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(共95张PPT)
2.6 双曲线及其方程
2.6.2 双曲线的几何性质
探究点一 双曲线的几何性质
探究点二 由双曲线的性质求标准方程
探究点三 求双曲线的离心率
探究点四 求双曲线的渐近线方程
◆
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课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握双曲线的几何性质;
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程;
3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程
图形 __________________________________________ __________________________________________
标准方程
性质 焦点 ____________ ____________
焦距 ____ 范围 _______________ _______________
对称性 对称轴：________；对称中心：______ 顶点 ___________________ _________________
_____________ ,
,
或
或
坐标轴
原点
，
,
续表
标准方程
性质 离心率 实轴 虚轴 渐近线 方程 _ ________ _ ________
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）双曲线的焦点在 轴上.( )
×
[解析] 由双曲线的标准方程知,焦点在 轴上.
（2）双曲线与 的
渐近线相同.( )
×
[解析] 双曲线的渐近线方程为 ,双
曲线的渐近线方程为 ,不相同.
（3）双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( )
√
[解析] 双曲线的离心率决定双曲线的开口大小,离心率越大,开口越开阔.
（4）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( )
×
[解析] 双曲线只有与实轴的两个交点,称为顶点.
（5）设过双曲线焦点与双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于, 两
点，则 .( )
√
[解析] 将（或）代入双曲线方程
（或）即可得（或 ），则
.
2.（1）双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗
解：不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应
无数条双曲线,且焦点可能在轴上,也可能在 轴上.
（2）椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同？
解：不同.双曲线的离心率的取值范围是 ；椭圆的离心率的取
值范围是 .
3.能否用， 表示双曲线的离心率？
解：能. .
4.离心率对双曲线的开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
解：有影响.因为，故 的值越大，渐近线
的斜率越大，双曲线的开口越大，也越大，所以 反映了双
曲线开口的大小，且双曲线的离心率越大，它的开口就越大.
知识点二 等轴双曲线
实轴长和虚轴长______的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线方程
是________，离心率 ____.
相等
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）等轴双曲线的离心率是 .( )
√
[解析] ,, .
（2）等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.( )
×
[解析] 在等轴双曲线中有, 等轴双曲线的渐近线方程为
,与双曲线方程无关.
（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直.( )
[解析] 等轴双曲线的渐近线方程为 ,易知它们互相垂直.
√
探究点一 双曲线的几何性质
例1（1）求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、
虚轴长、离心率和渐近线方程.
解：由题得双曲线的标准方程是,则, ,所以
,,.
又双曲线的焦点在 轴上,所以顶点坐标为,,焦点坐标为
,,实轴长为 ,虚轴长为,
离心率,渐近线方程为
（2）（多选题）已知， 分别是双曲线
的左、右焦点，过作倾斜角为 的直
线分别交轴、双曲线的右支于点，，且 ，则下列
判断正确的是( )
A.
B.的离心率为
C.双曲线的渐近线方程为
D.的内切圆的半径为
√
√
√
[解析] 如图所示，因为,分别是线段，
的中点，所以，所以 轴.
对于A，因为直线的倾斜角为，所以
，故A正确；
对于B，易知，则 ，，所以
，则，故B不正确；
对于C，由， ，得，则，
所以双曲线 的渐近线方程为 ，故C正确；
对于D， 的周长为，设其内切
圆的半径为 ，则，
则 ，故D正确.故选 .
变式（1）［2024·辽宁盘锦二中高二期末］已知双曲线
的离心率为2，则双曲线 的两条渐近线
的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为双曲线的离心率，故 ,所以
，所以，
则双曲线 的两条渐近线的方程为和，它们的倾斜
角分别是 和 ，故双曲线的两条渐近线的夹角为
.故选B.
√
（2）已知双曲线与 ，则( )
A.与的实轴长相等 B.与 的渐近线相同
C.与的焦距相等 D.与 的离心率相等
[解析] 双曲线的半实轴长，半虚轴长 ，
半焦距，渐近线方程为，离心率 ；
双曲线的半实轴长，半虚轴长 ，半焦距
，渐近线方程为，离心率 .
故C正确，A，B，D错误.故选C.
√
［素养小结］
由双曲线的方程研究其几何性质问题的一般解题步骤：
（1）把双曲线方程化为标准形式，这是解决此类问题的关键.
（2）由标准方程确定焦点位置，确定，的值.
（3）由求出的值，从而得出双曲线的几何性质.
探究点二 由双曲线的性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）虚轴长为12，离心率为 ；
解：设所求双曲线的标准方程为 或
.
由题意知,，
因为 ，所以,, ，
所以所求双曲线的标准方程为或 .
（2）与双曲线有公共焦点，且经过点 ；
解：双曲线的焦点为, .
设所求双曲线的标准方程为 ，
则解得
故所求双曲线的标准方程为 .
（3）与双曲线有共同渐近线，且经过点 .
解：设所求双曲线的标准方程为，将 代
入得，所以所求双曲线的方程为，即 .
变式（1）与双曲线 有相同离心率和相同渐近线的双曲线
的方程是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 双曲线中,,, ，渐近线方
程为.
对于A，中,,, ，渐近线方程为
，故A错误；
对于B，中 ,,,，渐近线方程为
，故B错误；
对于C，中,,, ，渐近线方程
为，故C正确；
对于D，中, ,,，渐近线方
程为 ，故D错误.故选C.
