资源简介

微突破　常见的排列组合问题解题策略
类型一
例1　D　[解析] 把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于四人的全排列,有=24(种)排法.故选D.
变式　D　[解析] 3名女生必须相邻,先把3名女生看成一个整体,女生内部有=6(种)排法,再把这个整体与另外3名男生全排列,有=24(种)排法,则不同的坐法有6×24=144(种).故选D.
类型二
例2　B　[解析] 除甲、乙外,其余五人全排列,有种排法,再把甲、乙插入到6个空位中,有种排法,则不同的排法种数是=3600,故选B.
变式　B　[解析] 首先将12名学生全排列,有种排法,再将4名老师插入到12名学生所形成的13个空位(包括两端)中的4个空位中,有种排法,则一共有种排法.故选B.
类型三
例3　C　[解析] 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共有=720(种)排法,故选C.
变式　解:看成一排,某2个元素在前半段的4个位置中选2个进行排列,有种排法.某1个元素在后半段的4个位置中选1个进行排列,有种排法.其余5个元素任意排在剩余5个位置上,有种排法.所以共有=5760(种)排法.
类型四
例4　112　[解析] 将新增加的2个歌唱节目捆绑为一个“大元素”,与其他7个节目进行排列,因为原定表演的6个节目的顺序不变,所以不同的排法种数为=2×7×8=112.
变式　C　[解析] 先从后排6人中抽出2名同学,有种方法,然后这2名同学与前排4人全排列,有种排法,因为其他同学的相对顺序不变,所以前排原来的4人不需要再排,所以共有·=450(种)调整方案.故选C.
类型五
例5　B　[解析] 第一步,把数字1填入方格中,有3种方法;第二步,把被填入数字1的方格对应的标号数字填入其他三个方格,有3种方法;第三步,填余下的两个数字,只有1种方法.所以共有3×3×1=9(种)填法.故选B.
变式　解:根据A球所放的位置分三类:
(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的3个盒子放C,D,E球,此时有=6(种)不同的放法;
(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的3个盒子放C,D,E球,此时有=6(种)不同的放法;
(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个盒子内,余下的3个盒子放C,D,E球,此时有=18(种)不同的放法.
综上所述,不同的放法共有6+6+18=30(种).微突破　常见的排列组合问题解题策略
1.B　[解析] 先将甲、乙两位同学捆绑,再与另外4位同学全排列,所以满足题意的排法种数为=2.故选B.
2.C　[解析] 先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄全排列,有种方法,再将两颗圣女果插入到3颗水果形成的4个空位中,有种方法,所以不同的串法有=72(种).故选C.
3.A　[解析] 先排4个商业广告,形成5个空,再将2个公益广告插入到5个空中,则不同的播放方式共有种,故选A.
4.C　[解析] 当丙站在最左端时,甲、丙必须相邻,其余人全排列,有=6(种)站法;当丙不站在最左端时,从丁、戊两人中选一人站在最左端,再将甲、丙捆绑,与余下的两人全排列,有=24(种)站法.所以一共有6+24=30(种)不同的站法.故选C.
5.B　[解析] 当四位数中不出现1时,排法有××=96(种);当四位数中出现一个1时,排法有2×××=192(种);当四位数出现两个1时,排法有××=48(种).所以可构成不同的四位数的个数为96+192+48=336.故选B.
6.A　[解析] 先排第一列,因为每列的字母互不相同,所以共有3×2×1种不同的排法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二行与第三行的字母都只有1种排法.综上可知,共有3×2×1×2=12(种)不同的排法.故选A.
7.AC　[解析] 若随意坐,则共有=210 (种)坐法,A选项正确;若3人连坐,则可将这3人捆绑成一个座位,再与其他4个空位排列,则共有=30(种)坐法,B选项错误;3人坐好, 3人之间及两端共形成4个空,选1个空插入3个空座位,选另一空插入1个空座位即可,则共有=72(种)坐法,C选项正确;4个空位之间及两端共形成5个空,在这5个空中选3个供3人坐,则共有=60(种)坐法,D选项错误.故选AC.
