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(共83张PPT)
2.7 抛物线及其方程
2.7.2 抛物线的几何性质
探究点一 由抛物线的几何性质求抛物线
的标准方程
探究点二 抛物线几何性质的应用
探究点三 焦点弦问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质;
2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题.
知识点一 抛物线的几何性质
标准 方程
图形 ______________________________ _____________________________ _____________________________ ______________________________
焦点 坐标
标准 方程
标准 方程
准线 方程
开口 方向 ______ ______ ______ ______
向右
向左
向上
向下
续表
标准 方程
范围 ______________ ___________ ___________ ___ ______________
对称轴 _____ _____
顶点坐标 ________
离心率 ______
，
，
，
，
轴
轴
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）抛物线的准线方程为 .( )
×
[解析] 抛物线的方程可化为，则其准线方程为 .
（2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
[解析] 抛物线只有一个焦点，一条对称轴，抛物线没有对称中心，
因此结论正确.
（3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( )
[解析] 抛物线的离心率均为1，因此结论正确.
√
√
2.（1）从形状上看,抛物线有点像双曲线的一支,它们有区别吗
解：有区别.
曲线的延伸趋势不同,例如，当抛物线 上的点相对于
原点趋于无穷远时,它在这一点处的切线的斜率接近于0,也就是说相
对于原点无穷远处的一段抛物线与 轴接近于平行;
而双曲线上的点相对于原点趋于无穷远时,它在这一点处的切线的斜率
接近于它的渐近线的斜率.双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线.
（2）如何把握抛物线的几何性质？
解：确定抛物线的几何性质，一要定性：确定抛物线的开口方向，
从而可以得到方程的形式；
二要定量：确定 值，进而得到抛物线的标准方程、焦点坐标、准线
方程等.
（3）参数 对抛物线开口大小有何影响？
解：参数对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点
且垂直于对称轴的弦的长度是，所以 越大，开口越大.
知识点二 抛物线的焦半径、焦点弦与通径
1.焦半径与焦点弦
（1）抛物线上一点与焦点 连接的线段叫作焦半径.
（2）过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段
称为抛物线的________.
焦点弦
设 为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公
式和焦点弦 为:
标准 方程
焦半径 _ ______ _______ _______ _______
焦点弦
2.通径
通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于, 两点,线段
称为抛物线的通径,通径的长 等于____.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）抛物线， 的焦点到准线的距离是相同的，离心
率也相同.( )
√
[解析] 抛物线， 的焦点到准线的距离都是2，是相同
的，离心率都是1，也相同.
（2）抛物线没有渐近线.( )
√
[解析] 渐近线是双曲线特有的性质,抛物线没有渐近线.
（3）抛物线过焦点且垂直于对称轴的弦长是 .
( )
√
[解析] 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 .
探究点一 由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程
例1（1）以 轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的
弦）的长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其标准方程为( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 设抛物线的方程为，将代入 ，
得,
依题意得，则 ，所以抛物线的标准方程为
或 .
√
（2）如图所示,抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 轴上,过抛物线上
一点作准线的垂线,垂足为.若 为等边三角形,则该抛物
线的标准方程是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 设抛物线的方程为，直线 交轴于点
,轴, 轴,可得 ,
在 中, ,解得,则 ,
解得,故抛物线的标准方程是 .
变式（1）［2025·河南周口高二期末］已知边长为 的等边三角形
的一个顶点位于原点，另外两个顶点， 在抛物线
上，则 ___.
2
[解析] 设,，则 ，.
由是正三角形，得 ，
则 ，即
，整理得
，
又，， ，所以，则垂直于轴，
由抛物线的对称性得点,关于 轴对称，且 .
不妨令，则，
因为 ，所以，则，
因此 ，所以 .
（2）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴，且与圆
相交于，两点， ，则该抛物线的方程为
____________________.
或
[解析] 由已知得，抛物线的焦点可能在轴的正半轴上，也可能在
轴的负半轴上，故可设抛物线的方程为 .
设，， 抛物线与圆 都关
于轴对称， 点与点关于轴对称,
且，即，代入 ，
得，解得，或.
将点 的坐标代入抛物线的方程，可得，解得，
所求抛物线的方程为或 .
［素养小结］
用待定系数法求抛物线方程的一般步骤：
探究点二 抛物线几何性质的应用
例2 已知抛物线 .
（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴方程、变量
的范围；
解：抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴方程、变量
的范围分别为，，，, .
（2）是抛物线上一点，点，求 的取值范围；
解：设，则 ，所以
,
当且仅当时取等号，故的取值范围是 .
（3）以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形 ，
，若焦点是的重心，求 的面积.
解：由,不妨设, ,
因为焦点为的重心，所以，所以 ,所以
,所以的面积为 .