（2）［2024·山东泰安高二期末］已知 为双曲线
的右焦点，直线与 的两条渐近线
分别交于，两点，为坐标原点， 是面积为4的直角三角形，
则双曲线 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由为直角三角形，结合双曲线的对称性知 ，
且，则双曲线的渐近线方程为，所以 .
由的面积为4，得，可得 ，
又，所以，所以双曲线 的方程为
.故选B.
［素养小结］
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线的方程，一般用待定系数
法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程
的形式.
（2）巧设双曲线方程的六种方法与技巧：
①焦点在轴上的双曲线的标准方程可设为.
②焦点在轴上的双曲线的标准方程可设为.
③与双曲线 共焦点的双曲线的方程可设为
.
④与双曲线 具有相同渐近线的双曲线的方
程可设为 .
⑤渐近线为的双曲线的方程可设为 .
⑥渐近线为 的双曲线的方程可设为
.
探究点三 求双曲线的离心率
例3（1）［2025·安徽宣城高二期末］已知双曲线
的左、右焦点分别为,，双曲线 上存
在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 为等腰直角三角形，所以不妨取
，由勾股定理得 .
由双曲线的定义得，即，则
，故双曲线的离心率为 .故选C.
（2）已知双曲线的左、右焦点分别为 ,
，过的直线与双曲线的右支交于,两点，且 ,
，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 由双曲线的定义得， ，
.
设，则 , ,
.
在 中，由余弦定理得
，可得，所以 .
在 中，由余弦定理得
，可得 ，故双曲
线的离心率 .故选B.
变式（1）已知双曲线 的两条渐近线均与圆
相切，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.4
[解析] 双曲线的渐近线方程为 ，
因为两条渐近线均与圆相切，所以圆心 到
直线的距离等于圆的半径，即，可得 ，
所以该双曲线的离心率 .故选B.
√
（2）［2025·广西河池高二期末］双曲线 的离心率为
_______.
2或
[解析] 当时，,,所以离心率 .
当时,,,所以离心率 .
故双曲线的离心率为2或 .
［素养小结］
求双曲线的离心率时，通常将已知的双曲线的几何关系转化为关于
双曲线的基本量，，的方程或不等式，利用和
转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值
或取值范围.
探究点四 求双曲线的渐近线方程
例4（1）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在 轴上，则
它的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 设双曲线的标准方程为 .
由已知可得，所以，则，所以
，所以双曲线的渐近线方程为 .故选D.
√
（2）［2025·重庆沙坪坝区高二期中］已知双曲线的中心在坐标原
点，，分别为双曲线的左、右顶点，点在双曲线上， 是
顶角为 的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设双曲线的标准方程为 ，则
，，
不妨设点在第一象限，其坐标为 ，则 ，且
，所以，，
将点 的坐标代入双曲线的标准方程得，
可得 ，所以该双曲线的渐近线方程为 .故选C.
变式（1）设，分别是双曲线 的左、右
焦点，若双曲线右支上存在一点满足 ，且
，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 作于点,因为,所以为 的中点,
由双曲线的定义知,所以 ,所以
,
因为,所以,即,得 ,所以
,可得,故双曲线的渐近线方程为 , 即 .
√
（2）［2025·四川攀枝花高二期末］已知双曲线的中心在坐标原点，
焦点在轴上，，分别是双曲线的左、右顶点， 是双曲线上除顶
点外的一点，记直线，的斜率分别为，，且 ，
则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设双曲线的标准方程为， ，
则，又，，所以， .
由，得，即，结合 ，
可得，所以双曲线的渐近线方程为 .故选B.
［素养小结］
（1）双曲线的渐近线方程为，双
曲线的渐近线方程为，两者容易
记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线
方程.
（2）若已知渐近线方程为，求双曲线方程，则双曲线
的焦点可能在轴上，也可能在轴上，可用下面的方法来求解.
方法一：分两种情况设出方程分别进行求解.
方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程
，求出 即可.
（3）有共同渐近线的双曲线的方程.
与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可设
为，再依据题设条件可确定 .若 ，则实轴在
轴上；若，则实轴在 轴上.
（4）常用结论：双曲线的一个焦点到渐近线的距离为 .
1.中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为 ，则双曲
线 的离心率为( )
A.3或 B.或 C.2或 D.或
[解析] 当双曲线的焦点在轴上时，因为双曲线 的一条渐近线方程
为，所以，所以 ，所以
，则；
当双曲线的焦点在 轴上时，因为双曲线的一条渐近线方程为
，则 ，所以，所以，所以 .
故选D.
√
2.［2025·河南漯河高二期末］已知双曲线
的一条渐近线的方程为 ，则其离心率为( )
A. B. C.或 D.或
[解析] 双曲线的渐近线方程为 .
依题意可得，则双曲线的离心率
.故选B.
√
3.已知双曲线的一个焦点在直线 上，则
该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意知，双曲线的焦点在 轴上，而直线
与轴的交点的坐标为，则，所以 ，
则，所以双曲线的方程为 ，其渐近线方程为
.故选A.
√
4.（多选题）［2025·山东菏泽高二期中］ 关于双曲线 ，
下列说法正确的是( )
A.的渐近线方程为 B.的离心率为
C.的焦点坐标为 D. 的实轴长是虚轴长的4倍
[解析] 由双曲线，得， ，
，所以的渐近线方程为，故A正确；
的离心率，故B正确；
的焦点坐标为 ，故C错误；
的实轴长为，虚轴长为，所以 的实轴长是虚轴
长的2倍，故D错误.故选 .
