点，使得恒成立2.3.3　直线与圆的位置关系
【课前预习】
知识点一
2　1　0　>　=　<　<　=　>
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　[解析] (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切,故不正确.
(2)直线与圆相交,则必有公共点,方程必有解,故正确.
(3)圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,方程一定无解,故正确.
知识点二
1.(2)r
【课中探究】
探究点一
例1　解:方法一:由消去y得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,则Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,此时直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即-方法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心坐标为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==.
(1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,此时直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2,即-变式　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)直线l:(m+1)x+(m-1)y+2m=0可化为m(x+y+2)+x-y=0.由解得即直线l经过定点(-1,-1),因为(-1)2+(-1)2<3,所以点(-1,-1)在圆O:x2+y2=3的内部,故直线l与圆O相交.故选A.
(2)圆O1:x2+y2=1的圆心为O1(0,0),半径r1=1,圆O2:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心为O2(a,b),半径r2=1.对于A,若圆心O2在圆O1内,则01,因此直线l与圆O1相离,故B正确;对于C,D,若直线l与圆O1相切,则=1,所以点O2到直线l的距离为=0,则圆心O2在直线l上,因此直线l与圆O2相交,故C错误,D正确.故选ABD.
探究点二
例2　解:(1)因为点M的坐标满足圆的方程,所以点M在圆x2+y2=10上.由题可知圆心为C(0,0),则直线CM的斜率kCM=,所以所求切线的斜率k=-.故经过点M的切线方程为y-=-(x-2),即2x+y-10=0.
(2)因为(-1-2)2+(4-3)2=10>1,所以点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时,l的方程是x=-1,不满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+4+k=0.
方法一:圆心(2,3)到切线l的距离d==1,解得k=0或k=-,因此切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.
方法二:因为直线l与圆相切,所以方程组
只有一个实数解,消去y,得到关于x的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+2k-4)x+k2+2k+4=0,则Δ=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)(k2+2k+4)=0,整理得4k2+3k=0,解得k=0或k=-,因此切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.
变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=9,所以圆心C(3,1),半径r=3,又直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆的对称轴,所以直线l过圆心C(3,1),所以3+a-1=0,解得a=-2,即P(-4,-2),因此|PC|==,所以切线长|PB|=|PA|===7,又PC⊥AB,所以四边形PACB的面积为|PC||AB|=2S△PAC=|PA|r,可得|AB|===.故选D.
(2)圆x2+y2-4x-2y+4=0的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1,则该圆的圆心为(2,1),半径为1.易知过点(0,0)的圆的切线斜率存在,设切线方程为y=kx,则=1,解得k=或k=0,所以两条直线的方程为y=x或y=0,则tan α=,又0°≤α≤90°,所以cos α=.故选A.
拓展　　[解析] 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,则圆C的圆心为C(1,0),半径r=1.设∠ACP=θ,则|AB|=2sin θ,因为|AB|min=,所以(sin θ)min=,又0<θ<,所以≤θ<,又|CP|=,所以|CP|min==2,即=2,又m>0,所以m=.
探究点三
例3　C　[解析] 由2b=a+c,得c=2b-a,代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,由解得故直线恒过点(1,-2).设P(1,-2),由题得圆的标准方程为x2+(y+2)2=5,设圆心为C,则C(0,-2),|PC|=1,|AC|=,如图,由图可知,当PC⊥AB时,|AB|最小,故|AB|min=2=2=4.故选C.
变式　(1)C　(2)A　[解析] (1)因为直线方程可化为x-1+my=0,所以直线过定点D(1,0),又圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,所以圆的圆心为M(2,-1),半径r=,所以|MD|==,当MD⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2=2×=2,故选C.
(2)将圆的方程x2+y2-4y=0化为x2+(y-2)2=4,得圆心坐标为(0,2),半径为2.∵所求直线与圆相交所得弦长为2,半径为2,∴弦心距为.由题意可知所求直线的斜率存在,设直线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则弦心距d==,解得k=±,故所求直线的方程为±x-y-1=0.故选A.
