资源简介

4.1　函数的奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象
2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用 直观想象、逻辑推理
第一课时　函数的单调性
　　在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
【问题】　我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数奇偶性的定义
1.奇函数：设函数f（x）的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且　　　　　　，那么称函数f（x）为奇函数.
2.偶函数：设函数f（x）的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且　　　　　　，那么称函数f（x）为偶函数.
知识点二　函数奇偶性的几何特征
偶函数的图象关于　　　　对称，奇函数的图象关于　　　　对称.
知识点三　奇（偶）函数的定义域特征
奇函数和偶函数的定义域均关于　　　对称.
提醒　对函数奇偶性的再理解：①定义域D具有对称性，即 x∈D，－x∈D.定义域不关于原点对称时，f（x）是非奇非偶函数；②当f（x）的定义域关于原点对称时，要看f（x）与f（－x）的关系.特别地，若f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x），则f（x）是非奇非偶函数；若f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f（x）是定义在R上的函数，若f（－1）＝f（1），则f（x）一定是偶函数.（　　）
（2）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y＝f（x）一定是奇函数.（　　）
（3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.（　　）
（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.（　　）
2.下列函数是偶函数的是（　　）
A.y＝x　　　　　　 B.y＝3x2
C.y＝x－1　　 D.y＝｜x｜（x∈[0，1]）
3.若f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝2，则f（－3）＝　　　　，f（0）＝　　　　.
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】　判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝｜x－2｜－｜x＋2｜；
（3）f（x）＝x2＋（x≠0，a∈R）.
尝试解答
通性通法
判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法
（2）图象法
提醒　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝＋；
（3）f（x）＝；
（4）f（x）＝
题型二 奇、偶函数图象的应用
【例2】　定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示.
（1）画出f（x）的图象；
（2）解不等式xf（x）＞0.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.
通性通法
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
【跟踪训练】
已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
（1）画出在区间[－5，0]上的图象；
（2）写出使f（x）＜0的x的取值集合.
题型三 利用函数奇偶性求参数
【例3】　（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝　　　　，b＝　　　　；
（2）已知函数f（x）＝为奇函数，则a＝　　　　.
尝试解答
通性通法
利用奇偶性求参数的常见类型
（1）定义域含参数：奇偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；
（2）解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解.
【跟踪训练】
若函数f（x）＝为奇函数，则a＝（　　）
A.　　　　　　　 B.
C.　　 D.1
1.函数f（x）＝－x的图象关于（　　）
A.y轴对称　　B.直线y＝－x对称
C.坐标原点对称　　D.直线y＝x对称
2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（　　）
3.若函数f（x）＝2x2－｜3x＋a｜为偶函数，则a＝（　　）
A.1　　 B.2
C.3　　 D.0
4.（多选）（2024·安庆质检）下列函数是奇函数的有（　　）
A.y＝　　 B.y＝－3
C.y＝x－　　 D.y＝πx3－x
5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），则f（－1）＝　　　　.
第一课时　奇偶性的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.f（－x）＝－f（x）　2.f（－x）＝f（x）
知识点二
　y轴　原点　
知识点三
　原点
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数.
3.－2　0　解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－2，f（0）＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）∵函数f（x）＝的定义域为{x｜x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.
（2）法一（定义法）　函数f（x）＝｜x－2｜－｜x＋2｜的定义域为R，关于原点对称.
∵f（－x）＝｜－x－2｜－｜－x＋2｜＝｜x＋2｜－｜x－2｜＝－（｜x－2｜－｜x＋2｜）＝－f（x），∴函数f（x）＝｜x－2｜－｜x＋2｜是奇函数.
法二
（图象法）　f（x）＝｜x－2｜－｜x＋2｜＝画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数.
（3）当a＝0时，f（x）＝x2为偶函数.
当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0），取x＝±1，得f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，即f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1），∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f（x）为偶函数.
跟踪训练
　解：（1）f（x）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称.∵f（－x）＝＝－f（x），∴f（x）为奇函数.
（2）∵函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0，又∵f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x），
∴f（x）既是奇函数又是偶函数.
（3）∵函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数.
（4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，
f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；
当x＜0时，－x＞0，
f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）.
综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数.
【例2】　解：（1）先描出（1，1），（2，0）关于原点的对称点（－1，－1），（－2，0），连线可得f（x）的图象如图.