√
√
5.［2024·辽宁沈阳二中高二期末］已知双曲线
的一条渐近线过点,, 分别是
的左、右焦点，且到一条渐近线的距离为 ，若双曲线上一点
满足，则 ___.
7
[解析] 易知，双曲线的一条渐近线方程为 ，
所以点到这条渐近线的距离为，所以 ，
又因为一条渐近线过点，所以，所以 ，所以
.
若在的左支上，则 ，符合双曲线要求，所
以；
若在 的右支上，则，不符合双曲线要求.故
.
双曲线的渐近线及其求法
渐近线是双曲线特有的几何性质，求双曲线的渐近线方程的方法较
多，可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为边中点的矩形的对角线
方程求得，也可以运用下列方法求得：
将 中的“1”换为0，即得双曲线的渐近线方程
为，即，即 .
注意：与双曲线 共渐近线的双曲线方程可以设为
，即“1”换为“ ”．
1.求双曲线离心率的常用方法是构造,的齐次方程,得到关于 的方
程,利用方程思想求解.
例1（1）［2025·江苏南京高二期末］过双曲线
的左焦点作 的其中一条渐近线的垂
线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点 ，若
，则双曲线 的离心率为( )
A. B.2 C. D.3
√
[解析] 设双曲线的右焦点为，因为，所以 ，
所以点为线段的中点，
又为坐标原点 ，所以，
又，所以 .
因为，，所以，所以
.故选B.
（2）［2024·辽宁沈阳高二期末］两千多年前，古
希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆
锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到
的曲线叫作“超曲线”，即双曲线的一支.已知圆锥
的轴截面为等边三角形，平面 ，平面
截圆锥侧面所得曲线记为，则曲线 所在双曲线的离心率为_ ___．
[解析] 如图，设底面圆的一条直径为，设 平面 且平面
与底面圆的交线为，记平面 与的交点为，设在平面 内
的投影为.
以为原点，以在平面 内的投影为轴，平行于 的直线为 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系.
易知为双曲线的顶点，设 ，双曲线方程为
,
不妨取为 的中点，此时，
则 ，所以，
将 的坐标代入双曲线方程，可得，所以 ，
所以
2.由双曲线方程求渐近线方程的方法:
（1）定焦点位置,求出 ,由直线的点斜式方程求出渐近线方程;
（2）令双曲线方程的常数项为零即可求出渐近线方程.
例2（1）双曲线 的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为双曲线的方程为 ，所以
.
当时，, ，所以双曲线的渐近线方程为
；
当时，, ，所以双曲线的渐近线方程为
.故选A.
√
（2）［2025·吉林长春八中高二期中］已知圆
关于双曲线的一条渐近线对称，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，可得
圆心为.
双曲线 的渐近线方程为，若圆
关于双曲线 的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上.
当渐近线方程为时， ，无解；
当渐近线方程为时，由，解得.
综上， .故选B.
3.利用双曲线的性质，求双曲线的标准方程，常常先利用条件设出方
程，再利用待定系数求出方程.
利用双曲线性质设双曲线方程的常见方法：
（1）与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为
.
（2）与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方
程可设为 .
例3（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点
的双曲线 的标准方程.
解：设双曲线的标准方程为 .
依题意得，化简得 ，
解得或 （舍去），
所以双曲线的标准方程为 .
（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为 的双曲
线的标准方程.
解：设所求双曲线的方程为 ，
则，解得 ，
故双曲线的标准方程为或 .
练习册
一、选择题
1.已知双曲线的一条渐近线的方程为 ，
则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为双曲线 的一条渐近线的方程为
，所以，解得 .故选D.
√
2.已知双曲线经过点，且渐近线方程为 ，则该双曲
线的标准方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 由双曲线的渐近线方程为 ，可设该双曲线的方程为
.
将点 的坐标代入双曲线的方程可得，
所以双曲线的方程为 ，则双曲线的标准方程为
.故选A.
√
3.若双曲线的离心率为 ，则其渐近线方
程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，则 ，
又双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为 ，
故选A.
√
4.［2025·江苏南京高二期末］已知双曲线
的离心率为2，则双曲线 的渐近线方程为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，则 ，所以
的渐近线方程为，即 .
故选B.
√
5.［2024·河南南阳高二期中］如图①是一水平放置的青花瓷.它的颈
部（图②）外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转
所形成的曲面.若忽略厚度，该花瓶颈部的最小直径是瓶口直径的 ，
颈部的高是瓶口直径的1.5倍，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设双曲线的方程为 .
由双曲线的性质可知，颈部最小直径为实轴长，则瓶口直径为 ，
又颈部的高是瓶口直径的1.5倍，所以颈部的高为 ，故
双曲线上一点的坐标为，
代入双曲线方程得 ，可得
，则双曲线的渐近线方程为
.故选C.
6.［2025·广东广州高二期中］设， 分别是双曲线
的左、右焦点，若 关于渐近线的对称
点恰落在以为圆心，为坐标原点 为半径的圆上，则双曲
线 的离心率为( )
A.2 B. C.3 D.
√
[解析] 不妨设点关于渐近线的对称点为， 交渐近线
于点，
易知，且为线段 的中点，所以
，
因为 为等边三角形，所以，所以，即
渐近线的倾斜角为 ，所以，所以双曲线的离
心率 .故选A.
★7.已知，分别为双曲线 的左、右焦
点，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为 ，则该双曲
线的离心率 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，则 ，所以
，当且仅当 ，
即时取得等号.
设 ，则，
则 ，所以，
又双曲线的离心率，所以 .故选B.