8.840　[解析] 对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有=840(种)不同的排法.
9.解:(1)先排甲,有5种方法,再排其余六人,有种方法,则共有5×=3600(种)方法.
(2)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生全排列,有种方法,再将女生全排列,有种方法,则共有·=576(种)方法.
(3)第一步,先排甲、乙两人,有种方法,
第二步,从剩下的5人中选3人排到甲、乙中间,有种方法,
第三步,把甲、乙及中间的3人看作一个整体,与剩下两人排列,有种方法,
则共有××=720(种)方法.
(4)(消序法)由题意知,共有=2520(种)方法.
10.D　[解析] 根据题意,只能一排3男1女,另一排2男2女,且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中.先确定“3男1女”这一排,从5位男运动员中选3人,从3位女运动员中选1人,所选出的3位男运动员中选2人相邻,与余下的1位男运动员安排在1名女运动员的两侧,排列方法有=360(种);再确定“2男2女”这一排,先排好2位男运动员,有种方法,再将2位女运动员相邻安排在2位男运动员之间,有1×种方法,或将2位女运动员中的一位安排在2位男运动员之间,另一位安排在2位男运动员左侧或右侧,有2×2种方法,排列方法有(1×+2×2)=12(种).所以不同的排列方法共有2×360×12=8640(种).故选D.
11.ACD　[解析] 对于A,10个节目全排列,有种不同的节目演出顺序,故A正确.对于B,当4个舞蹈节目排在一起时,把4个舞蹈节目看成一个元素,与其他6个节目全排列,有种不同的节目演出顺序,又因为4个舞蹈节目本身有种顺序,所以共有种不同的节目演出顺序,故B错误.对于C,把6个演唱节目全排列,有种顺序,再把4个舞蹈节目插入到7个空隙中,有种方法,所以共有种不同的演出顺序,故C正确.对于D,12个节目全排列,有种不同的节目演出顺序,其中原来的10个节目有种不同的节目演出顺序,因为加上2个新节目后原来的10个节目顺序不变,所以有种不同的节目演出顺序,故D正确.故选ACD.
12.1152　[解析] 设一班的3名同学为A1,A2,A3,二班的两名同学为B1,B2,三班的1名同学为C,四班的1名同学为D,则A1,A2,A3不能相邻,B1,B2不能相邻.以下分两类,先排B1,B2,C,D的相对位置:若B1,B2之间有C或D,则这四人共有-×3×2种相对位置,再让A1,A2,A3来插空,总共有(-×3×2)·=720(种)站法;若B1,B2之间没有C,D,则将B1,B2“捆挷”在一起,再与C,D排列,可知这四人共有种相对位置,再让A1,A2,A3来插空,因为B1,B2不能相邻,所以他们之间必然会有且只有一个一班同学,所以总共有()·()=432(种)站法.综上,总共有432+720=1152(种)站法.
13.解: (1)队伍分配方案可分为两类:①两组都是3女2男;②一组是1男4女,另一组是3男2女.
①两组都是3女2男,
则先将6女平均分成两组共种方式,
再将4男平均分成两组共种方式,
所以两组都是3女2男的分组方案有·×2=60(种);
②一组是1男4女,另一组是3男2女的分组方案有···=60(种).
所以分组方案共有60+60=120(种).
(2)总共可分为三种情况.
①若A,B上场且E不上场:
先将A,B全排列,共有种方式,
再把A,B捆绑后和C,D,F全排列,共有种方式,
所以A,B上场且E不上场,共有×=48(种)不同的排列方式.
