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2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第2课时 直线与圆锥曲线的位置
关系（二）
探究点一 圆锥曲线中的最值与范围问题
探究点二 定值问题
探究点三 定点问题
探究点四 直线与圆锥曲线的综合应用
◆
◆
◆
◆
课中探究
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答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握圆锥曲线的两种形式的弦长公式，会利用弦长解决一些简
单问题；
2.会解决直线与圆锥曲线的最值、范围、定点、定值问题.
探究点一 圆锥曲线中的最值与范围问题
例1 已知,分别为椭圆 的左、右焦点，
，点在椭圆上，是椭圆上的动点，求
的最大值.
解：由，得，则.
因为点 在椭圆上，所以，
又，所以, ，
故椭圆的方程为.
设，则, ，
则 ，当时，取得最大值 .
变式 已知抛物线的焦点为 ，位于第一象限的点
在抛物线上，且.直线过焦点且与抛物线 交于
， 两点.
（1）若的倾斜角为 ，求 的值；
解：由题意可得，所以 ，
所以抛物线的方程为，焦点为 ，
所以直线的方程为 .
由消去得 ，
设,，则 ，
所以 .
变式 已知抛物线的焦点为 ，位于第一象限的点
在抛物线上，且.直线过焦点且与抛物线 交于
， 两点.
（2）若过且与垂直的直线交于，两点，求四边形 的面
积的最小值.
解：设直线的方程为 ，
由消去得 ，
设,，则, ，
所以 .
同理可得 ，
所以四边形 的面积
，
当且仅当 时，等号成立.
所以四边形 的面积的最小值为32.
［素养小结］
（1）解决圆锥曲线中的最值问题常见的方法：
①函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量
的取值范围.求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或函
数单调性.
②方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件
得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值.
（2）解决圆锥曲线中的取值范围问题的方法:
①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的
取值范围.
②利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心
是建立两个参数之间的等量关系.
③利用隐含的不等关系建立不等式（组）,从而求出参数的取值范围.
④利用已知的不等关系构造不等式（组）,从而求出参数的取值范围.
⑤利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值
域,从而确定参数的取值范围.
探究点二 定值问题
例2 已知抛物线及该抛物线上一点 .
（1）过点作抛物线的切线，求切线 的方程；
解：由题知，切线 的斜率存在，
设过点的切线方程为 .
方法一：由消去得 ，
令，整理得 ，解得
，所以切线的方程为 .
方法二：由消去 得
，
令 ，得
，
即 ，
即，即，解得 ，
所以切线的方程为 .
例2 已知抛物线及该抛物线上一点 .
（2）过点分别作两条倾斜角互补的直线，与抛物线 的另一个交
点分别为，，求证：直线 的斜率为定值.
证明：方法一：设， .
易知直线的斜率 .
由题可知直线与的斜率均存在，设直线的斜率为 ，则直
线的斜率为 ，
直线的方程为 .
由消去得 ，
由根与系数的关系得，则 .
同理可得，所以 ，
所以直线的斜率 ，
所以直线的斜率为定值 .
方法二：设， .
设直线的方程为，则 ，
代入抛物线的方程得 ，即
，
由根与系数的关系得 ，则 ，所以
，即
.
设直线的方程为 ，即，
同理可得 ，
故，即 ，
则直线的斜率 ，
所以直线的斜率为定值 .
变式 ［2025·云南昆明高二期中］已知抛物线 的
焦点为 .
（1）求抛物线 的方程.
解：抛物线的焦点为.依题意得 ，解得
，所以抛物线的方程为 .
变式 ［2025·云南昆明高二期中］已知抛物线 的
焦点为 .
（2）若过点的直线与抛物线交于， 两点，则
是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请
说明理由.
解：由题意知，直线的斜率不为0.
设直线的方程为 ，， .
由消去得 ，
则，， ，
又， ，
所以 ，
故为定值，该定值为 .
［素养小结］
（1）常见定值问题的处理方法：
①确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心
变量进行表示.
②将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），
然后进行化简，看能否得到一个常数.
（2）常见定值问题的处理技巧：
①对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直
线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
②在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定
值靠拢.
③巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做
到整体代入，简化运算.
探究点三 定点问题
例3 已知双曲线的右顶点为 ，焦
点到渐近线的距离为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
解：由双曲线的右顶点为 ，得
，
设右焦点在，双曲线的一条渐近线方程为 ，
则焦点到渐近线的距离 ,
所以双曲线的标准方程为 .
例3 已知双曲线的右顶点为 ，焦
点到渐近线的距离为 .
（2）点，在的右支上，若直线与的斜率的乘积为 ，
求证：直线 过定点.
证明：设直线的方程为,, .
由得 ,则
,
由根与系数的关系得, .
因为 ，所以
,
整理得 ,
所以 ,
因为直线不过点 ，
所以 ，所以 ,
即,解得 ,
所以直线恒过定点 .
变式 ［2025·河南南阳一中高二月考］已知, ，动
点满足直线和直线的斜率之积是 .
（1）求动点 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
解：设点的坐标为 ，
则直线的斜率 ，
直线的斜率 ，
由题可知 ，
化简得点的轨迹方程为 ，
则点的轨迹是除去, 两点的椭圆.
变式 ［2025·河南南阳一中高二月考］已知, ，动
点满足直线和直线的斜率之积是 .
（2）记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线 相
交于,两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线
恒过定点.
证明：设, .
①当直线的斜率不存在时，, ，
则 解得或.
当时，直线经过点 ，与题意不符，舍去；
故,，此时直线的方程为 .
②当直线的斜率存在时，设直线 ，则
.
由消去，得 ，
由根与系数的关系可得, ，
所以 ，即 ,
整理得 ，
所以，则或 .
当时，直线恒过点 ，与题意不符，舍去；
故，则直线恒过原点 .
结合①②可知，直线恒过原点 .
［素养小结］
圆锥曲线中定点问题的两种解法：
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，
再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况，探索出定点，再
证明该定点与变量无关.
探究点四 直线与圆锥曲线的综合应用
例4 已知抛物线的焦点为，点 在抛物
线上，点，且 .
（1）求 的方程；
解：因为点在抛物线 上，
所以，解得，所以 ，
又，，所以， .
