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(共88张PPT)
2.4 曲线与方程
探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念
探究点二 曲线与方程的应用
探究点三 求曲线的方程
◆
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◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系;
2.学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;
3.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
知识点一 曲线的方程与方程的曲线
1.定义：一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所
以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的__________.
一个二元方程总可以通过移项写成的形式，其中
是关于， 的解析式.
在平面直角坐标系中，如果曲线与方程 之间具有如下关
系：
①___________________都是方程 的解；
②以方程的解为坐标的点都在曲线 上.
则称曲线为_____________________，方程 为_________
_____.
轨迹方程
曲线上的点的坐标
方程的曲线
曲线的方程
2.两条曲线的交点坐标
曲线和曲线 的交点坐标为
_ ____________________________.
方程组的实数解
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若以方程的解为坐标的点都在曲线 上,则方程
即为曲线 的方程. ( )
×
[解析] 若曲线上存在一点的坐标不是方程 的解，则方程
不是曲线 的方程.
（2）若曲线上的点的坐标都满足方程 ,则坐标不满足方
程的点不在曲线 上.( )
√
（3）方程是以, 为端点的线段的方程.( )
×
[解析] 方程是过, 两点的直线的方程.
知识点二 求曲线的方程
求动点 的轨迹方程的一般步骤：
【诊断分析】
如果原题没有确定坐标系,如何建立适当的坐标系
解：通常选取特殊位置的点为原点,如线段的端点或中点、直角顶点
等,相互垂直的直线为坐标轴.
探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念
例1 （多选题）如果说法“曲线上的点的坐标都是方程
的解”是正确的，那么下列说法中不正确的是( )
A.曲线是方程 的曲线
B.方程的每一组解对应的点都在曲线 上
C.不满足方程的点不在曲线 上
D.方程是曲线 的方程
√
√
√
[解析] 由于不能判断以方程 的解为坐标的点是否都在曲
线上,故方程的曲线不一定是曲线,所以“曲线 是方程
的曲线”不正确，
“方程 的每一组解对应的点都在曲线上”也不正确，
“方程是曲线 的方程”也不正确，
“不满足方程的点不在曲线上”是正确的.故选 .
例2 已知点，曲线的方程为，曲线 的方程为
，则“点在曲线上”是“点在曲线 上”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 当点在曲线上时，有 ，整理得
，所以由点在曲线上可以推出点 在曲线
上；
当点在曲线上时，有 ，整理得，
所以由点在曲线上推不出点 在曲线上.
所以“点在曲线上”是“点在曲线 上”的充分不
必要条件.故选A.
变式（1）方程 表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆
[解析] 将 两边平方得
，整理得 ，
由得 ，所以方程表示的曲线为一个圆，
故选A.
√
（2）方程 表示的曲线是( )
A.一个点 B.两条直线 C.一个圆 D.两个点
[解析] 由方程可得 解得
所以方程 表示的曲线是一个点
.故选A.
√
［素养小结］
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题（即判定方程是不是曲线的方
程或判定曲线是不是方程的曲线），只要一一检验定义中的两个条
件是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是
判断点的坐标是否适合曲线的方程.
探究点二 曲线与方程的应用
例3 （多选题）［2025·重庆涪陵区高二期中］ 数学中有许多形状
优美、寓意美好的曲线，例如，四叶草曲线就是其中一种，其方程
为 ，则下列说法正确的是( )
A.四叶草曲线有四条对称轴
B.设 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，
过 作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围
成的矩形面积的最大值为
C.四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D.四叶草曲线的面积小于
√
√
√
[解析] 对于A，将换为 方程不变，所以四叶
草曲线关于轴对称；将换为 方程不变，所
以四叶草曲线关于轴对称；将换为，换为
方程不变，所以四叶草曲线关于直线 对称；
将换为，换为 方程不变，所以四叶草曲
线关于直线对称.故A正确.
对于B，设，, ，则围成的矩形面积为，
则，即 ，当且 仅当 时
取得等号，故B正确.
对于C，设四叶草曲线上的点到原点的距离为 ，则
，要求的最大值，即求 的
最大值，当时， ，当 时，
，
当且仅当 时，等号成立，所以四叶草曲线上的点到原点距离
的最大值为 ，故C错误.
对于D，由C可知，四叶草曲线在以原点为圆心， 为半径的圆内（四个点
在圆上），则四叶草曲线的面积小于，故D正确.故选 .
变式（1）（多选题）已知在平面直角坐标系中，曲线 的方程
为 ，则下列说法中正确的有( )
A.曲线关于 轴对称
B.曲线 关于原点中心对称
C.若点为曲线上任意一点，则的最大值为
D.曲线 与坐标轴的交点的连线围成的四边形的面积是2
[解析] 对于C，设，则， ，
而，当且仅当或 时，
等号成立，所以，即 ，故C正确；
√
√
√
对于B，设曲线上的任意一点 关于原点的对称点为
，则 ，即
在曲线上，则曲线 关于原点中心对称，故B正确；
对于A，设曲线上的任意一点关于轴的对称点为 ，
则，即不在曲线 上，则
曲线不关于轴对称，故A错误；
对于D，在 中，令，得，令，得
，则曲线与 轴的交点为,，与轴的交点为,
，所以曲线 与坐标轴的交点的连线围成的四边形的面积为
，故D正确.故选 .
（2）已知曲线 ，给出下列结论：
①曲线 关于原点对称；
②曲线 关于坐标轴对称；
③曲线 只经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线上任意一点到原点的距离都不大于 .
其中所有正确结论的序号是________.
①③④
[解析] 将换成，得 ，
化简得,所以曲线关于原点对称，故①正确；
将 换成，得,化简得 ,
所以曲线不关于轴对称，将换成，同理可得曲线也不关于 轴对
称，故②错误；
因为 ,所以
,则,,，当时，,当 时，
,无整数根，当时，或 ，综上，曲
线经过的整点有,,, ，共6个，故③正确；
因为
, 所以,当且仅当 时取等号，故④正确.
