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2.2　用函数模型解决实际问题
1.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2023年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2023年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是（　　）
A.y＝0.9·m　　 B.y＝（1－0.0）·m
C.y＝0.9550－x·m　 D.y＝（1－0.0550－x）·m
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（　　）
A.y＝2x－1　 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1　 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
3.一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半）t＝（　　）
A.lg 　 B.lg
C.　 D.
4.某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L＝10lg（aI），其中a为正实数.已知I＝1013 W/m2时，L＝10 dB.若整改后的施工噪音的声强为原声强的10－2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（　　）
A.50 dB　 B.40 dB
C.30 dB　 D.20 dB
5.（多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（　　）
A.出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km
6.（多选）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at，下列说法正确的是（　　）
A.这个指数函数的底数为2
B.第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C.浮萍从4 m2蔓延到12 m2需经过1.5个月
D.若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
7.计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格为　　　　元.
8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭（除燃料外）的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln（1＋）.当燃料质量是火箭质量的　　　倍时，火箭的最大速度可达12 千米/秒.
9.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为　　　　.
10.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln（t＋1），S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为－1秒，当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100千米/时的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？（精确到米）
11.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为h（t）＝mat.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg 2≈0.3，结果取整数）（　　）
A.33分钟　 B.43分钟
C.50分钟　 D.56分钟
12.（多选）声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li＝10×lg ，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为1 ω/m2，对应的声强级为120 dB，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB）.下列选项中正确的是（　　）
A.闻阈的声强为10－12 ω/m2
B.声强级增加10 dB，则声强变为原来的2倍
C.此歌唱家唱歌时的声强范围为[10－5，10－4]（单位：dB）
D.如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10 dB
13.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f（x）（单位：万斤）与年份x（记2019年为第1年）之间的关系统计如下：
x 1 2 3 4
f（x） 4.00 5.62 7.00 8.86
则f（x）近似符合以下三种函数模型之一：①f（x）＝ax＋b；②f（x）＝2x＋a；③f（x）＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的是　　　　.（填序号）
14.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D（dB）由公式D＝alg I＋b（a，b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量.
（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30 dB；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40 dB.当声
音强度大于60 dB时属于噪音，一般人在100～120 dB的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
15.某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
月投资A种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
月投资B种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润.（精确到0.1万元）
2.2　用函数模型解决实际问题
1.A　设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知（q%）50＝0.95，所以q%＝0.9，所以从2023年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.9·m.
2.D　由题知：当x＝1时，y＝1，而选项B，当x＝1时，y＝0，故排除B.当x＝3时，y＝8，而选项A，当x＝3时，y＝5，故排除A，选项C，当x＝3时，y＝7，故排除C，选项D，当x＝1时，y＝1，x＝3时，y＝8，D正确.故选D.
3.C　由题意知a（1－8%）t＝，即（1－8%）t＝，等式两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5，即tlg 0.92＝lg 0.5，∴t＝，故C选项是正确的.
4.D　由已知得10＝10·lg（a×1013），解得a＝10－12，故L＝10·lg（10－12×I）＝10（－12＋lg I）.设施工噪音原来的声强为I1，声强级为L1，整改后的声强为I2，声强级为L2，则L1－L2＝10（－12＋lg I1）－10（－12＋lg I2）＝10（lg I1－lg I2）＝10·lg ＝20.故选D.
5.BCD　在A中，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×（10－8）＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6＞25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75＜22.6知x＞8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1＝22.6，解得x＝9，D正确.
6.ABD　由图象可知经过点（1，2），代入y＝at，2＝a1，∴a＝2，故选项A正确；当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴浮萍面积就会超过30 m2，故选项B正确；浮萍为4 m2时，得t＝2，经过1.5个月后，t＝3.5，此时浮萍面积为23.5＝8＜12，∴选项C错误；若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则＝2，＝3，＝6，则·＝2×3＝6＝，∴＝，得t1＋t2＝t3，∴选项D正确，故选A、B、D.
7.2 400　解析：依题意得，所求价格为8 100×＝8 100×＝2 400（元）.
8.e6－1　解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，∴ln（1＋）＝6，∴＝e6－1.
