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单元素养测评卷(四)
1.B　[解析] a4=(a2+a6)==7,故选B.
2.C　[解析] 设等比数列-1,x,y,z,-2的公比为q(q≠0),则y=-1×q2<0,由等比中项的性质可得y2=(-1)×(-2)=2,所以y=-,因此xyz=y3=(-)3=-2.故选C.
3.C　[解析] 因为S17==17a9=272,所以a9=16,所以a6+a9+a12=3a9=48.故选C.
4.A　[解析] 因为,3,成等比数列,所以=32,所以a1+a7=2a4=2,所以a4=1,故选A.
5.C　[解析] ∵an=an-1+2(n≥2),a1=1,∴{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=1+(n-1)×2=2n-1,∴==-,故S5=++…+=.故选C.
6.A　[解析] 依题意,设这四个数分别为x,y,12-y,16-x,则解得或所以这四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1,则这四个数的积为405或0.故选A.
7.C　[解析] 由题知a1=2,a2=4,an-1an+1=an(n≥2),令n=2,则a1a3=a2,求得a3=2,令n=3,则a2a4=a3,求得a4=,令n=4,则a3a5=a4,求得a5=,令n=5,则a4a6=a5,求得a6=,令n=6,则a5a7=a6,求得a7=2,令n=7,则a6a8=a7,求得a8=4,…,所以数列{an}的周期为6,则a2025=a337×6+3=a3=2.故选C.
8.C　[解析] 由题知b1==2,b2==4,则c1==2,又数列{an}的二阶商数列{cn}是常数列,所以cn=c1=2,则{bn}满足=cn=2,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,则bn=2·2n-1=2n,所以=2n,则当n≥2时,=2n-1,=2n-2,=2n-3,…,=22,=21,等式左、右分别相乘可得=2n-1·2n-2·2n-3·…·22×21=2(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1==(n≥2),所以an=·a1=(n≥2),则a7==221,故选C.
9.ABD　[解析] 由题意可得解得故A正确;an=-1+(n-1)×1=n-2,故B正确;a4+a10=2a1+12d=-2+12=10,故C错误;Sn=(-1)×n+×1==-,因为n∈N*,所以当n=1或n=2时,Sn取得最小值,故D正确.故选ABD.
10.BD　[解析] A:由S2=4a1可得a2=3a1,∴等比数列{an}的公比q=3,∴an=a1×3n-1,由a2是a1+1与a3的等差中项,可得2a2=a1+1+a3,即2a1×3=a1+1+(a1×32),解得a1=2,∴an=2×3n-1,∴A不正确;B:Sn===3n-1,∴B正确;C:bn==,∴C不正确;D:bn=,则Tn=b1+b2+…+bn=++…+=,易知数列{Tn}是递增数列,可得T1≤Tn<×=,∴≤Tn<,∴D正确.故选BD.
11.ABD　[解析] 由题意得c1=500,且cn+1=1.2cn-60,故B正确;c2=1.2c1-60=1.2×500-60=540,故A正确;设cn+1-x=1.2(cn-x),则cn+1=1.2cn-0.2x,则0.2x=60,则x=300,∴cn+1-300=1.2(cn-300),即数列{cn-300}是首项为c1-300=200,公比为1.2的等比数列,则cn-300=200×1.2n-1,则cn=300+200×1.2n-1,令cn=300+200×1.2n-1>1000,则1.2n-1>3.5,∵1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,∴n-1≥7,则n≥8,故按照计划2031年年初存栏数首次突破1000,故C错误;S10=c1+c2+c3+…+c10=300×10+200×=3000+1000×(1.210-1)≈3000+1000×(6.191 7-1)≈8192,故D正确.故选ABD.
12.2n-6(答案不唯一)　[解析] 要满足前3项之和小于第3项,则a1+a2+a313.223+208　[解析] S21=3×2+3+3×23+7+…+39+3×221=3(2+23+…+221)+(3+7+11…+39)=3×+=223+208.
14.5　240　[解析] 由题意知,对折方式分为横折和竖折两种,第一次对折时,有横、竖两种折法,可得到2种规格的图形,第二次对折时,第一个图形可得到2种规格的图形,从第二个图形开始,对折得到的2种图形中有一种与前面得到的图形相同,故对折2次共可以得到3种不同规格的图形,对折3次共可以得到4种不同规格的图形,对折4次共可以得到5种不同规格的图形……对折n次共可以得到(n+1)种不同规格的图形.在每次对折中所得不同规格的图形的面积相等,对折n次得到的图形中有一种是横折n次得到的,其面积为S,其中S=20×12=240(dm2),故对折n次得到的(n+1)种规格的图形的面积之和Sn=S,所以设Tn=++…+,则Tn=++…+,两式相减,得Tn=1+++…+-=1+-=--=-,所以Tn=3-,
15.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a4+a5=S4=16,
得解得则an=a1+(n-1)d=2n-1,
所以数列{an}的通项公式是an=2n-1.
(2)由(1)知,bn=22n-1=2×4n-1,
则数列{bn}为等比数列,其首项为2,公比为4,
所以数列{bn}的前n项和Tn==.
16.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,
由题知a1=S1=2-a1,则a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2-an-(2-an-1)=an-1-an,
可得2an=an-1,即==q.
所以an=.
(2)bn=a3n-1==,bn+1=,所以==,
所以{bn}是公比为,首项为的等比数列,
故Tn==.
17.解:(1)当n=1时,S1=a1=2a1-2,解得a1=2;
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,
得Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2),
即an=2an-2an-1,即an=2an-1.
所以{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,因此an=2n.
(2)删去数列{an}的第3i项(其中i=1,2,3,…),将剩余的项按从小到大排列依次为
a1,a2,a4,a5,a7,a8,…,
所以数列{bn}前6项依次为2,22,24,25,27,28,
则T6=2+4+16+32+128+256=438.