故填①③④.
［素养小结］
（1）判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是
否是方程的解，即是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；
若不适合，就说明点不在曲线上.
（2）已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研
究有关参数的值或取值范围问题.
证明：因为是两曲线的交点,所以点 的坐标既满足方程
,
又满足方程,即且 ,故
,所以点在曲线 上.
拓展 已知两曲线与的一个交点为 ,求
证:点在曲线 上.
探究点三 求曲线的方程
例4 已知圆,过原点作圆的弦,求 的中点
的轨迹方程.
解：方法一（直接法）如图所示,连接,因为
是弦的中点,所以 .
设 ,由题意得 ,即
,所以的中点 的
轨迹方程为
方法二（定义法）如图所示,连接,因为是弦
的中点,所以 ,则在以为直径的圆
上,故点 的轨迹方程为 .
方法三（代入法）设, ,易知
, ，由题意得即
又因为 ,
所以 ,即 .
变式 ［2025·宁夏石嘴山高二期中］ 已知的斜边为 ，且
，，则直角边的中点 的轨迹方程是( )
A.
B.
C.且
D.且
√
[解析] 设,，则,，所以 ,
，即，所以 ,
.
由 ，得
，即
，
又不能与,重合，所以 且，
解得且，
故动点 的轨迹方程为且 .故选C.
［素养小结］
（1）直接法求动点轨迹的关键及步骤
①关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几
何条件.
②步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的
方程化简、说明.
（2）代入法求解轨迹方程的步骤
①设动点，相关点 .
②利用条件求出两点坐标之间的关系
③代入相关点的轨迹方程.
④化简、整理，得所求轨迹方程.
1.方程 表示的曲线是( )
A.一个点 B.一个点和一条直线
C.一条直线 D.两条直线
[解析] 方程可化为，则 或
，所以方程表示的曲线是直线 和直线
.故选D.
√
2.已知点,,动点满足,则点 的轨迹方程是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 设点的坐标为,则 ,整
理得 .故选C.
√
3.下列结论中正确的是( )
A.方程表示斜率为1，在轴上的截距为 的直线
B.到轴的距离为2的点的轨迹方程为
C.方程 表示两个点
D.到两坐标轴的距离之和为的点的轨迹方程为
√
[解析] 对于A，方程表示斜率为1，在轴上的截距为 且去
掉点的直线，故A中结论错误；
对于B，到 轴的距离为2的点的轨迹方程为 ，故B中结论错误；
对于C，方程表示， 两个点，故C
中结论正确；
对于D，满足条件的点的轨迹方程应为 ，故D中结论
错误.故选C.
4.设点是曲线上任意一点，则点 到原点
的距离的最大值、最小值分别为( )
A.， B.，1 C.2， D.2，1
√
[解析] 由题意知点到原点的距离为.
由点 是曲线上任意一点，可得
，当且仅当时取等号，即曲线上的点,
到原点的距离最小，最小值为1.
因为,,,当且仅当 时取等号，所以
,,,当且仅当 时取等号，所以，
所以 ，即，当且仅当
时取等号，即点 到原点的距离的最大值为 .故选B.
5.已知方程；；； ，
其中能表示平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线 的方程的序
号是____.
①
[解析] 由得，故①是正确的；
点 在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程
，故②不正确；
点的坐标满足方程，但点不在曲线 上，故
③不正确；
点在曲线上，但其坐标不满足方程 ，故④不正确.故填①.
1.曲线与方程的判定技巧
（1）若方程 无实数解,则与之对应的曲线不存在;若曲线
不存在,则方程 无实数解.
（2）判断点是否在曲线上,其实质就是判断点的坐标是否满足曲线的
方程.
（3）判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线,只要
一一检验定义中的两条“性质”是否都满足,并作出相应的回答即可.这
是解决“曲线”与“方程”问题的关键.
例1 “点在曲线上”是“点 的坐标满足方程
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ,而中的值可正可负, 点
在曲线上,但的坐标不一定满足方程 .
反之, 当点的坐标满足方程时,点一定在曲线
上.故选B.
√
2.求曲线的方程的方法
（1）直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几
何条件简单明了且易于表达,那么我们只需要把这种关系翻译成含有
, 的等式就可以得到曲线的轨迹方程.
（2）相关点法
有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一个
动点运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,那么我们可以用动点
坐标表示相关点坐标,根据相关点的坐标所满足的方程即可求得动点
的轨迹方程.
（3）参数法
当动点坐标,之间的直接关系难以找到时,往往先寻找, 与某一变
量的关系,再消去参变量得到动点的轨迹的方程,参变量的选取要注意
它的取值范围对坐标取值范围的影响.
（4）交轨法
在求动点轨迹方程时,有时会出现求两动曲线交点的轨迹方程问题,这
类问题常常通过解方程组得出交点的坐标,再消去参数求出轨迹的方
程,该方法经常与参数法并用.
（5）定义法
若动点的轨迹满足已知曲线的定义,则可先设定方程,再确定其中的基
本量.
例2 （多选题）瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平
面直角坐标系中，点到两个定点, 的距离
之积等于的点的轨迹称为双纽线.当 时，下列结论正
确的是( )
A.点 在双纽线上
B.点的轨迹方程为
C.双纽线关于原点对称
D.满足的点 有1个
√
√
√
[解析] 由双纽线的定义可得
，即
，化简得
，则当时，点 的轨迹方程为
，故B正确；
将 代入方程得，显然不是方程的解，
所以点 不在双纽线上，故A错误；
把换成，换成 ，则，
即 ，所以双纽线关于原点对称，故C正确；
因为,，，所以点在 轴上，在方程
中，令，解得 ，所以满足
的点的坐标为，故D正确.故选 .
例3 过点作两条互相垂直的直线，，若交轴于点，
交轴于点，求线段的中点 的轨迹方程.
解：设点的坐标为，为线段 的中点，
点的坐标为，点的坐标为 .
，且，过点， ，即，
又 ，，
，整理得 .
