资源简介

滚动习题(二)
1.A　[解析] ∵a=(1,y,2),b=(-1,1,1),且a⊥b,∴a·b=-1+y+2=0,解得y=-1.故选A.
2.D　[解析] 因为点A(3,2,0),B(6,1,-2),C(5,-1,1),所以=(3,-1,-2),=(2,-3,1),所以||=,||=,所以cos∠BAC===,因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°,所以S△ABC=||·||·sin∠BAC=,所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为2S△ABC=7,故选D.
3.A　[解析] ∵直线l的一个方向向量为a=(1,2,-1),平面α的一个法向量为m=(-2,-4,k),l⊥α,∴a∥m,∴==,解得k=2.故选A.
4.C　[解析] 因为P,A,B,C四点共面,所以,,共面,设=x+y,因为=(2,1,-3),=(-1,2,3),=(λ,6,-9),所以=x+y=(2x-y,x+2y,-3x+3y)=(λ,6,-9),则解得故选C.
5.C　[解析] 由题可知D(,0,0),B(0,,0),E(0,0,1),A(,,0),所以=(,-,0),=(-,0,1),设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),则令a=1,则b=1,c=,可得n=(1,1,).设点M的坐标为(x,x,1),则=(x-,x-,1),因为AM∥平面BDE,所以·n=0,即x-+x-+=0,解得x=,所以点M的坐标为.故选C.
6.D　[解析] 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则F,C1(0,1,1),A(1,0,0),B1(1,1,1),E,∴=,=,=(0,1,1),=(-1,1,1),∴∥,即AE∥FC1,∵AE 平面AB1E,FC1 平面AB1E,∴FC1∥平面AB1E,∴直线FC1到平面AB1E的距离即为点C1到平面AB1E的距离.设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则z=2,y=-2,∴n=(1,-2,2),∴点C1到平面AB1E的距离为==.故选D.
7.BC　[解析] 空间中三个向量a=(1,2,0),b=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),对于A,因为=≠,所以a,c不共线,A错误;对于B,因为|a|==,所以与a同向的单位向量是==,B正确;对于C,c在a上的投影向量是|c|cos·=·a,因为a·c=1×(-1)+2×(-2)+0=-5,所以c在a上的投影向量是(1,2,0)=(-1,-2,0),C正确;对于D,因为a·b=-1+4+0=3≠0,所以a,b不垂直,D错误.故选BC.
8.ABD　[解析] 对于A,如图①,连接B1D1,BD.∵A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,B1D1∩BB1=B1,且B1D1,BB1 平面BB1D1D,∴A1C1⊥平面BB1D1D,又BD1 平面BB1D1D,∴A1C1⊥BD1.同理可得DC1⊥BD1.∵A1C1∩DC1=C1,且A1C1,DC1 平面A1C1D,∴直线BD1⊥平面A1C1D,故A正确.对于B,∵A1B1∥AB∥DC,且A1B1=DC,∴四边形A1B1CD是平行四边形,∴A1D∥B1C.又A1D 平面A1C1D,B1C 平面A1C1D,∴B1C∥平面A1C1D.∵点P在线段B1C上运动,∴P到平面A1C1D的距离,即点B1到平面A1C1D的距离,其为定值.又△A1C1D的面积是定值,∴三棱锥P-A1C1D的体积为定值,故B正确.设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图②所示的空间直角坐标系D-xyz.∵点P在线段B1C上运动,∴可设P(a,1,a),0≤a≤1,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),B(1,1,0),D1(0,0,1).对于C,=(a-1,1,a),=(-1,0,-1),∴cos<,>===,==1-,∵a∈[0,1],∴a2-a+1=+∈,1-∈,∴|cos<,>|∈.∵异面直线AP与A1D所成的角为锐角或直角,∴AP与A1D所成的角的取值范围为,故C错误.对于D,=(a,0,a-1),=(1,1,-1),由A可知=(1,1,-1)是平面A1C1D的一个法向量,∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为|cos<,>|===,∴当a=时,直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大,最大值为,故D正确.故选ABD.
9.　[解析] 因为=(2,1,2),所以||==3,所以点C(1,3,5)到直线AB的距离d===.
10.(1,2,0)(答案不唯一,x+y+z=3且x,y,z不全相等均可)　[解析] 由点A(-1,1,0),B(1,3,2),可得=(2,2,2),又向量a=(x,y,z)在上的投影向量为(1,1,1),∴·=·(2,2,2)=(2,2,2)=(1,1,1),则=1,即x+y+z=3,又∵向量与向量a不共线,∴==不成立,则可令x=1,y=2,z=0,即a=(1,2,0).