（2）xf（x）＞0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf（x）＞0的解集是（－2，0）∪（0，2）.
母题探究
　解：（1）f（x）的图象如图所示：
（2）xf（x）＞0的解集是（－∞，－2）∪（0，2）.
跟踪训练
　解：（1）如图，在[0，5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O'，A'，B'，C'，D'，再用光滑曲线连接即得.
（2）由图可知，当且仅当x∈（－2，0）∪（2，5）时，f（x）＜0.
∴使f（x）＜0的x的取值集合为{x｜－2＜x＜0或2＜x＜5}.
【例3】　（1）　0　（2）－1　解析：（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.易知函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
（2）因为f（x）是奇函数，f（－1）＝0，所以f（－1）＝－f（1）＝0，所以f（1）＝0，即＝0，解得a＝－1.经检验，a＝－1符合题意.
跟踪训练
　A　因为f（x）为奇函数，所以f（－1）＝－f（1），所以＝－，所以1＋a＝3（1－a），解得a＝.
随堂检测
1.C　∵f（x）＝－x是奇函数，∴f（x）＝－x的图象关于原点对称.
2.B　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B.
3.D　∵f（x）＝2x2－｜3x＋a｜为偶函数，∴f（－x）＝f（x）对于任意x∈R都成立.∴f（－1）＝f（1），即2－｜a－3｜＝2－｜a＋3｜，解得a＝0.故选D.
4.BCD　选项A中函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，所以排除A；选项B、D中函数定义域均为R，且f（－x）＝－f（x），故为奇函数；选项C中函数定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且f（－x）＝－f（x），也是奇函数.
5.－2　解析：f（1）＝1×2＝2，又f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1）＝－2.
3 / 44.1　函数的奇偶性
第一课时　奇偶性的概念
1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（－3）＝2，则下列各点中一定在函数f（x）的图象上的是（　　）
A.（3，－2）　 B.（3，2）
C.（－3，－2）　 D.（2，－3）
2.设f（x）是定义在R上的一个函数，则函数F（x）＝f（x）－f（－x）在R上（　　）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
3.若f（x）＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a＝（　　）
A.0　 B.－1
C.1　 D.2
4.如图，给出奇函数y＝f（x）的局部图象，则f（－2）＋f（－1）＝（　　）
A.－2　 B.2
C.1　 D.0
5.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B.图象关于y轴对称的函数是偶函数
C.奇函数的图象一定过坐标原点
D.偶函数的图象一定与y轴相交
6.（多选）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的有（　　）
A.f（x）g（x）是偶函数
B.｜f（x）｜＋g（x）是偶函数
C.f（x）｜g（x）｜是奇函数
D.｜f（x）g（x）｜是奇函数
7.若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a＝　　　　.
8.已知函数f（x）＝则f（x）是　　　　函数.（填“奇”或“偶”）
9.已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2＋2x，则f（1）＝　　　　.
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x5；
（2）f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－1｜；
（3）f（x）＝.
11.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（　　）
A.y＝x＋f（x）　 B.y＝xf（x）
C.y＝x2＋f（x）　 D.y＝x2f（x）
12.（多选）若f（x）为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是（　　）
A.f（x）＋f（－x）＝0
B.f（x）－f（－x）＝2f（x）
C.f（x）·f（－x）＜0
D.＝－1
13.定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a，则a＝　　　　，f（－3）＝　　　　.
14.设函数f（x）＝是奇函数（a，b，c∈Z），且f（1）＝2，f（2）＜3，求a，b，c的值.
15.老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质：①此函数为偶函数；②定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；③在（0，＋∞）上单调递增.老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个符合题意的函数为　　　　.
16.设函数f（x）＝x2－2｜x－a｜＋3，x∈R.
（1）王鹏同学认为，无论a取何值，f（x）都不可能是奇函数.你同意他的观点吗？请说明你的理由；
（2）若f（x）是偶函数，求a的值；
（3）在（2）的情况下，画出y＝f（x）的图象并指出其单调递增区间.
第一课时　奇偶性的概念
1.A　f（－3）＝2即点（－3，2）在奇函数的图象上，∴（－3，2）关于原点的对称点（3，－2）必在f（x）的图象上.
2.A　F（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－F（x）.∴F（x）为奇函数.
3.C　∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0得a＝1.
