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滚动习题(四)
1.B　[解析] (2x-1)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-rx5-r(r=0,1,2,3,4,5),令5-r=2,则r=3,所以x2的系数为(-1)325-3=-40.故选B.
2.B　[解析] 令x=2,则(2-2)8=a0+a1(2-1)+…+a8(2-1)8,即a0+a1+…+a8=0.故选B.
3.B　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=x6-r·=(-a)rx6-3r,令6-3r=0,解得r=2,所以60=(-a)2,解得a=±2.故选B.
4.C　[解析] 1.0120=(1+0.01)20,由二项式定理得(1+0.01)20=1+×0.01+×(0.01)2+…,可知从第3项以后,后面的项非常小,可以忽略,所以(1+0.01)20≈1+×0.01+×(0.01)2=1.219,则其与1.22最接近.故选C.
5.A　[解析] (2x+y)5的展开式的通项为Tr+1=·25-r·x5-ryr(r=0,1,2,3,4,5),所以(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为·22-·23=20-80=-60.故选A.
6.A　[解析] 对于(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,取x=1,得2(a-1)6=a0+a1+…+a7=0,则a=1.∴(1+x)(1-x)6=(1-x2)(1-x)5,(1-x)5的展开式的通项为Tr+1=·(-x)r.取r=3,得T4=-10x3,取r=1,得T2=-5x.∴a3=-10+5=-5.故选A.
7.BD　[解析] 的展开式中第4项的二项式系数为=84,第5项的二项式系数为=126,显然84≠126,A错误;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,为28=256,B正确;展开式的通项为Tr+1=x9-r·=,r=0,1,2,…,9,则当r=0,2,4,6,8时,Tr+1为有理项,则有理项有5项,C错误;令9-r=0,得r=6,则常数项为T7==84,D正确.故选BD.
8.BCD　[解析] 由已知得++…+=2n=512,故n=9,f(x)=(2x-3)9,所以(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9.对于A,取x=1得-1=a0,取x=2得1=a0+a1+…+a9,所以a1+a2+…+a9=1-(-1)=2,A错误;对于B,取x=0得-39=a0-a1+a2-…+a8-a9,又1=a0+a1+…+a9,所以a0+a2+a4+a6+a8==-9841,B正确;对于C,f(6)=99=(8+1)9=·89+·88+…+·81+·80,则f(6)被8除的余数为1,C正确;对于D,(2x-3)9=[-1+2(x-1)]9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,可得ak=·2k·(-1)9-k(k=0,1,…,9),则|a0|+|a1|+…+|a9|=-a0+a1-a2+…+a9,在(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9中,取x=0得-39=a0-a1+a2-…+a8-a9,所以|a0|+|a1|+…+|a9|=-a0+a1-a2+…+a9=-(-39)=39,D正确.故选BCD.
9.-104　[解析] (2x2-x+2)4的展开式中,含x3的项为×(2x2)1××(-x)1××22+×(2x2)0××(-x)3××2=-96x3-8x3=-104x3,即(2x2-x+2)4的展开式中x3的系数是-104.
10.62　[解析] 根据题意,设这些数字出现在第n行,则存在正整数k,使得连续三项,,满足=且=,化简得=且=,解得k=27,n=62.
11.-135　[解析] 由f(x)=(2x+3)4得f'(x)=8(2x+3)3+(2x+3)4,易知(2x+3)3的展开式的通项为Tr+1=(2x)3-r·3r=23-r·3r·x3-r,令r=2,得T3=23-2·32·x3-2=54x,所以8(2x+3)3的展开式的常数项为8×54x×=-432.易知(2x+3)4的展开式的通项为T'k+1=(2x)4-k·3k=24-k·3k·x4-k,令k=4,得T'5=24-4·34·x4-4=81,令k=2,得T'3=24-2·32·x4-2=216x2,所以(2x+3)4的展开式的常数项为81×1+216x2×=297.综上可知f'(x)的展开式中的常数项为-432+297=-135.
12.解:(1)证明:因为第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,
所以2=+,解得n=2(舍去)或n=7,所以的展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r=·27-r·,
令7-r=0,得r= N*,故展开式中没有常数项.