因为，所以，解得 ，
故抛物线的方程为 .
例4 已知抛物线的焦点为，点 在抛物
线上，点，且 .
（2）过的直线与相交于，两点，线段的垂直平分线与 相
交于，两点，若的斜率为1，求四边形 的面积.
解：由（1）可知，抛物线的焦点的坐标为 ，
又的斜率为1，所以的方程为 .
由消去，得 .
设，，则， ，
，所以， .
设线段的中点为，则点的坐标为 ，
所以 ，
又直线的斜率为，所以直线的方程为 ，
即 .
由消去，得 .
设，，则， ，
所以
.
所以四边形的面积 .
变式 已知双曲线的左顶点为 ，
不与轴平行的直线过的右焦点且与交于，两点，当直线
垂直于轴时， .
（1）求双曲线 的标准方程；
解：由题意得解得所以双曲线 的标准方程为
.
变式 已知双曲线的左顶点为 ，
不与轴平行的直线过的右焦点且与交于，两点，当直线
垂直于轴时， .
（2）若直线，分别交直线于，两点，求证：， ，
， 四点共圆.
证明：由（1）得，当直线的斜率存在时，设直线 的方程为
，
由消去 ，得 .
设， ，则， ，
所以 ，
因为直线的方程为，所以 ，同理可得
.
记直线交轴于点 ，所以
，
又，所以 ，
所以,,, 四点共圆.
当直线的斜率不存在时，不妨取， ，
则，，所以，所以,,，
四点共圆.
综上可得，,,, 四点共圆.
［素养小结］
解决直线与圆锥曲线的综合问题常常要注意以下内容：
（1）当与直线有关时，常常联立直线方程与圆锥曲线方程，消元后
利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求
解.不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的
作用，这一点容易被忽视.
（2）当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的
关系转化为点的坐标问题，再利用根与系数的关系，将所求问题与
条件建立联系求解.
（3）圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问
题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常
用特值探路法找定点、定值.
1.［2024·江西鹰潭高二期末］双曲线 的左、右顶点分
别为,，双曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线 的斜
率为，直线的斜率为，则 ( )
A.3 B. C. D.
[解析] 由题得,,设，则 .
依题意得，,.
因为点在双曲线 上，所以，
所以 .故选B.
√
2.已知是椭圆的一个焦点,为过椭圆中心 的一条弦,则
面积的最大值为( )
A.6 B.15 C.20 D.12
[解析] 设, ,则
，当且仅当，均在 轴
上时取等号.
√
3.已知椭圆的上、下顶点分别为， ，
是椭圆上异于，的一点，直线和的斜率分别为 ，
，则下列满足的椭圆 的方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，.
设 ，则，所以 ，
则，所以 .
结合选项可得椭圆的方程可以为 .故选C.
√
4.已知直线与抛物线交于，两点， 为坐标原点，若直
线，的斜率,满足，则直线 过定点( )
A. B. C. D.
[解析] 设，，则 ,
,
设直线的方程为 ，代入抛物线方程整理得
，,,， 直线 过定点 .故选A.
√
5.［2025·江苏南通高二期末］设椭圆 的
上顶点为，左、右焦点分别为，，若线段 （不包括端点）
上任一点到直线的距离与到轴的距离之和为 ，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得,，，则直线 的方程为
，即，直线的方程为 ，
即.
设，，则点 到直线的距离
为，
由题得 ，可得，故，
所以 .故选B.
1.圆锥曲线中的定点、定值问题,常用参数来表示要研究问题中的几
何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值法找定点、
定值.解决这类问题的方法有很多,如斜率法、方程法、向量法、参数
法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
例1 ［2025·河南郑州高二期中］在平面直角坐标系 中，若在曲
线的方程中，以且代替 得到
曲线的方程，则称是由曲线 通过关于原点的“伸
缩变换”得到的曲线， 称为伸缩比.
（1）若不过原点的直线 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是
，证明:是与 平行的直线.
证明：设不过原点的直线的方程是,, 都是常数，
且，不同时为0,，则曲线 的方程为
，且，即 ，
因为,,,都是常数，且，不同时为0,, ，
所以曲线是一条直线，且与直线 平行.
例1 ［2025·河南郑州高二期中］在平面直角坐标系 中，若在曲
线的方程中，以且代替 得到
曲线的方程，则称是由曲线 通过关于原点的“伸
缩变换”得到的曲线， 称为伸缩比.
（2）已知伸缩比时，曲线 通过关于原点的“伸缩变换”得到的
曲线是，且与轴有，两个交点在的左侧 ，
过点且斜率为的直线与在轴的右侧有， 两个交点.
①求 的取值范围;
解：因为当伸缩比时，曲线 通过关于原点的“伸缩
变换”得到的曲线是，所以曲线 的方程是
，即 .
因为直线过点，且斜率为，所以直线的方程为 ，
与 联立，
消去整理得，
设 , ，则 ,
,
， .
因为与在轴的右侧有两个交点，所以 ，且
，解得或 ，
所以的取值范围是 .
例1 ［2025·河南郑州高二期中］在平面直角坐标系 中，若在曲
线的方程中，以且代替 得到
曲线的方程，则称是由曲线 通过关于原点的“伸
缩变换”得到的曲线， 称为伸缩比.
（2）已知伸缩比时，曲线 通过关于原点的“伸缩变换”得到的
曲线是，且与轴有，两个交点在的左侧 ，
过点且斜率为的直线与在轴的右侧有， 两个交点.
②若直线，，的斜率分别为,,，证明：
为定值.
证明:由①知，，或，则 .
因为
，
，
所以 ，为定值.
2.对于探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，
则存在，若结论不正确，则不存在.
（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题较难时，要开放思维，
采取另外合适的方法.
例2 已知圆，点，为圆 上任意一点，
线段的垂直平分线交半径于点，点的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程.
解：由，可得，则点 的轨迹
是以， 为焦点的椭圆，
则,， ，
故曲线的方程为 .