［技巧点拨］ 涉及双曲线的最值问题，常常可应用均值不等式或二
次函数求最值的方法进行求解，具体问题中涉及范围问题要考虑双
曲线上点的坐标的范围，即， 的范围，和焦半径范围的应用.
8.（多选题）设双曲线的上、下焦点分别为, ，则
下列说法正确的是( )
A.
B.的渐近线方程为
C.的离心率为
D.若点在双曲线上且线段的中点为， ，则
√
√
[解析] 由题意可知，,, ，则
，的渐近线方程为，离心率 ，
故A,C正确，B错误；
对于D，当位于 轴上方时，有，则
，故D错误.故选 .
9.（多选题）已知椭圆 与双曲线
有相同的焦点,，且它们的离心率互为倒数，是
与 的一个公共点，则( )
A.
B.
C. 为直角三角形
D.上存在一点，使得
√
√
[解析] 设,，双曲线的半实轴长 ，半虚轴长
，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为 .由双曲线的方
程可知,，则,,则 ,
，椭圆的离心率为，则解得
对于A，由双曲线定义可知 ，故A错误；
对于B，由椭圆定义可知 ，故B正确；
对于C，不妨设在第一象限，则解得
故，所以，所以 为直角三
角形，故C正确；
对于D，若，则点在以 为直径的圆上，
因为无解，所以上不存在点 ，使得，故D
错误.故选 .
二、填空题
10.已知,分别是双曲线的左、右焦点，若 是双曲线
左支上的一个点，且 ，则 的面积为______.
[解析] 因为 ，所以
，则
，
所以，则 ，
所以 .
★11.已知,分别是双曲线 的左、右焦
点，点在上，与轴垂直，，则 的离心率
为____.
[解析] 由可得，所以,
又 在双曲线左支上，所以，所以
，则，即 ，整理得
，
则，解得或 （舍去），故的离心率
为 .
［易错点］ 本题容易忽略点 在双曲线的左支，而导致定义式应用
错误，进而导致结果错误.
12.已知双曲线的左、右顶点分别为, ，点
在双曲线上且异于点,，若直线, 的斜率之积为8，则双曲线
的率心率为___.
3
[解析] 由题得,，设 ,则
,
因为点 在双曲线上，所以，则 ，
故双曲线的离心率 .
三、解答题
13.（13分）
（1）若点是双曲线 上的点，试求该
双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率和
渐近线方程.
解：因为点在双曲线 上，
所以，解得 ，
则双曲线的方程为，即 ，所以双曲
线的焦点在轴上，且,, ，
则实轴长为，虚轴长为，焦距为 ，焦点坐标
为,，顶点坐标为,，离心率 ，
渐近线方程为
（2）求满足下列条件的双曲线的标准方程.
①中心在原点，两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心
四等分;
解：由两顶点间的距离是6,得,即 .
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得,即 ,
所以 .
因为焦点所在的坐标轴不确定,所以所求双曲线的标准方程为
或 .
解： 设双曲线的方程为,即 ,
由题意得 .
当时,,解得,故双曲线的方程为;
当 时,,解得,故双曲线的方程为 .
综上可得，所求双曲线的标准方程为或 .
（2）求满足下列条件的双曲线的标准方程.
②渐近线方程为 ,且两顶点间的距离是6.
14.（15分） 安徽六安一中高二期中］ 已知双曲线
的一条渐近线方程为 ，其
虚轴长为,为双曲线 上任意一点.
（1）求证：点 到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
证明：由题意可得解得
所以双曲线的方程为，渐近线方程为 .
设，则 ，
点到两条渐近线的距离之积为 ，
为定值.
14.（15分） 安徽六安一中高二期中］ 已知双曲线
的一条渐近线方程为 ，其
虚轴长为,为双曲线 上任意一点.
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求 的最小值.
解：由双曲线方程得,，因为点
或在双曲线上，所以 ，
所以或 ,
因为的图象的对称轴为直线 ，
所以当时，取得最小值 .
15.［2025·广东深圳高二期中］已知双曲线
的左、右焦点分别为，.过点向一条渐近线作垂线，垂足为 .
若，直线的斜率为 ，则双曲线的方程为___________.
[解析] 易知，不妨设渐近线方程为，即 ，
则，所以.
设为坐标原点 ，则，所以，
又 ，，所以，所以 ，
所以，则.
因为 ，所以，解得
，所以双曲线的方程为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 , , 或或 坐标轴 原点 ， ,

【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√
2.（1）不能.理由略 （2）不同.理由略 3. 能.理由略 4.有影响.理由略
知识点二 相等 【诊断分析】（1）√ （2）× （3）√
课中探究 探究点一 例1（1）顶点坐标为,,焦点
坐标为,,实轴长为,虚轴长为,离心率,渐近线方程为
（2）ACD 变式（1）B （2）C
探究点二 例2（1）或（2）（3） 变式（1）C （2）B
探究点三 例3.（1）C （2）B 变式（1）B （2）2或
探究点四 例4.（1）D （2）C 变式（1）B （2）B
课堂评价 1.D 2.B 3.A 4.AB 5.7
练习册
一、1.D 2.A 3.A 4. B 5.C 6.A ★7.B 8.AC 9.BC
二、10. ★11. 12.3
三、13.（1）实轴长为，虚轴长为，焦距为，焦点坐标
为,，顶点坐标为,，离心率，渐近线方程
为（2）①或②或
14.（1）证明略（2）
思维探索 15.2.6.2　双曲线的几何性质
【课前预习】
知识点一
(-c,0),(c,0)　(0,-c),(0,c)　2c　x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a　坐标轴　原点　A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)　c2=a2+b2　e=　y=±x
y=±x
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (1)由双曲线的标准方程知,焦点在x轴上.