11.2a-b=3　　[解析] 由题知,是平面α的法向量,由u(x-x0)+v(y-y0)+w(z-z0)=0,可得ux+vy+wz-(ux0+vy0+wz0)=0,因为此平面的法向量为(u,v,w),所以平面α:x+2y+2z-3=0的法向量为n=(1,2,2).因为l⊥α,P,M在l上,所以∥n,又=(a-2,b-1,c-3),所以==,整理得2a-b=3.在平面α:x+2y+2z-3=0中,令y=0,z=0,可得x=3.设Q(3,0,0),则Q在平面α内.因为=(-1,1,3),所以点P到平面α的距离d===.
12.解:(1)根据空间向量的线性运算,可得=-=+-,所以||2=(+-)2=+++2·-2·-2·=1+4+1+2×1×2×-0-2×2×1×=6,
所以||=.
(2)由空间向量的运算法则,可得=+,因为AB=AD=1,AA1=2且∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,所以·=(+-)·(+)=·++·+·--·=1×1×cos +12+2×1×cos +2×1×cos -12-1×1×cos =2.
13.解:(1)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D1-xyz,
则A(2,0,2),E(2,1,0),C(0,2,2),F(2,1,2),
所以=(0,1,-2),=(2,-1,0),
设直线AE与直线CF的夹角为θ,
则cos θ=|cos<,>|===,
故直线AE与直线CF夹角的余弦值为.
(2)因为B(2,2,2),A(2,0,2),C1(0,2,0),所以=(0,2,0),=(-2,2,-2),所以点B到直线AC1的距离为==.
(3)由题意知,A(2,0,2),E(2,1,0),C1(0,2,0),C(0,2,2),
所以=(0,1,-2),=(-2,2,-2),=(-2,2,0),设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),
则
取z=1,则y=2,x=1,所以n=(1,2,1),所以点C到平面AEC1的距离为==.
14.解:(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,取PD的中点Q,连接AQ, NQ,由M,N分别为AB, PC的中点,可得NQ∥CD,NQ=CD,
又四边形ABCD是正方形,所以AM∥CD∥NQ,AM=CD=NQ,所以四边形AMNQ是平行四边形, 所以MN∥AQ,又AQ 平面PAD,MN 平面PAD,所以MN∥平面PAD.
(2)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),M(2,1,0),N(0,1,1),易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0),
设平面MND的法向量为m=(x,y,z),因为=(2,1,0),=(0,1,1),所以令x=1,则y=-2,z=2,所以m=(1,-2,2),所以平面PAD与平面MND夹角的余弦值为|cos|==.
(3)易知A(2,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),
假设在棱PA上存在一点E,满足条件.
令=λ=λ(-2,0,2)=(-2λ,0,2λ),0≤λ≤1,
则=+=(2-2λ,0,2λ).=(2,0,0),=(0,-2,2),
设平面PBC的法向量为u=(x1,y1,z1),
则取y1=1,得u=(0,1,1),
则直线DE与平面PBC所成角的正弦值为|cos<,u>|===,
解得λ=,
所以在棱PA上存在一点E,使得直线DE与平面PBC所成的角为,
此时点E为PA的中点.(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知向量a=(1,y,2),b=(-1,1,1),且a⊥b,则y等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-1 B.1
C.-2 D.2
2.已知空间三点A(3,2,0),B(6,1,-2),C(5,-1,1),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 (　 )
A. B.7 C. D.7
3.[2025·江苏南京师大附属实验学校高二月考] 若直线l的一个方向向量为a=(1,2,-1),平面α的一个法向量为m=(-2,-4,k),若l⊥α,则实数k= (　 )
A.2 B.-10 C.-2 D.10
4.已知=(2,1,-3),=(-1,2,3),=(λ,6,-9),若P,A,B,C四点共面,则λ= (　 )
A.3 B.-3 C.7 D.-7
5.在如图所示的空间直角坐标系中,正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直,||=,||=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为 (　 )
A.(1,1,1) B.
C. D.
6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为BB1的中点,则直线FC1到平面AB1E的距离为 (　 )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知空间中三个向量a=(1,2,0),b=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),则下列说法正确的是 (　 )
A.a与c是共线向量
B.与a同向的单位向量是
C.c在a上的投影向量是(-1,-2,0)
D.a与b的夹角为90°
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段B1C上运动,则下列结论正确的是 (　 )
A.直线BD1⊥平面A1C1D
B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C.异面直线AP与A1D所成的角的取值范围是
D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知直线AB过点A(-1,2,3),它的一个方向向量为m=(1,2,1),则点C(1,3,5)到直线AB的距离为　　　　.