拓展　C　[解析] 圆(x+1)2+(y-1)2=4的圆心坐标为(-1,1),半径为2.由圆心到直线l:x+y+=0的距离d==1<2,如图所示,结合图形可知,圆上有A,B,C三个点到直线l的距离为1.故选C.
【课堂评价】
1.C　[解析] 圆心(0,0)到直线的距离为=5>3,因此直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9相离,故选C.
2.C　[解析] 圆的方程可化为(x+2)2+(y-2)2=2,则圆心坐标为(-2,2),半径为,则圆心到直线的距离d==0,故直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0所截得的弦长等于圆的直径2,故选C.
3.A　[解析] 易知圆的半径为,圆心为原点.当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角为时,直线l的方程为x=-,此时直线l与圆相切,满足题意;当直线l的斜率存在时,不妨设直线l的方程为y=k+,则圆心到直线l的距离d=≤,解得k≤-,所以直线l的倾斜角的取值范围为.综上,直线l的倾斜角的取值范围为.故选A.
4.C　[解析] 圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1.由∠APB=60°,得∠APO=30°,又OA⊥PA,所以|OP|=2|OA|=2r=2,又直线x-y+a=0上存在点P,满足∠APB=60°,所以点O到该直线的距离d=≤2,解得-2≤a≤2,所以a的取值范围是[-2,2].故选C.
5.5x+12y-26=0或x+2=0　[解析] 圆x2+y2=4的圆心为(0,0),因为=>2,所以点(-2,3)在圆外.当切线的斜率不存在时,直线x=-2与圆相切,则切线的方程为x+2=0;当切线的斜率存在时,设所求切线方程为y-3=k(x+2),即kx-y+3+2k=0,则圆心到切线的距离d==2,解得k=-,所以切线的方程为5x+12y-26=0.综上,所求切线的方程为5x+12y-26=0或x+2=0.2.3.3　直线与圆的位置关系
1.C　[解析] 圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的圆心为C(1,2),半径为3,圆心到直线的距离为=<3,所以直线l与圆C相交.故选C.
2.D　[解析] 圆E:x2+y2-4y+2=0的圆心为E(0,2),将P(1,1)的坐标代入圆的方程,得12+12-4×1+2=0,则点P在圆上,又kPE==-1,所以过点P与圆相切的直线的斜率为1,所以过点P的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.故选D.
3.C　[解析] 由题意得圆M的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=15,则圆M的圆心为M(1,-2),半径为.由|AB|=2得,圆心M到直线x+3y+C=0的距离 d==,所以=,解得C=15或-5.故选C.
4.D　[解析] 由题意可得,直线y=kx-2与圆x2+y2=1相切或相离,则圆心到直线的距离d=≥1,解得-≤k≤,所以k的最小值为-.故选D.
5.D　[解析] 圆O:x2+y2=4的半径r=2.当弦AB过圆心时,|AB|max=2r=4;当OP⊥AB时,|AB|min=2=2=2.所以|AB|∈[2,4].故选D.
6.A　[解析] 点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A'(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,∵反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴圆心(-3,2)到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.故选A.
[技巧点拨] 直线与圆相切一定满足圆心到直线的距离等于半径,一般地要先设出直线方程,整理成一般式,然后利用点到直线的距离公式求解即可.
7.A　[解析] 由已知得圆C的圆心为C(-1,2),半径r=3.根据垂径定理知圆心到直线的距离d===2.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时圆心C(-1,2)到直线x=2的距离为2-(-1)=3≠2,不满足条件.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.由圆心C(-1,2)到直线kx-y-2k+1=0的距离d=2,可得=2,解得k=1或k=-7.当k=1时,直线l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;当k=-7时,直线l的方程为y-1=-7(x-2),即7x+y-15=0.故选A.
8.ABC　[解析] 直线l的方程可整理得a(x+y)+y+2=0,由解得即直线l过定点A(2,-2),又圆O的半径r=4,|OA|==2<4,所以点A(2,-2)在圆O内,对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点,A正确,D错误;直线l不过圆O的圆心,因此对任意实数a,圆O不关于直线l对称,C正确;直线OA的斜率k=-1,当a=-时,直线l的斜率为-=1,因此直线l⊥OA,此时直线l被圆O所截弦是过点A的最短弦,最短弦长为2=4,因此当且仅当a=-时,直线l被圆O所截弦长为4,B正确.故选ABC.