4.A　f（－2）＋f（－1）＝－f（2）－f（1）＝－－＝－2.
5.AB　由奇函数、偶函数的性质，知A、B说法正确；对于C，如f（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；对于D，如f（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误.故选A、B.
6.BC　∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴｜f（x）｜是偶函数，｜g（x）｜是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，f（x）｜g（x）｜为奇函数，所以｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确.故选B、C.
7.4　解析：f（x）＝x2＋（a－4）x－4a是偶函数，∴a＝4.
8.奇　解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－（－x）2－1＝－（x2＋1）＝－f（x）；当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝－（－x2－1）＝－f（x）.综上可知，函数f（x）是奇函数.
9.1　解析：∵当x＜0时，f（x）＝x2＋2x，∴f（－1）＝－1，又f（x）是奇函数，故f（1）＝－f（－1）＝1.
10.解：（1）函数的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数.
（2）f（x）的定义域是R.∵f（－x）＝｜－x＋1｜＋｜－x－1｜＝｜x－1｜＋｜x＋1｜＝f（x），∴f（x）是偶函数.
（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数.
11.B　法一　∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.令y＝g（x）.对于A，g（－x）＝－x＋f（－x）＝－x－f（x）＝－g（x），∴y＝x＋f（x）是奇函数.对于B，g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），∴y＝xf（x）是偶函数.对于C，g（－x）＝（－x）2＋f（－x）＝x2－f（x），由于g（－x）≠g（x），g（－x）≠－g（x），∴y＝x2＋f（x）既不是奇函数也不是偶函数.对于D，g（－x）＝（－x）2·f（－x）＝－x2f（x）＝－g（x），∴y＝x2f（x）是奇函数.
法二　根据奇、偶函数的运算性质可得A项和D项是奇函数，B项是偶函数，利用定义判断C项既不是奇函数也不是偶函数.
12.AB　∵f（x）在R上为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）＋f（－x）＝f（x）－f（x）＝0，故A正确；f（x）－f（－x）＝f（x）＋f（x）＝2f（x），故B正确；当x＝0时，f（x）·f（－x）＝0，故C不正确；当x＝0时，的分母为0，无意义，故D不正确.
13.0　－3　解析：由定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a，可得f（0）＝a＝0.所以当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（－3）＝－f（3）＝－（32－2×3）＝－3.
14.解：由条件知f（－x）＋f（x）＝0，
∴＋＝0，∴c＝0.
又f（1）＝2，∴a＋1＝2b.
∵f（2）＜3，∴＜3，∴＜3，
解得－1＜a＜2，∴a＝0或1.
∴b＝或1，由于b∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.
15.f（x）＝x2（答案不唯一）　解析：由题意可得：要求的函数满足下列三条性质中的两条：①此函数为偶函数；②定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；③在（0，＋∞）上单调递增，故这样的函数有多个，其中，函数f（x）＝x2满足①③，不满足②，符合题意.
16.解：（1）我同意王鹏同学的观点.
理由如下：
假设f（x）是奇函数，
则由f（a）＝a2＋3，f（－a）＝a2－4｜a｜＋3，
可得f（a）＋f（－a）＝0，即a2－2｜a｜＋3＝0，
显然a2－2｜a｜＋3＝0无解，
∴f（x）不可能是奇函数.
（2）若f（x）为偶函数，则有f（a）＝f（－a），
即a2＋3＝a2－4｜a｜＋3，解得a＝0.
经验证，此时f（x）＝x2－2｜x｜＋3是偶函数.
（3）由（2）知f（x）＝x2－2｜x｜＋3，其图象如图所示，
由图可得，其单调递增区间是（－1，0）和（1，＋∞）.
2 / 2(共59张PPT)
4.1　函数的奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象
2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性
的简单应用 直观想象、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
第一课时　奇偶性的概念
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
【问题】　我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象
的对称性反映了函数的什么性质呢？




知识点一　函数奇偶性的定义
1. 奇函数：设函数 f （ x ）的定义域是 D ，如果对任意的 x ∈ D ，
有－ x ∈ D ，且 ，那么称函数 f
（ x ）为奇函数.