(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为±=0,双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为±=0,不相同.
(3)双曲线的离心率决定双曲线的开口大小,离心率越大,开口越开阔.
(4)双曲线只有与实轴的两个交点,称为顶点.
(5)将x=c(或y=c)代入双曲线方程-=1(a>0,b>0)即可得y=±,则|AB|=.
2.解:(1)不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应无数条双曲线,且焦点可能在x轴上,也可能在y轴上.
(2)不同.双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞);椭圆的离心率的取值范围是(0,1).
3.解:能.e===.
4.解:有影响.因为e===,故的值越大,渐近线y=x的斜率越大,双曲线的开口越大,e也越大,所以e反映了双曲线开口的大小,且双曲线的离心率越大,它的开口就越大.
知识点二
相等　y=±x　
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)∵a=b,∴c=a,∴e==.
(2)∵在等轴双曲线中有a=b,∴等轴双曲线的渐近线方程为y=±x,与双曲线方程无关.
(3)等轴双曲线的渐近线方程为y=±x,易知它们互相垂直.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)解:由题得双曲线的标准方程是-=1,则a2=9,b2=4,所以a=3,b=2,c=.又双曲线的焦点在x轴上,所以顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长为2a=6,虚轴长为2b=4,离心率e==,渐近线方程为y=±x.
(2)ACD　[解析] 如图所示,因为M,O分别是线段PF1,F1F2的中点,所以PF2∥MO,所以PF2⊥x轴.对于A,因为直线PF1的倾斜角为,所以∠F1PF2=,故A正确;对于B,易知|F1F2|=2c,则|PF2|=c,|PF1|=c,所以|PF1|-|PF2|=2a=c,则e==,故B不正确;对于C,由c2=a2+b2,c2=3a2,得a2+b2=3a2,则=,所以双曲线E的渐近线方程为y=±x=±x,故C正确;对于D,△PF1F2的周长为(2+2)c,设其内切圆的半径为r,则×(2+2)cr=×2c·c,则r=c,故D正确.故选ACD.
变式　(1)B　(2)C　[解析] (1)因为双曲线C的离心率e==2,故c=2a,所以b2=c2-a2=3a2,所以b=a,则双曲线C的两条渐近线的方程为y=x和y=-x,它们的倾斜角分别是60°和120°,故双曲线C的两条渐近线的夹角为120°-60°=60°.故选B.
(2)双曲线C1:x2-=1的半实轴长a1=1,半虚轴长b1=,半焦距c1=,渐近线方程为y=±x,离心率e1=;双曲线C2:-y2=1的半实轴长a2=,半虚轴长b2=1,半焦距c2=,渐近线方程为y=±x,离心率e2=.故C正确,A,B,D错误.故选C.
探究点二
例2　解:(1)设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0).
由题意知2b=12,=,因为c2=a2+b2,所以b=6,c=10,a=8,
所以所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)双曲线-=1的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则解得
故所求双曲线的标准方程为-=1.
(3)设所求双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0),将(-3,2)代入得λ=,所以所求双曲线的方程为-=,即-=1.
变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)双曲线-y2=1中a=,b=1,c=2,e=,渐近线方程为y=±x.对于A,x2-=1中a1=1,b1=,c1=2,e1=2,渐近线方程为y=±x,故A错误;对于B,y2-=1中a2=1,b2=,c2=2,e2=2,渐近线方程为y=±x,故B错误;对于C,-=1中a3=3,b3=,c3=2,e3=,渐近线方程为y=±x,故C正确;对于D,-=1中a4=3,b4=,c4=2,e4=,渐近线方程为y=±x,故D错误.故选C.
(2)由△OAB为直角三角形,结合双曲线的对称性知OA⊥OB,且|OA|=|OB|,则双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以a=b.由△OAB的面积为4,得×2c×c=4,可得c=2,又a2+b2=c2=4,所以a=b=,所以双曲线C的方程为-=1.故选B.
探究点三
例3　(1)C　(2)B　[解析] (1)因为△PF1F2为等腰直角三角形,所以不妨取|PF2|=|F1F2|=2c,由勾股定理得|PF1|=2c.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,即2c-2c=2a,则==+1,故双曲线C的离心率为+1.故选C.
(2)由双曲线的定义得,|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a,|F1F2|=2c.设|BF1|=|AB|=x,则|BF2|=x-2a,|AF2|=|AB|-|BF2|=2a,|AF1|=4a.在△ABF1中,由余弦定理得cos∠ABF1==,可得x=3a,所以|BF2|=x-2a=a.在△BF1F2中,由余弦定理得cos∠F2BF1=cos∠ABF1==,可得7a2=3c2,故双曲线C的离心率e===.故选B.
变式　(1)B　(2)2或　[解析] (1)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,因为两条渐近线均与圆(x+a)2+y2=相切,所以圆心(-a,0)到直线y=x的距离等于圆的半径,即==,可得c=2a,所以该双曲线的离心率e==2.故选B.
(2)当m>0时,a2=m,b2=3m,所以离心率e==2.当m<0时,a2=-3m,b2=-m,所以离心率e==.故双曲线C的离心率为2或.