例2 已知圆，点，为圆 上任意一点，
线段的垂直平分线交半径于点，点的轨迹为曲线 ．
（2）若直线（不与坐标轴重合）与曲线交于, 两
点，为坐标原点，设直线，的斜率分别为, ，对任意的
斜率，是否存在实数 ，使得 若存在，求实数
的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在满足条件的实数 .设， ，
由消去得 ，
,， .
,即对任意恒成立， ,解得
.故存在实数 满足题意．
3.存在性问题
解题思路：先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确，则存在,若
结论不正确，则不存在.
（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论;（2）当给出结论而要推导
出存在的条件时,先假设结论成立,再推出条件.
例3 已知椭圆的离心率为 ，以该椭圆上的
任意一点和椭圆的左焦点、右焦点 为顶点的三角形的周长为6.双
曲线的顶点是椭圆的焦点，离心率为.设为双曲线 上异于顶
点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和， .
（1）求椭圆和双曲线 的标准方程.
解：设椭圆的焦距为，由题意知，即 ，
由椭圆的定义知 ，所以，，
又，所以 ，
故椭圆的标准方程为 .
由题意知双曲线 为等轴双曲线，
设其标准方程为 ，
因为双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以 ，
所以双曲线的标准方程为 .
例3 已知椭圆的离心率为 ，以该椭圆上的
任意一点和椭圆的左焦点、右焦点 为顶点的三角形的周长为6.双
曲线的顶点是椭圆的焦点，离心率为.设为双曲线 上异于顶
点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和， .
（2）设直线，的斜率分别为，，求证： 为定值.
证明：设， .
因为，，所以， ，
因为点在双曲线上，所以 ，
所以，即 ，为定值.
例3 已知椭圆的离心率为 ，以该椭圆上的
任意一点和椭圆的左焦点、右焦点 为顶点的三角形的周长为6.双
曲线的顶点是椭圆的焦点，离心率为.设为双曲线 上异于顶
点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和， .
（3）是否存在常数 ，使得 恒成立？若
存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：由已知得直线， 的斜率一定存在，
直线的方程为 .
由 得 ，
则 恒成立.
设， ，有， ，
则由弦长公式得
，
化简得，即 ，
直线的方程为 ，同理可得，
因为 ，
所以 ，
所以 ，是常数.
练习册
一、选择题
1.抛物线的方程为，过点的直线交于, 两点，记
直线,的斜率分别为,为坐标原点，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 显然直线的斜率存在，设其方程为 ，设
,.
由消去整理得 ，则，
所以 .故选C.
√
2.［2025· 江苏扬州高二期中］已知抛物线 ，则抛物线上一
点到直线 的最小距离为( )
A. B.4 C. D.5
√
[解析] 易知直线与抛物线 没有交点，
由题意可知，当平行于直线的直线与抛物线相切，且点
为切点时，点到直线 的距离最小.
设切线方程为，即，
由 可得，所以，
解得 ，
此时，所以点到直线的最小距离为 .
故选A.
3.已知双曲线的左、右焦点分别为,，点在 的左
支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则
的最小值为( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 由题意得，故 ，
焦点到渐近线的距离 ,则
，当且仅当
,,三点共线且垂直于渐近线时取等号，所以 的
最小值为 .故选D.
√
4.若原点和点分别是双曲线 的中心和左
焦点,点为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 是双曲线 的左焦点,
,, 双曲线的方程为.
设, 点为双曲线右支上的任意一点,,
,
,在 上单调递增,
,故 的取值范围为
.
5.［2025· 安徽阜阳高二期中］已知为坐标原点，, 是抛物线
上异于原点的两点，且以 为直径的圆过原点，过点
向直线作垂线，垂足为，则 的最大值为( )
A.4 B. C. D.8
√
[解析] 设，，其中，，
以 为直径的圆过原点，，可得
.
易知直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为 ，
由消去整理得 ，
，解得， 直线 过定点
， ，,,,四点共圆， 点 在以 为
直径的圆上（除原点外），且该圆直径为，
的最大值为 .故选B.
6.已知点,在抛物线上且位于轴的两侧， 为坐标原点，若
，则 的面积的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
[解析] 设直线的方程为，设， ，直
线与轴的交点为，
将代入 ，可得，
由根与系数的关系有 ,
， ，,
√
，，故直线所过的定点的坐标是 .
故 的面积
，当
且仅当，即直线垂直于轴时， 的面积取得最小值，
最小值为8.故选B.
★7.已知，，，是椭圆 上四个不同的点，且
是线段，的交点，且，若 ，则直
线 的斜率为( )
A. B. C. D.2
[解析] 设,,,，
因为 ，所以，即则
√
又 ,都在椭圆上，所以 ，
且 ，两式相减得
，即
，
同理可得，
由 得，所以，
因为 ，所以直线的斜率为 .故选C.
［技巧点拨］ 直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，
该方法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及
的定比分点问题，也可以用点差法的升级版，即
定比点差法求解.
8.（多选题）［2025·湖北武汉高二期末］ 已知 为坐标原点，抛物
线，过抛物线的焦点的直线 自上而下，分别交抛物线和圆
于，，， 四点，则( )
A.
B.
C.当直线的斜率为时，
D.
√
√
√
[解析] 由题意可得为圆的圆心.设直线 的方
程为，,，由 可得
，所以, .
对于A， ，
故A正确；
对于B， ， 故B正确；
对于C，当直线的斜率为时，直线 的方程为，
联立直线与抛物线方程可得 ，可得, ，
所以 ，故C错误；
对于D，， 将, 代入可得 ，
所以 ，当且仅当时等号成立，故D正确.故选 .
9.（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，
为椭圆 上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是
( )
A.的周长为8 B.的面积的最大值为
C.的取值范围为 D.的取值范围为
√
√
√
[解析] 根据题意得，，， ，则
的周长为 ，故A错误；
由已知得,,则,所以 的面积
，当 为上、下顶点时等号成立，故B正确；
设，则 ,所以
，，所以
，故C正确；
，设，则 ，所以
，所以
的取值范围为，故D正确.故选 .
二、填空题
10.［2025·湖南永州高二期中］已知为抛物线 的焦点，斜率
为的直线与抛物线交于，两点，且，位于 轴的两侧
在的上方，若（其中为坐标原点），则 ___.