变式（1）已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与
交于，两点，，为的准线上的一点，则 的面
积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
[解析] 不妨设抛物线的方程为，依题意知 轴，
且焦点坐标为.
当时，，则 ，解得，
又点到直线的距离为 ，
所以 .
√
（2）以双曲线 的右顶点为圆心，双曲线的焦点到渐近线
的距离为半径的圆交抛物线于， 两点.若
，则抛物线的焦点到准线的距离为______.
或4
[解析] 双曲线的右顶点为，焦点为 ，渐近
线方程为，即 ，则焦点到渐近线的距离为
，所以圆的方程为 .
因为圆和抛物线的图象都关于 轴
对称，所以,两点关于轴对称.不妨设点 在第一象限，
设 ，则， ，所以
，
因为点在圆 上，所以，
解得或3，所以或 .
若，则，解得；若，则 ，解得
.
综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为 或4.
［素养小结］
把握三个要点确定抛物线的几何性质：
（1）开口：由抛物线标准方程看抛物线的开口方向，关键是看准二
次项是还是，一次项的系数是正还是负.
（2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
（3）定值：焦点到准线的距离为，过焦点垂直于对称轴的弦
（又称为通径）长为，离心率恒等于1.
探究点三 焦点弦问题
例3（1）（多选题）已知抛物线的焦点为，经过 的直线
交抛物线于，两点在第一象限，过点， 作抛
物线准线的垂线，垂足分别为， ,则以下四个结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由已知得.当直线的斜率不存在时，, ,
则,,此时A正确，B不正确；
，，则 ,所以，此时C正确；
,此时D不正确.
当直线 的斜率存在时，可设直线,由得 ，则, ,此时A正确；
,此时B不正确；
, ,则
,故 ,此时C正确；
,此时D不正确.
故选 .
（2）已知过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ，
两点.若，的中点到轴的距离为，则 的值为___.
3
[解析] 由题得，抛物线的准线 ，设
准线交轴于点.
不妨令点在第一象限，过点,分别作 , ，垂足分别为
,，过点作于点，交于点 ，
令，
则,， ,.
由，得，即，则 .
取线段的中点，过点作于点 ，则
，
由的中点到轴的距离为 ，得，所以，
解得 .
变式（1）已知抛物线的焦点弦 的两端点分别为
，，则 的值一定等于( )
A. B.4 C. D.
√
[解析] ①若焦点弦轴，则，所以 ，
，所以 .
②若焦点弦不垂直于轴，可设直线的方程为 ，与
联立得，则 ，所以
，故 .
综上可知， .
（2）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点的坐标为 .若该抛物线
上两点，的横坐标之和为6，则弦 的长的最大值为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
[解析] 设抛物线方程为，由题得，则 .
设，，则， ，所以
，当且仅当经过点 时取等号.
故选A.
√
（3）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为 的直线交
抛物线于，两点，为坐标原点，则 的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，，则直线的方程为 ，即
.由消去得 .
设，，则,，故
.故选A.
［素养小结］
解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时的注意事项：一是注
意联立直线方程和抛物线方程，再结合根与系数的关系解题;二是注
意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，
简化运算.
1.顶点在坐标原点，对称轴为 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线
的标准方程是( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 设抛物线的方程为 ，依题意得顶点到准线的
距离为，解得，故所求抛物线的标准方程为
或 .
√
2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于， 两
点，如果，那么 ( )
A.6 B.8 C.9 D.10
[解析] 因为直线过焦点 ，所以
.故选B.
√
3.［2025·山东东营高二期末］已知是抛物线上的一点，
是抛物线的焦点，是轴上点右侧的一点，若 ，则
( )
A.2 B. C. D.4
[解析] 由抛物线，得 ，
由抛物线的对称性不妨设，根据题意得，
由 ，得，即，
由可得即 ，
由抛物线的定义知 .故选D.
√
4.已知焦点为的抛物线上有一点，准线交 轴于
点.若，则直线的斜率 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由抛物线的性质，得，所以，则 .
设，则，所以，所以 ，解得
，所以直线的斜率 .故选B.
√
5.以 轴为对称轴，通径（过圆锥曲线的焦点且与对称轴垂直的弦）
的长为16，顶点在坐标原点的抛物线的准线方程是_______________.
或
[解析] 过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为， 抛物线方
程为，故抛物线的准线方程为或 .
1.椭圆、双曲线、抛物线在几何性质上的联系与区别
（1）联系：三种曲线都有范围、对称轴、顶点和离心率四个基本的
几何性质．
（2）区别：抛物线与椭圆、双曲线相比，主要区别于抛物线的离心
率等于1且只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有
中心．就标准方程而言，椭圆、双曲线有两个参数，而抛物线只有
一个参数．
2.抛物线焦点弦常用结论.