探究点四
例4　(1)D　(2)C　[解析] (1)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由已知可得e==,所以c=a,则b2=c2-a2=a2,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选D.
(2)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点P在第一象限,其坐标为(x,y),则∠ABP=120°,且|PB|=|AB|=2a,所以x=a+|BP|cos 60°=2a,y=|BP|sin 60°=a,将点P的坐标(2a,a)代入双曲线的标准方程得-=1,可得=1,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.故选C.
变式　(1)B　(2)B　[解析] (1)作F2Q⊥PF1于点Q,因为|F1F2|=|PF2|=2c,所以Q为PF1的中点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+2c,所以|F1Q|=a+c,因为cos∠PF1F2=,所以=,即=,得3c=5a,所以3=5a,可得=,故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
(2)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),P(x0,y0),则-=1,又A(-a,0),B(a,0),所以k1=,k2=.由k1·k2=2,得·=2,即=2(-a2),结合-=1,可得=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选B.
【课堂评价】
1.D　[解析] 当双曲线的焦点在x轴上时,因为双曲线C的一条渐近线方程为x-y=0,所以=,所以b=a,所以c==a,则e=;当双曲线的焦点在y轴上时,因为双曲线C的一条渐近线方程为x-y=0,则=,所以a=b,所以c=a,所以e=.故选D.
2.B　[解析] 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.依题意可得=,则双曲线的离心率e====.故选B.
3.A　[解析] 根据题意知,双曲线-=1的焦点在x轴上,而直线x+2y=5与x轴的交点的坐标为(5,0),则c=5,所以9+a2=25,则a2=16,所以双曲线的方程为-=1,其渐近线方程为y=±x.故选A.
4.AB　[解析] 由双曲线C:-=1,得a=4,b=2,c==2,所以C的渐近线方程为y=±x,故A正确;C的离心率e==,故B正确;C的焦点坐标为(±2,0),故C错误;C的实轴长为2a=8,虚轴长为2b=4,所以C的实轴长是虚轴长的2倍,故D错误.故选AB.
5.7　[解析] 易知F1(-c,0),双曲线C的一条渐近线方程为bx-ay=0,所以点F1到这条渐近线的距离为=b,所以b=2,又因为一条渐近线过点P(1,2),所以=2,所以a=1,所以c==5.若M在C的左支上,则|MF1|=5>c-a=4,符合双曲线要求,所以|MF2|=2a+|MF1|=7;若M在C的右支上,则|MF1|=51.D　[解析] 因为双曲线C:-=1(m>0)的一条渐近线的方程为y=-x,所以=,解得m=.故选D.
2.A　[解析] 由双曲线的渐近线方程为y=±3x,可设该双曲线的方程为9x2-y2=λ(λ≠0).将点(,-6)的坐标代入双曲线的方程可得λ=9×3-36=-9,所以双曲线的方程为9x2-y2=-9,则双曲线的标准方程为-x2=1.故选A.
3.A　[解析] 由题得==,则=1,又双曲线的渐近线方程为y=±x,所以其渐近线方程为y=±x,故选A.
4.C　[解析] 由题意得==2,则b2=3a2,所以-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x=±y,即x±y=0.故选B.
5.C　[解析] 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).由双曲线的性质可知,颈部最小直径为实轴长2a,则瓶口直径为a,又颈部的高是瓶口直径的1.5倍,所以颈部的高为a×=5a,故双曲线上一点的坐标为,代入双曲线方程得-=1,可得a=b,则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C.
6.A　[解析] 不妨设点F2关于渐近线y=x的对称点为P,F2P交渐近线y=x于点M,易知|OF2|=|OP|=|OF1|=|F1P|,且M为线段PF2的中点,所以F1P∥OM,因为△OF1P为等边三角形,所以∠PF1F2=,所以∠MOF2=,即渐近线y=x的倾斜角为,所以=tan=,所以双曲线C的离心率e===2.故选A.
7.B　[解析] 由题知|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=2a+|PF2|,所以==+4a+|PF2|≥8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2a时取得等号.设P(x0,y0)(x0≥a),则|PF2|==ex0-a=2a,则ex0=3a,所以e=≤3,又双曲线的离心率e>1,所以e∈(1,3].故选B.
[技巧点拨] 涉及双曲线的最值问题,常常可应用均值不等式或二次函数求最值的方法进行求解,具体问题中涉及范围问题要考虑双曲线上点的坐标的范围,即x,y的范围,和焦半径范围的应用.
8.AC　[解析] 由题意可知,a=,b=1,c==,则|F1F2|=2c=2,C的渐近线方程为y=±x,离心率e==,故A,C正确,B错误;对于D,当M位于x轴上方时,有|MF2|=2|ON|=4,则|MF1|=|MF2|-2a=4-2=2,故D错误.故选AC.
9.BC　[解析] 设F1(-c,0),F2(c,0),双曲线D的半实轴长a1>0,半虚轴长b1>0,椭圆C的离心率为e,双曲线D的离心率为e1.由双曲线的方程可知a1=1,b1=,则c==2,e1==2,则F1(-2,0),F2(2,0),椭圆C的离心率为,则解得对于A,由双曲线定义可知||PF1|-|PF2||=2=|F1F2|,故A错误;对于B,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=8=2|F1F2|,故B正确;对于C,不妨设P在第一象限,则解得故|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所以PF2⊥F1F2,所以△PF1F2为直角三角形,故C正确;对于D,若QF1⊥QF2,则点Q在以F1F2为直径的圆x2+y2=4上,因为无解,所以C上不存在点Q,使得QF1⊥QF2,故D错误.故选BC.