5
[解析] 设，，设直线的方程为 ，
由消去得，则 ，
，,
又 ，
，，即 ，可得，
，
，直线与 轴的交点的横坐标为2，
，
， .
11.已知椭圆过点，点 为其左顶点，
且直线的斜率为，则椭圆的方程为___________；点为椭圆
上任意一点，则 的面积的最大值为____.
18
[解析] 由题意可知直线 的方程为，
即.
当 时，，所以 .
因为椭圆过点 ，所以
，解得，所以椭圆 的方程 为.
设与直线 平行的直线的方程为，
当该直线与椭圆 相切时，与距离比较远的
直线与椭圆的切点为 ，此时 的面积取
得最大值．
将代入椭圆方程 ,
化简可得 ，
则 ，即，解得，
与直线 距离比较远的直线的方程为，所以直线 与直线
之间的距离 ，
又 ，
所以 的面积的最大值
为 ．
12.已知抛物线的方程为，，是抛物线上分别位于 轴两侧
的两个动点，且（其中为坐标原点），若直线 过定
点，则 的坐标为______.
[解析] 设直线的方程为，， .
由消去整理得 ，则
,,.
因为 （其中为坐标原点），所以，
又因为 ,，所以,,可得，
因为点 ，位于轴的两侧，所以或 （舍去），
可得，解得，所以，所以直线 经过定点
．
三、解答题
13.（13分）已知双曲线的离心率为 ，
双曲线过点 .
（1）求双曲线 的方程；
解：由题中条件可知解得
所以双曲线的方程为 .
13.（13分）已知双曲线的离心率为 ，
双曲线过点 .
（2）若过点的直线与交于,两点,均在轴上方，点
在线段上，且满足，证明： 在定直线上.
证明：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 ,
, .
由消去整理得 ,
显然，则, ,
则 ，
.
由题意可得 解得 ，
不妨设 ，
因为，即 ，所以，
解得 ,所以点在直线 上.
★14.（15分）［2025·黑龙江哈尔滨高二期末］ 已知椭圆
的半长轴长为2，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程.
解：由题意得，因为离心率，所以 ，所以
，所以椭圆的标准方程为 .
★14.（15分）［2025·黑龙江哈尔滨高二期末］ 已知椭圆
的半长轴长为2，离心率为 .
（2）设点为椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆相交于，
两点（点，不在坐标轴上），直线，分别交轴于， 两
点，判断直线和 的交点是否在定直线上？并说明理由.
解：设，则，且 ，即，
因为，所以直线 的方程为，则 ，
直线的方程为，则 ，
所以直线的方程为 ，
直线的方程为 .
联立直线与直线的方程得 ，
化简可得 ,
直线与直线的交点过定直线 .
［技巧点拨］ 本题中确定点的坐标，就自然可以得到点 的坐标，
进而得到直线,的方程及,的坐标，也就是说点 位置的改变
引起了其他量的改变，对于这类问题，常用“设点法”.
15.已知直线与椭圆相交于， 两点，
若椭圆上存在点，使得 ，则点 的坐标为___________
__________.
或
[解析] 设，.由消去 整理得
，则， ，所以
，
所以 ，
又 ，所以点在以为直径的圆上，且不与，重合，
即点 在圆上.
由 可得或
故点的坐标为或 .
★16.（15分）双曲线的离心率为 ，
且点在双曲线 上.
（1）求双曲线 的方程；
解：由题意可知且，则
故双曲线的方程为 .
★16.（15分）双曲线的离心率为 ，
且点在双曲线 上.
（2）若动点，在双曲线上，点，直线，与 轴
相交的两点关于原点对称，点在直线上， ，证明：存
在定点，使得 为定值.
证明：当直线的斜率不存在时，此时,两点关于 轴对称，
若直线，与轴的两交点关于原点对称，则在 轴上，与题意
矛盾，因此直线 的斜率存在.
设直线的方程为，， ，
由消去整理得 ，则
，，，.
设直线， 与轴的交点分别为， ，
直线的方程为 ，
令，则，
同理得 ，可得 ，
，即 ，
，
，
，
，
即 .
当时， ，
此时直线的方程为，过定点 ，显然不可
能，
， 直线的方程为，过定点 .
设的中点为，则，
， 为定值，
故存在使为定值 .
［技巧点拨］ 求圆锥曲线与直线的定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到
定值.
快速核答案（导学案）
课中探究 探究点一 例1 变式（1） （2）32
探究点二 例2（1）（2）证明略
变式（1） （2）为定值，该定值为
探究点三 例3（1）（2）证明略
变式（1）点的轨迹方程为，则点的轨迹是除去,
两点的椭圆（2）证明略
探究点四 例4（1）（2） 变式（1） （2）证明略
课堂评价 1.B 2.D 3.C 4.A 5.B
练习册
一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.B ★7.C 8.ABD 9.BCD
二、10.5 11.,18 12.
三、13.（1）（2）证明略
★14.（1） （2） 交点过定直线
思维探索 15.或
★16.（1） （2）证明略第2课时　直线与圆锥曲线的位置关系(二)
【课中探究】
探究点一
例1　解:由|F1F2|=2c=4,得c=2,则F1(-2,0).因为点Q(2,)在椭圆C上,所以+=1,又a2-b2=c2=4,所以a2=8,b2=4,故椭圆C的方程为+=1.设P(x,y),则x2=8-2y2,y∈[-2,2],则·=(2-x,-y)·(-2-x,-y)=x2-4+y2-y=-y2-y+4=-+,当y=-时,·取得最大值.
变式　解:(1)由题意可得|PF|=1+=2,所以p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),
所以直线l的方程为y=x-1.
由消去y得x2-6x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,
所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
(2)设直线l的方程为x=ty+1(t≠0),
由消去x得y2-4ty-4=0,
设A(x3,y3),B(x4,y4),则y3+y4=4t,y3y4=-4,
所以|AB|=|y3-y4|=·=4(t2+1).同理可得|MN|=4,
所以四边形AMBN的面积S=|AB|·|MN|=8(t2+1)=8≥8=32,
当且仅当t=±1时,等号成立.
所以四边形AMBN的面积的最小值为32.