设抛物线的焦点为，是过焦点 的弦，且
, ，则有下列结论：
（1）, ；
（2） ；
（3） （定值）；
（4）若与对称轴的夹角为 ，则, ,
, .
1.求抛物线的方程时注意抛物线的复杂性,注意分类讨论.
例1 已知以坐标原点为顶点的抛物线,其焦点在 轴上,直线
与抛物线交于,两点.若为线段 的中点,则抛物
线 的方程为________.
[解析] 设,，由抛物线的顶点为坐标原点,焦点在
轴上,可设抛物线的方程为.
由得 ,解得或,故线段中点的横坐标
为 ,
由题意得,解得,所以该抛物线的方程为 .
2.抛物线的性质问题常常结合定义求解.
例2 已知抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为 的直
线与抛物线在轴上方的部分相交于点,作,垂足为,则
的面积为( )
A.4 B. C. D.
[解析] 由直线的斜率为,得 .
, ,为正三角形.
设准线交轴于点 ,则,且 ,则 ,故
.
√
3.利用代数法结合抛物线的定义解决焦点弦问题.
例3（1）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线 与抛物
线交于，两点，若，则直线 的方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
√
[解析] 根据题意可得抛物线的焦点为，显然直线 的斜率存在
当的斜率不存在时，.
设直线 的方程为,,.
由消去 得，所以
,则，解得，故直
线 的方程为或 .故选B.
（2）［2025·广西南宁二中高二月考］已知抛物线
的焦点到准线的距离为2，过点的直线 与抛物
线交于,两点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为抛物线的焦点 到准线的距离为2，所
以，故抛物线的方程为，焦点坐标为.
设直线 的方程为,,，不妨设 .
由消去整理得，则 ,
√
，所以，
又 , ，所以
，
当且仅当,时等号成立，故 的最小值为
.故选A.
（3）［2025·安徽合肥高二期中］已知抛物线 的
焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且 ，
若，则直线 的斜率为_____.
[解析] 由题易知直线的斜率存在，
设,， ，直线.
由消去 得，
则, .
由抛物线的定义可得, ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
解得 .
练习册
一、选择题
1.抛物线 的通径长为( )
A.8 B.4 C. D.
[解析] 抛物线的标准方程为，故，因此通径长为 .故
选C.
√
2.下列抛物线中，开口最小的是( )
A. B. C. D.
[解析] 在抛物线的标准方程中，抛物线的一次项的系数的绝对值越小,
开口越小，
观察四个选项,A选项中一次项的系数的绝对值最小.故选A.
√
3.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
上，则这个等边三角形的边长为( )
A. B. C. D.
[解析] 依据抛物线的对称性，可设三角形另外两个顶点的坐标分别
为,，则，解得 ，
故这个等边三角形的边长为 .故选A.
√
4.［2024·山西太原高二期末］已知等腰梯形 的四个顶点在抛物
线上，且，则原点到 的距离与原点到
的距离之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，且轴.
设， ，则，所以，所以原点到的
距离与原点到 的距离之比为 故选A.
√
5.焦点为的抛物线上有一点， 为坐标原
点，则满足的点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 将点的坐标代入抛物线方程中得 ，可得
，则，，所以直线的斜率为1，且线段 的中
点为，
则线段的垂直平分线方程为 ，即，
易知线段的垂直平分线方程为 .
√
因为，所以点为线段的垂直平分线和线段
的垂直平分线的交点，
由得所以点 的坐标为 .故选B.
6.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点 ，
过点作圆的切线，切点分别为点， .若
，则 的值为( )
A.1 B. C.2 D.3
√
[解析] 连接，如图，
由题得圆 的圆心为，半径
为，，且 .
又，所以 ，所以 ，
所以是等边三角形，所以 ，
又，所以 .故选C.
7.［2025·陕西安康高二期末］已知椭圆 的
左、右焦点分别为，，抛物线 ，
且椭圆与抛物线相交于,两点.若，则椭圆 的
离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，则.
由题得 ，，由，得
，即.
因为点在椭圆上，所以 ，则，
即，即 ，
所以，可得，所以 .故选A.
8.（多选题）已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点 ，
则点 到此抛物线的焦点的距离可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 若抛物线的焦点在 轴上，则设抛物线的方程为，
由点在抛物线上，得，即 ，则，
由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于点 到准线的距离，
所以点到抛物线的焦点的距离为 .
√
√
若抛物线的焦点在轴上，则设抛物线的方程为 ，
由点在抛物线上，得，即，则 ，
由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以
点 到抛物线的焦点的距离为.故选 .