当时，点，的坐标分别为， ，
线段的中点的坐标是，它满足方程 .
综上所述，点的轨迹方程是 .
3.由方程研究曲线的性质
例4 ［2025·浙江台州高二期中］数学中有许多寓意美好的曲线，曲线
被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三
个结论：
①曲线关于直线 对称；
其中正确结论的序号是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过2；
③存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，
使曲线 在此正方形区域内（含边界）.
√
[解析] 对于①，设点 是曲线 上任一点，
则有 ，易得
也成立，即点 也在曲线上，故
曲线关于直线 对称，故①正确；
对于②，不妨设点 为曲线上任一点，
则 ，化简得 ，
当且仅当 时取等号，于是,即
，故曲线 上任意一点到原点的距离都不超过2，故②正确；
对于③，由 解得，从而可得直线
与 和曲线的四个交点为, ,
, ，依题意满足条件的最小
正方形是各边以,,, 为中点，边长为4的正方形
（如图），故不存在一个以原点为中心、边长为
的正方形，使曲线 在此正方形区域内（含边
界），故③错误.故选A.
练习册
一、选择题
1.下列方程所表示的曲线中，关于轴和 轴都对称的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A选项， 表示圆心为原点，半径为1的圆，显
然该曲线关于轴和轴都对称，故A正确；
对于B选项， 表示开口向上，顶点在原点，关于轴对称的抛
物线，显然不关于 轴对称，故B错误；
对于C选项，表示圆心为 ，半径为1的圆，该
曲线不关于 轴对称，故C错误；
对于D选项，表示经过点,的直线，显然不
关于轴和 轴对称，故D错误.故选A.
2.方程表示的曲线经过点, ,
,, 中的( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
[解析] 把代入方程 ,可得
,满足方程,所以点在曲线上.
把 代入方程,可得,不满
足方程,所以点 不在曲线上.
把代入方程 ,可得,
满足方程,所以点在曲线上.
把 代入方程,可得,满足
方程,所以点 在曲线上.故选C.
3.下列各组两个方程表示同一曲线的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 对于A，直线过原点，而曲线 不过原点，故方程
,不表示同一曲线；
对于B，显然曲线 ，与直线不是同一曲线；
对于C，由，得 ，故方程与
表示同一曲线；
对于D， ，而中，故方程与
不表示同一曲线.故选C.
★4.［2024·贵州六盘水高二期末］关于, 的方程
对应的曲线不可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，方程为 ，对应的曲线为选项A；
当时，方程为，对应的曲线为选项B；
当 时，方程为，则
且 ，对应的曲线为选项C；
选项D中曲线是四条线段，没有方程 与之对应.故选D.
［技巧点拨］求解曲线方程问题要抓住两点：一是形，二是量.形要
根据所给表达式或图形特点确定图形或细化图形特征；量要根据表
达式特征抓住“绝对值，根式”等，细化变量范围，进而细化图形.
5.点集 表示的曲线的总长
度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知，解得 ，
因为，所以 或
且表示以, 为端
点的线段，此线段的长度为 ；
由，整理得，其表示以 为
圆心，半径为1的上半圆，此半圆的长度为 .
综上所述，点集表示的曲线的总长度为 .故选C.
6.已知方程表示两条直线，则
的值为( )
A.94 B.95 C.96 D.98
√
[解析] 因为 表示两条直线，所以
该方程可分解为两个一次式的乘积.
由 ，可得
，
设二次方程为 ，整理得
，则
解得所以 .故选C.
7.图中曲线（实线部分）的方程可以是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 由题图可知，曲线的方程可以是 或
.故选C.
√
★8.（多选题）［2025·北京西城区高二期中］ 伯努利双纽线
（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利在1694年提出的.伯努利将椭圆
的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨
迹是双纽线.在平面直角坐标系中，到定点， 的
距离之积为的点的轨迹就是伯努利双纽线， 的方程为
，其形状类似于符号 .若点 是
轨迹 上一点，给出下列四个结论,其中正确的结论是( )
A.曲线 关于原点对称
B.
C.曲线上任一点到原点的距离不超过
D.当时， 取得最大值或最小值
√
√
√
[解析] 在曲线上任取一点 ，其关于原点的对称点为
，代入曲线的方程，可知在曲线上，所以曲线 关
于原点对称，故A正确；
因为点是轨迹 上一点，所以，
因为 ， 所以，
即，所以 ，故B正确；
因为 ，所以，
所以，所以曲线 上任一点到原点的距离不超过，故C正确；
因为 ，所以 ，又
，所以 ，即
，所以，当 时等号成
立，显然当时，不为，所以当时， 取不到
最大值或最小值，故D错误.故选 .
［技巧点拨］找准图形的关键信息，比如对称性、整点、内接多边
形是解决本题的关键.
9.（多选题）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一（如图）.给出下列四个结论，
其中正确的有( )
A.曲线关于 轴对称
B.曲线 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均
为整数的点）
C.曲线上存在到原点的距离超过 的点
D.曲线 所围成的“心形”区域的面积大于3
√
√
√
[解析] 对于A，将换成 ，方程不变，所
以曲线关于 轴对称，故A正确;
，故曲线上轴右侧的点到原点的距离不超过 ，
根据对称性可得，曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ，故C
错误；
对于B，当时，代入方程可得，所以 ，
即曲线经过点，，当 时，方程变为
，易知 只能取整数1，当时，
，解得 或，即曲线经过点，
，根据对称性，可得曲线还经过点， ，
故曲线 一共经过6个整点，故B正确；
对于D，如图，曲线在 轴上方图形的面积大于矩形的面积，
在 轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积 ，所以
曲线 所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确.故选 .
二、填空题
10.方程 表示的曲线的形状是__________.
两条线段
[解析] 方程两边平方得，又, ,
,，方程 表示的曲线是两条线段.
11.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定
点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称
为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，,，点 满
足，则点 的轨迹方程为__________________.
[解析] 设，则 ，化简得
，即，故点 的轨迹方程为
.