10.已知点A(-1,1,0),B(1,3,2),与向量不共线的向量a=(x,y,z)在上的投影向量为(1,1,1),则a的一个坐标为　　　　.
11.[2025·江苏无锡期末] 在空间直角坐标系中,u(x-x0)+v(y-y0)+w(z-z0)=0表示经过点(x0,y0,z0),且法向量为(u,v,w)的平面的方程.已知平面α的方程为x+2y+2z-3=0,过点P(2,1,3)作直线l⊥α,点M(a,b,c)为直线l上任意一点,则a,b满足的关系式为　　　　,点P到平面α的距离为　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=.
(1)用向量,,表示向量,并求||;
(2)求·.
13.(15分)[2025·江苏无锡辅仁高中高二质检] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B1的中点,F为AB的中点.
(1)求直线AE与直线CF夹角的余弦值;
(2)求点B到直线AC1的距离;
(3)求点C到平面AEC1的距离.
14.(15分)[2025·江苏常州金坛一中高二调研] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,M,N分别为AB,PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD.
(2)求平面PAD与平面MND夹角的余弦值.
(3)在棱PA上是否存在一点E,使得直线DE与平面PBC所成的角为 若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.(共39张PPT)
滚动习题（二）
范围6.2~6.3
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知向量,,且,则 等于( )
A. B.1 C. D.2
[解析] ,,且 ,
,解得 .故选A.
√
2.已知空间三点，，，则以， 为
邻边的平行四边形的面积为( )
A. B.7 C. D.
√
[解析] 因为点,, ，所以
,，所以, ，所
以，
因为 ，所以 ，所以
，所以以,为邻边的平行四边形的
面积为 ，故选D.
3.［2025·江苏南京师大附属实验学校高二月考］若直线 的一个方向
向量为，平面 的一个法向量为 ，若
，则实数 ( )
A.2 B. C. D.10
[解析] 直线的一个方向向量为，平面 的一个法向
量为， ，， ，解得
.故选A.
√
4.已知，，，若， ，
，四点共面，则 ( )
A.3 B. C.7 D.
[解析] 因为，，，四点共面，所以，， 共面，
设，因为， ，
，所以
，则
解得 故选C.
√
5.在如图所示的空间直角坐标系中,正方形与矩形 所在的
平面互相垂直,,,在上,且平面 ,则点
的坐标为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题可知,, ,
,所以, ,
设平面的法向量为 ,则
令,则， ，可
得.
设点的坐标为,则 ,
因为平面 ,所以,即,
解得 ,所以点的坐标为 .故选C.
6.如图，在棱长为1的正方体
中，为的中点，为的中点，则直线
到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以,, 为单位正交基底，建立如图所示
的空间直角坐标系，则， ，
，，， ，
，，，
，即，
平面， 平面， 平面，
直线到平面的距离即为点到平面 的距离.
设平面 的法向量为，
则令 ，
则,，，
点到平面 的距离为 .故选D.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.已知空间中三个向量，， ，
则下列说法正确的是( )
A.与 是共线向量
B.与同向的单位向量是
C.在上的投影向量是
D.与的夹角为
√
√
[解析] 空间中三个向量，， ，
对于A，因为，所以， 不共线，A错误；
对于B，因为，所以与 同向的单位向量是
，B正确；
对于C，在 上的投影向量是, ，因为
，所以在 上的投影向量是
，C正确；
对于D，因为，所以，不垂直，D错误.
故选 .
8.如图，在正方体中，点在线段 上运动，则
下列结论正确的是( )
A.直线 平面
B.三棱锥 的体积为定值
C.异面直线与所成的角的取值范围是
D.直线与平面 所成角的正弦值的最大值
为
√
√
√
[解析] 对于A，如图①，连接, ，
，，且, 平面 ，
平面，又 平面， .同
理可得，且, 平面 ，
直线 平面，故A正确.
对于B， ，且，
四边形是平行四边形，.
又 平面， 平面，
平面
点 在线段上运动，到平面的距离，
即点到平面 的距离，其为定值.又的
面积是定值， 三棱锥 的体积为定值，
故B正确.