2. 偶函数：设函数 f （ x ）的定义域是 D ，如果对任意的 x ∈ D ，有－
x ∈ D ，且 ，那么称函数 f （ x ）为偶函数.
f （－ x ）＝－ f （ x ）　
f （－ x ）＝ f （ x ）　
知识点二　函数奇偶性的几何特征
偶函数的图象关于 对称，奇函数的图象关于 对称.
y 轴　
原点　
知识点三　奇（偶）函数的定义域特征
奇函数和偶函数的定义域均关于 对称.
提醒　对函数奇偶性的再理解：①定义域 D 具有对称性，即 x ∈ D ，
－ x ∈ D . 定义域不关于原点对称时， f （ x ）是非奇非偶函数；②当 f
（ x ）的定义域关于原点对称时，要看 f （ x ）与 f （－ x ）的关系.特
别地，若 f （－ x ）≠－ f （ x ）且 f （－ x ）≠ f （ x ），则 f （ x ）是非
奇非偶函数；若 f （－ x ）＝－ f （ x ）且 f （－ x ）＝ f （ x ），则 f
（ x ）既是奇函数又是偶函数.
原点　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） f （ x ）是定义在R上的函数，若 f （－1）＝ f （1），则 f
（ x ）一定是偶函数. （　×　）
（2）对于函数 y ＝ f （ x ），若存在 x ，使 f （－ x ）＝－ f （ x ），
则函数 y ＝ f （ x ）一定是奇函数. （　×　）
（3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. （　×　）
（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是
偶函数. （　×　）
×
×
×
×
2. 下列函数是偶函数的是（　　）
A. y ＝ x B. y ＝3 x2
C. y ＝ x－1 D. y ＝｜ x ｜（ x ∈[0，1]）
解析：　选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函
数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数.
3. 若 f （ x ）是定义在R上的奇函数， f （3）＝2，则 f （－3）＝
， f （0）＝ .
解析：因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （－3）＝－ f
（3）＝－2， f （0）＝0.
－2　
0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】　判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ ；
解：∵函数 f （ x ）＝ 的定义域为{ x ｜ x ∈R且 x ≠1}，定
义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.
（2） f （ x ）＝｜ x －2｜－｜ x ＋2｜；
解：法一（定义法）　函数 f （ x ）＝｜ x －2｜－｜ x ＋2｜的定义域为R，关于原点对称.
∵ f （－ x ）＝｜－ x －2｜－｜－ x ＋2｜＝｜ x ＋2｜－｜ x －2｜＝－（｜ x －2｜－｜ x ＋2｜）＝－ f （ x ），∴函数 f （ x ）＝｜ x －2｜－｜ x ＋2｜是奇函数.
法二（图象法）　 f （ x ）＝｜ x －2｜－｜ x
＋2｜＝画出图象如图所
示，图象关于原点对称，因此函数 f （ x ）是
奇函数.
（3） f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0， a ∈R）.
解：当 a ＝0时， f （ x ）＝ x2为偶函数.
当 a ≠0时， f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0），取 x ＝±1，得 f （－1）
＋ f （1）＝2≠0， f （－1）－ f （1）＝－2 a ≠0，即 f （－1）
≠－ f （1）， f （－1）≠ f （1），∴函数 f （ x ）既不是奇函数
也不是偶函数.
综上所述，当 a ∈R且 a ≠0时，函数 f （ x ）既不是奇函数也不
是偶函数；当 a ＝0时，函数 f （ x ）为偶函数.
通性通法
判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法
（2）图象法
提醒　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据 x
的范围取相应的函数解析式.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ ；
解： f （ x ）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称.
∵ f （－ x ）＝ ＝－ f （ x ），∴ f （ x ）为奇函数.
（2） f （ x ）＝ ＋ ；
解：∵函数 f （ x ）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且 f
（ x ）＝0，又∵ f （－ x ）＝－ f （ x ）， f （－ x ）＝ f （ x ），
∴ f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
（3） f （ x ）＝ ；
解：∵函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠1}，不关于原点对称，
∴ f （ x ）是非奇非偶函数.
（4） f （ x ）＝
解： f （ x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点
对称.当 x ＞0时，－ x ＜0，
f （－ x ）＝1－（－ x ）＝1＋ x ＝ f （ x ）；
当 x ＜0时，－ x ＞0，
f （－ x ）＝1＋（－ x ）＝1－ x ＝ f （ x ）.
综上可知，对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有 f （－
x ）＝ f （ x ）， f （ x ）为偶函数.