②若A,B上场且E也上场:
(i)若E在1号位,先将A,B全排列,共有种方式,再从C,D,F中选两人,有种方式,则A,B捆绑后和C,D,F中选出的两人全排列,有种方式,
所以E在1号位共有××=36(种)不同的方式;
(ii)若E在2号位,先将A,B全排列,则A,B可位于3,4号位或4,5号位,共有×2种方式,
再从C,D,F中选出两人进行排列,有种方式,
所以E在2号位共有×2×=24(种)不同的方式;
(iii)若E在3号位,先将A,B全排列,则A,B可位于1,2号位或4,5号位,共有×2种方式,
再从C,D,F中选两人进行排列,有种方式,
所以E在3号位共有×2×=24(种)不同的方式;
(iv)若E在4号位,先将A,B全排列,则A,B可位于1,2号位或2,3号位,共有×2种方式,
再从C,D,F中选两人进行排列,有种方式,
所以E在4号位共有×2×=24(种)不同的方式.
所以若A,B上场且E也上场共有36+24+24+24=108(种)不同的方式.
③若A,B中有一人上场且E上场:
E上场且不在5号位,则E可以位于1,2,3,4号位,有种方式,再从A,B中选一人,有种方式,将A,B中选出的一人和C,D,F共4人全排列,共种方式,
所以A,B中有一人上场且E上场共有××=192(种)不同的排列方式.
综上所述,共有48+108+192=348(种)排列方式.微突破　常见的排列组合问题解题策略
类型一　相邻问题——捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法有 (　 )
A.60种 B.48种 C.36种 D.24种
变式 有3名男生和3名女生去影院观影,他们买了同一排相连的6个座位,若3名女生必须相邻,则不同的坐法有 (　 )
A.24种 B.48种 C.96种 D.144种
类型二　相离问题——插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定相离的几个元素插入上述几个元素之间的空位和两端.
例2 七人并排站成一行,如果甲、乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数是 (　 )
A.1440 B.3600 C.4820 D.4800
变式 12名学生与4名老师站成一排拍照,要求4名老师两两不相邻,则不同的排法种数为 (　 )
A. B. C. D.
类型三　多排问题——单排法
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.
例3 把6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是 (　 )
A.36 B.120 C.720 D.1440
变式 把8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素要排在后排,有多少种不同排法
类型四　定序问题——缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
例4 [2025·江苏盐城高二期末] 某公司为庆祝年利润目标实现,计划举行答谢联欢会,原定表演6个节目,已排成节目单,开演前又临时增加了2个歌唱节目和1个舞蹈节目,如果保持原节目的顺序不变,且要求新增加的2个歌唱节目相邻,那么不同排法的种数为　　　　.
变式 某班10名同学一起参加数学竞赛,赛后老师为这10名同学拍合影留念,前排站4人后排站6人,后来老师决定从后排6人中抽出2名同学站到前排,其他同学的相对顺序不变,则调整方案的种数为 (　 )
A.150 B.300
C.450 D.225
类型五　标号排位问题——分步法
把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,再排另一个元素,如此继续下去,依次完成即可.
例5 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 (　 )
A.6种 B.9种
C.11种 D.23种
变式 将编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子内,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子内,B球必须放在与A球相邻的盒子内,求不同的放法种数.微突破　常见的排列组合问题解题策略
1.现有6位同学站成一排照相,其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.2
C. D.2
2.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦,若要求两颗圣女果不相邻,则不同的串法有 (　 )
A.36种 B.48种
C.72种 D.144种
3.电视台在某电视剧开播前连续播放6个不同的广告,其中4个商业广告,2个公益广告,现要求2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式共有 (　 )
A.种 B.种
C.种 D.种
4.[2025·江苏南通一中检测] 女排比赛后,甲、乙、丙、丁、戊五名球迷在现场合影留念,其中甲、乙均不能站最左端,且甲、丙必须相邻,则不同的站法共有 (　 )
A.18种 B.24种
C.30种 D.36种
5.[2025·江苏徐州一中高二期末] 4张卡片的正、反面分别写有数字1,2;1,3;4,5;6,7.将这4张卡片排成一排,可构成不同的四位数的个数为(　 )
A.288 B.336 C.368 D.412
6.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (　 )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
7.(多选题)已知有编号为1至7的7个座位连成一排,现有3人就座,则下列说法正确的是 (　 )
A.若随意坐,则共有210种坐法
B.若3人连坐,则共有60种坐法
C.若仅有3个空座位相邻,则共有72种坐法
D.若3人都不相邻,则共有72种坐法
8.7人排队,其中甲、乙、丙3人顺序一定(可以相邻,也可以不相邻),则共有　　　　种不同的排法.