10.16　[解析] 因为∠F1PF2=60°,所以cos∠F1PF2==,则+-=|PF1|·|PF2|,所以(|PF1|-|PF2|)2-=-|PF1|·|PF2|,则|PF1|·|PF2|=64,所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=16.
11.　[解析] 由可得y=±,所以|MF1|=,又M在双曲线左支上,所以|MF2|-|MF1|=2a,所以|MF2|=2a+,则cos∠MF2F1===,即=,整理得3ac=a2+c2,则e2-3e+=0,解得e=或e=(舍去),故e的离心率为.
[易错点] 本题容易忽略点M在双曲线的左支,而导致定义式应用错误,进而导致结果错误.
12.3　[解析] 由题得A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则kPA·kPB=·=,因为点P在双曲线上,所以y2=,则kPA·kPB==8,故双曲线的离心率e==3.
13.解:(1)因为点A(10,2)在双曲线my2-4x2+4m=0上,
所以(2)2m-4×102+4m=0,解得m=25,
则双曲线的方程为25y2-4x2+100=0,即-=1,所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29,则实轴长为2a=10,虚轴长为2b=4,焦距为2c=2,焦点坐标为(,0),(-,0),顶点坐标为(-5,0),(5,0),离心率e==,渐近线方程为y=±x.
(2)①由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,所以b2=c2-a2=62-32=27.
因为焦点所在的坐标轴不确定,所以所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
②设双曲线的方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),即-=1(λ≠0),由题意得a=3.
当λ>0时,=9,解得λ=36,故双曲线的方程为-=1;当λ<0时,=9,解得λ=-81,故双曲线的方程为-=1.
综上可得,所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
14.解:(1)由题意可得解得
所以双曲线C的方程为-=1,渐近线方程为x±2y=0.
设P(x0,y0),则5-4=20,
点P到两条渐近线的距离之积为·==,为定值.
(2)由双曲线方程得A1(-2,0),F1(3,0),因为点P(x0,y0)(x0≥2或x0≤-2)在双曲线上,所以=-5,
所以·=(-2-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=-x0-6+=-x0-6+-5=-x0-11(x0≥2或x0≤-2),
因为y=x2-x-11的图象的对称轴为直线x=,
所以当x0=2时,·取得最小值-4.
15.-=1　[解析] 易知F2(c,0),不妨设渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,则|PF2|===b,所以b=2.设∠POF2=θ(O为坐标原点),则tan θ===,所以|OP|=a,又|OF2|=c,ab=c·yP,所以yP=,所以tan θ===,所以xP=,则P.因为F1(-c,0),所以=====,解得a=,所以双曲线的方程为-=1.2.6.2　双曲线的几何性质
【学习目标】
1.掌握双曲线的几何性质;
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程;
3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
◆ 知识点一　双曲线的几何性质
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
性 质 焦点 　　　　　　　 　　　　　　　
焦距 　　　
范围 　　　　　　　 　　　　　　
对称性 对称轴:　　　　　;对称中心:　　　　
顶点 　　　　　　　 　　　　　　　
a,b,c 的关系 　　　　　
离心率 　　　　,e∈(1,+∞)
实轴 线段A1A2称为双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,a叫双曲线的半实轴长
虚轴 线段B1B2称为双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b,b叫双曲线的半虚轴长
渐近线 方程 　　　　 　　　　
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)双曲线-=1的焦点在y轴上. (　 )
(2)双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的渐近线相同. (　 )
(3)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔. (　 )
(4)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点. (　 )
(5)设过双曲线焦点与双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=.(　 )
2.(1)双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗
(2)椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同
3.能否用a,b表示双曲线的离心率
4.离心率对双曲线的开口大小有影响吗 满足什么对应关系
◆ 知识点二　等轴双曲线
实轴长和虚轴长　　　　的双曲线称为等轴双曲线,它的渐近线方程是　　　　　,离心率e=　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)等轴双曲线的离心率是. (　 )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关. (　 )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.(　 )
◆ 探究点一　双曲线的几何性质
例1 (1)求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
(2)(多选题)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线的右支于点M,P,且|MP|=|MF1|,则下列判断正确的是(　 )
A.∠F1PF2=
B.E的离心率为2
C.双曲线E的渐近线方程为y=±x
D.△PF1F2的内切圆的半径为c
变式 (1)[2024·辽宁盘锦二中高二期末] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则双曲线C的两条渐近线的夹角为 (　 )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
(2)已知双曲线C1:x2-=1与C2:-y2=1,则 (　 )
A.C1与C2的实轴长相等
B.C1与C2的渐近线相同
C.C1与C2的焦距相等
D.C1与C2的离心率相等
[素养小结]
由双曲线的方程研究其几何性质问题的一般解题步骤:
(1)把双曲线方程化为标准形式,这是解决此类问题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而得出双曲线的几何性质.
◆ 探究点二　由双曲线的性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且经过点(3,2);
(3)与双曲线-=1有共同渐近线,且经过点(-3,2).
变式 (1)与双曲线-y2=1有相同离心率和相同渐近线的双曲线的方程是 (　 )
A.x2-=1 B.y2-=1
C.-=1 D.-=1
(2)[2024·山东泰安高二期末] 已知F(c,0)为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,直线x=c与C的两条渐近线分别交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB是面积为4的直角三角形,则双曲线C的方程为 (　 )
A.x2-y2=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[素养小结]
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线的方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧:
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0).
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0).