9.（多选题）［2025·福建漳州高二期末］ 已知抛物线 的
焦点为，点为上任意一点，点 ，则下列结论正确的是
( )
A. 的最小值为2
B.抛物线关于 轴对称
C. 的最小值为4
D.过点且与抛物线 有一个公共点的直线有且只有一条
√
√
[解析] 易知抛物线的准线为，过点作的垂线，垂足为 ，
则.当在原点时， 取得最小值1，故A错误；
抛物线关于 轴对称，故B错误；
因为，所以当,, 三点共线时，
最小，最小值为到准线 的距离4，故C正确；
因为点在抛物线内，所以只有当过的直线平行于对称轴 轴时，
过的直线与抛物线有一个公共点，故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知,，是抛物线上一点，则 的
最小值为___.
5
[解析] 设点的坐标为, ，则
,
因为,所以当时， 取得最小值，最小值为5.
11.已知抛物线的焦点为，准线为，则到 的距离是___；
若斜率为的直线经过焦点在第一象限与抛物线交于点 ，
过作垂直于点，则 的面积为______.
[解析] 如图，记准线与轴的交点为 ，由抛物线的
方程可知，，即点到 的距离是4.
因为直线的斜率，所以 ，
又轴，所以 ，
由抛物线的定义知，，
所以 为正三角形，
在中， ， ，所以，
所以 .
★12.过抛物线的焦点作直线， ，直线
，与抛物线分别交于点，和，，若直线与 互相垂直，
则 的最小值为____.
16
[解析] 由已知可得，，的斜率存在且不为0，，则 ，
所以抛物线的方程为.
设直线的方程为 ，则直线的方程为
.
设， ，，，
由得 ,则 ，
所以 ，
所以，
同理 ，
所以
，当且仅当，即 时，等号成立.
［技巧点拨］ 抛物线的焦点弦长一般可直接应用弦长公式
，所以需要将直线方程与抛物线方程联立，消元、
应用根与系数的关系.
三、解答题
13.（13分）已知点在抛物线 上.
（1）若点的横坐标为2，求点 到抛物线焦点的距离；
解：抛物线的准线方程为 ，根据抛物线的定义可得，
点到抛物线焦点的距离为 .
（2）若点到抛物线焦点的距离为4，求点 的坐标．
解：设点.
根据抛物线的定义可得，点 到抛物线焦点的距离为，
所以 ，
则，所以 ，
所以点的坐标为或 .
14.（15分）已知抛物线上的点
到其准线的距离为4．
（1）求， 的值；
解：由题知抛物线的准线方程为 ，
所以，所以，则 ，
将的坐标代入，可得 ．
14.（15分）已知抛物线上的点
到其准线的距离为4．
（2）已知为坐标原点，点在抛物线上，若 的面积为8，
求点 的坐标．
解：设，由（1）知直线的方程为 ，
则点到直线的距离 ，
又，所以由题意得 ，
解得或，所以点的坐标是或 .
15.（多选题）抛物线的焦点为, 为坐标原点，
，过点的直线与抛物线交于，两点，过点, 分别作
准线的垂线，垂足分别为, ，则( )
A.抛物线的方程为 B.
C.的最小值为4 D.
√
√
[解析] 依题意得，，所以,则抛物线的方程为 ，
故A正确；
由抛物线的定义知, ，则
，故B错误；
设直线 的方程为,,，由
消去 得，则, ，所以
，
，则
，所以当 时，
取得最小值4，故C正确；
，故D错误.
故选 .
16.已知抛物线的焦点为，准线为.若位于 轴上
方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点 ，且
，则抛物线 的标准方程为________.
[解析] 如图所示，设，过点
作于点，
由抛物线的定义知 ，，
.
在 中，，则 ，
从而 .
又，所以 ，即
，所以.
在 中，，则 ，
所以，
所以抛物线 的标准方程为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 向右 向左 向上 向下 ，，
m>， ， 轴 轴
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ 2.（1）略（2）略（3）略
知识点二 （2）焦点弦 m> m> m> 2.
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√
课中探究 探究点一 例1（1）C （2）D 变式（1）2 （2）或
探究点二 例2（1）顶点、焦点、准线方程、对称轴方程、变量的
范围分别为，，，, （2） （3）
变式（1）C （2）或4
探究点三 例3（1）AC （2）3 变式（1）A （2）A （3）A
课堂评价 1.D 2.B 3.D 4.B 5.或
练习册
一、1.C 2.A 3.A 4.A 5.B 6.C 7.A 8.AB 9.CD
二、10.5 11., ★12.16
三、13.（1） （2）或
14.（1），（2）或
思维探索 15.AC 16.2.7.2　抛物线的几何性质
【课前预习】
知识点一
向右　向左　向上　向下　x≥0,y∈R　x≤0,y∈R
y≥0,x∈R　y≤0,x∈R　x轴　y轴　O(0,0)　e=1
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)抛物线的方程可化为x2=-8y,则其准线方程为y=2.
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,抛物线没有对称中心,因此结论正确.
(3)抛物线的离心率均为1,因此结论正确.