9.(13分)有3名男生、4名女生,求满足下列不同条件的排队方法的种数.
(1)全体排一排,甲不站排头也不站排尾;
(2)全体排一排,女生必须站在一起;
(3)全体排一排,甲乙两人中间恰好有3人;
(4)全体排一排,甲必须排在乙的前面.
10.某比赛结束后,5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影,每排各4人,若男运动员中恰有2人相邻(其余3人均不相邻,此处相邻是指左右相邻),则不同的排列方法共有 (　 )
A.732种 B.2260种
C.4320种 D.8640种
11.(多选题)在高二年级元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.以下结论中正确的是 (　 )
A.有种不同的节目演出顺序
B.当4个舞蹈节目排在一起时,有种不同的节目演出顺序
C.当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有种不同的演出顺序
D.若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有种不同的节目演出顺序
12.来自4个班的7名同学一起参加登山活动,其中一班有3人,二班有2人,三班和四班各1人,到达山顶之后7人排成一排合影留念,则同班同学不相邻的站法总共有　　　　种.
13.(15分)某中学举行教职工气排球比赛,赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍,每支队伍五人,并要求每支队伍至少有两名女老师,现高二年级共有4名男老师,6名女老师报名参加比赛.
(1)一共有多少不同的分组方案
(2)在进入决赛后,每个年级只派出一支队伍参加决赛,在比赛时须按照1,2,3,4,5号位站好,为争取最好成绩,高二年级选择了A,B,C,D,E,F六名女老师进行训练,经训练发现E不能站在5号位,若A,B同时上场时,必须站在相邻号位的位置,则一共有多少种排列方式 (共43张PPT)
微突破 常见的排列组合问题解题策略
类型一 相邻问题——捆绑法
类型二 相离问题——插空法
类型三 多排问题——单排法
类型四 定序问题——缩倍法
类型五 标号排位问题——分步法
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
类型一 相邻问题——捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1 ,,,,五人并排站成一排，如果,必须相邻且在 的右边，
那么不同的排法有( )
A.60种 B.48种 C.36种 D.24种
[解析] 把,视为一人，且固定在 的右边，则本题相当于四人的
全排列，有 （种）排法.故选D.
√
变式 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个
座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有( )
A.24种 B.48种 C.96种 D.144种
[解析] 3名女生必须相邻，先把3名女生看成一个整体，女生内部有
（种）排法，
再把这个整体与另外3名男生全排列，有（种）排法，则不同
的坐法有 （种）.故选D.
√
类型二 相离问题——插空法
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，
再把规定相离的几个元素插入上述几个元素之间的空位和两端.
例2 七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的
排法种数是( )
A.1440 B.3600 C.4820 D.4800
[解析] 除甲、乙外，其余五人全排列，有 种排法，再把甲、乙插
入到6个空位中，有种排法，则不同的排法种数是 ，
故选B.
√
变式 12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，
则不同的排法种数为( )
A. B. C. D.
[解析] 首先将12名学生全排列，有 种排法,再将4名老师插入到12
名学生所形成的13个空位（包括两端）中的4个空位中,有 种排法,
则一共有 种排法.故选B.
√
类型三 多排问题——单排法
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.
例3 把6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种
数是( )
A.36 B.120 C.720 D.1440
[解析] 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素
排成一排,共有 （种）排法,故选C.