9.ABD　[解析] 由题知,点P在圆O外,Q(3,0),圆O的半径r=3.对于A,点P与圆O上的点的距离的最大值为|OP|+r=+3=3+3,故A正确;对于B,过点P且斜率为1的直线方程为y-6=x-3,即x-y+3=0,圆心O到直线的距离d==,故所求弦长为2×=3,故B正确;对于C,当过点P的直线斜率不存在时,直线的方程为x=3,易知直线x=3与圆O相切,故C错误;对于D,易知过点P与圆O有两个交点的直线的斜率存在且不为0,设斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线方程为y-6=k(x-3),即y=kx-3k+6,由消去y得(k2+1)x2-(6k2-12k)x+(9k2-36k+27)=0,所以x1+x2=,x1x2=,又kQA=,kQB=,所以kQA+kQB=+= =,将x1+x2=,x1x2=代入并化简得kQA+kQB=-1,故D正确.故选ABD.
[技巧点拨] 当解决直线与圆相交弦或弦长问题时,可以设出直线方程及交点坐标,将直线方程与圆的方程联立,消元后得到关于x或y的一元二次方程,依据根与系数的关系求解有关的问题.
10.x-y-3=0　[解析] 设圆心为C,则C(1,0),由圆的性质知PC⊥AB,易知直线PC的斜率k1==-1,所以直线AB的斜率为1,又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.
11.　[解析] 设C(m,2m+2),圆C的半径为r,则有可得即圆C的方程为(x+1)2+y2=4.由直线x=ay+1被圆C截得的弦长为2,得=,即=2,解得a=±,又a为正实数,所以a=.
12.　[解析] 直线l:kx-y-2=0过定点(0,-2),由=x-1,得到(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1),所以曲线C表示以点(1,1)为圆心,半径为1,且位于直线x=1右侧的半圆(包括点(1,2),(1,0)),如图所示.当直线l经过点(1,2)时,l与曲线C有一个交点,此时k=4;当l与半圆相切时,由=1,解得k=.由图可知,当≤k≤4时,l与曲线C至少有一个公共点.
13.解:(1)设圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0),
由已知得圆心C(1,1)到直线x+y-1=0的距离d==,
则r2=d2+=+=1,
所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
(2)当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=2,此时满足直线与圆相切.
当切线的斜率存在时,设切线方程为y-3=k(x-2),
即kx-y-2k+3=0,则圆心C(1,1)到直线kx-y-2k+3=0的距离为=1,解得k=,
所以切线的方程为3x-4y+6=0.
综上,切线的方程为x=2或3x-4y+6=0.
14.解:(1)当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=1,符合题意;
当切线的斜率存在时,设切线的方程为y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0,
因为圆心(0,2)到切线的距离d=1,
所以=1,即|k-2|=,所以k=,
则切线的方程为3x-4y+13=0.
综上,切线的方程为x=1或3x-4y+13=0.
(2)设D(x0,y0),则B(2x0,2y0),
由解得
或 即D或D,
则直线l的斜率k=±=±,
故直线l的方程为y=±x.
(3)当k=时,l的方程为y=x.
设P(2m,m),由于过P作圆C的切线PM,切点为M,因此PM⊥CM,所以过P,M,C的圆即为以CP为直径的圆,该圆的方程为x(x-2m)+(y-m)(y-2)=0,
即x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0.
由解得或
故经过P,M,C的圆过定点(0,2),.
15.x2+y2-x-=0　[解析] 根据题意得,A(4,0),B(0,4).设Q(x,y),P(x1,y1),则=(x-4,y),=(x1-x,y1-y).由于=2,所以(x-4,y)=2(x1-x,y1-y),得将其代入x2+y2=16,得x2+y2-x-=0,故点Q的轨迹方程为x2+y2-x-=0.
16.解:(1)由题意得,原点O到直线l:x-y-4=0的距离d==2,
故圆O的方程为x2+y2=4.
(2)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.