探究点二
例2　解:(1)由题知,切线l的斜率存在,
设过点A的切线方程为y-4=k(x-2).
方法一:由消去x得ky2-8y-16k+32=0,令Δ=64-4×k×(-16k+32)=0,整理得k2-2k+1=0,解得k=1,所以切线l的方程为y=x+2.
方法二:由消去y得k2x2-(4k2-8k+8)x+4(k-2)2=0,令Δ=(4k2-8k+8)2-4×k2×4(k-2)2=0,得(k2-2k+2)2-[k(k-2)]2=0,
即(k2-2k+2)2-(k2-2k)2=0,
即2(2k2-4k+2)=0,即k2-2k+1=0,解得k=1,
所以切线l的方程为y=x+2.
(2)证明:方法一:设B,C.
易知直线BC的斜率kBC==.
由题可知直线AB与AC的斜率均存在,设直线AB的斜率为k0,则直线AC的斜率为-k0,
直线AB的方程为y-4=k0(x-2).
由消去x得k0y2-8y-16k0+32=0,
由根与系数的关系得y1+4=,则y1=-4.
同理可得y2=--4,所以y2+y1=-8,
所以直线BC的斜率kBC==-1,
所以直线BC的斜率为定值-1.
方法二:设B(x1,y1),C(x2,y2).
设直线AB的方程为m(y-4)=x-2,则x=my-4m+2,
代入抛物线的方程得y2=8(my-4m+2),即y2-8my+32m-16=0,由根与系数的关系得y1+4=8m,则y1=8m-4,所以x1=my1-4m+2=m(8m-4)-4m+2=8m2-8m+2,即B(8m2-8m+2,8m-4).
设直线AC的方程为-m(y-4)=x-2,
即x=-my+4m+2,同理可得y2=-8m-4,
故x2=-my2+4m+2=-m(-8m-4)+4m+2=8m2+8m+2,即C(8m2+8m+2,-8m-4),
则直线BC的斜率kBC===-1,
所以直线BC的斜率为定值-1.
变式　解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为.依题意得=2,解得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由题意知,直线l的斜率不为0.设直线l的方程为x=my+4,P(x1,y1),Q(x2,y2).
由消去x得y2-8my-32=0,
则Δ=64(m2+2)>0,y1+y2=8m,y1y2=-32,
又|PM|=|y1|,|QM|=|y2|,
所以+=+=×=×=×=,故+为定值,该定值为.
探究点三
例3　解:(1)由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A(1,0),得a=1,设右焦点在F(c,0),双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,
则焦点到渐近线的距离d==b=,
所以双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)证明:设直线MN的方程为x=my+t,M(x1,y1),N(x2,y2).
由得(3m2-1)y2+6mty+3t2-3=0,则Δ=36m2+12t2-12>0,
由根与系数的关系得y1+y2=,y1y2=.
因为kAM·kAN=-9,所以kAM·kAN=·==-9,
整理得(9m2+1)y1y2+9m(t-1)(y1+y2)+9(t-1)2=0,
所以(9m2+1)·+9m(t-1)+9(t-1)2=0,
因为直线MN不过点A(1,0),
所以t≠1,所以(9m2+1)(t+1)-18m2t+3(t-1)(3m2-1)=0,即9m2t+9m2+t+1-18m2t+9m2t-3t-9m2+3=0,解得t=2,所以直线MN恒过定点(2,0).
变式　解:(1)设点P的坐标为(x,y),
则直线AP的斜率kAP=(x≠-),
直线BP的斜率kBP=(x≠),
由题可知·=-(x≠±),
化简得点P的轨迹方程为+y2=1(x≠±),
则点P的轨迹是除去(-,0),(,0)两点的椭圆.
(2)证明:设E(x1,y1),F(x2,y2).
①当直线l的斜率不存在时,x1=x2,y2=-y1,
则
解得x1=0或x1=-.当x1=-时,直线l经过点A,与题意不符,舍去;故x1=0,y1=±1,此时直线l的方程为x=0.
②当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+b,则kAE·kAF=·===-.
由消去y,得(3k2+1)x2+6kbx+3b2-3=0,
由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,
所以=-,
即=-,
整理得=-1,
所以b2-kb=0,则b=0或b=k.
当b=k时,直线l:y=k(x+)恒过点A,与题意不符,舍去;故b=0,则直线l恒过原点(0,0).
结合①②可知,直线l恒过原点(0,0).
探究点四
例4　解:(1)因为点P(x0,p)在抛物线C上,
所以p2=2px0,解得x0=,所以P,
又F,Q(-1,0),所以|FQ|=+1,|FP|=p.
因为|FP|=|FQ|+1,所以p=+1+1,解得p=4,
故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由(1)可知,抛物线C的焦点F的坐标为(2,0),
又l的斜率为1,所以l的方程为y=x-2.
由消去x,得y2-8y-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8,y1y2=-16,x1+x2=y1+2+y2+2=12,所以=6,=4.
设线段AB的中点为D,则点D的坐标为(6,4),
所以|AB|=x1+x2+4=16,
又直线MN的斜率为-1,所以直线MN的方程为y-4=-(x-6),即x+y-10=0.
由消去y,得x2-28x+100=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则x3+x4=28,x3x4=100,
所以|MN|=|x4-x3|=
=×=16.
所以四边形AMBN的面积S=|AB|·|MN|=128.
变式　解:(1)由题意得解得所以双曲线C的标准方程为-=1.
(2)证明:由(1)得F(4,0),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4),由消去y,得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
所以y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2[x1x2-4(x1+x2)+16]=k2=,
因为直线AM的方程为y=(x+2),所以P,同理可得Q.
记直线x=1交x轴于点G,所以|GP|·|GQ|=·====9,
又|GA|·|GF|=9,所以|GA|·|GF|=|GP|·|GQ|,
所以A,F,P,Q四点共圆.
当直线l的斜率不存在时,不妨取M(4,6),N(4,-6),
则P(1,3),Q(1,-3),所以|GA|·|GF|=|GP|·|GQ|,所以A,F,P,Q四点共圆.
综上可得,A,F,P,Q四点共圆.