√
变式 把8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要
排在前排,某1个元素要排在后排,有多少种不同排法
解：看成一排,某2个元素在前半段的4个位置中选2个进行排列,有
种排法.
某1个元素在后半段的4个位置中选1个进行排列,有 种排法.
其余5个元素任意排在剩余5个位置上,有 种排法.所以共有
（种）排法.
类型四 定序问题——缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数
的方法.
例4 ［2025·江苏盐城高二期末］某公司为庆祝年利润目标实现，计
划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临
时增加了2个歌唱节目和1个舞蹈节目，如果保持原节目的顺序不变，
且要求新增加的2个歌唱节目相邻，那么不同排法的种数为_____.
112
[解析] 将新增加的2个歌唱节目捆绑为一个“大元素”，与其他7个节
目进行排列，
因为原定表演的6个节目的顺序不变，所以不同的排法种数为
.
变式 某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合
影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出2名
同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方案的种数为
( )
A.150 B.300 C.450 D.225
[解析] 先从后排6人中抽出2名同学，有 种方法，然后这2名同学与
前排4人全排列，有 种排法，
因为其他同学的相对顺序不变，所以前排原来的4人不需要再排，
所以共有 （种）调整方案.故选C.
√
类型五 标号排位问题——分步法
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，再排另一个
元素，如此继续下去，依次完成即可.
例5 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格
填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
√
[解析] 第一步，把数字1填入方格中，有3种方法；
第二步，把被填入数字1的方格对应的标号数字填入其他三个方格，
有3种方法；
第三步，填余下的两个数字，只有1种方法.所以共有 （种）
填法.故选B.
变式 将编号为,,,, 的5个小球放在如图
所示的5个盒子内,要求每个盒子只能放1个小
球,且球不能放在1,2号盒子内, 球必须放在
与 球相邻的盒子内,求不同的放法种数.
解：根据 球所放的位置分三类:
（1）若球放在3号盒子内,则 球只能放在4
号盒子内,余下的3个盒子放,, 球,此时有
（种）不同的放法;
（2）若球放在5号盒子内,则 球只能放在4
号盒子内,余下的3个盒子放,, 球,此时有
（种）不同的放法;
（3）若球放在4号盒子内,则 球可以放在2号、3号、5号盒子中的
任何一个盒子内,余下的3个盒子放,,球,此时有 （种）
不同的放法.
综上所述,不同的放法共有 （种）.
练习册
1.现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数
为( )
A. B. C. D.
[解析] 先将甲、乙两位同学捆绑，再与另外4位同学全排列，所以满
足题意的排法种数为 .故选B.
√
2.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草
莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，
则不同的串法有( )
A.36种 B.48种 C.72种 D.144种
[解析] 先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄全排列，有 种方法，
再将两颗圣女果插入到3颗水果形成的4个空位中，有 种方法，所
以不同的串法有 （种）.故选C.
√
3.电视台在某电视剧开播前连续播放6个不同的广告,其中4个商业广
告，2个公益广告,现要求2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方
式共有( )
A.种 B.种 C.种 D. 种
[解析] 先排4个商业广告,形成5个空,再将2个公益广告插入到5个空中,
则不同的播放方式共有 种,故选A.
√
4.［2025·江苏南通一中检测］女排比赛后，甲、乙、丙、丁、戊五
名球迷在现场合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必
须相邻，则不同的站法共有( )
A.18种 B.24种 C.30种 D.36种
[解析] 当丙站在最左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有
（种）站法；
当丙不站在最左端时，从丁、戊两人中选一人站在最左端，再将甲、
丙捆绑，与余下的两人全排列，有（种）站法.
所以一共有 （种）不同的站法.故选C.
√
5.［2025·江苏徐州一中高二期末］4张卡片的正、反面分别写有数字
1，2；1，3；4，5；6，7.将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位
数的个数为( )
A.288 B.336 C.368 D.412
[解析] 当四位数中不出现1时，排法有 （种）；
当四位数中出现一个1时，排法有 （种）；
当四位数出现两个1时，排法有 （种）.