理由如下:当直线L的斜率存在时,设直线L的方程为y=kx+m,设直线L与圆O的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,
所以在直线l的方程中,令y=0,得x=4,所以M(4,0),
由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=0,
即+=0,可得2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,则2k×+(m-4k)-8m=0,化简得m=-k,
此时直线L的方程为y=kx-k,
易知直线L恒过点S(1,0).
当直线L的斜率不存在时,由圆的对称性知,直线L过点S(1,0)时也满足∠AMO=∠BMO.
故存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.2.3.3　直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离;
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系;
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
◆ 知识点一　直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 　　 　　 　　
判断方法 代数法:由方程组 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 　0 Δ 　0 Δ 　0
几何法:求圆心到直线的距离d= d 　r d 　r d 　r
图形
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. (　 )
(2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.(　 )
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. (　 )
(4)已知一条直线过一个定点,若该定点在圆内,则直线与圆必相交. (　 )
◆ 知识点二　直线与圆相切、相交的性质
1.直线与圆相切
如图①,直线l与圆C相切,切点为P,半径为r.
结论:(1)CP⊥l;
(2)点C到直线l的距离d=|CP|=　　　　;
(3)切点P在直线l上,也在圆上.
②
2.直线与圆相交
如图②,直线l与圆C相交于A,B两点,圆C的半径为r,弦AB的中点为D.
结论:(1)点C到直线l的距离d=|CD|,称为弦心距;
(2)CD⊥l;
(3)|AD|2+d2=r2,|AB|=2.
◆ 探究点一　直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程为mx-y-m-1=0,圆的方程为x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆:(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点
变式 (1)[2025·浙江宁波高二期中] 已知动直线l:(m+1)x+(m-1)y+2m=0,圆O:x2+y2=3,则直线l与圆O的位置关系是 (　 )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
(2)(多选题)已知直线l:ax+by=1,圆O1:x2+y2=1,圆O2:(x-a)2+(y-b)2=1,a,b∈R,则下列说法正确的是 (　 )
A.若圆心O2在圆O1内,则圆心O1在圆O2内
B.若圆心O2在圆O1内,则直线l与圆O1相离
C.若直线l与圆O1相切,则直线l与圆O2相切
D.若直线l与圆O1相切,则圆心O2在直线l上
[素养小结]
直线与圆的位置关系的判断方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
◆ 探究点二　圆的切线方程及切线长
例2 (1)求圆C:x2+y2=10的切线方程,使得它经过点M(2,).
(2)过点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.
变式 (1)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,过点P(-4,a)作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则|AB|= (　 )
A.7 B.
C.2 D.
(2)设过点(0,0)且与圆 x2+y2-4x-2y+4=0相切的两条直线的夹角为 α,则 cos α=(　 )
A. B.
C. D.
[素养小结]
1.求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关系,以确定切线的条数.
(1)若点(x0,y0)在圆上:
①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程;
②如果斜率k为零或不存在,则由图形可直接求得切线方程为y=y0或x=x0.
(2)若点(x0,y0)在圆外:
①几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即可求得切线方程;
②代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,即可求得切线方程.
当用上述方法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.
2.切线长公式:从圆外一点P(x0,y0)引圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的切线,则切线长l=.
拓展 已知圆C:x2+y2-2x=0与直线l:mx-y+2m=0(m>0),过l上任意一点P向圆C引切线,切点为A,B,若线段AB长度的最小值为,则实数m的值为　　　　.
◆ 探究点三　直线与圆的相交问题
例3 [2025·四川遂宁高二期中] 已知2b=a+c,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.2
变式 (1)直线x+my-1=0(m∈R)与圆x2+y2-4x+2y=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　 )
A. B.2
C.2 D.4
(2)与圆x2+y2-4y=0相交所得的弦长为2,且在y轴上的截距为-1的直线的方程是(　 )
A.±x-y-1=0
B.x-y-1=0
C.±x-y-1=0
D.x-y-1=0
[素养小结]
与圆的弦长有关问题的两种解法:
(1)半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,利用勾股定理d2+=r2求解,这是常用解法.
(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间距离公式求解,此解法很繁琐,一般不用.