【课堂评价】
1.B　[解析] 由题得A(-1,0),B(1,0),设C(x0,y0),则D(x0,-y0).依题意得,m=,n=.因为点C(x0,y0)在双曲线E上,所以-=1,所以mn=·===-3.故选B.
2.D　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则S△ABF=|OF|·|y1-y2|≤|OF|·6=12,当且仅当A,B均在y轴上时取等号.
3.C　[解析] 由题意可知A1(0,a),A2(0,-a).设P(x0,y0)(x0≠0),则+=1,所以=-,则k1k2=·==-=-3,所以a2=3b2.结合选项可得椭圆C的方程可以为+=1.故选C.
4.A　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1k2=·=·==,∴y1y2=8,设直线l的方程为x=my+b,代入抛物线方程整理得y2-2my-2b=0,∴y1y2=-2b,∴-2b=8,∴b=-4,∴直线l过定点(-4,0).故选A.
5.B　[解析] 由题意得F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),则直线AF1的方程为y=x+b,即bx-cy+bc=0,直线AF2的方程为y=-x+b,即bx+cy-bc=0.设P,01.C　[解析] 显然直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y整理得x2-4kx-8=0,则x1x2=-8,所以k1k2=·=·==-.故选C.
2.A　[解析] 易知直线x-y+5=0与抛物线y2=4x没有交点,由题意可知,当平行于直线x-y+5=0的直线与抛物线相切,且点P为切点时,点P到直线x-y+5=0的距离最小.设切线方程为x-y+m=0,即y=x+m,由可得y2-4y+4m=0,所以Δ=16-16m=0,解得m=1,此时P(1,2),所以点P到直线x-y+5=0的最小距离为=2.故选A.
3.D　 [解析] 由题意得|MF2|-|MF1|=2,故|MF2|=|MF1|+2,焦点F1(-c,0)到渐近线的距离d===b,则|MF2|+|MN|=|MF1|+2+|MN|≥|F1N|+2≥b+2,当且仅当M,F1,N三点共线且F1N垂直于渐近线时取等号,所以|MF2|+|MN|的最小值为b+2=2+2=4.故选D.
4.A　[解析] ∵F(-2,0)是双曲线-y2=1(a>0)的左焦点,∴a2+1=4,∴a2=3,∴双曲线的方程为-y2=1.设P(m,n),∵点P为双曲线右支上的任意一点,∴-n2=1(m≥),∴n2=-1,∴·=(m,n)·(m+2,n)=m2+2m+n2=m2+2m-1.∵m≥,f(m)=m2+2m-1在[,+∞)上单调递增,∴·=m2+2m-1≥3+2,故·的取值范围为[3+2,+∞).
5.B　[解析] 设A,B,其中y1≠0,y2≠0,∵以AB为直径的圆过原点,∴·=+y1y2=0,可得y1y2=-16.易知直线AB的斜率不为0,不妨设直线AB的方程为x=ty+m,由消去x整理得y2-4ty-4m=0,∴y1y2=-4m=-16,解得m=4,∴直线AB过定点P(4,0).∵MH⊥AB,∠MOP=90°,∴O,P,H,M四点共圆,∴点H在以PM为直径的圆上(除原点外),且该圆直径为|PM|==4,∴|OH|的最大值为4.故选B.
6.B　[解析] 设直线AB的方程为x=ty+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),将x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,由根与系数的关系有y1·y2=-m,y1+y2=t.∵·=12,∴x1x2+y1y2=12,∴(y1y2)2+y1y2-12=0,又点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-4,∴m=4,故直线AB所过的定点M的坐标是(4,0).故△AOB的面积S=×4×|y1-y2|=2=2≥8,当且仅当t=0,即直线AB垂直于x轴时,△AOB的面积取得最小值,最小值为8.故选B.
7.C　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因为=3,所以=3,即则又A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆E上,所以+=1,且(4-x1)2+(4-y1)2=9,两式相减得(4-2x1)×4+(4-2y1)×4=8,即(2-x1)+(2-y1)=1①,同理可得(2-x3)+(2-y3)=1②,由②-①得(x1-x3)+(y1-y3)=0,所以kAC==-,因为l⊥AC,所以直线l的斜率为-=.故选C.
[技巧点拨] 直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题,常用点差法,该方法计算量小,模式化强,易于掌握,若相交弦涉及=λ(λ≠0)的定比分点问题,也可以用点差法的升级版,即定比点差法求解.
8.ABD　[解析] 由题意可得F(2,0)为圆(x-2)2+y2=4的圆心.设直线l的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由可得y2-8ty-16=0,所以y1+y2=8t,y1y2=-16.对于A,·=x1x2+y1y2=+y1y2=4-16=-12,故A正确;对于B,|AC|·|BD|=(|AF|-2)·(|BF|-2)=(x1+2-2)·(x2+2-2)=x1x2==4,故B正确;对于C,当直线l的斜率为时,直线l的方程为y=(x-2),联立直线与抛物线方程可得3x2-20x+12=0,可得x1=6,x2=,所以|AB|·|AF|=(x1+x2+4)(x1+2)=×8=,故C错误;对于D,+=+===,将y1+y2=8t,y1y2=-16代入可得+==,所以4|AF|+|BF|=2(4|AF|+|BF|)=10++≥10+2=18,当且仅当|BF|=2|AF|=6时等号成立,故D正确.故选ABD.
9.BCD　[解析] 根据题意得,a=2,b=,c==1,则△PF1F2的周长为2a+2c=4+2=6,故A错误;由已知得F1(-1,0),F2(1,0),则|F1F2|=2,所以△PF1F2的面积S=|F1F2|·|yP|=|yP|≤,当P为上、下顶点时等号成立,故B正确;设P(x,y),则-210.5　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为x=y+m,由消去x得y2-3y-2m=0,则Δ=9+8m>0,y1+y2=3,y1y2=-2m,又∴(y1y2)2=4x1x2,∴x1x2=m2.∵·=0,∴x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,可得m=2,∴y1=4,y2=-1.∵F,直线AB与x轴的交点的横坐标为2,∴S△AOB=×2×(|y1|+|y2|)=×2×5=5,S△AOF=|OF|·|y1|=××4=1,∴=5.