9.5　解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f（t）＝aent满足f（5）＝ae5n＝a，即5n＝ln ，得n＝ln ，当k秒后甲桶中的水只有升，即f（k）＝，即·kln ＝ln ＝2ln ，得k＝10，故m＝10－5＝5.
10.解：因为刹车反应时间为－1秒，
所以S1＝10ln（－1＋1）＝10ln＝5，
当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·（60）2＝20，
解得b＝，即S2＝v2.
若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5，
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61（米）.
11.B　依题设有解得a＝，m＝0.05，故h（t）＝0.05×（）t.令h（t）＝0.05×（）t＝1，得（）t＝20，故t＝＝≈≈43（分钟）.
12.ACD　由题意10 lg ＝120，即lg ＝12，所以＝1012，所以I0＝10－12ω/m2，故Li＝10lg（1012I）＝120＋10lg I，故A正确；若Li＝70 dB，即10lg I＝－50，则I＝10－5 ω/m2；若Li＝80 dB，即10lg I＝－40，则I＝10－4 ω/m2，故歌唱家唱歌时的声强范围为[10－5，10－4]（单位：ω/m2），C正确；设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10 dB，则（120＋10lg kI）－（120＋10lg I）＝10，解得k＝10，即如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10 dB，故D正确，B错误.故选A、C、D.
13.①　解析：若模型为②，则f（1）＝2＋a＝4，解得a＝2.于是f（x）＝2x＋2，此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f（1）＝1＋b＝4，解得b＝3.于是f（x）＝x2＋3，此时f（2）＝7，f（3）＝12，f（4）＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得即解得经检验是最适合的函数模型.
14.解：（1）∵D1＋2D2＝3D3，
∴alg I1＋b＋2（alg I2＋b）＝3（alg I3＋b），
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，
∴I1·＝.
（2）由题意得
∴100＜10lg I＋160＜120，
∴10－6＜I＜10－4.
故当声音能量I∈（10－6，10－4）时，人会暂时性失聪.
15.解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示.
据此，可考虑用函数y＝－a（x－4）2＋2（a＞0）　①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx（b＞0）　②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系.
把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a（1－4）2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15（x－4）2＋2来表示.
把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示.
设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元，
得
即W＝－0.15（xA－）2＋0.15×（）2＋2.6.
故当xA＝≈3.2时，W取得最大值，约为4.1，
此时，xB＝8.8.
即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元.
2 / 32.2　用函数模型解决实际问题
新课程标准解读 核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学建模
　　地震是一种常见的自然灾害，它的强度一般用里氏震级来表示.里氏震级是一种以发生地震时产生的水平位移作为判断标准的地震震级标度，共分9个等级，地震越大，震级的数字也越大.震级每增加一级，通过地震释放的能量约增加32倍.里氏震级的计算公式是ML＝lg，其中A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，单位是μm；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅，单位是μm.
【问题】　如果知道了相关数据，那么如何计算震级呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　几类常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数且k≠0）
二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
指数型函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
续表
函数模型 函数解析式
对数型函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
分段函数模型 y＝
提醒　对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本.运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质.（　　）
（2）在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性.（　　）
（3）用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.（　　）
2.某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　）
A.2022年　　　　　 B.2023年
C.2024年　　 D.2025年
3.某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到　　　　只.
题型一 分段函数模型的应用
【例1】　某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（单位：μg）与时间t（单位：h）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间的函数关系式y＝f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间.
尝试解答
通性通法
1.现实生活中有很多问题都是用分段函数模型表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
2.分段函数的实质是自变量在每一段区间上变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值.
【跟踪训练】
根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：min）为f（x）＝（A，c为常数）.已知该工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是（　　）
A.75，25　　　　　 B.75，16
C.60，25　　 D.60，16
题型二 指数函数、对数函数模型的应用
【例2】　（1）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg （其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的（　　）
A.倍　　 B.10倍
C.10倍　　 D.ln 倍
（2）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（　　）
A.8　　　B.9　　C.10　　　D.11
尝试解答
通性通法
　　指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
【跟踪训练】
　一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过　　　min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
题型三 建立拟合函数模型解决实际问题
【例3】　某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售单价P（x）（单位：元）与时间x（单位：天，1≤x≤30，x∈N＋）的函数关系满足P（x）＝1＋（k为正常数）.该商品的日销售量Q（x）（单位：个）与时间x的部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
Q（x） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.