(2)令7-r∈Z,结合r=0,1,2,3,4,5,6,7,得r=0或r=2或r=4或r=6,
所以T1=27x7=128x7,T3=25x4=672x4,T5=23x=280x,T7=2x-2=,
故展开式中的有理项为T1=128x7,T3=672x4,T5=280x,T7=.
13.解:(1)证明:34n+2+52n+1=92n+1+52n+1=[(9+5)-5]2n+1+52n+1=(14-5)2n+1+52n+1=142n+1-×142n×5+×142n-1×52-…+×14×52n-×52n+1+52n+1=14(142n-×142n-1×5+×142n-2×52-…+×52n).
因为上式是14的倍数,能被14整除,
所以34n+2+52n+1能被14整除.
(2)方法一:9192=(100-9)92=10092-×10091×9+×10090×92-…-×100×991+992,
前面各项均能被100整除,只有末项992不能被100整除,
于是问题转化为求992除以100的余数.
因为992=(10-1)92=1092-×1091+×1090-…+×102-×10+(-1)92=1092-×1091+×1090-…+×102-920+1=(1092-×1091+×1090-…+×102-1000)+81,所以9192除以100的余数为81.
方法二:9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+1,则前面各项均能被100整除,只有末尾两项不能被100整除,
因为×90+1=8281=8200+81,所以9192除以100的余数为81.
14.(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2025·江苏镇江一中联考] 在(2x-1)5的展开式中,x2的系数为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-80 B.-40 C.40 D.80
2.已知(x-2)8=a0+a1(x-1)+…+a8(x-1)8,则a0+a1+…+a8= (　 )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.[2024·江苏南京高二期末] 若的展开式中的常数项为60,则a= (　 )
A.2 B.±2 C.4 D.±4
4.下列数字中,与1.0120最接近的是 (　 )
A.1.20 B.1.21 C.1.22 D.1.23
5.(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为 (　 )
A.-60 B.-80
C.100 D.120
6.[2025·江苏南通高二质检] 已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,若a0+a1+…+a7=0,则a3= (　 )
A.-5 B.-20
C.15 D.35
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·江苏盐城东台一中高二期中] 在的展开式中,下列结论正确的是 (　 )
A.第4项和第5项的二项式系数相等
B.奇数项的二项式系数和为256
C.有理项有2项
D.常数项为84
8.[2025·江苏常州金坛一中高二调研] 已知f(x)=(2x-3)n(n∈N*)展开式的二项式系数和为512,且f(x)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,则下列结论正确的是 (　 )
A.a1+a2+…+an=1
B.a0+a2+a4+a6+a8=-9841
C.f(6)被8除的余数为1
D.|a0|+|a1|+…+|an|=39
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.(2x2-x+2)4的展开式中x3的系数是　　　　.
10.杨辉三角如图所示,该数阵中的每一个数都是它“肩上”两个数的和.如果在杨辉三角中出现三个相邻的数,且其比为3∶4∶5,那么这些数出现在第　　　　行.(填数字)
11.已知函数f(x)=(2x+3)4,f'(x)为其导函数,则f'(x)的展开式中的常数项为　　　　.(用数字作答)
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)在(n≥3,n∈N*)的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.
(1)证明:展开式中不存在常数项;
(2)求展开式中所有的有理项.
13.(15分)(1)用二项式定理证明34n+2+52n+1能被14整除;
(2)求9192除以100的余数.
14.(15分)已知(1+2x)n=(2x)k=akxk(n∈N+).
(1)若=16,求ak;
(2)若f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为6,求展开式中x2系数的最小值.(共25张PPT)
滚动习题（四）
范围7.4
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.［2025·江苏镇江一中联考］在的展开式中， 的系数为
( )
A. B. C.40 D.80
[解析] 的展开式的通项为
，
令,则，所以的系数为 .故选B.
√
2.已知 ，则
( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 令，则 ，即
.故选B.
√
3.［2024·江苏南京高二期末］若 的展开式中的常数项为60，
则 ( )
A.2 B. C.4 D.
[解析] 的展开式的通项为
，
令，解得 ，所以，解得 .故选B.