③与双曲线-=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线的方程可设为-=1(λ≠0,-b2<λ④与双曲线-=1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0).
⑤渐近线为y=kx的双曲线的方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by=0的双曲线的方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
◆ 探究点三　求双曲线的离心率
例3 (1)[2025·安徽宣城高二期末] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C上存在一点P,使得△PF1F2为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率是 (　 )
A. B.
C.+1 D.
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,且|AB|=|BF1|,cos∠ABF1=,则双曲线C的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.2
变式 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆(x+a)2+y2=相切,则该双曲线的离心率为 (　 )
A. B.2 C.3 D.4
(2)[2025·广西河池高二期末] 双曲线C:-=1的离心率为　　　　.
[素养小结]
求双曲线的离心率时,通常将已知的双曲线的几何关系转化为关于双曲线的基本量a,b,c的方程或不等式,利用b2=c2-a2和e=转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
◆ 探究点四　求双曲线的渐近线方程
例4 (1)中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为 (　 )
A.y=±x B.y=x
C.y=-x D.y=±x
(2)[2025·重庆沙坪坝区高二期中] 已知双曲线的中心在坐标原点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,点P在双曲线上,△ABP是顶角为120°的等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程为 (　 )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
变式 (1)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为 (　 )
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0
C.3x±5y=0 D.5x±4y=0
(2)[2025·四川攀枝花高二期末] 已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A,B分别是双曲线的左、右顶点,P是双曲线上除顶点外的一点,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=2,则双曲线的渐近线方程为 (　 )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
[素养小结]
(1)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,两者容易记混,可将双曲线方程中的“1”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程.
(2)若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线方程,则双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来求解.
方法一:分两种情况设出方程分别进行求解.
方法二:依据渐近线方程,设出双曲线方程m2x2-n2y2=λ(λ≠0),求出λ即可.
(3)有共同渐近线的双曲线的方程.
与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0),再依据题设条件可确定λ.若λ>0,则实轴在x轴上;若λ<0,则实轴在y轴上.
(4)常用结论:双曲线的一个焦点到渐近线的距离为b.
1.中心在原点的双曲线C的一条渐近线方程为x-y=0,则双曲线C的离心率为(　 )
A.3或 B.或
C.2或 D.或
2.[2025·河南漯河高二期末] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,则其离心率为 (　 )
A. B.
C.或 D.或
3.已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点在直线x+2y=5上,则该双曲线的渐近线方程为(　 )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
4.(多选题)[2025·山东菏泽高二期中] 关于双曲线C:-=1,下列说法正确的是(　 )
A.C的渐近线方程为y=±x
B.C的离心率为
C.C的焦点坐标为(±,0)
D.C的实轴长是虚轴长的4倍
5.[2024·辽宁沈阳二中高二期末] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点P(1,2),F1,F2分别是C的左、右焦点,且F1到一条渐近线的距离为2,若双曲线上一点M满足|MF1|=5,则|MF2|=　　　　. 2.6.2　双曲线的几何性质
一、选择题
1.已知双曲线C:-=1(m>0)的一条渐近线的方程为y=-x,则m的值为 (　 )
A. B. C. D.
2.已知双曲线经过点(,-6),且渐近线方程为y=±3x,则该双曲线的标准方程是 (　 )
A.-x2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
3.若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为 (　 )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
4.[2025·江苏南京高二期末] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 (　 )
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.2x±y=0
5.[2024·河南南阳高二期中] 如图①是一水平放置的青花瓷.它的颈部(图②)外形上下对称,可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若忽略厚度,该花瓶颈部的最小直径是瓶口直径的,颈部的高是瓶口直径的1.5倍,则该双曲线的渐近线方程为 (　 )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
6.[2025·广东广州高二期中] 设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|(O为坐标原点)为半径的圆上,则双曲线C的离心率为 (　 )
A.2 B. C.3 D.
★7.已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,若的最小值为8a,则该双曲线的离心率e的取值范围为 (　 )
A.(1,2] B.(1,3]
C.[2,3] D.[3,+∞)
8.(多选题)设双曲线C:-x2=1的上、下焦点分别为F1,F2,则下列说法正确的是 (　 )
A.|F1F2|=2
B.C的渐近线方程为x±y=0
C.C的离心率为
D.若点M在双曲线C上且线段F1M的中点为N,|ON|=2,则|MF1|=6
9.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线D:x2-=1有相同的焦点F1,F2,且它们的离心率互为倒数,P是C与D的一个公共点,则 (　 )
A.|PF1|-|PF2|=|F1F2|
B.|PF1|+|PF2|=2|F1F2|
C.△PF1F2为直角三角形
D.C上存在一点Q,使得QF1⊥QF2
二、填空题
10.已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的一个点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　.
★11.已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,cos∠MF2F1=,则E的离心率为　　　　.
12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线上且异于点A,B,若直线PA,PB的斜率之积为8,则双曲线的率心率为　　　　.
三、解答题
13.(13分)(1)若点A(10,2)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程.
(2)求满足下列条件的双曲线的标准方程.
①中心在原点,两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;
②渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
14.(15分)[2024·安徽六安一中高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+2y=0,其虚轴长为2,P为双曲线C上任意一点.
(1)求证:点P到两条渐近线的距离之积为定值,并求出此定值;
(2)若双曲线C的左顶点为A1,右焦点为F1,求·的最小值.
15.[2025·广东深圳高二期中] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过点F2向一条渐近线作垂线,垂足为P.若|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为　　　　　　.

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