请你根据表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入f（x）（单位：元）的最小值.
尝试解答
通性通法
建立拟合函数与预测的基本步骤
【跟踪训练】
某纪念章从2024年5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
1.国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x（km） 0＜x≤500 500＜ x≤1 000 1 000＜x≤1 500 1 500＜x≤2 000 …
邮资y（元） 5.00 6.00 7.00 8.00 …
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是（　　）
A.5.00元　　B.6.00元
C.7.00元　　D.8.00元
2.一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图，那么图象所对应的函数模型是（　　）
A.分段函数　　B.二次函数
C.指数函数　　D.对数函数
3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂.已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面.当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了　　　　天.
4.已知强度为x的声音对应的等级为f（x） dB时，有f（x）＝10lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音约为60 dB.则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的　　　　倍.
2.2　用函数模型解决实际问题
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×
2.D　设从2018年起，再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件，根据题意，得2（1＋20%）n＞6，即1.2n＞3，两边取对数，得nlg 1.2＞lg 3，∴n＞＝≈6.03，又n为整数，∴n的最小值为7，又2 018＋7＝2 025，∴从2025年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D.
3.300
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）当0≤t＜1时，y＝kt，由点M（1，4）在直线上，得4＝k，故y＝4t；
当t≥1时，y＝，由点M（1，4）在曲线上，得4＝，解得a＝3，即y＝.
故y＝f（t）＝
（2）由题意知f（t）≥0.25，
则或解得≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝（h）.
跟踪训练
　D　由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.
【例2】　（1）C　（2）C　解析：（1）由η＝10lg 得I＝I01，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以＝10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍.
（2）设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由＜，得n≥10.所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
跟踪训练
　16　解析：当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝.容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝24.所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
【例3】　解：（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为P（10）·Q（10）＝×110＝121，解得k＝1.
（2）由题中的数据，知随着时间的变化，该商品的日销售量有增有减，而①③④均为单调函数，故最合适的函数模型为②Q（x）＝a｜x－25｜＋b.
从表中数据可得
即解得
故Q（x）＝125－｜x－25｜（1≤x≤30，x∈N＋）.
（3）由（2）知Q（x）＝125－｜x－25｜＝
所以f（x）＝P（x）· Q（x）
＝
当1≤x＜25时，y＝x＋在区间[1，10]上单调递减，在区间[10，25）上单调递增，
所以当x＝10时，f（x）取得最小值，且f（x）min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，
所以当x＝30时，f（x）取得最小值，且f（x）min＝124.
综上所述，当x＝10时，f（x）取得最小值，且f（x）min＝121.
故该商品的日销售收入f（x）的最小值为121元.
跟踪训练
　解：（1）∵随着时间x的增加，y的值先减后增，
而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴选取y＝ax2＋bx＋c.
（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y＝ax2＋bx＋c中，得
解得a＝，b＝－10，c＝126.
∴y＝x2－10x＋126＝（x－20）2＋26，
∴当x＝20时，y有最小值ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元.
随堂检测
1.C
2.A　根据函数图象由不同的直线段构成可知，函数是分段函数，在每一段上函数是一次函数，故选A.
3.19　解析：设荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系式为y＝a·（2x）（x∈N＋），根据题意：令2（a·2x）＝a·220 x＝19，即生长19天时，布满水面一半.
4.108　解析：f（x）＝10lg ＝10（lg x＋12）.
当f（x）＝140时，10（lg x＋12）＝140，所以x＝100.
当f（x）＝60时，10（lg x＋12）＝60，所以x＝10－6.
＝108，所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的108倍.
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2.2　用函数模型解决实际问题
新课程标准解读 核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重
要数学语言和工具 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　地震是一种常见的自然灾害，它的强度一般用里氏震级来表示.
里氏震级是一种以发生地震时产生的水平位移作为判断标准的地震震
级标度，共分9个等级，地震越大，震级的数字也越大.震级每增加一
级，通过地震释放的能量约增加32倍.里氏震级的计算公式是 ML ＝lg
，其中 A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大
振幅，单位是μm； Amax是指我们关注的这个地震在距震中100 km处
接收到的地震波的最大振幅，单位是μm.