注意到a1,a4,a7,…构成以a1为首项,8为公比的等比数列,
a2,a5,a8,…构成以a2为首项,8为公比的等比数列,
则T2n=(a1+a4+a7+…+a3n-2)+(a2+a5+a8+…+a3n-1)=+=(8n-1).
18.解:(1)由题知4Sn=(an+1)2,
当n≥2,n∈N*时,4Sn-1=(an-1+1)2,
两式相减得4an=-+2an-2an-1(n≥2),
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0(n≥2),
因为an>0,所以an-an-1-2=0(n≥2).
对于4Sn=(an+1)2,令n=1,得a1=1,
所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故an=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知bn==n×,
所以Tn=1+++…+,
所以Tn=+++…+,
则Tn=1+++…+-=-=-×-,
故Tn=-,
由题意,对任意的n∈N*,均有(3n+4)m≥(2n-5)·2n恒成立,
所以(3n+4)m≥·2n,即m≥×恒成立,
设cn=,所以cn+1-cn=-=,
当1≤n≤3时,cn+1-cn>0,即cn+1>cn ;
当n≥4时,cn+1-cn<0,即cn+1所以cn的最大值为c4=,所以m≥×=,
故m的取值范围是.
19.解:(1)证明:∵点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,∴an+1=+2an,
∴an+1+1=(an+1)2,∴{an+1}是“平方递推数列”.
∵lg(a1+1)=lg(9+1)=1>0,
对an+1+1=(an+1)2两边同时取对数得lg(an+1+1)=2lg(an+1),
∴数列{lg(an+1)}是以1为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知bn=lg(an+1)=1×2n-1=2n-1,
由数列{bn},{cn}的通项公式得,
当1≤n≤4时,bn4时,bn>cn.
由a*b=dn=bn*cn,得dn=
当n≤4且n∈N*时,Sn=b1+…+bn==2n-1;
当n>4且n∈N*时,Sn=b1+b2+b3+b4+c5+c6+…+cn=(24-1)+=n2+5n-21.
综上,Sn=单元素养测评卷(四)
第4章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·湖南师大附中高二期末] 已知等差数列{an}中,a2=3,a6=11,则a4= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.7
C.8 D.9
2.[2025·江苏徐州一中高二调研] 已知数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz= (　　)
A.2 B.±4
C.-2 D.±2
3.[2025·广东茂名一中高二月考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=272,则a6+a9+a12= (　　)
A.24 B.36
C.48 D.64
4.已知数列{an}为等差数列,且,3,成等比数列,则a4= (　　)
A.1 B.
C.15 D.3
5.[2025·江苏苏州实验中学高二质检] 在数列{an}中,an=an-1+2(n≥2,n∈N*),a1=1,则数列的前5项和S5= (　　)
A. B.
C. D.
6.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数的积为 (　　)
A.405或0 B.403
C.403或0 D.0
7.[2025·江苏常州一中高二月考] 数列{an}中,a1=2,a2=4,an-1an+1=an(n≥2),则a2025=(　　)
A. B.
C.2 D.4
8.[2025·江苏盐城中学高二月考] 对于一个给定的数列{an},令bn=,则数列{bn}称为数列{an}的一阶商数列,再令cn=,则数列{cn}是数列{an}的二阶商数列.已知数列{an}为1,2,8,64,1024,…,且它的二阶商数列是常数列,则a7= (　　)
A.215 B.219
C.221 D.228
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·江苏宿迁中学高二调研] 已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且a2=0,S7=a4+12,则 (　　)
A.d=1
B.an=n-2
C.a4+a10=-10
D.当n=1或n=2时,Sn取得最小值
10.[2025·湖南株洲一中高二月考] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2=4a1,a2是a1+1与a3的等差中项,数列{bn}满足bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则下列结论正确的是 (　　)
A.数列{an}的通项公式为an=3n-1
B.Sn=3n-1
C.数列{bn}的通项公式为bn=
D.≤Tn<
11.[2025·广东广州一中高二月考] 某牧场2024年年初牛的存栏数为500,预计以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…,cn,…,其中n∈N*,则下列结论正确的是(附:1.25≈2.488 3,1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,1.210≈6.191 7) (　　)
A.c2=540
B.cn+1与cn的递推公式为cn+1=1.2cn-60
C.按照计划2030年年初存栏数首次突破1000
D.令S10=c1+c2+c3+…+c10,则S10≈8192(精确到1)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·江苏海安中学高二月考] 写出一个公差为2且前3项之和小于第3项的等差数列{an}的通项公式:an=　　　　.
13.[2025·福建泉州一中高二质检] 已知数列{an}的前n项和为Sn,an=则S21=　　　　.
14.[2025·湖北黄冈中学高二调研] 某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　　　　;如果对折n次,那么.
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·江苏无锡一中高二月考] 设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且满足a4+a5=S4=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(15分)设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn.
(1)已知Sn=2-an,求{an}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,若bn=a3n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(15分)[2025·山东菏泽一中高二月考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)删去数列{an}的第3i项(其中i=1,2,3,…),将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{bn},设{bn}的前n项和为Tn,请写出{bn}的前6项,并求出T6和T2n.
18.(17分)[2025·浙江温州中学高二月考] 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2.
(1)求an;
(2)令bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,均有(3n+4)m≥(2n-5)·2n恒成立,求实数m的取值范围.
19.(17分)[2025·江苏泰州中学高二月考] 若数列{An}满足An+1=,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n为正整数.
(1)证明:数列{an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(an+1)}为等比数列;
(2)设bn=lg(an+1),cn=2n+4,定义a*b=且记dn=bn*cn,求数列{dn}的前n项和Sn.

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