2.解:(1)有区别.曲线的延伸趋势不同,例如,当抛物线y2=2px(p>0)上的点相对于原点趋于无穷远时,它在这一点处的切线的斜率接近于0,也就是说相对于原点无穷远处的一段抛物线与x轴接近于平行;而双曲线上的点相对于原点趋于无穷远时,它在这一点处的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率.双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线.
(2)确定抛物线的几何性质,一要定性:确定抛物线的开口方向,从而可以得到方程的形式;二要定量:确定p值,进而得到抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程等.
(3)参数p(p>0)对抛物线开口大小有影响,因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p,所以p越大,开口越大.
知识点二
1.(2)焦点弦　x0+　-x0　y0+　-y0
2.2p
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√ 　[解析] (1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同.
(2)渐近线是双曲线特有的性质,抛物线没有渐近线.
(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)D　[解析] (1)设抛物线的方程为y2=2px(p≠0),将x=代入y2=2px,得y=±p,依题意得|2p|=8,则|p|=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-8x.
(2)设抛物线的方程为y2=2px(p>0),直线l交x轴于点C.∵AB⊥l,l⊥x轴,∴AB∥x轴,可得∠BFC=∠ABF=60°,在Rt△BCF中,|CF|=|BF|cos 60°=p,解得|BF|=2p,则3+=2p,解得p=2,故抛物线的标准方程是y2=4x.
变式　(1)2　(2)y2=3x或y2=-3x　[解析] (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.由△OAB是正三角形,得|OA|=|OB|,则+=+,即(-)+2p(x1-x2)=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0,又x1>0,x2>0,2p>0,所以x1=x2,则AB垂直于x轴,由抛物线的对称性得点A,B关于x轴对称,且∠AOx=30°.不妨令y1>0,则=tan 30°=,因为x1=,所以y1=2p,则|AB|=2y1=4p,因此4p=8,所以p=2.
(2)由已知得,抛物线的焦点可能在x轴的正半轴上,也可能在x轴的负半轴上,故可设抛物线的方程为y2=ax(a≠0).设A(x1,y1),B(x2,y2),∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,∴点A与点B关于x轴对称,∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2,即|y1|=|y2|=,代入x2+y2=4,得x2+3=4,解得x=±1,∴A(±1,)或A(±1,-).将点A的坐标代入抛物线的方程,可得()2=±a,解得a=±3,∴所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.
探究点二
例2　解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴方程、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,y=0,x≥0.
(2)设P(x0,y0),则=8x0(x0≥0),所以|PQ|===≥=4,当且仅当x0=0时取等号,故|PQ|的取值范围是[4,+∞).
(3)由|OA|=|OB|,不妨设A(x1,y1),B(x1,-y1)(x1>0,y1>0),因为焦点F(2,0)为△OAB的重心,所以=2,所以x1=3,所以y1=2,所以△OAB的面积为×4×3=6.
变式　(1)C　(2)或4　[解析] (1)不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),依题意知l⊥x轴,且焦点坐标为.当x=时,|y|=p,则|AB|=2p=12,解得p=6,又点P到直线AB的距离为+=p=6,所以S△ABP=|AB|·p=×12×6=36.
(2)双曲线-=1的右顶点为(2,0),焦点为(±,0),渐近线方程为y=±x,即3x±2y=0,则焦点到渐近线的距离为=3,所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.因为圆(x-2)2+y2=9和抛物线y2=2px(p>0)的图象都关于x轴对称,所以A,B两点关于x轴对称.不妨设点A在第一象限,设A(x1,y1)(x1>0,y1>0),则B(x1,-y1),|AB|=2y1=4,所以y1=2,因为点A在圆(x-2)2+y2=9上,所以(x1-2)2+8=9,解得x1=1或3,所以A(1,2)或A(3,2).若A(1,2),则8=2p,解得p=4;若A(3,2),则8=6p,解得p=.综上所述,抛物线的焦点到准线的距离为或4.
探究点三
例3　(1)AC　(2)3　[解析] (1)由已知得F(1,0).当直线AB的斜率不存在时,A(1,2),B(1,-2),则y1y2=-4,x1x2=1,此时A正确,B不正确;A1(-1,2),B1(-1,-2),则·=(-2,2)·(-2,-2)=4-4=0,所以∠A1FB1=,此时C正确;+=+=+=1,此时D不正确.当直线AB的斜率存在时,可设直线AB:x=my+1(m≠0),由得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,此时A正确;x1x2=·=(y1y2)2=×16=1,此时B不正确;A1(-1,y1),B1(-1,y2),则·=(-2,y1)·(-2,y2)=4+y1y2=0,故∠A1FB1=,此时C正确;+=+=+===
==1≠,此时D不正确.故选AC.