11.+=1　18 [解析] 由题意可知直线AM的方程为y-3=(x-2),即x-2y=-4.当y=0时,x=-4,所以a=4.因为椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3),所以+=1,解得b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.设与直线AM平行的直线的方程为x-2y=m,当该直线与椭圆C相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆C的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.将x-2y=m代入椭圆方程+=1,化简可得16y2+12my+3m2-48=0,则Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,与直线AM距离比较远的直线的方程为x-2y=8,所以直线AM与直线x-2y=8之间的距离d==,又|AM|==3,所以△AMN的面积的最大值为×3×=18.
12.(5,0)　[解析] 设直线AB的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x整理得y2-4ty-4m=0,则Δ=16(t2+m)>0,y1+y2=4t,y1·y2=-4m.因为·=5(其中O为坐标原点),所以x1·x2+y1·y2=5,又因为=4x1,=4x2,所以x1=,x2=,可得·+y1·y2=5,因为点A,B位于x轴的两侧,所以y1·y2=-20或y1y2=4(舍去),可得-4m=-20,解得m=5,所以x=ty+5,所以直线AB经过定点M(5,0).
13.解:(1)由题中条件可知解得所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y整理得(4-k2)x2-4k2x-4k2-4=0,显然4-k2≠0,则x1+x2=,x1x2=,
则y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2+4)=,y1y2=k2(x1+2)·(x2+2)=k2[x1x2+2(x1+x2)+4]=.
由题意可得解得0因为|AN|·|BP|=|AP|·|BN|,即=,
所以=,解得xN===-,所以点N在直线x=-上.
14.解:(1)由题意得a=2,因为离心率e==,所以c=1,所以b=,所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),且+=1,即3+4=12,因为A(-2,0),所以直线PA的方程为y=(x+2),则M,
直线QA的方程为y=(x+2),则N,
所以直线PN的方程为y-=x,
直线QM的方程为y-=x.
联立直线PN与直线QM的方程得x+=x+,化简可得x=2,
直线PN与直线QM的交点过定直线x=2.
[技巧点拨] 本题中确定点P的坐标,就自然可以得到点Q的坐标,进而得到直线AP,AQ的方程及M,N的坐标,也就是说点P位置的改变引起了其他量的改变,对于这类问题,常用“设点法”.
15.(0,-1)或　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x整理得11y2-6y-1=0,则y1+y2=,y1y2=-,所以x1+x2=3(y1+y2)-2=-,所以|AB|=·=,又∠ACB=90°,所以点C在以AB为直径的圆上,且不与A,B重合,即点C在圆+=上.由可得或故点C的坐标为(0,-1)或.
16.解:(1)由题意可知-=1且e===,则故双曲线C的方程为-=1.
(2)证明:当直线MN的斜率k不存在时,此时M,N两点关于x轴对称,
若直线PM,PN与y轴的两交点关于原点对称,则P在x轴上,与题意矛盾,因此直线MN的斜率存在.设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y整理得(1-k2)x2-2kmx-m2-3=0,则1-k2≠0,Δ>0,x1+x2=,x1x2=.设直线PM,PN与y轴的交点分别为M1,N1,直线PM的方程为y=(x-2)-1,
令x=0,则M1,同理得N1,可得+=0,
∴+=0,即[(2k+1)x1+2m](2-x2)+[(2k+1)x2+2m](2-x1)=0,∴(4k+2-2m)(x1+x2)-(4k+2)x1x2+8m=0,∴(4k-2m+2)·-(4k+2)+8m=0,
∴(2k-m+1)·2km+(2k+1)(m2+3)+4m(1-k2)=0,
∴4k2m-2km2+2km+2km2+6k+m2+3+4m-4mk2=0,∴m2+(2k+4)m+6k+3=0,
即(m+3)(m+2k+1)=0.当m+2k+1=0时,m=-2k-1,
此时直线MN的方程为y=k(x-2)-1,过定点P(2,-1),显然不可能,∴m=-3,∴直线MN的方程为y=kx-3,过定点E(0,-3).
设PE的中点为T,则T(1,-2),∵PQ⊥MN,
∴|QT|=|PE|=为定值,故存在T(1,-2)使|QT|为定值.
[技巧点拨] 求圆锥曲线与直线的定值问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.第2课时　直线与圆锥曲线的位置关系(二)
【学习目标】
1.掌握圆锥曲线的两种形式的弦长公式,会利用弦长解决一些简单问题;
2.会解决直线与圆锥曲线的最值、范围、定点、定值问题.
◆ 探究点一　圆锥曲线中的最值与范围问题
例1 已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,|F1F2|=4,点Q(2,)在椭圆C上,P是椭圆C上的动点,求·的最大值.
变式 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,位于第一象限的点P(1,y0)在抛物线C上,且|PF|=2.直线l过焦点F且与抛物线C交于A,B两点.
(1)若l的倾斜角为45°,求|AB|的值;
(2)若过F且与l垂直的直线交C于M,N两点,求四边形AMBN的面积的最小值.
[素养小结]
(1)解决圆锥曲线中的最值问题常见的方法:
①函数法:一般需要找出所求几何量的函数解析式,要注意自变量的取值范围.求函数的最值时,一般会用到配方法、均值不等式或函数单调性.
②方程法:根据题目中的等量关系建立方程,根据方程的解的条件得出目标量的不等关系,再求出目标量的最值.
(2)解决圆锥曲线中的取值范围问题的方法:
①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
②利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
③利用隐含的不等关系建立不等式(组),从而求出参数的取值范围.
④利用已知的不等关系构造不等式(组),从而求出参数的取值范围.
⑤利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
◆ 探究点二　定值问题
例2 已知抛物线E:y2=8x及该抛物线上一点A(2,4).
(1)过点A作抛物线E的切线l,求切线l的方程;
(2)过点A分别作两条倾斜角互补的直线,与抛物线E的另一个交点分别为B,C,求证:直线BC的斜率为定值.
变式 [2025·云南昆明高二期中] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0).
(1)求抛物线C的方程.
(2)若过点M(4,0)的直线l与抛物线C交于P,Q两点,则+是否为定值 若为定值,求出此定值;若不为定值,请说明理由.
[素养小结]
(1)常见定值问题的处理方法:
①确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示.
