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单元素养测评卷(五)
1.B　[解析] 由=6,得f'(2)=6.故选B.
2.A　[解析] f'(x)=x'sin x+x(sin x)'+(cos x)'=sin x+xcos x-sin x=xcos x.故选A.
3.B　[解析] 由题图可知,f(x)在(0,1),(2,3)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故不等式f'(x)<0的解集为(1,2).故选B.
4.A　[解析] 由y=x3得y'=x2,则曲线y=x3在点P处的切线的斜率为22=4,所以切线方程为y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.故选A.
5.A　[解析] 当x>0时,f(x)=x-ln x,则f'(x)=1-=,当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,当00恒成立,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,排除选项B.故选A.
6.C　[解析] 由题可知f'(x)=aex-≥0在区间(1,2)上恒成立,即a≥对任意x∈(1,2)恒成立.令h(x)=xex(x∈(1,2)),可得h'(x)=ex+xex=(1+x)ex>0,所以h(x)=xex在区间(1,2)上单调递增,所以h(x)>h(1)=e,故<,所以a≥,所以a的最小值为e-1.故选C.
7.A　[解析] f'(x)=-sin x+ax,令g(x)=f'(x)=-sin x+ax,则g'(x)=-cos x+a.当a≥1时,g'(x)=
-cos x+a≥0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=-sin 0+0=0,故当x>0时,g(x)>0,当x<0时,g(x)<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故x=0是函数f(x)的唯一极小值点,符合题意;当a<1时,g'(0)=-cos 0+a=-1+a<0,故一定存在m>0,使g(x)在(0,m)上单调递减,又g(0)=0,所以此时x=0不是函数f(x)的极小值点,故a<1不符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).故选A.
8.C　[解析] 因为函数f(x)是奇函数,f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f'(x+4)=f'(x),则f(x),f'(x)的周期都为4,故④正确;f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2,故①错误;因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),所以f'(x)是偶函数,故③错误;因为f(x+2)=f(-x),所以f'(x+2)=-f'(-x),令x=-1,可得f'(1)=-f'(1),解得f'(1)=0,故②正确.故选C.
9.ACD　[解析] f'(x)<0在(3,5)上恒成立,则f(x)在(3,5)上单调递减,故A正确;f'(x)≥0在[-1,3]上恒成立,则f(x)在[-1,3]上单调递增,则f(0)0,则函数y=f(x)在x=5处取得极小值,故C正确;由题图可知f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,3)上单调递增,在(3,5)上单调递减,在(5,+∞)上单调递增,则f(x)min在两个极小值f(5)和f(-1)中产生,所以存在最小值,故D正确.故选ACD.
10.ACD　[解析] 由题意知f(x)=-1+ln x(x>0),则f'(x)=-+=,所以f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为f'(1)=0,而f(1)=1-1+ln 1=0,所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,所以f(x)的图象在x=1处的切线为x轴,A正确;当01时,f'(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,B错误;由以上分析可得x=1为f(x)的极小值点,C正确;由于f(x)在(0,+∞)上只有一个极小值点,故函数的极小值也为函数的最小值,最小值为f(1)=0,D正确.故选ACD.