(2)由题得F,抛物线y2=2px(p>0)的准线l:x=-,设准线交x轴于点K.不妨令点A在第一象限,过点A,B分别作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,过点B作BG⊥AD于点G,BG交FK于点H,令|BE|=|BF|=n,则|AD|=|AF|=3n,|FK|=p,|AG|=2n,|FH|=p-n.由FH∥AG,得=,即=,则p=.取线段AB的中点M,过点M作MN⊥l于点N,则|MN|==2n=,由AB的中点到y轴的距离为,得|MN|=+,所以=+,解得p=3.
变式　(1)A　(2)A　(3)A　[解析] (1)①若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=,所以x1x2=,y1y2=-p2,所以=-4.
②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设直线AB的方程为y=k,与y2=2px联立得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1x2=,所以y1y2=-p2,故=-4.
综上可知,=-4.
(2)设抛物线方程为y2=2px(p>0),由题得=1,则p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|≤|AF|+|BF|=6+1+1=8,当且仅当AB经过点F时取等号.故选A.
(3)由题意知,F,则直线AB的方程为y=,即x=y+.由消去x得4y2-12y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-,故S△OAB=|OF||y1-y2|=×|y1-y2|==×=.故选A.
【课堂评价】
1.D　[解析] 设抛物线的方程为x2=2py(p≠0),依题意得顶点到准线的距离为=4,解得p=±8,故所求抛物线的标准方程为x2=16y或x2=-16y.
2.B　[解析] 因为直线AB过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选B.
3.D　[解析] 由抛物线y2=4x,得F(1,0),由抛物线的对称性不妨设M(x0,y0)(y0>0),根据题意得=4x0,由∠NFM=60°,得kMF=,即=,由可得即M(3,2),由抛物线的定义知|FM|=x0+1=4.故选D.
4.B　[解析] 由抛物线的性质,得F,所以|QF|=p,则|PF|=2p.设P(x0,y0),则x0+=2p,所以x0=,所以=2p·,解得y0=±p,所以直线PF的斜率k==±.故选B.
5.x=4或x=-4　[解析] ∵过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为2p,∴抛物线方程为y2=±16x,故抛物线的准线方程为x=4或x=-4.2.7.2　抛物线的几何性质
1.C　[解析] 抛物线的标准方程为y2=x,故2p=,因此通径长为.故选C.
2.A　[解析] 在抛物线的标准方程中,抛物线的一次项的系数的绝对值越小,开口越小,观察四个选项,A选项中一次项的系数的绝对值最小.故选A.
3.A　[解析] 依据抛物线的对称性,可设三角形另外两个顶点的坐标分别为,(m>0),则tan 30°==,解得m=4,故这个等边三角形的边长为2m=8.故选A.
4.A　[解析] 由题意可知,AB∥CD且AB⊥x轴.设A,D,则=,所以=,所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为1∶4.故选A.
5.B　[解析] 将点P的坐标代入抛物线方程中得(2p)2=2p×2,可得p=1,则P(2,2),F,所以直线OP的斜率为1,且线段OP的中点为(1,1),则线段OP的垂直平分线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,易知线段OF的垂直平分线方程为x=.因为|MP|=|MO|=|MF|,所以点M为线段OP的垂直平分线和线段OF的垂直平分线的交点,由得所以点M的坐标为.故选B.
6.C　[解析] 连接FA,如图,由题得圆+y2=的圆心为F,半径为,FA⊥KA,且|FA|=.又|KF|=p,所以∠AKF=30°,所以∠AKB=60°,所以△AKB是等边三角形,所以|AB|=|AK|=p,又|AB|=,所以p=2.故选C.
7.A　[解析] 设A(x0,y0),08.AB　[解析] 若抛物线的焦点在x轴上,则设抛物线的方程为y2=ax(a≠0),由点A在抛物线上,得=a,即a=,则y2=x,由抛物线的定义可知,点A到焦点的距离等于点A到准线的距离,所以点A到抛物线的焦点的距离为xA+=1+=.若抛物线的焦点在y轴上,则设抛物线的方程为x2=by(b≠0),由点A在抛物线上,得1=b,即b=4,则x2=4y,由抛物线的定义可知,点A到焦点的距离等于点A到准线的距离,所以点A到抛物线的焦点的距离为yA+1=+1=.故选AB.
9.CD　[解析] 易知抛物线C的准线为l:y=-1,过点P作l的垂线,垂足为H,则|PF|=|PH|.当P在原点时,|PF|取得最小值1,故A错误;抛物线C:x2=4y关于y轴对称,故B错误;因为|PM|+|PF|=|PM|+|PH|≥|MH|,所以当M,P,H三点共线时,|PM|+|PF|最小,最小值为M到准线l:y=-1的距离4,故C正确;因为点M在抛物线内,所以只有当过M的直线平行于对称轴y轴时,过M的直线与抛物线C有一个公共点,故D正确.故选CD.