②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数.
(2)常见定值问题的处理技巧:
①对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值,进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
②在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢.
③巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算.
◆ 探究点三　定点问题
例3 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A(1,0),焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)点M,N在C的右支上,若直线AM与AN的斜率的乘积为-9,求证:直线MN过定点.
变式 [2025·河南南阳一中高二月考] 已知A(-,0),B(,0),动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积是-.
(1)求动点P的轨迹方程,并说明该轨迹是什么曲线;
(2)记(1)中点P的轨迹为曲线C,不经过点A的直线l与曲线C相交于E,F两点,且直线AE与直线AF的斜率之积是-,求证:直线l恒过定点.
[素养小结]
圆锥曲线中定点问题的两种解法:
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点;
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况,探索出定点,再证明该定点与变量无关.
◆ 探究点四　直线与圆锥曲线的综合应用
例4 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,p)在抛物线C上,点Q(-1,0),且|FP|=|FQ|+1.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,若l的斜率为1,求四边形AMBN的面积.
变式 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A(-2,0),不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M,N两点,当直线l垂直于x轴时,|MN|=12.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线AM,AN分别交直线x=1于P,Q两点,求证:A,F,P,Q四点共圆.
[素养小结]
解决直线与圆锥曲线的综合问题常常要注意以下内容:
(1)当与直线有关时,常常联立直线方程与圆锥曲线方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.不要忽视判别式的作用,在解题中判别式起到了限制参数范围的作用,这一点容易被忽视.
(2)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再利用根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.
(3)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值.
1.[2024·江西鹰潭高二期末] 双曲线E:x2-=1的左、右顶点分别为A,B,双曲线E上的一点C关于x轴的对称点为D,若直线AC的斜率为m,直线BD的斜率为n,则mn=(　 )
A.3 B.-3 C. D.-
2.已知F是椭圆+=1的一个焦点,AB为过椭圆中心O的一条弦,则△ABF面积的最大值为 (　 )
A.6 B.15 C.20 D.12
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A1,A2,P是椭圆C上异于A1,A2的一点,直线PA1和PA2的斜率分别为k1,k2,则下列满足k1k2=-3的椭圆C的方程是(　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.已知直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率k1,k2满足k1k2=,则直线l过定点 (　 )
A.(-4,0) B.(0,-4)
C.(-8,0) D.(0,-8)
5.[2025·江苏南通高二期末] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,若线段AF2(不包括端点)上任一点P到直线AF1的距离与到x轴的距离之和为b,则 (　 )
A.a=2b B.a=2b
C.a=b D.2a=3b第2课时　直线与圆锥曲线的位置关系(二)
一、选择题
1.抛物线C的方程为x2=4y,过点P(0,2)的直线交C于A,B两点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2(O为坐标原点),则k1k2的值为 (　 )
A.-2 B.-1
C.- D.-
2.[2025·江苏扬州高二期中] 已知抛物线y2=4x,则抛物线上一点P到直线x-y+5=0的最小距离为 (　 )
A.2 B.4
C. D.5
3.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在C的左支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为N,则|MF2|+|MN|的最小值为 (　 )
A.2+ B.2+
C.2 D.4
4.若原点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为 (　 )
A.[3+2,+∞) B.[3-2,+∞)
C. D.
5.[2025·安徽阜阳高二期中] 已知O为坐标原点,A,B是抛物线C:y2=4x上异于原点的两点,且以AB为直径的圆过原点,过点M(0,4)向直线AB作垂线,垂足为H,则|OH|的最大值为(　 )
A.4 B.4
C.4 D.8
6.已知点A,B在抛物线y2=x上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若·=12,则△AOB的面积的最小值为 (　 )
A.6 B.8 C.10 D.12
★7.已知A,B,C,D是椭圆E:+=1上四个不同的点,且M(1,1)是线段AB,CD的交点,且==3,若l⊥AC,则直线l的斜率为 (　 )
A. B. C. D.2
8.(多选题)[2025·湖北武汉高二期末] 已知O为坐标原点,抛物线y2=8x,过抛物线的焦点F的直线l自上而下,分别交抛物线和圆(x-2)2+y2=4于A,C,D,B四点,则 (　 )
A.·=-12
B.|AC|·|BD|=4
C.当直线l的斜率为时,|AB|·|AF|=
D.4|AF|+|BF|≥18
9.(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上不同于左、右顶点的任意一点,则下列说法正确的是 (　 )
A.△PF1F2的周长为8
B.△PF1F2的面积的最大值为
C.·的取值范围为[2,3)
D.|PF1||PF2|的取值范围为(3,4]
二、填空题
10.[2025·湖南永州高二期中] 已知F为抛物线y2=2x的焦点,斜率为的直线与抛物线交于A,B两点,且A,B位于x轴的两侧(A在B的上方),若·=0(其中O为坐标原点),则=　　　　.
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且直线AM的斜率为,则椭圆C的方程为　　　　　　;点N为椭圆C上任意一点,则△AMN的面积的最大值为　　　　.
12.已知抛物线的方程为y2=4x,A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且·=5(其中O为坐标原点),若直线AB过定点M,则M的坐标为　　　　.
三、解答题
13.(13分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,双曲线C过点(2,2).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点P(-2,0)的直线l与C交于A,B两点(A,B均在x轴上方),点N在线段AB上,且满足|AN|·|BP|=|AP|·|BN|,证明:N在定直线上.
★14.(15分)[2025·黑龙江哈尔滨高二期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的半长轴长为2,离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设点A为椭圆C的左顶点,过原点的直线与椭圆C相交于P,Q两点(点P,Q不在坐标轴上),直线AP,AQ分别交y轴于M,N两点,判断直线PN和QM的交点是否在定直线上 并说明理由.
15.已知直线x-3y+1=0与椭圆Γ:+y2=1相交于A,B两点,若椭圆上存在点C,使得∠ACB=90°,则点C的坐标为　　　　　　.
★16.(15分)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且点(3,)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若动点M,N在双曲线C上,点P(2,-1),直线PM,PN与y轴相交的两点关于原点对称,点Q在直线MN上,PQ⊥MN,证明:存在定点T,使得|QT|为定值.

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