拓展 圆(x+1)2+(y-1)2=4上到直线l:x+y+=0的距离为1的点共有 (　 )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为 (　 )
A.相切 B.相交
C.相离 D.相离或相切
2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0所截得的弦长为 (　 )
A. B.
C.2 D.4
3.[2025·北京第一六一中学高二期中] 过点P的直线l与圆x2+y2=有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2025·广东湛江高二期末] 已知圆O:x2+y2=1,直线x-y+a=0上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,若∠APB=60°,则a的取值范围为 (　 )
A.[-2,2] B.(-∞,2]
C.[-2,2] D.[-2,+∞)
5.过点(-2,3)作圆x2+y2=4的切线,则该切线的方程为　　　　　　　　　. 2.3.3　直线与圆的位置关系
一、选择题
1.直线l:x-2y-2=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的位置关系是 (　 )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法判断
2.过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4y+2=0的切线,则切线方程为 (　 )
A.x-y+1=0 B.x+y=0
C.x+y+1=0 D.x-y=0
3.若直线x+3y+C=0与圆M:x2-2x+y2+4y-10=0交于A,B两点,且|AB|=2,则C的值为(　 )
A.5或-15 B.-5
C.-5或15 D.15
4.[2025·山东青岛高二期中] P为直线y=kx-2上一点,过P总能作圆x2+y2=1的切线,则k的最小值为 (　 )
A.- B.-2
C.- D.-
5.已知圆O:x2+y2=4,弦AB过定点P(1,1),则|AB|不可能的取值是 (　 )
A.2 B.2
C.4 D.2
★6.一条光线从点(-2,-3)射出,经过y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 (　 )
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-
7.[2025·河南濮阳高二期中] 已知直线l经过点P(2,1),且与圆C:(x+1)2+(y-2)2=9相交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为 (　 )
A.x-y-1=0或7x+y-15=0
B.x-2y=0或7x+y-15=0
C.4x+3y-11=0或3x+4y-10=0
D.4x-3y-5=0或3x-4y-2=0
8.(多选题)[2024·北京理工大学附中高二期中] 已知直线l:ax+(a+1)y+2=0,圆O:x2+y2=16,下列说法正确的是 (　 )
A.对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点
B.当且仅当a=-时,直线l被圆O所截弦长为4
C.对任意实数a,圆O不关于直线l对称
D.存在实数a,使得直线l与圆O相切
★9.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,P(3,6),圆O:x2+y2=9与x轴的正半轴交于点Q,则下列说法正确的有 (　 )
A.点P到圆O上的点的距离的最大值为3+3
B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为3
C.过点P与圆O相切的直线方程为3x-4y+15=0
D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B,则直线QA,QB的斜率之和为定值-1
二、填空题
10.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是　　　　　　　.
11.[2025·北京海淀区高二月考] 在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点A(1,0),B(-1,2)且圆心在直线2x-y+2=0上,若直线x=ay+1被圆C截得的弦长为2,则正实数a的值为　　　　.
12.[2025·福建泉州高二期中] 若直线l:kx-y-2=0与曲线C:=x-1至少有一个公共点,则实数k的取值范围是　　　　.
三、解答题
13.(13分)已知圆C的圆心坐标为(1,1),直线l:x+y=1被圆C截得的弦长为.
(1)求圆C的方程;
(2)从圆C外一点P(2,3)向圆引切线,求切线的方程.
14.(15分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+(y-2)2=1,设直线l的方程为y=kx.
(1)若过点A(1,4)的直线与圆C相切,求切线的方程.
(2)已知直线l与圆C相交于D,B两点.若D是线段OB的中点,求直线l的方程.
(3)当k=时,点P在直线l上,过P作圆C的切线PM,切点为M,则经过P,M,C的圆是否过定点 如果过定点,求出所有定点的坐标.
15.[2025·江苏南京高二期中] 如图,已知圆O:x2+y2=16分别与x,y轴的正半轴交于A,B两点,P为圆O上的动点.若线段AP上有一点Q,满足=2,则点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.
16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x-y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程.
(2)是否存在定点S,使得对于经过点S的直线L,当L与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO 若存在,求点S的坐标;若不存在,请说明理由.

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