题型二 奇、偶函数图象的应用
【例2】　定义在R上的奇函数 f （ x ）在[0，＋∞）上的图象如图
所示.
（1）画出 f （ x ）的图象；
解：先描出（1，1），（2，0）关于原点的对称点（－1，－1），（－2，0），连线可得 f （ x ）的图象如图.
（2）解不等式 xf （ x ）＞0.
解： xf （ x ）＞0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，
xf （ x ）＞0的解集是（－2，0）∪（0，2）.
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.
解：（1） f （ x ）的图象如图所示：
（2） xf （ x ）＞0的解集是（－∞，－2）∪（0，2）.
通性通法
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于 y 轴
对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较
大小及解不等式问题.
【跟踪训练】
已知奇函数 f （ x ）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如
图所示.
（1）画出在区间[－5，0]上的图象；
解：如图，在[0，5]上的图象上选取5
个关键点 O ， A ， B ， C ， D .
分别描出它们关于原点的对称点O'，
A'，B'，C'，D'，再用光滑曲线连接即得.
（2）写出使 f （ x ）＜0的 x 的取值集合.
解：由图可知，当且仅当 x ∈（－2，0）∪（2，5）时， f
（ x ）＜0.
∴使 f （ x ）＜0的 x 的取值集合为{ x ｜－2＜ x ＜0或2＜ x ＜5}.
题型三 利用函数奇偶性求参数
【例3】　（1）若函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋3 a ＋ b 是偶函数，定义域
为[ a －1，2 a ]，则 a ＝ ， b ＝ ；
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a －1＝－2 a ，解得 a
＝ .易知函数 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ b ＋1为二次函数，结合偶函数图象
的特点，易得 b ＝0.
　
0　
（2）已知函数 f （ x ）＝ 为奇函数，则 a ＝ .
解析：因为 f （ x ）是奇函数， f （－1）＝0，所以 f （－1）＝－
f （1）＝0，所以 f （1）＝0，即 ＝0，解得 a ＝－
1.经检验， a ＝－1符合题意.
－1　
通性通法
利用奇偶性求参数的常见类型
（1）定义域含参数：奇偶函数 f （ x ）的定义域为[ a ， b ]，根据定义
域关于原点对称，利用 a ＋ b ＝0求参数；
（2）解析式含参数：根据 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f （－ x ）＝ f
（ x ）列式，比较系数利用待定系数法求解.
【跟踪训练】
若函数 f （ x ）＝ 为奇函数，则 a ＝（　　）
D. 1
解析：　因为 f （ x ）为奇函数，所以 f （－1）＝－ f （1），所以
＝－ ，所以1＋ a ＝3（1－ a ），解得 a ＝ .
1. 函数 f （ x ）＝ － x 的图象关于（　　）
A. y 轴对称 B. 直线 y ＝－ x 对称
C. 坐标原点对称 D. 直线 y ＝ x 对称
解析：　∵ f （ x ）＝ － x 是奇函数，∴ f （ x ）＝ － x 的图象关
于原点对称.
2. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（　　）
解析：　选项A中的图象关于原点或 y 轴均不对称，故排除；选
项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于 y 轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B.
3. 若函数 f （ x ）＝2 x2－｜3 x ＋ a ｜为偶函数，则 a ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
解析：　∵ f （ x ）＝2 x2－｜3 x ＋ a ｜为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f
（ x ）对于任意 x ∈R都成立.∴ f （－1）＝ f （1），即2－｜ a －
3｜＝2－｜ a ＋3｜，解得 a ＝0.故选D.
4. （多选）下列函数是奇函数的有（　　）
解析：　选项A中函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋
∞），不关于原点对称，所以排除A；选项B、D中函数定义域均
为R，且 f （－ x ）＝－ f （ x ），故为奇函数；选项C中函数定义域
为（－∞，0）∪（0，＋∞），且 f （－ x ）＝－ f （ x ），也是奇
函数.
5. 已知函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝ x
（1＋ x ），则 f （－1）＝ .
解析： f （1）＝1×2＝2，又 f （ x ）为奇函数，∴ f （－1）＝－ f
（1）＝－2.
－2　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数， f （－3）＝2，则下列各点中
一定在函数 f （ x ）的图象上的是（　　）
A. （3，－2） B. （3，2）
C. （－3，－2） D. （2，－3）
解析：　 f （－3）＝2即点（－3，2）在奇函数的图象上，
∴（－3，2）关于原点的对称点（3，－2）必在 f （ x ）的图象上.