设正方体的棱长为1，以,, }为单位正交基底，
建立如图②所示的空间直角坐标系
点在线段 上运动， 可设,，
则,, ,
,,.
对于C， ，， ,
，
，
，
， ，
,. 异面直线与 所成的角为锐角或直
角，与所成的角的取值范围为 ，故C错误.
直线与平面 所成角
的正弦值为,，
当时，直线与平面所成角
的正弦值最大，最大值为 ，
故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.已知直线过点，它的一个方向向量为 ，则
点到直线 的距离为____.
[解析] 因为，所以 ，所以点
到直线的距离 .
10.已知点,，与向量不共线的向量
在上的投影向量为，则 的一个坐标为_________________
_____________________________________.
（答案不唯
一，且,,不全相等均可）
[解析] 由点,，可得 ，
又向量在上的投影向量为 ，
，则
，即，
又 向量与向量 不共线，不成立，则可令,,
，即 .
11.［2025·江苏无锡期末］在空间直角坐标系中，
表示经过点 ，且法
向量为的平面的方程.已知平面 的方程为
，过点作直线 ，点 为直
线上任意一点，则,满足的关系式为___________，点到平面
的距离为__.
[解析] 由题知，是平面 的法向量，由
，可得 ，
因为此平面的法向量为，所以平面的
法向量为 .
因为 ，，在上，所以,
又 ，所以，整理得 .
在平面中，令，，可得.
设 ，则在平面 内.
因为，所以点到平面 的距离 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）如图所示，在平行六面体
中，， ，
， .
（1）用向量，，表示向量 ，并求
；
解：根据空间向量的线性运算，可得
所以 .
，所以 ，
12.（13分）如图所示，在平行六面体
中，， ，
， .
（2）求 .
解：由空间向量的运算法则，可得 ，
因为，且 ，
，所以 .
13.（15分）［2025·江苏无锡辅仁高中高二质检］如图，在棱长为2
的正方体中，为的中点，为 的中点.
（1）求直线与直线 夹角的余弦值；
解：以,, 为正交基底，建立如图所
示的空间直角坐标系 ，
则，，， ，
所以， ，
设直线与直线的夹角为 ,
则， ，
故直线与直线夹角的余弦值为 .
13.（15分）［2025·江苏无锡辅仁高中高二质检］
如图，在棱长为2的正方体 中，
为的中点，为 的中点.
（2）求点到直线 的距离；
解：因为，， ，所以
，，
所以点到直线 的距离为
.
13.（15分）［2025·江苏无锡辅仁高中高二质检］如图，在棱长为2
的正方体中，为的中点，为 的中点.
（3）求点到平面 的距离.
解：由题意知，，， ，
，
所以， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则
取，则，，所以 ，所以
点到平面的距离为 .
14.（15分）［2025·江苏常州金坛一中高二调研］如图，在四棱锥
中，底面是正方形， 平面 ，
，，分别为， 的中点.
（1）求证：平面 .
证明：在四棱锥中，取的中点 ,连
接,,由,分别为, 的中点,可得
, ，
又四边形是正方形，所以 ，
，所以四边形 是平行四
边形, 所以,
又 平面, 平面,所以平面 .
14.（15分）［2025·江苏常州金坛一中高二调研］
如图，在四棱锥中，底面 是正方
形， 平面，，， 分
别为， 的中点.
（2）求平面与平面 夹角的余弦值.
解：以,, 为正交基底，建立如图所示的空间直
角坐标系，则,， ,
易知平面的一个法向量为 ，
设平面的法向量为，
因为 ， ，所以
令，则， ，所
以，所以平面与平面 夹角的余弦
值为, .
14.（15分）［2025·江苏常州金坛一中高二调研］
如图，在四棱锥中，底面 是正方
形， 平面，，， 分
别为， 的中点.
（3）在棱上是否存在一点，使得直线 与
平面所成的角为？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说
明理由.
解：易知，，，，
假设在棱上存在一点 ,满足条件.
令 ，
，则
， ，
则直线与平面所成角的正弦值为 ，
，解得 ，
所以在棱上存在一点,使得直线与平面 所成
的角为 ，此时点为 的中点.
设平面的法向量为 ，
则取，得 ，
快速核答案
1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.BC 8.ABD 9.
10.（答案不唯一，且,,不全相等均可） 11.
12.（1），（2）2
13.（1） （2） （3）
14.（1）证明略（2）
（3） 在棱上存在一点,使得直线与平面所成的角为，此时点为的
中点

展开更多......

收起↑