12.关于曲线 ，下列结论正确的有________.（填序号）
①曲线 关于原点对称；
②曲线与直线 有四个交点；
③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于 ；
④曲线不是封闭图形，且它与圆 无公共点.
①②④
[解析] 对于①，将方程中的,分别替换为, ，得
，所以曲线 关于原点对称，故①正确；
对于②，由得 ，此方程
最多有四个根，设 ，由
，， ，，
，可得方程有四个根，
所以曲线 与直线 有四个交点，故②正确；
对于③，由 可得
，即，同理可得，即或 ，同时有
或，故曲线 不是封闭图形，故③不正确；
对于④，由 ③知曲线不是封闭图形，
由消去得 ，
令，则上式转化为 ，
，则方程组无解，因此曲线 与圆
无公共点，故④正确.故正确的结论有①②④.
三、解答题
13.（13分）已知定点，和曲线上的动点 .
（1）求线段 的垂直平分线的方程;
解：线段的中点坐标为 ，
因为，在 轴上关于原点对称，
所以线段的垂直平分线即为轴，方程为 .
解：设， ，
则，所以
代入得，即 ，
所以动点的轨迹方程为 .
（2）若点是的重心，求动点 的轨迹方程.
13.（13分）已知定点，和曲线上的动点 .
14.（13分）已知点为圆上的动点，点 的坐标为
，若 .
解：设，，则， .
由，可得 ，
则， ，
又因为，所以 ，
即 ，故动点的轨迹方程为 .
（1）当时，求动点 的轨迹方程；
（2）讨论点的轨迹与圆 的位置关系.
解： 由，可得 ，则
， ，
又，所以 ，
即 ，
故动点的轨迹方程为 ，
14.（13分）已知点为圆上的动点，点 的坐标为
，若 .
所以的轨迹是以为圆心（设为）， 为半径的圆，
.
当时， ，两圆外离；
当时， ，两圆外切；
当时， ，两圆相交.
15.笛卡尔、牛顿研究过方程 ，关于这个
方程表示的曲线有下列说法，其中正确的是( )
A.该曲线关于 轴对称
B.该曲线关于原点对称
C.该曲线不经过第三象限
D.该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数
√
[解析] A选项中，当时，显然等式不成立，故 ，所以
，令 ，则
，所以 ，
故A错误；
B选项中， , ，故B错误；
C选项中，当时，,, ，则
，所以该曲线不经过第三象限，故C正确；
D选项中， ，
当,,,,1,2,3,6时， 的值为整数，
故整数点有8个，故D错误.故选C.
16.（15分）已知圆与轴相切，圆心在直线 上且在第
一象限内，圆截直线所得的弦长为 .
（1）求圆 的方程；
解：设圆的方程为 ,
则圆心到直线的距离 ，
所以，即 .
因为圆与轴相切，所以 ,
又圆的圆心在直线上，所以 ,
联立①②③，解得故圆的方程为 .
（2）已知线段的端点的横坐标为，端点在圆 上运动，线
段与轴垂直，求线段的中点 的轨迹方程.
解：设点的坐标为，点的坐标为 ，
点的坐标为，因为是线段 的中点，
所以，，所以， .
因为点在圆上运动，所以 ，
把④代入⑤，得 ，
整理得 .故点的轨迹方程为 .
16.（15分）已知圆与轴相切，圆心在直线 上且在第
一象限内，圆截直线所得的弦长为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
1.轨迹方程 曲线上的点的坐标 方程的曲线 曲线的方程
2.方程组的实数解 【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
知识点二 求曲线的方程 【诊断分析】 略
课中探究 探究点一 例1 ABD 例2 A 变式 （1）A （2）A
探究点二 例3 ABD 变式（1）BCD （2）①③④ 拓展 证明略
探究点三 例4 课堂评价 1.D 2.C 3.C 4.B 5.①
练习册
一、1.A 2.C 3.C ★4.D 5.C 6.C 7.C ★8.ABC 9.ABD
二、10.两条线段 11. 12.①②④
三、13.（1） （2）
14. （1）
（2）动点的轨迹方程为，当时，两圆外离；
当时，两圆外切；当时，两圆相交.
思维探索 15.C
16.（1）（2）2.4曲线与方程
【课前预习】
知识点一
1.轨迹方程　①曲线C上的点的坐标
②方程F(x,y)=0的曲线　曲线C的方程
2.方程组的实数解
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)若曲线C上存在一点的坐标不是方程F(x,y)=0的解,则方程F(x,y)=0不是曲线C的方程.
(3)方程x+y-5=0是过A(0,5),B(5,0)两点的直线的方程.
知识点二
诊断分析
解:通常选取特殊位置的点为原点,如线段的端点或中点、直角顶点等,相互垂直的直线为坐标轴.
【课中探究】
探究点一
例1　ABD　[解析] 由于不能判断以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是否都在曲线C上,故方程f(x,y)=0的曲线不一定是曲线C,所以“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”不正确,“方程f(x,y)=0的每一组解对应的点都在曲线C上”也不正确,“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”也不正确,“不满足方程f(x,y)=0的点(x,y)不在曲线C上”是正确的.故选ABD.
例2　A　[解析] 当点P(a,b)在曲线C1上时,有b=,整理得a2-b2=1,所以由点P(a,b)在曲线C1上可以推出点P(a,b)在曲线C2上;当点P(a,b)在曲线C2上时,有a2-b2=1,整理得b=±,所以由点P(a,b)在曲线C2上推不出点P(a,b)在曲线C1上.所以“点P(a,b)在曲线C1上”是“点P(a,b)在曲线C2上”的充分不必要条件.故选A.
变式　(1)A　(2)A　[解析] (1)将|x-1|=两边平方得|x-1|2=[]2,整理得(x-1)2+(y-1)2=1,由1-(y-1)2≥0得0≤y≤2,所以方程表示的曲线为一个圆,故选A.
(2)由方程(2x-3)2+(y+2)2=0可得解得所以方程(2x-3)2+(y+2)2=0表示的曲线是一个点.故选A.