10.5　[解析] 设点P的坐标为(x,y),x≥0,则·=(2-x,-y)·(3-x,-y)=x2-5x+6+y2=x2-2x+6=(x-1)2+5,因为x≥0,所以当x=1时,·取得最小值,最小值为5.
11.4　16　[解析] 如图,记准线l与x轴的交点为Q,由抛物线的方程可知,|FQ|=p=4,即点F到l的距离是4.因为直线FM的斜率k=,所以∠MFx=60°,又MN∥x轴,所以∠NMF=60°,由抛物线的定义知,|MF|=|MN|,所以△MNF为正三角形,在Rt△NFQ中,∠NFQ=60°,|FQ|=4,所以|NF|=2|FQ|=8,所以S△MNF=|NF|2=16.
12.16　[解析] 由已知可得,l1,l2的斜率存在且不为0,=1,则p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设直线AB的方程为x=my+1(m≠0),则直线MN的方程为x=-y+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),由得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,所以|AB|=x1+x2+p=4m2+4,同理|MN|=x3+x4+p=+4,所以|AB|+|MN|=4m2+4++4=4m2++8≥2+8=16,当且仅当4m2=,即m=±1时,等号成立.
[技巧点拨] 抛物线的焦点弦长一般可直接应用弦长公式|AB|=x1+x2+p,所以需要将直线方程与抛物线方程联立,消元、应用根与系数的关系.
13.解:(1)抛物线y2=2x的准线方程为x=-,根据抛物线的定义可得,点P到抛物线焦点的距离为2+=.
(2)设点P(x0,y0).根据抛物线的定义可得,点P到抛物线焦点的距离为x0+=4,所以x0=,
则=2×=7,所以y0=±,所以点P的坐标为或.
14.解:(1)由题知抛物线的准线方程为x=-,所以+2=4,所以p=4,则C:y2=8x,
将A(2,m)的坐标代入y2=8x,可得m=4.
(2)设B(2t2,4t),由(1)知直线OA的方程为2x-y=0,则点B到直线OA的距离d=,
又|OA|=2,所以由题意得×2×=8,
解得t=-1或t=2,所以点B的坐标是(2,-4)或(8,8).
15.AC　[解析] 依题意得,F(1,0),所以p=2,则抛物线的方程为y2=4x,故A正确;由抛物线的定义知|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|,则|MN|=|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|,故B错误;设直线MN的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),由消去x得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,则|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=4m2+4,所以当m=0时,|MN|取得最小值4,故C正确;+=+===1,故D错误.故选AC.
16.y2=2x　[解析] 如图所示,设∠AFO=α,过点B作BB'⊥l于点B',由抛物线的定义知|BF|=|BB'|,|FC|=p,∠ABB'=∠AFO=α.在Rt△AB'B中,cos α==,则|BF|=|AB|cos α,从而|AF|=|BF|+|AB|=|AB|(1+cos α).又-|AF|=1,所以-|AF|=1,即-|AF|=1,所以|AF|=.在Rt△AFC中,cos α==,则p=|AF|cos α,所以p=·cos α=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x.2.7.2　抛物线的几何性质
【学习目标】
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质;
2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题.
◆ 知识点一　抛物线的几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图形
焦点 坐标 F F F F
(续表)
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
准线 方程 x=- x= y=- y=
开口 方向 　　　 　　　 　　　 　　　
范围 　　　 　　　 　　　 　　　
对称轴 　　　 　　　
顶点 坐标 　　　
离心率 　　　
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线y=-x2的准线方程为x=.(　 )
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. (　 )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同. (　 )
2.(1)从形状上看,抛物线有点像双曲线的一支,它们有区别吗
(2)如何把握抛物线的几何性质
(3)参数p对抛物线开口大小有何影响
◆ 知识点二　抛物线的焦半径、焦点弦与通径
1.焦半径与焦点弦
(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.
(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的　　　　　.
设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦MN(M(x1,y1),N(x2,y2))为:
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
焦半径 |AF| 　　 　　 　　 　　
焦点弦 |MN|=x1+ x2+p |MN|= -x1-x2+p |MN|=y1+ y2+p |MN|= -y1-y2+p
2.通径
通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|等于　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. (　 )
(2)抛物线没有渐近线. (　 )
(3)抛物线y2=2px(p>0)过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (　 )
◆ 探究点一　由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程
例1 (1)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)的长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其标准方程为 (　 )
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
(2)如图所示,抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在x轴上,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B.若△ABF为等边三角形, 则该抛物线的标准方程是 (　 )
A.y2=x B.y2=x C.y2=2x D.y2=4x
变式 (1)[2025·河南周口高二期末] 已知边长为8的等边三角形的一个顶点位于原点O,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,则p=　　　　.
