资源简介

单元素养测评卷(二)
1.C　[解析] 抛物线2y+3x2=0,即x2=-y,所以抛物线的准线方程为y=.故选C.
2.B　[解析] 因为直线l与直线x-2y+3=0垂直,所以可设直线l的方程为2x+y+m=0,因为直线l过点(-3,1),所以-6+1+m=0,解得m=5,所以直线l的方程为2x+y+5=0.故选B.
3.D　[解析] l:mx-y-m+1=0,即m(x-1)+1-y=0,由得所以直线l过定点C(1,1).因为kBC==,kAC==-4,所以由图可知直线l的斜率m∈(-∞,-4]∪.故选D.
4.D　[解析] 由双曲线C:-=1(a>0,b>0)可得其渐近线为y=±x,依题意得圆(x-4)2+y2=16的圆心(4,0)到直线bx-ay=0的距离为=,可得=3,则离心率e=====2.故选D.
5.A　[解析] 由题意可得F(1,0),Q(-1,0),设P(x,y)(x>0),则=(1-x,-y),=(-1-x,-y),因为PF⊥PQ,所以·=x2-1+y2=0,又y2=4x,所以x2+4x-1=0,可得x=-2+,所以|PF|=-2++1=-1. 故选A.
6.A　[解析] 圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2,等价于以(a,1)为圆心,2为半径的圆与圆x2+y2=1相交,所以2-1<<2+1,解得-27.D　[解析] 不妨设F,F'分别是椭圆C的左、右焦点,椭圆的焦距为2c,连接BF',AF',则|BF|=|BF'|=a,由=4,可得|AF|=|BF|=a,|AF'|=2a-|AF|=a.在△ABF'中,由余弦定理得cos∠ABF'===-,结合∠ABF'=2∠FBO(O为坐标原点),可得1-2sin2∠FBO=-,可得sin∠FBO=,所以椭圆C的离心率e===sin∠FBO=.故选D.
8.B　[解析] 设函数y=的图象是由双曲线-=1(a>0)旋转得到的,函数y=的图象的对称轴为直线y=x和y=-x,y=的图象与直线y=x的交点是A(,),B(-,-),则点A到中心(原点)的距离为=2,所以a=2,则c==2,所以所求焦距为2c=4.故选B.
9.ACD　[解析] 对于A,因为直线l的倾斜角为120°,所以直线l的斜率k=tan 120°=-,所以直线l的一个方向向量为n=(1,-),因为u==-(1,-),所以u=-n,所以u=是直线l的一个方向向量,故A正确;对于B,因为l的斜率k=-,直线l经过点(-1,2),所以直线l的方程为y-2=-(x+1),当y=0时,x=-1,所以直线l在x轴上的截距为-1,故B错误;对于C,直线x-3y+2=0的斜率为,因为-×=-1,所以直线l与直线x-3y+2=0垂直,故C正确;对于D,因为点(-1,0)到直线l:x+y+-2=0的距离d==1,所以点(-1,0)到直线l上的点的最短距离是1,故D正确.故选ACD.
10.ACD　[解析] 根据对称性,不妨设直线AB的倾斜角为θ,由题知,准线l:x=-1,p=2,过点A作AM⊥l,AK⊥x,垂足分别为M,K,则|AF|=|AM|=|AF|cos θ+p,同理可得|BF|=p-|BF|cos θ,由|AF|=5,p=2,可得cos θ=,|BF|==,故A正确;sin θ==,则tan θ=,由抛物线的对称性知直线AB的斜率k=±,故B错误;设线段AB的中点为P,过B,P分别作准线l的垂线,垂足分别为N,Q,易知|PQ|===,所以以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,故C正确;S△ABO=|OF|·(|AF|sin θ+|BF|sin θ)=×1×=,故D正确.故选ACD.