11.ABD　[解析] 函数f(x)=ex-(x-1)sin x,求导得f'(x)=ex-sin x-(x-1)cos x,令g(x)=f'(x)=ex-
sin x-(x-1)cos x,求导得g'(x)=ex-2cos x+(x-1)sin x.对于A,当-0,-sin x>0,
-(x-1)cos x>0,有f'(x)>0,则函数f(x)在上单调递增,A正确;对于B,当-π0,-cos x>0,(x-1)sin x>0,有g'(x)>0,则函数f'(x)在上单调递增,而f'(-π)=e-π-π-1<0,f'=+1>0,则存在x0∈使得f'(x0)=0,当-π0,因此f(x)在(-π,x0)上单调递减,在上单调递增,由选项A知,f(x)在(x0,0)上单调递增,又f(-π)=e-π>0,f(0)=1>0,f(x0)h=-2-,所以f(x0)>-2-,则f(x0)>-1-,则k≤-1-,因此整数k的最大值为-2,C不正确;对于D,当00,所以函数u(x)在(0,1)上单调递减,所以u(x)12.(0,1)　[解析] 因为f(x)=x2-ln x,所以f'(x)=x-=(x>0),令f'(x)<0,得013.(-∞,-2)∪(2,+∞)　[解析] 令f(x)=3x-x3-a=0,得a=-x3+3x,则函数f(x)=3x-x3-a仅有一个零点即为直线y=a与曲线y=-x3+3x只有一个交点,设g(x)=-x3+3x,得g'(x)=-3x2+3,令g'(x)>0,得-11,则g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)的极小值为g(-1)=1-3=-2,极大值为g(1)=-1+3=2,当x→+∞时,g(x)→-∞,当x→-∞时,g(x)→+∞,结合g(x)的图象可知a<-2或a>2,所以a∈(-∞,-2)∪(2,+∞).
14.100(1+)　　[解析] 依题意,设∠BOP=θ,则PH=100sin θ m,OH=100cos θ m,因此△OPH的周长L=100+100(sin θ+cos θ)=100+100sin(m),显然<θ+<,于是当θ+=,即θ=时,L取得最大值,Lmax=100+100(m),所以步行道长度的最大值是100(1+)m.由DH⊥OP于D,得OD=OHcos θ=100cos2θ(m),因此△ODH的面积S=OH·ODsin θ=5000sin θcos3θ(m2),令f(θ)=sin θcos3θ,求导得f'(θ)=cos4θ-sin θ·3cos2θsin θ=cos2θ(1-4sin2θ),而0<θ<,则当00,函数f(θ)单调递增,当15.解:(1)f'(x)=1+ln 2-ln x=ln,
令f'(x)<0,得0<<1,即x>2e,
所以f(x)的减区间为(2e,+∞).
(2)当x∈(0,2e)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;
当x∈(2e,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减.
所以f(x)≤f(2e)=(2+ln 2)2e-2eln(2e)=2e,故f(x)的最大值为2e.
16.解:(1)因为f(x)=x3+ax2+x(a∈R),
所以f'(x)=3x2+2ax+1,
因为函数f(x)存在两个极值点,
所以3x2+2ax+1=0有两个不同的解,
所以4a2-12>0,解得a<-或a>.
(2)f(x)≥xln x+x在(0,+∞)上恒成立,
即x2+ax≥ln x对任意x∈(0,+∞)恒成立,
即a≥-x对任意x∈(0,+∞)恒成立.
令g(x)=-x,则 a≥g(x)max,
g'(x)=,x>0,
设h(x)=1-ln x-x2,x>0,则h(1)=0,
因为y=-ln x,y=1-x2都在(0,+∞)上单调递减,
所以h(x)=1-ln x-x2在(0,+∞)上单调递减.
当00,此时g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增,
当x>1时,h(x)<0,此时g'(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以g(x)max=g(1)=-1,
所以a≥-1,即amin=-1.
17.解:(1)由题意得V(x)=x(3-2x)2,x∈.
(2)由V(x)=x(3-2x)2求导可得V'(x)=12x2-24x+9,
令V'(x)>0,得x∈;
令V'(x)<0,得x∈.
因此,当x∈时,容积V随着x的增大而增大;
当x∈时,容积V随着x的增大而减小.
故当x=时,容积V最大,最大值是V=2.
18.解:(1)由题可得f'(x)=ex-a,
若a≤0,则f'(x)>0恒成立,f(x)在R上是增函数;
若a>0,当x当x>ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上,若a≤0,则f(x)在R上是增函数;
若a>0,则f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增.
(2)i.若a≤0,则由 (1)得f(x)在R上是增函数,
又f(0)=0,故f(x)只有一个零点,符合题意.
ii.若a>0,则由(1)得f(x)≥f(ln a)=a-aln a-1.
①当ln a=0,即a=1时,f(ln a)=f(0)=0,f(x)只有一个零点,符合题意.