所以可构成不同的四位数的个数为 .故选B.
√
6.将字母,,,,, 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的
字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
[解析] 先排第一列,因为每列的字母互不相同,所以共有 种不
同的排法;
再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,
第二列第二行与第三行的字母都只有1种排法.
综上可知，共有 （种）不同的排法.故选A.
√
7.（多选题）已知有编号为1至7的7个座位连成一排，现有3人就座，
则下列说法正确的是( )
A.若随意坐，则共有210种坐法
B.若3人连坐，则共有60种坐法
C.若仅有3个空座位相邻，则共有72种坐法
D.若3人都不相邻，则共有72种坐法
√
√
[解析] 若随意坐,则共有 （种）坐法,A选项正确;
若3人连坐, 则可将这3人捆绑成一个座位,再与其他4个空位排列,则共有
（种）坐法,B选项错误;
3人坐好, 3人之间及两端共形成4个空,选1个空插入3个空座位,选另一
空插入1个空座位即可,则共有 （种）坐法,C选项正确;
4个空位之间及两端共形成5个空, 在这5个空中选3个供3人坐,则共有
（种）坐法,D选项错误.故选 .
8.7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定（可以相邻，也可以不相
邻），则共有_____种不同的排法.
840
[解析] 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与
其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全
排列数，则共有 （种）不同的排法.
9.（13分）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的
种数.
（1）全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
解：先排甲，有5种方法，再排其余六人，有 种方法，则共有
（种）方法.
（2）全体排一排，女生必须站在一起；
解：（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生全排列，有 种方法，
再将女生全排列，有种方法，则共有 （种）方法.
9.（13分）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的
种数.
（3）全体排一排，甲乙两人中间恰好有3人；
解：第一步，先排甲、乙两人，有 种方法，
第二步，从剩下的5人中选3人排到甲、乙中间，有 种方法，
第三步，把甲、乙及中间的3人看作一个整体，与剩下两人排列，有
种方法，
则共有 （种）方法.
9.（13分）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的
种数.
（4）全体排一排，甲必须排在乙的前面.
解：（消序法）由题意知，共有 （种）方法.
10.某比赛结束后,5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合
影,每排各4人,若男运动员中恰有2人相邻（其余3人均不相邻，此处
相邻是指左右相邻）,则不同的排列方法共有( )
A.732种 B.2260种 C.4320种 D.8640种
√
[解析] 根据题意,只能一排3男1女,另一排2男2女,且相邻的2位男运动
员在“3男1女”这一排中.
先确定“3男1女”这一排,从5位男运动员中选3人,从3位女运动员中选1人,
所选出的3位男运动员中选2人相邻,与余下的1位男运动员安排在1名女
运动员的两侧,排列方法有 （种）;
再确定“2男2女”这一排,先排好2位男运动员,有 种方法,再将2位女运
动员相邻安排在2位男运动员之间,有 种方法,
或将2位女运动员中的一位安排在2位男运动员之间，另一位安排在2位
男运动员左侧或右侧，有 种方法,排列方法有
（种）.
所以不同的排列方法共有 （种）.故选D.
11.（多选题）在高二年级元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节
目.以下结论中正确的是( )
A.有 种不同的节目演出顺序
B.当4个舞蹈节目排在一起时，有 种不同的节目演出顺序
C.当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有 种不
同的演出顺序
D.若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，
但不能改变原来节目的相对顺序，有 种不同的节目演出顺序
√
√
√
[解析] 对于A，10个节目全排列,有 种不同的节目演出顺序,故A正
确.
对于B，当4个舞蹈节目排在一起时,把4个舞蹈节目看成一个元素,
与其他6个节目全排列,有 种不同的节目演出顺序,又因为4个舞蹈节
目本身有种顺序,所以共有 种不同的节目演出顺序,故B错误.