探究点二
例3　ABD　[解析] 对于A,将x换为-x方程不变,所以四叶草曲线关于y轴对称;将y换为-y方程不变,所以四叶草曲线关于x轴对称;将x换为y,y换为x方程不变,所以四叶草曲线关于直线y=x对称;将x换为-y,y换为-x方程不变,所以四叶草曲线关于直线y=-x对称.故A正确.对于B,设P(x,y),x>0,y>0,则围成的矩形面积为xy,则(x2+y2)3=x2y2≥8(xy)3,即xy≤,当且仅当x=y=时取得等号,故B正确.对于C,设四叶草曲线上的点到原点的距离为d,则d=,要求d的最大值,即求x2+y2的最大值,当x2+y2=0时,d=0,当x2+y2≠0时,x2+y2===≤,当且仅当x2=y2=时,等号成立,所以四叶草曲线上的点到原点距离的最大值为,故C错误.对于D,由C可知,四叶草曲线在以原点为圆心,为半径的圆内(四个点在圆上),则四叶草曲线的面积小于,故D正确.故选ABD.
变式　(1)BCD　(2)①③④　[解析] (1)对于C,设P(x,y),则x2+y2-xy=1,|OP|=,而x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y=1或x=y=-1时,等号成立,所以x2+y2≤2,即|OP|max=,故C正确;对于B,设曲线C上的任意一点P(x,y)关于原点的对称点为P1(-x,-y),则(-x)2+(-y)2-(-x)(-y)=x2+y2-xy=1,即P1在曲线C上,则曲线C关于原点中心对称,故B正确;对于A,设曲线C上的任意一点P(x,y)关于x轴的对称点为P2(x,-y),则x2+(-y)2-(-y)x=x2+y2+xy≠1,即P2不在曲线C上,则曲线C不关于x轴对称,故A错误;对于D,在x2+y2-xy=1中,令x=0,得y=±1,令y=0,得x=±1,则曲线C与x轴的交点为(-1,0),(1,0),与y轴的交点为(0,-1),(0,1),所以曲线C与坐标轴的交点的连线围成的四边形的面积为×2×2=2,故D正确.故选BCD.
(2)将(x,y)换成(-x,-y),得(-x)2+(-x)(-y)+(-y)2=4,化简得x2+xy+y2=4,所以曲线C关于原点对称,故①正确;将x换成-x,得(-x)2+(-x)y+y2=4,化简得x2-xy+y2=4,所以曲线C不关于y轴对称,将y换成-y,同理可得曲线C也不关于x轴对称,故②错误;因为4=x2+xy+y2=+≥,所以y2≤,则y=0,±1,±2,当y=0时,x=±2,当y=±1时,x2±x-3=0,无整数根,当y=±2时,x= 2或x=0,综上,曲线C经过的整点有(0,±2),(±2,0),(2,-2),(-2,2),共6个,故③正确;因为4=x2+xy+y2=++=+(x+y)2≥,所以≤2,当且仅当x=-y时取等号,故④正确.故填①③④.
拓展　证明:因为P(x0,y0)是两曲线的交点,所以点P的坐标既满足方程f(x,y)=0,又满足方程g(x,y)=0,即f(x0,y0)=0且g(x0,y0)=0,故f(x0,y0)+λg(x0,y0)=0,所以点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0上.
探究点三
例4　解:方法一(直接法):如图所示,连接QC,因为Q是弦OP的中点,所以∠OQC=90°.设Q(x,y),由题意得|OQ|2+|QC|2=|OC|2,即x2+y2+x2+(y-3)2=9,所以OP的中点Q的轨迹方程为x2+=(y≠0).
方法二(定义法):如图所示,连接QC,因为Q是弦OP的中点,所以∠OQC=90°,则Q在以OC为直径的圆上,故点Q的轨迹方程为x2+=(y≠0).
方法三(代入法):设P(x1,y1),Q(x,y),易知y≠0,y1≠0,由题意得即又因为+(y1-3)2=9(y1≠0),所以4x2+4=9(y≠0),即x2+=(y≠0).
变式　C　[解析] 设M(x,y),A(x0,y0),则x=,y=,所以x0=2x-2,y0=2y,即A(2x-2,2y),所以=(4-2x,-2y),=(-2x,-2y).由·=0,得(4-2x)(-2x)+(-2y)(-2y)=-8x+4x2+4y2=0,即x2+y2-2x=0,又A不能与B,C重合,所以2x-2≠-2且2x-2≠2,解得x≠0且x≠2,故动点M的轨迹方程为x2+y2-2x=0(x≠0且x≠2).故选C.
【课堂评价】
1.D　[解析] 方程x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,则x=0或x+y-1=0,所以方程x2+xy=x表示的曲线是直线x=0和直线x+y-1=0.故选D.
2.C　[解析] 设点P的坐标为(x,y),则=3,整理得8x2+8y2+2x+4y-5=0.故选C.
3.C　[解析] 对于A,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2且去掉点(2,0)的直线,故A中结论错误;对于B,到x轴的距离为2的点的轨迹方程为|y|=2,故B中结论错误;对于C,方程|x-3|+(y2-9)2=0表示(3,-3),(3,3)两个点,故C中结论正确;对于D,满足条件的点M的轨迹方程应为|x|+|y|=a,故D中结论错误.故选C.
4.B　[解析] 由题意知点P(x,y)到原点的距离为.由点P(x,y)是曲线C:x2+y2=1+|xy|上任意一点,可得x2+y2=1+|xy|≥1,当且仅当xy=0时取等号,即曲线C上的点(±1,0),(0,±1)到原点的距离最小,最小值为1.因为x2+y2≥2xy,x,y∈R,当且仅当x=y时取等号,所以|x|·|y|≤,x,y∈R,当且仅当|x|=|y|时取等号,所以|xy|≤,所以x2+y2=1+|xy|≤1+,即x2+y2≤2,当且仅当|x|=|y|=1时取等号,即点P到原点的距离的最大值为.故选B.