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2,则该抛物线的方程为　　　　　　　　.
[素养小结]
用待定系数法求抛物线方程的一般步骤:
◆ 探究点二　抛物线几何性质的应用
例2 已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴方程、变量x的范围;
(2)P是抛物线上一点,点Q(4,0),求|PQ|的取值范围;
(3)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的面积.
变式 (1)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为 (　 )
A.18 B.24 C.36 D.48
(2)以双曲线-=1的右顶点为圆心,双曲线的焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点.若|AB|=4,则抛物线的焦点到准线的距离为　　　　.
[素养小结]
把握三个要点确定抛物线的几何性质:
(1)开口:由抛物线标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p,过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p,离心率恒等于1.
◆ 探究点三　焦点弦问题
例3 (1)(多选题)已知抛物线y2=4x的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(A在第一象限),过点A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则以下四个结论正确的是 (　 )
A.y1y2=-4 B.x1x2=2
C.∠A1FB1= D.+=
(2)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点.若|AF|=3|BF|,AB的中点到y轴的距离为,则p的值为　　　　.
变式 (1)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于 (　 )
A.-4 B.4
C.p2 D.-p2
(2)设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为6,则弦AB的长的最大值为 (　 )
A.8 B.7
C.6 D.5
(3)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　 )
A. B.
C. D.
[素养小结]
解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时的注意事项:一是注意联立直线方程和抛物线方程,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用,简化运算.
1.顶点在坐标原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　 )
A.x2=16y
B.x2=8y
C.x2=8y或x2=-8y
D.x2=16y或x2=-16y
2.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= (　 )
A.6 B.8
C.9 D.10
3.[2025·山东东营高二期末] 已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,N是x轴上点F右侧的一点,若∠NFM=60°,则|FM|= (　 )
A.2 B. C.2 D.4
4.已知焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P,准线l交x轴于点Q.若|PF|=2|QF|,则直线PF的斜率k= (　 )
A.±1 B.± C.±2 D.±
5.以x轴为对称轴,通径(过圆锥曲线的焦点且与对称轴垂直的弦)的长为16,顶点在坐标原点的抛物线的准线方程是　　　　　　. 2.7.2　抛物线的几何性质
一、选择题
1.抛物线x=8y2的通径长为 (　 )
A.8 B.4
C. D.
2.下列抛物线中,开口最小的是 (　 )
A.y2=x B.y2=x
C.y2=2x D.y2=4x
3.已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为 (　 )
A.8 B.4
C.4 D.3
4.[2024·山西太原高二期末] 已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线E:y2=4x上,且|AB|∶|CD|=1∶2,则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 (　 )
A.1∶4 B.1∶
C.∶ D.∶4
5.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(2,2p),O为坐标原点,则满足|MP|=|MO|=|MF|的点M的坐标为 (　 )
A. B.
C. D.
6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于点K,过点K作圆+y2=的切线,切点分别为点A,B.若|AB|=,则p的值为 (　 )
A.1 B.
C.2 D.3
7.[2025·陕西安康高二期末] 已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),抛物线C2:x2=2py(p>0),且椭圆C1与抛物线C2相交于A,B两点.若·=3c2,则椭圆C1的离心率的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点A,则点A到此抛物线的焦点的距离可以是 (　 )
A. B.
C. D.
9.(多选题)[2025·福建漳州高二期末] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点P为C上任意一点,点M(1,3),则下列结论正确的是 (　 )
A.|PF|的最小值为2
B.抛物线C关于x轴对称
C.|PM|+|PF|的最小值为4
D.过点M且与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
二、填空题
10.已知M(2,0),N(3,0),P是抛物线C:y2=3x上一点,则·的最小值为　　　　.
11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,则F到l的距离是　　　　;若斜率为的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M,过M作MN垂直l于点N,则△MNF的面积为　　　　.
★12.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0)作直线l1,l2,直线l1,l2与抛物线C分别交于点A,B和M,N,若直线l1与l2互相垂直,则|AB|+|MN|的最小值为　　　　.
三、解答题
13.(13分)已知点P在抛物线y2=2x上.
(1)若点P的横坐标为2,求点P到抛物线焦点的距离;
(2)若点P到抛物线焦点的距离为4,求点P的坐标.
14.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点A(2,m)(m>0)到其准线的距离为4.
(1)求p,m的值;
(2)已知O为坐标原点,点B在抛物线C上,若△AOB的面积为8,求点B的坐标.
15.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,|OF|=1,过点F的直线与抛物线交于M,N两点,过点M,N分别作准线l的垂线,垂足分别为M1,N1,则 (　 )
A.抛物线的方程为y2=4x
B.|MM1|+|NN1|=2|MN|
C.|MN|的最小值为4
D.+=
16.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且-|AF|=1,则抛物线C的标准方程为　　　　.

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