√
4.下列数字中，与 最接近的是( )
A.1.20 B.1.21 C.1.22 D.1.23
[解析] ，由二项式定理得
，
可知从第3项以后，后面的项非常小，可以忽略，所以
，则其与1.22
最接近.故选C.
√
5.的展开式中 的系数为( )
A. B. C.100 D.120
[解析] 的展开式的通项为
，所以 的
展开式中的系数为 .故选A.
√
6.［2025·江苏南通高二质检］已知
，若 ，
则 ( )
A. B. C.15 D.35
[解析] 对于，取 ，得
，则
， 的展开式的通
项为.
取，得，取 ，得
.故选A.
√
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.［2025·江苏盐城东台一中高二期中］在 的展开式中，下
列结论正确的是( )
A.第4项和第5项的二项式系数相等
B.奇数项的二项式系数和为256
C.有理项有2项
D.常数项为84
√
√
[解析] 的展开式中第4项的二项式系数为 ,第5项的
二项式系数为，显然 ，A错误；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，为 ，
B正确；
展开式的通项为，,1,2, ,9，则
当,2,4,6,8时， 为有理项，则有理项有5项，C错误；
令，得，则常数项为，D正确.故选 .
8.［2025·江苏常州金坛一中高二调研］已知
展开式的二项式系数和为512，且
，则下列结论
正确的是( )
A.
B.
C. 被8除的余数为1
D.
√
√
√
[解析] 由已知得，故 ，
，所以
.
对于A，取得，取得 ，所以
，A错误；
对于B，取 得，又
，所以 ，B正确；
对于C， ，则被8除的余数为1，C正确；
对于D， ，可得 ，则 ，在 中,取得 ，所以 ，D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.的展开式中 的系数是______.
[解析] 的展开式中，含的项为，即的展开式中的系数是 .
10.杨辉三角如图所示，该数阵中的每一个
数都是它“肩上”两个数的和.如果在杨辉三
角中出现三个相邻的数，且其比为 ，
那么这些数出现在第____行.（填数字）
62
[解析] 根据题意，设这些数字出现在第行，则存在正整数 ，使得
连续三项，，满足且，化简得
且，解得， .
11.已知函数,为其导函数，则 的展
开式中的常数项为______.（用数字作答）
[解析] 由 得
，
易知 的展开式的通项为
，令 ，得，
所以 的展开式的常数项为.
易知 的展开式的通项为
,
令 ，得，
令 ，得,
所以 的展开式的常数项为.
综上可知 的展开式中的常数项为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）在 的展开式中，第2，3，4项
的二项式系数依次成等差数列.
（1）证明:展开式中不存在常数项；
证明：因为第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
所以，解得（舍去）或，所以 的
展开式的通项为 ，
令，得 ，故展开式中没有常数项.
12.（13分）在 的展开式中，第2，3，4项
的二项式系数依次成等差数列.
（2）求展开式中所有的有理项.
解：令，结合，1，2，3，4，5，6，7，得 或
或或 ，
所以， ，
， ，
故展开式中的有理项为，， ，
.
13.（15分）（1）用二项式定理证明 能被14整除；
证明：
.
因为上式是14的倍数，能被14整除，
所以 能被14整除.
13.（15分）（2）求 除以100的余数.
解：方法一：
，
前面各项均能被100整除，只有末项 不能被100整除，
于是问题转化为求 除以100的余数.
因为
，所以 除以100的余数为81.
方法二： ，
则前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，
因为，所以 除以100的余数为
81.
14.（15分）已知 .
（1）若，求 ；
解：因为，所以 ，
则此时 .
令，可得，即 .
14.（15分）已知 .
（2）若的展开式中 的系数
为6，求展开式中 系数的最小值.
解：因为的展开式中 的系
数为6，所以，所以，即 ，
则展开式中 的系数为
，
易知函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，
又因为，，所以当时， 的系数取得
最小值5.
快速核答案
1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.BD 8.BCD 9. 10.62 11.
12.（1）证明略
（2）展开式中的有理项为，，，
13.（1）证明略（2） 81
14.（1）（2）5

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