②当ln a>0,即a>1时,f(ln a)故f(x)在(-∞,ln a)上有一个零点,
f(a)=ea-a2-1,设g(x)=ex-x2-1(x>1),
则g'(x)=ex-2x,设h(x)=g'(x)(x>1),则h'(x)=ex-2>h'(1)>0,
∴g'(x)在(1,+∞)上单调递增,则g'(x)>g'(1)>0,
∴g(x)在(1,+∞)上单调递增,则g(x)>g(1)>0,∴f(a)>0.
设m(x)=x-ln x,由m'(x)=1-=知,当x∈(0,1)时,m'(x)<0,m(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增.
∴m(x)=x-ln x≥m(1)=1>0,即x>ln x,∴a>ln a,
又f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,
故f(x)在(ln a,+∞)上有一个零点,不合题意.
③当ln a<0,即0故f(x)在(ln a,+∞)上有一个零点,
又f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,f=>0,
由②得>ln,即-<-ln=ln a,
故f(x)在(-∞,ln a)上有一个零点,不合题意.
综上,a的取值范围是(-∞,0]∪{1}.
19.解:(1)设t>0,则曲线y=ln x在点(t,ln t)处的切线方程为y-ln t=(x-t).
当且仅当-ln t=-1,即t=e时,
该切线过原点O,故原点O是函数y=ln x的1度点.
当该切线过点A(2,0)时,-ln t=(2-t),即tln t-t+2=0,
令w(t)=tln t-t+2,则w'(t)=1+ln t-1=ln t,
令w'(t)>0得t>1,令w'(t)<0得0则w(t)=tln t-t+2在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以w(t)=tln t-t+2在x=1处取得极小值,也是最小值,且w(1)=1>0,
故-ln t=(2-t)无解,点A(2,0)不是函数y=ln x的1度点.
(2)证明:设t>0,由y=sin x得y'=cos x,
则曲线y=sin x在点(t,sin t)处的切线方程为y-sin t=cos t(x-t),
则当且仅当π-sin t=-tcos t(*)时,该切线过点B(0,π).
设G(t)=sin t-tcos t-π,则当00,
故y=G(t)在(0,π)上单调递增,
因此当0(3)由y=x3-x得y'=3x2-1,
对任意t∈R,曲线y=x3-x在点(t,t3-t)处的切线方程为y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t),
故当且仅当关于t的方程b-(t3-t)=(3t2-1)(a-t)恰有两个不同的实数解时,点(a,b)为函数y=x3-x的2度点.
设h(t)=2t3-3at2+(a+b),则当且仅当y=h(t)有两个不同的零点时,点(a,b)为函数y=x3-x的2度点.
若a=0,则h(t)=2t3+b在R上是增函数,只有一个零点,不合要求.
若a>0,因为h'(t)=6t2-6at,
所以当t<0或t>a时,h'(t)>0,可得y=h(t)在(-∞,0),(a,+∞)上单调递增;
当0故y=h(t)在t=0处取得极大值h(0)=a+b,在t=a处取得极小值h(a)=b+a-a3.
又因为当t→-∞时,h(t)→-∞,当t→+∞时,h(t)→+∞,
所以当h(0)>0>h(a)时,由零点存在定理得y=h(t)在(-∞,0),(0,a),(a,+∞)上各有一个零点,不合要求;
当0>h(0)>h(a)时,y=h(t)仅在(a,+∞)上有一个零点,不合要求;
当h(0)>h(a)>0时,y=h(t)仅在(-∞,0)上有一个零点,不合要求.
故当且仅当h(0)=0或h(a)=0时,y=h(t)有两个不同的零点.
若a<0,同理可得当且仅当h(0)=0或h(a)=0时,y=h(t)有两个不同的零点.