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2. 设 f （ x ）是定义在R上的一个函数，则函数 F （ x ）＝ f （ x ）－ f
（－ x ）在R上（　　）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
解析：　 F （－ x ）＝ f （－ x ）－ f （ x ）＝－[ f （ x ）－ f （－
x ）]＝－ F （ x ）.∴ F （ x ）为奇函数.
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3. 若 f （ x ）＝3 x3＋5 x ＋ a －1为奇函数，则 a ＝（　　）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
解析：　∵ f （ x ）为R上的奇函数，∴ f （0）＝0得 a ＝1.
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4. 如图，给出奇函数 y ＝ f （ x ）的局部图象，则 f （－2）＋ f （－1）
＝（　　）
A. －2 B. 2
C. 1 D. 0
解析： f （－2）＋ f （－1）＝－ f （2）－ f （1）＝－ － ＝－2.
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5. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B. 图象关于 y 轴对称的函数是偶函数
C. 奇函数的图象一定过坐标原点
D. 偶函数的图象一定与 y 轴相交
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解析：　由奇函数、偶函数的性质，知A、B说法正确；对于
C，如 f （ x ）＝ ， x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函
数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；对于D，如 f （ x ）＝
， x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不
与 y 轴相交，所以D说法错误.故选A、B.
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6. （多选）设函数 f （ x ）， g （ x ）的定义域都为R，且 f （ x ）是奇
函数， g （ x ）是偶函数，则下列结论中正确的有（　　）
A. f （ x ） g （ x ）是偶函数
B. ｜ f （ x ）｜＋ g （ x ）是偶函数
C. f （ x ）｜ g （ x ）｜是奇函数
D. ｜ f （ x ） g （ x ）｜是奇函数
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解析：　∵ f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数，∴｜ f
（ x ）｜是偶函数，｜ g （ x ）｜是偶函数.根据一个奇函数与一个
偶函数的积是奇函数，可得 f （ x ） g （ x ）为奇函数， f （ x ）｜ g
（ x ）｜为奇函数，所以｜ f （ x ） g （ x ）｜为偶函数，故选项
A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正
确.故选B、C.
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7. 若 f （ x ）＝（ x ＋ a ）（ x －4）为偶函数，则实数 a ＝ .
解析： f （ x ）＝ x2＋（ a －4） x －4 a 是偶函数，∴ a ＝4.
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8. 已知函数 f （ x ）＝则 f （ x ）是 函数.（填
“奇”或“偶”）
奇　
解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对
称.当 x ＞0时，－ x ＜0， f （－ x ）＝－ （－ x ）2－1＝－（ x2＋
1）＝－ f （ x ）；当 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＝ （－ x ）2＋1
＝ x2＋1＝－（－ x2－1）＝－ f （ x ）.综上可知，函数 f （ x ）是
奇函数.
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9. 已知 f （ x ）是奇函数，当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2＋2 x ，则 f （1）
＝ .
解析：∵当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2＋2 x ，∴ f （－1）＝－1，又 f
（ x ）是奇函数，故 f （1）＝－ f （－1）＝1.
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10. 判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ x3＋ x5；
解：函数的定义域为R. ∵ f （－ x ）＝（－ x ）3＋（－ x ）5＝－（ x3＋ x5）＝－ f （ x ），∴ f （ x ）是奇函数.
（2） f （ x ）＝｜ x ＋1｜＋｜ x －1｜；
解： f （ x ）的定义域是R. ∵ f （－ x ）＝｜－ x ＋1｜＋｜－ x －1｜＝｜ x －1｜＋｜ x ＋1｜＝ f （ x ），∴ f （ x ）是偶函数.
（3） f （ x ）＝ .
解：函数 f （ x ）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，
＋∞），不关于原点对称，∴ f （ x ）是非奇非偶函数.
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11. 如果 f （ x ）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶
函数的是（　　）
A. y ＝ x ＋ f （ x ） B. y ＝ xf （ x ）
C. y ＝ x2＋ f （ x ） D. y ＝ x2 f （ x ）
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解析：　法一　∵ f （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f
（ x ）.令 y ＝ g （ x ）.对于A， g （－ x ）＝－ x ＋ f （－ x ）
＝－ x － f （ x ）＝－ g （ x ），∴ y ＝ x ＋ f （ x ）是奇函数.