11.BCD　[解析] 对于选项A,由题易知四边形PF1QF2为平行四边形,所以|PF2|+|QF2|=|PF2|+|PF1|=2,故选项A错误;对于选项B,由椭圆的性质可得∠F1PF2≤∠F1AF2,因为tan∠OAF2===>1,所以∠OAF2>,所以∠F1AF2>,所以椭圆上存在无数个点M,使得∠F1MF2>,故选项B正确;对于选项C,设P(x1,y1),则Q(-x1,-y1),因为A(0,),所以kAP·kAQ=·=,因为+=1,即=3(2-),所以kAP·kAQ==-,故选项C正确;对于选项D,设P(x0,y0),则-≤y0≤,所以S△PQB=S△POB+S△QOB=2S△POB=2×××|y0|≤×=2,故选项D正确.故选BCD.
12.1　2　[解析] 若l1⊥l2,则a-1=0,解得a=1.若l1∥l2,则=≠,解得a=-1,则l1:x-y+1=0,故两平行直线间的距离d==2.
13.[1-,0]∪[2,1+]　[解析] 由题意可知圆(x-m-1)2+(y-m+2)2=1的圆心为N(m+1,m-2),半径r1=1.设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(3-x,-y),由·=x2+y2-2x-3=5,整理得(x-1)2+y2=9,所以点P在圆心为M(1,0),半径r2=3的圆上.由题可知两圆有公共点,则|r1-r2|≤|NM|≤r1+r2,即2≤≤4,解得1-≤m≤0或2≤m≤1+,所以实数m的取值范围是[1-,0]∪[2,1+].
14.　[解析] 以AB所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),∵双曲线的左、右焦点分别是A,B,∴A(-c,0),B(c,0),把x=c代入-=1,可得y=±b,则C,∴=.设E(x,y),则=(x+c,y),∵=,∴(x+c,y)=,解得x=-c,y=b·,则E,代入双曲线的方程可得-=1,即e2-=,可得e=.
15.解:(1)由消去y得4x2+2mx+m2-1=0,
由已知得Δ=(2m)2-16(m2-1)>0,即m2-4<0,解得-2(2)因为圆心C(0,0)到直线l:x-y+m=0的距离d==,
所以|AB|=2=2==,解得m=±1.
16.解:(1)因为双曲线的离心率为,所以==,可得=,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.
(2)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由得所以A,同理可得B,所以|AB|=p,所以△ABO的面积为×p×=2,可得p=2.
17.解:(1)由椭圆C1的方程为+=1,可知椭圆C1的短轴在x轴上,且短轴长为4,离心率为.设椭圆C2的方程为+=1(0(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2可知O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,所以可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1,得+(kx)2=1,所以=,将y=kx代入+=1,得+=1,所以=.
因为=2,所以(x1,y1)=2(x2,y2),即x1=2x2,所以=4,即=4×,则k2=1,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.
18.解:(1)过点P作PM垂直于x轴,垂足为M.
则sin∠PFK=,tan∠PKF=,所以=,所以|PF|=|KM|,因为|KM|为点P到直线x=-1的距离,所以点P到直线x=-1的距离等于|PF|.
方法一:设P(x,y)(x≠0),则|x+1|=,化简可得曲线E的方程为y2=4x(x≠0).
方法二:点P在以F为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线上(不包括原点),设抛物线方程为y2=2px(p>0,x≠0),则=1,解得p=2,所以曲线E的方程为y2=4x(x≠0).
(2)设PK:x=ty-1,由得y2-4ty+4=0,由Δ=16t2-16>0,且t>0,得t>1.
设直线PK与曲线E的交点为P(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4,所以|PN|=|y2-y1|===4,可得t=2.
因为=t=2,所以tan∠PKF=,所以sin∠PFK=,又∠PFK∈,所以∠PFK=,由题可知,△GOK≌△GOF(O为坐标原点),
所以tan∠PKF=tan∠GFO=,所以tan∠PFG=tan(∠PFK-∠GFK)===-.
19.解:(1)由y2=4x,可得p=2,抛物线的准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知,|AF|=x1+,因为|AF|=4,所以x1=4-1=3,
将其代入y2=4x,解得y1=±2,故点A的坐标为(3,2)或(3,-2).
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1).
由消去y整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
因为直线l与抛物线相交于A,B两点,所以k≠0,x1+x2=2+.
由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=4+>4.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,
易知直线x=1与抛物线相交于(1,2),(1,-2)两点,此时|AB|=4.
综上,|AB|≥4,即线段AB的长的最小值为4.