综上,y=x3-x的全体2度点构成的集合为{(a,b)|b=-a或b=a3-a,且a≠0}.单元素养测评卷(五)
第5章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若=6,则f'(2)= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.6
C.3 D.-3
2.已知函数f(x)=xsin x+cos x,则f'(x)= (　　)
A.xcos x B.-xcos x
C.2sin x+xcos x D.xsin x
3.[2025·山西太原一中高二调研] 已知定义在(0,3]上的函数f(x)的图象如图,则不等式f'(x)<0的解集为 (　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(0,1)∪(2,3)
4.[2025·江苏如东中学高二月考] 已知曲线y=x3上一点P,则该曲线在点P处的切线方程为 (　　)
A.12x-3y-16=0 B.2x-3y-16=0
C.12x-y-16=0 D.x-y-1=0
5.[2024·江苏南通高二期中] 已知函数f(x)=x-ln|x|,则f(x)的大致图象为 (　　)
A B C D
6.[2025·江苏启东中学高二月考] 已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为 (　　)
A.e2 B.e
C.e-1 D.e-2
7.[2025·江苏苏州中学高二调研] 已知函数f(x)=cos x+x2,若x=0是函数f(x)的唯一极小值点,则a的取值范围为 (　　)
A.[1,+∞) B.(-1,1)
C.[-1,+∞) D.(-∞,1]
8.[2025·江苏新海中学高二质检] 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的序号是 (　　)
①f(2025)=-2;②f'(1)=0;③f'(x)是奇函数;④f'(x)的周期是4.
A.①②④ B.②③
C.②④ D.①②③④
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·江苏张家港中学高二月考] 定义在R上的函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.函数y=f(x)在(3,5)上单调递减
B.f(0)>f(3)
C.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
D.函数y=f(x)存在最小值
10.[2025·山东莱芜一中高二质检] 已知函数f(x)=-1+ln x,则 (　　)
A.f(x)的图象在x=1处的切线为x轴
B.f(x)是(0,+∞)上的减函数
C.x=1为f(x)的极值点
D.f(x)的最小值为0
11.[2025·江苏锡山中学高二质检] 已知函数f(x)=ex-(x-1)sin x,则(　　)
A.函数f(x)在上单调递增
B.函数f(x)在(-π,0)上有两个零点
C.若对任意x∈(-π,0)恒有f(x)-2k≥0,则整数k的最大值为-3
D.若0三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数f(x)=x2-ln x的减区间为　　　　.
13.函数f(x)=3x-x3-a仅有一个零点,则实数a的取值范围是
　　　　　　　　　.
14.[2025·江苏梁丰中学高二调研] 如图所示,某小区有一半径为100 m,圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造,从弧AB上一点P向OB引垂线段PH(H在OB上),从点H向OP引垂线段DH(D在OP上).若在三角形OPH三边修建步行道,则步行道长度的最大值是　　　　m;若在三角形ODH内修建花圃,则花圃面积的最大值是　　　　m2.
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=(2+ln 2)x-xln x.
(1)求f(x)的减区间;
(2)求f(x)的最大值.
16.(15分)已知函数f(x)=x3+ax2+x(a∈R).
(1)若函数f(x)存在两个极值点,求a的取值范围;
(2)若f(x)≥xln x+x在(0,+∞)上恒成立,求a的最小值.
17.(15分)[2025·江苏通州中学高二月考] 如图①是一张边长为3的正方形硬纸板,现把它的四个角上分别裁去一个边长为x的小正方形,再折叠成无盖纸盒(如图②).当裁去的小正方形边长x发生变化时,纸盒的容积V会随之发生变化.
(1)把容积V表示为x的函数.
(2)当x取何值时,容积V最大 最大值是多少 (纸板厚度忽略不计)
18.(17分)[2025·江苏宿迁中学高二质检] 已知函数 f(x)=ex-ax-1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
19.(17分)[2025·江苏南京一中高二质检] 设P是平面直角坐标系xOy上的一点,曲线Γ是函数y=f(x)的图象.若过点P恰能作曲线Γ的k条切线(k∈N),则称P是函数y=f(x)的k度点.
(1)判断点O(0,0)与点A(2,0)是否为函数y=ln x的1度点,并说明理由;
(2)已知0(3)求函数y=x3-x的全体2度点构成的集合.

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