5.①　[解析] 由x-y=0得y=x,故①是正确的;点(-1,-1)在第三象限的角平分线上,但其坐标不满足方程-=0,故②不正确;点(-1,1)的坐标满足方程x2-y2=0,但点(-1,1)不在曲线C上,故③不正确;点(0,0)在曲线C上,但其坐标不满足方程=1,故④不正确.故填①.2.4曲线与方程
1.A　[解析] 对于A选项,x2+y2=1表示圆心为原点,半径为1的圆,显然该曲线关于x轴和y轴都对称,故A正确;对于B选项,y=x2表示开口向上,顶点在原点,关于y轴对称的抛物线,显然不关于x轴对称,故B错误;对于C选项,(x-1)2+y2=1表示圆心为(1,0),半径为1的圆,该曲线不关于y轴对称,故C错误;对于D选项,x-y+1=0表示经过点(-1,0),(0,1)的直线,显然不关于x轴和y轴对称,故D错误.故选A.
2.C　[解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把代入方程x2-xy+2y+1=0,可得0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C.
3.C　[解析] 对于A,直线y=x过原点,而曲线=1不过原点,故方程y=x,=1不表示同一曲线;对于B,显然曲线y==|x|,与直线y=x不是同一曲线;对于C,由x2-y2=0,得|x|=|y|,故方程|x|=|y|与x2-y2=0表示同一曲线;对于D,x=10|y|>0,而y=lg|x|中x≠0,故方程y=lg|x|与x=10|y|不表示同一曲线.故选C.
4.D　[解析] 当n=1时,方程为x+y=1,对应的曲线为选项A;当n=2时,方程为x2+y2=1,对应的曲线为选项B;当n=-1时,方程为x-1+y-1=1,则y===1+(x≠0且x≠1),对应的曲线为选项C;选项D中曲线是四条线段,没有方程xn+yn=1与之对应.故选D.
[技巧点拨] 求解曲线方程问题要抓住两点:一是形,二是量.形要根据所给表达式或图形特点确定图形或细化图形特征;量要根据表达式特征抓住“绝对值,根式”等,细化变量范围,进而细化图形.
5.C　[解析] 由题意可知1-x2≥0,解得-1≤x≤1,因为(x+y-1)(y-)=0,所以x+y-1=0或y-=0.x+y-1=0且-1≤x≤1表示以(-1,2),(1,0)为端点的线段,此线段的长度为=2;由y-=0,整理得x2+y2=1(y≥0),其表示以O(0,0)为圆心,半径为1的上半圆,此半圆的长度为×2π×1=π.综上所述,点集Ω表示的曲线的总长度为π+2.故选C.
6.C　[解析] 因为x2+xy-6y2-20x-20y+k=0表示两条直线,所以该方程可分解为两个一次式的乘积.由x2+xy-6y2-20x-20y+k=0,可得(x-2y)(x+3y)-20x-20y+k=0,设二次方程为(x-2y+a)(x+3y+b)=0,
整理得x2+xy-6y2+(a+b)x+(3a-2b)y+ab=0,则解得所以k=ab=96.故选C.
7.C　[解析] 由题图可知,曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y-1=0(x2+y2≥1).故选C.
8.ABC　[解析] 在曲线C上任取一点M(x,y),其关于原点的对称点为M'(-x,-y),代入曲线C的方程,可知M'在曲线C上,所以曲线C关于原点对称,故A正确;因为点P(x0,y0)是轨迹C上一点,所以(+)2=2a2(-),因为(+)2≥0,所以(+)2=2a2(-)≥0,即≤,所以|y0|≤|x0|,故B正确;因为(x2+y2)2=2a2(x2-y2)≤2a2(x2+y2),所以x2+y2≤2a2,所以≤a,所以曲线C上任一点到原点的距离不超过a,故C正确;因为P(x0,y0),所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=|F1F2|·|y0|,又|PF1|·|PF2|=a2,所以a2sin∠F1PF2=2a·|y0|,即|y0|=sin∠F1PF2≤,所以-≤y0≤,当∠F1PF2=时等号成立,显然当|x0|=a时,∠F1PF2不为,所以当|x0|=a时,y0取不到最大值或最小值,故D错误.故选ABC.
[技巧点拨] 找准图形的关键信息,比如对称性、整点、内接多边形是解决本题的关键.
9.ABD　[解析] 对于A,将x换成-x,方程不变,所以曲线C关于y轴对称,故A正确;对于C,当x>0时,由x2+y2=1+xy,可得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y时取等号,所以x2+y2≤2,所以≤,故曲线C上y轴右侧的点到原点的距离不超过,根据对称性可得,曲线C上任意一点到原点的距离都不超过,故C错误;对于B,当x=0时,代入方程可得y2=1,所以y=±1,即曲线C经过点(0,-1),(0,1),当x>0时,方程变为y2-xy+x2-1=0,易知x只能取整数1,当x=1时,y2-y=0,解得y=0或y=1,即曲线C经过点(1,0),(1,1),根据对称性,可得曲线C还经过点(-1,0),(-1,1),故曲线C一共经过6个整点,故B正确;对于D,如图,曲线C在x轴上方图形的面积大于矩形的面积1×2=2,在x轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积×2×1=1,所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3,故D正确.故选ABD.
10.两条线段　[解析] 方程两边平方得1-|x|=1-y,又1-y≥0,1-|x|≥0,∴y=|x|,|x|≤1,∴方程=表示的曲线是两条线段.
11.(x-4)2+y2=16　[解析] 设M(x,y),则==2,化简得x2+y2-8x=0,即(x-4)2+y2=16,故点M的轨迹方程为(x-4)2+y2=16.