对于B， g （－ x ）＝－ xf （－ x ）＝ xf （ x ）＝ g （ x ），∴
y ＝ xf （ x ）是偶函数.对于C， g （－ x ）＝（－ x ）2＋ f
（－ x ）＝ x2－ f （ x ），由于 g （－ x ）≠ g （ x ）， g （－
x ）≠－ g （ x ），∴ y ＝ x2＋ f （ x ）既不是奇函数也不是偶
函数.对于D， g （－ x ）＝（－ x ）2· f （－ x ）＝－ x2 f
（ x ）＝－ g （ x ），∴ y ＝ x2 f （ x ）是奇函数.
法二　根据奇、偶函数的运算性质可得A项和D项是奇函数，B项是偶函数，利用定义判断C项既不是奇函数也不是偶函数.
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12. （多选）若 f （ x ）为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是
（　　）
A. f （ x ）＋ f （－ x ）＝0
B. f （ x ）－ f （－ x ）＝2 f （ x ）
C. f （ x ）· f （－ x ）＜0
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解析：　∵ f （ x ）在R上为奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f
（ x ），∴ f （ x ）＋ f （－ x ）＝ f （ x ）－ f （ x ）＝0，故A正
确； f （ x ）－ f （－ x ）＝ f （ x ）＋ f （ x ）＝2 f （ x ），故B正
确；当 x ＝0时， f （ x ）· f （－ x ）＝0，故C不正确；当 x ＝0时，
的分母为0，无意义，故D不正确.
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13. 定义在R上的奇函数 f （ x ）满足：当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2 x ＋
a ，则 a ＝ 　　， f （－3）＝ 　　.
0
解析：由定义在R上的奇函数 f （ x ）满足：当 x ≥0时， f （ x ）＝
x2－2 x ＋ a ，可得 f （0）＝ a ＝0.所以当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2
x ，则 f （－3）＝－ f （3）＝－（32－2×3）＝－3.
－3
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14. 设函数 f （ x ）＝ 是奇函数（ a ， b ， c ∈Z），且 f （1）＝
2， f （2）＜3，求 a ， b ， c 的值.
解：由条件知 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0，
∴ ＋ ＝0，∴ c ＝0.
又 f （1）＝2，∴ a ＋1＝2 b .
∵ f （2）＜3，∴ ＜3，∴ ＜3，
解得－1＜ a ＜2，∴ a ＝0或1.
∴ b ＝ 或1，由于 b ∈Z，∴ a ＝1， b ＝1， c ＝0.
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15. 老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质：
①此函数为偶函数；②定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；③
在（0，＋∞）上单调递增.老师评价说其中有一个同学的结论错
误，另两位同学的结论正确.请你写出一个符合题意的函数为
.
解析：由题意可得：要求的函数满足下列三条性质中的两条：①
此函数为偶函数；②定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；③在
（0，＋∞）上单调递增，故这样的函数有多个，其中，函数 f
（ x ）＝ x2满足①③，不满足②，符合题意.
f
（ x ）＝ x2（答案不唯一）　
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16. 设函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x － a ｜＋3， x ∈R.
（1）王鹏同学认为，无论 a 取何值， f （ x ）都不可能是奇函数.
你同意他的观点吗？请说明你的理由；
解：我同意王鹏同学的观点.
理由如下：
假设 f （ x ）是奇函数，
则由 f （ a ）＝ a2＋3， f （－ a ）＝ a2－4｜ a ｜＋3，
可得 f （ a ）＋ f （－ a ）＝0，即 a2－2｜ a ｜＋3＝0，
显然 a2－2｜ a ｜＋3＝0无解，
∴ f （ x ）不可能是奇函数.
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（2）若 f （ x ）是偶函数，求 a 的值；
解：若 f （ x ）为偶函数，则有 f （ a ）＝ f （－ a ），
即 a2＋3＝ a2－4｜ a ｜＋3，解得 a ＝0.
经验证，此时 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜＋3是偶函数.
（3）在（2）的情况下，画出 y ＝ f （ x ）的图象并指出其单调递
增区间.
解：由（2）知 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜
＋3，其图象如图所示，
由图可得，其单调递增区间是（－1，0）
和（1，＋∞）.
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