对于C，把6个演唱节目全排列,有 种顺序,再把4个舞蹈节目插入到7
个空隙中，有种方法,所以共有 种不同的演出顺序,故C正确.
对于D，12个节目全排列,有 种不同的节目演出顺序,其中原来的10
个节目有 种不同的节目演出顺序,因为加上2个新节目后原来的10个
节目顺序不变,所以有种不同的节目演出顺序,故D正确.故选 .
12.来自4个班的7名同学一起参加登山活动，其中一班有3人，二班有
2人，三班和四班各1人，到达山顶之后7人排成一排合影留念，则同
班同学不相邻的站法总共有______种.
1152
[解析] 设一班的3名同学为，，，二班的两名同学为， ，
三班的1名同学为，四班的1名同学为，则，， 不能相邻，
，不能相邻.
以下分两类，先排，，， 的相对位置：若，之间有或，
则这四人共有 种相对位置，再让，，来插空，
总共有 （种）站法；
若，之间没有，，则将，“捆挷”在一起，再与 ，排列，
可知这四人共有种相对位置，再让，， 来插空，
因为， 不能相邻,所以他们之间必然会有且只有一个一班同学,所
以总共有 （种）站法.
综上，总共有 （种）站法.
13.（15分）某中学举行教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出
十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两
名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.
（1）一共有多少不同的分组方案？
解： 队伍分配方案可分为两类:①两组都是3女2男;②一组是1男4女,
另一组是3男2女.
①两组都是3女2男，则先将6女平均分成两组共 种方式，
再将4男平均分成两组共 种方式，
所以两组都是3女2男的分组方案有 （种）;
②一组是1男4女,另一组是3男2女的分组方案有
（种）.
所以分组方案共有 （种）.
13.（15分）某中学举行教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出
十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两
名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.
（2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时
须按照1，2，3，4，5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了
，，，，，六名女老师进行训练，经训练发现 不能站在5
号位，若， 同时上场时，必须站在相邻号位的位置，则一共有多
少种排列方式？
解：总共可分为三种情况.
①若，上场且 不上场:
先将，全排列,共有 种方式，
再把，捆绑后和，，全排列，共有 种方式,
所以，上场且不上场，共有 （种）不同的排列方式.
②若，上场且 也上场:
若在1号位,先将，全排列，共有种方式，再从，， 中
选两人，有种方式，则，捆绑后和，， 中选出的两人全排
列，有 种方式，
所以在1号位共有 （种）不同的方式；
若在2号位,先将，全排列，则， 可位于3,4号位或4,5号位,
共有 种方式,
再从，，中选出两人进行排列,有 种方式，
所以在2号位共有 （种）不同的方式；
若在3号位,先将，全排列，则， 可位于1,2号位或4,5号位,
共有 种方式，
再从，，中选两人进行排列,有 种方式，
所以在3号位共有 （种）不同的方式；
若在4号位,先将，全排列，则， 可位于1,2号位或2,3号位,
共有 种方式，
再从，，中选两人进行排列，有 种方式，
所以在4号位共有 （种）不同的方式.
所以若，上场且也上场共有 （种）不
同的方式.
③若，中有一人上场且 上场:
上场且不在5号位,则可以位于1,2,3,4号位,有种方式,再从， 中
选一人,有种方式，将，中选出的一人和，， 共4人全排列,
共 种方式，
所以，中有一人上场且上场共有 （种）不同
的排列方式.
综上所述,共有 （种）排列方式.
快速核答案（导学案）
类型一 例1 D 变式 D
类型二 例2 B 变式 B
类型三 例3 C 变式 种
类型四 例4 112 变式 C
类型五 例5 B 变式 30种
练习册
基础巩固
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.A 7.AC 8.840
9.（1）综合提升
10.D 11.ACD 12.1152 13.（1）120中 种 （2）348 种

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