12.①②④　[解析] 对于①,将方程中的x,y分别替换为-x,-y,得+=+=1,所以曲线C关于原点对称,故①正确;对于②,由得x4+6x3+7x2-6x-9=0,此方程最多有四个根,设f(x)=x4+6x3+7x2-6x-9,由f(-5)=71>0,f(-3)=-9<0,f(-1.5)=0.562 5>0,f(0)=-9<0,f(2)=71>0,可得方程x4+6x3+7x2-6x-9=0有四个根,所以曲线C与直线x-y+3=0有四个交点,故②正确;对于③,由+=1可得<1,即x2>1,同理可得y2>1,即x<-1或x>1,同时有y<-1或y>1,故曲线C不是封闭图形,故③不正确;对于④,由③知曲线C不是封闭图形,由消去y得x4-2x2+2=0,令t=x2,则上式转化为t2-2t+2=0,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,则方程组无解,因此曲线C与圆x2+y2=2无公共点,故④正确.故正确的结论有①②④.
13.解:(1)线段AB的中点坐标为(0,0),
因为A,B在x轴上关于原点对称,
所以线段AB的垂直平分线即为y轴,方程为x=0.
(2)设G(x,y),C(x1,y1),
则y1=+3,所以
代入y1=+3得3y=9x2+3,即y=3x2+1,
所以动点G的轨迹方程为y=3x2+1.
14.解:设P(x0,y0),B(x,y),则=(x0-3,y0),=(x-3,y).
(1)由=,可得(x-3,y)=(x0-3,y0),
则x0=(x-1),y0=y,
又因为+=1,所以+=1,
即(x-1)2+y2=,
故动点B的轨迹方程为(x-1)2+y2=.
(2)由=λ,可得(x-3,y)=λ(x0-3,y0),则x0=(x-3+3λ),y0=y,
又+=1,所以+=1,
即(x-3+3λ)2+y2=λ2,
故动点B的轨迹方程为(x-3+3λ)2+y2=λ2,
所以B的轨迹是以(3-3λ,0)为圆心(设为D),λ为半径的圆,|OD|=3-3λ.
当0<λ<时,|OD|>1+λ,两圆外离;
当λ=时,|OD|=1+λ,两圆外切;
当<λ<1时,1-λ<|OD|<λ+1,两圆相交.
15.C　[解析] A选项中,当x=0时,显然等式不成立,故x≠0,所以y=,令f(x)=,则f(-x)==,所以f(-x)≠f(x),故A错误;B选项中,f(1)=0,f(-1)==24≠0,故B错误;C选项中,当x<0时,x-1<0,x-2<0,x-3<0,则f(x)=>0,所以该曲线不经过第三象限,故C正确;D选项中,f(x)===x2-6x-+11,当x=-6,-3,-2,-1,1,2,3,6时,f(x)=x2-6x-+11的值为整数,故整数点有8个,故D错误.故选C.
16.解:(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b>0,r>0),
则圆心(a,b)到直线y=x的距离d=,所以d2+=r2,即(a-b)2+28=2r2①.
因为圆C与y轴相切,所以r2=a2②,
又圆C的圆心在直线x-2y=0上,所以a-2b=0③,
联立①②③,解得故圆C的方程为(x-4)2+(y-2)2=16.
(2)设点H的坐标为(x,y),点N的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(-4,y),因为H是线段MN的中点,
所以x=,y=y0,所以x0=2x+4,y0=y④.
因为点N在圆C上运动,所以(x0-4)2+(y0-2)2=16⑤,
把④代入⑤,得(2x+4-4)2+(y-2)2=16,整理得4x2+(y-2)2=16.
故点H的轨迹方程为4x2+(y-2)2=16.2.4曲线与方程
【学习目标】
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系;
2.学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;
3.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
◆ 知识点一　曲线的方程与方程的曲线
1.定义:一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的　　　　　　.
一个二元方程总可以通过移项写成F(x,y)=0的形式,其中F(x,y)是关于x,y的解析式.
在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:
①　　　　　　　　　　　　都是方程F(x,y)=0的解;
②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为　　　　　　　　　　　　,方程F(x,y)=0为　　　　　　　　.
2.两条曲线的交点坐标
曲线C1:F(x,y)=0和曲线C2:G(x,y)=0的交点坐标为　　　　　　　　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程F(x,y)=0即为曲线C的方程. (　 )
(2)若曲线C上的点的坐标都满足方程F(x,y)=0,则坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线C上. (　 )
(3)方程x+y-5=0是以A(0,5),B(5,0)为端点的线段的方程. (　 )
◆ 知识点二　求曲线的方程
求动点M的轨迹方程的一般步骤:
【诊断分析】 如果原题没有确定坐标系,如何建立适当的坐标系
◆ 探究点一　曲线的方程与方程的曲线的概念
例1 (多选题)如果说法“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,那么下列说法中不正确的是 (　 )
A.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线
B.方程f(x,y)=0的每一组解对应的点都在曲线C上
C.不满足方程f(x,y)=0的点(x,y)不在曲线C上
D.方程f(x,y)=0是曲线C的方程
例2 已知点P(a,b),曲线C1的方程为y=,曲线C2的方程为x2-y2=1,则“点P(a,b)在曲线C1上”是“点P(a,b)在曲线C2上”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
变式 (1)方程|x-1|=表示的曲线是 (　 )
A.一个圆 B.两个半圆
C.两个圆 D.半圆
(2)方程(2x-3)2+(y+2)2=0表示的曲线是 (　 )
A.一个点 B.两条直线
C.一个圆 D.两个点
[素养小结]
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线),只要一一检验定义中的两个条件是否都满足,并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上,就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.
◆ 探究点二　曲线与方程的应用
例3 (多选题)[2025·重庆涪陵区高二期中] 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如,四叶草曲线就是其中一种,其方程为(x2+y2)3=x2y2,则下列说法正确的是 (　 )
A.四叶草曲线有四条对称轴
B.设P为四叶草曲线上一点,且在第一象限内,过P作两坐标轴的垂线,则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为
C.四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D.四叶草曲线的面积小于
变式 (1)(多选题)已知在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为x2+y2-xy=1,则下列说法中正确的有 (　 )
A.曲线C关于x轴对称
B.曲线C关于原点中心对称
C.若点P为曲线C上任意一点,则|OP|的最大值为
D.曲线C与坐标轴的交点的连线围成的四边形的面积是2
(2)已知曲线C:x2+xy+y2=4,给出下列结论:
①曲线C关于原点对称;
②曲线C关于坐标轴对称;
③曲线C只经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
④曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
[素养小结]
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是否是方程的解,即是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上.