(3)证明:显然直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x3,y3),N(x4,y4),由消去x整理得y2-4my-4n=0,
则(*)由OM⊥ON,得·=x3x4+y3y4=+y3y4=0,
将(*)代入化简得n2-4n=0,解得n=0或n=4.
当n=0时,直线MN经过原点,与题意不符,故n=4,所以直线MN经过定点(4,0).单元素养测评卷(二)
第二章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线2y+3x2=0的准线方程为 (　　)
A.x= B.x=
C.y= D.y=-
2.已知直线l过点(-3,1),且与直线x-2y+3=0垂直,则直线l的方程为 (　　)
A.2x+y+3=0 B.2x+y+5=0
C.2x+y-1=0 D.2x+y-2=0
3.已知A(2,-3),B(-3,-2),若直线l:mx-y-m+1=0与线段AB相交,则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.∪[4,+∞)
C.
D.(-∞,-4]∪
4.[2025·山东青岛高二期中] 若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-4)2+y2=16所截得的弦长为4,则双曲线C的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.2
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上,Q(-1,0),且PF⊥PQ,则|PF|= (　　)
A.-1 B.-2
C.2-3 D.4-8
6.[2025·江苏南通高二期末] 若圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,2)
C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,1)
7.[2025·安徽阜阳高二期中] 已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,B是C的上顶点,BF的延长线交C于点A,若=4,则椭圆C的离心率是 (　　)
A. B. C. D.
8.[2024·河南南阳五中高二期末] 反比例函数y=(k≠0)的图象可以看作是由等轴双曲线绕原点经过旋转得到的,那么函数y=的图象的焦距为 (　　)
A.2 B.4
C.4 D.6
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直线l的倾斜角为120°,且直线l经过点(-1,2),则下列结论中正确的有 (　　)
A.直线l的一个方向向量为u=
B.直线l在x轴上的截距为
C.直线l与直线x-3y+2=0垂直
D.点(-1,0)到直线l上的点的最短距离是1
10.[2024·河南南阳五中高二期末] 过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=5,且|AF|>|BF|,则 (　　)
A.|BF|=
B.直线AB的斜率为
C.以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切
D.△ABO(O为坐标原点)的面积为
11.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的上顶点和右顶点分别为A,B,若P为椭圆上任意一点,且P,Q关于坐标原点对称,则下列说法正确的有 (　　)
A.|PF2|+|QF2|=
B.椭圆上存在无数个点M,使得∠F1MF2>
C.直线AP和AQ的斜率之积为-
D.△PQB的面积的最大值为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若l1⊥l2,则a=　　　　;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为　　　　.
13.[2025·广西柳州高二期中] 已知点A(-1,0),B(3,0),若圆(x-m-1)2+(y-m+2)2=1上存在点P满足·=5,则实数m的取值范围是　　　　.
14.如图,在梯形ABCD中,已知|AB|=2|CD|,=,以A,B为焦点的双曲线过C,D,E三点,则该双曲线的离心率为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知圆C:x2+y2=1与直线l:x-y+m=0交于不同的两点A,B,且O为坐标原点.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若|AB|=,求实数m的值.
16.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线D:y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点(点A在点B下方),O为坐标原点,双曲线的离心率为,△ABO的面积为2.
(1)求双曲线C的渐近线方程;
(2)求p的值.
17.(15分)已知椭圆C1:+=1,椭圆C2以C1的短轴为长轴且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在C1,C2上,=2,求直线AB的方程.
18.(17分)[2024·辽宁大连高二期末] 在平面直角坐标系中,F(1,0),K(-1,0),P为平面内一点,在三角形PKF中,tan∠PKF=sin∠PFK,记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知直线PK的斜率大于0,且直线PK被曲线E所截得的弦长为4,∠PFK为钝角,若PK交y轴于点G,求tan∠PFG的值.
19.(17分)[2025·陕西西安高二期中] 已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.
(1)若|AF|=4,求点A的坐标;
(2)求线段AB长的最小值;
(3)过抛物线顶点O作两条相互垂直的直线OM,ON分别交抛物线于M,N,证明:直线MN过定点.

展开更多......

收起↑