(2)已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或取值范围问题.
拓展 已知两曲线f(x,y)=0与g(x,y)=0的一个交点为P(x0,y0),求证:点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.
◆ 探究点三　求曲线的方程
例4 已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点O作圆C的弦OP,求OP的中点Q的轨迹方程.
变式 [2025·宁夏石嘴山高二期中] 已知Rt△ABC的斜边为BC,且B(-2,0),C(2,0),则直角边AC的中点M的轨迹方程是 (　 )
A.x2+y2-2x=0
B.x2+y2+2x=0(y≠0)
C.x2+y2-2x=0(x≠0且x≠2)
D.x2+y2+2x=0(x≠0且x≠-2)
[素养小结]
(1)直接法求动点轨迹的关键及步骤
①关键:(i)建立恰当的平面直角坐标系;(ii)找出所求动点满足的几何条件.
②步骤:建系、设点;根据动点满足的几何条件列方程;对所求的方程化简、说明.
(2)代入法求解轨迹方程的步骤
①设动点P(x,y),相关点M(x0,y0).
②利用条件求出两点坐标之间的关系
③代入相关点的轨迹方程.
④化简、整理,得所求轨迹方程.
1.方程x2+xy=x表示的曲线是 (　 )
A.一个点
B.一个点和一条直线
C.一条直线
D.两条直线
2.已知点O(0,0),A(1,2),动点P满足|PA|=3|PO|,则点P的轨迹方程是 (　 )
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0
B.8x2+8y2-2x-4y-5=0
C.8x2+8y2+2x+4y-5=0
D.8x2+8y2-2x+4y-5=0
3.下列结论中正确的是 (　 )
A.方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线
B.到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=-2
C.方程|x-3|+(y2-9)2=0表示两个点
D.到两坐标轴的距离之和为a(a>0)的点M的轨迹方程为x+y=a
4.设点P(x,y)是曲线C:x2+y2=1+|xy|上任意一点,则点P到原点的距离的最大值、最小值分别为 (　 )
A., B.,1
C.2, D.2,1
5.已知方程①x-y=0;②-=0;③x2-y2=0;④=1,其中能表示平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是　　　　. 2.4曲线与方程
一、选择题
1.下列方程所表示的曲线中,关于x轴和y轴都对称的是 (　 )
A.x2+y2=1 B.y=x2
C.(x-1)2+y2=1 D.x-y+1=0
2.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D0,-中的 (　 )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.下列各组两个方程表示同一曲线的是 (　 )
A.y=x,=1
B.y=x,y=
C.|x|=|y|,x2-y2=0
D.y=lg|x|,x=10|y|
★4.[2024·贵州六盘水高二期末] 关于x,y的方程xn+yn=1(n∈Z)对应的曲线不可能是(　 )
A B C D
5.点集Ω={(x,y)|(x+y-1)(y-)=0}表示的曲线的总长度为 (　 )
A.2π+2 B.π+4
C.π+2 D.π+
6.已知方程x2+xy-6y2-20x-20y+k=0表示两条直线,则k的值为 (　 )
A.94 B.95
C.96 D.98
7.图中曲线(实线部分)的方程可以是 (　 )
A.(x+y-1)·(x2+y2-1)=0
B.·(x2+y2-1)=0
C.(x+y-1)·=0
D.·=0
★8.(多选题)[2025·北京西城区高二期中] 伯努利双纽线(简称双纽线)是瑞士数学家伯努利在1694年提出的.伯努利将椭圆的定义作了类比处理,指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线.在平面直角坐标系xOy中,到定点F1(-a,0),F2(a,0)的距离之积为a2(a>0)的点的轨迹C就是伯努利双纽线,C的方程为(x2+y2)2=2a2(x2-y2),其形状类似于符号∞.若点P(x0,y0)是轨迹C上一点,给出下列四个结论,其中正确的结论是 (　 )
A.曲线C关于原点对称
B.|y0|≤|x0|
C.曲线C上任一点到原点的距离不超过a
D.当|x0|=a时,y0取得最大值或最小值
9.(多选题)数学中有许多形状优美,寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列四个结论,其中正确的有 (　 )
A.曲线C关于y轴对称
B.曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
C.曲线C上存在到原点的距离超过的点
D.曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
二、填空题
10.方程=表示的曲线的形状是　　　　.
11.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点M满足=2,则点M的轨迹方程为　　　　　　.
12.关于曲线C:+=1,下列结论正确的有　　　　.(填序号)
①曲线C关于原点对称;
②曲线C与直线x-y+3=0有四个交点;
③曲线C是封闭图形,且封闭图形的面积大于2π;
④曲线C不是封闭图形,且它与圆x2+y2=2无公共点.
三、解答题
13.(13分)已知定点A(-2,0),B(2,0)和曲线y=x2+3上的动点C.
(1)求线段AB的垂直平分线的方程;
(2)若点G是△ABC的重心,求动点G的轨迹方程.
14.(13分)已知点P为圆C:x2+y2=1上的动点,点A的坐标为(3,0),若=λ(0<λ<1).
(1)当λ=时,求动点B的轨迹方程;
(2)讨论点B的轨迹与圆C的位置关系.
15.笛卡尔、牛顿研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程表示的曲线有下列说法,其中正确的是 (　 )
A.该曲线关于y轴对称
B.该曲线关于原点对称
C.该曲线不经过第三象限
D.该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数
16.(15分)已知圆C与y轴相切,圆心C在直线x-2y=0上且在第一象限内,圆C截直线y=x所得的弦长为2.
(1)求圆C的方程;
(2)已知线段MN的端点M的横坐标为-4,端点N在圆C上运动,线段MN与y轴垂直,求线段MN的中点H的轨迹方程.

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