【问题】　如果知道了相关数据，那么如何计算震级呢？




知识点　几类常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0）
反比例函数模型
二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a
≠0）
函数模型 函数解析式
指数型函数模型 f （ x ）＝ bax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b
≠0， a ＞0且 a ≠1）
对数型函数模型 f （ x ）＝ b log ax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b
≠0， a ＞0且 a ≠1）
幂函数模型 f （ x ）＝ axn ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0）
分段函数模型
提醒　对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数
学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解
决实际问题的重要资本.运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实
际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模
型进行修正.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在一次函数模型中，系数 k 的取值会影响函数的性质.
（　√　）
（2）在幂函数模型的解析式中， a 的正负会影响函数的单调性.
（　√　）
（3）用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型
就无存在意义了. （　×　）
√
√
×
2. 某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年
增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年
份是（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　）
A. 2022年 B. 2023年
C. 2024年 D. 2025年
解析：　设从2018年起，再过 n 年这家工厂生产这种产品的年产
量超过6万件，根据题意，得2（1＋20%） n ＞6，即1.2 n ＞3，两边
取对数，得 n lg 1.2＞lg 3，∴ n ＞ ＝ ≈6.03，又 n 为
整数，∴ n 的最小值为7，又2 018＋7＝2 025，∴从2025年开始这
家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D.
3. 某种动物繁殖数量 y （只）与时间 x （年）的关系为 y ＝ a log2（ x
＋1），设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到 只.
300　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分段函数模型的应用
【例1】　某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服
用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y （单位：μg）与时间 t
（单位：h）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间的函数关系式 y
＝ f （ t ）；
解：当0≤ t ＜1时， y ＝ kt ，由点 M （1，4）在直线上，得4＝
k ，故 y ＝4 t ；
当 t ≥1时， y ＝ ，由点 M （1，4）在曲线上，得4＝
，解得 a ＝3，即 y ＝ .
故 y ＝ f （ t ）＝
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，对治疗
疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间.
解：由题意知 f （ t ）≥0.25，
则或
解得 ≤ t ≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－ ＝ （h）.
通性通法
1. 现实生活中有很多问题都是用分段函数模型表示的，如出租车计
费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
2. 分段函数的实质是自变量在每一段区间上变化所遵循的规律不同，
可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其
合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值.
【跟踪训练】
根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：min）为 f
（ x ）＝（ A ， c 为常数）.已知该工人组装第4件产品用
时30 min，组装第 A 件产品用时15 min，那么 c 和 A 的值分别是（　　）
A. 75，25 B. 75，16
C. 60，25 D. 60，16
解析：由题意知，组装第 A 件产品所需时间为 ＝15，故组装第4件产品所需时间为 ＝30，解得 c ＝60.将 c ＝60代入 ＝15，得 A ＝16.
题型二 指数函数、对数函数模型的应用
【例2】　（1）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的
音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为 I
的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg （其中 I0是人
耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度 I1是60
dB的声音的声波强度 I2的（　C　）
C. 10倍
C
解析：由η＝10lg 得 I ＝ I01 ，所以 I1＝ I0107， I2＝ I0106，所以
＝10，所以70 dB的声音的声波强度 I1是60 dB的声音的声波强度 I2的
10倍.
（2）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰
减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的
碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就
测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不
到，则它经过的“半衰期”个数至少是（　C　）
A. 8 B. 9
C. 10 D. 11
C
解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过 n 个
“半衰期”后的含量为 ，由 ＜ ，得 n ≥10.所以若
某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少
需要经过10个“半衰期”.
通性通法
　　指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模
型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运
算，灵活进行指数与对数的互化.
【跟踪训练】
　一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地
匀速漏出， t min后剩余的细沙量为 y ＝ a e－ bt （cm3），经过8 min后发
现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始
时的八分之一.
解析：当 t ＝8时， y ＝ a e－8 b ＝ a ，所以e－8 b ＝ .容器中的沙子只有
开始时的八分之一时，即 y ＝ a e－ bt ＝ a ，e－ bt ＝ ＝（e－8 b ）3＝e－24
b ，则 t ＝24.所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
16　
题型三 建立拟合函数模型解决实际问题
【例3】　某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商
品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日
销售单价 P （ x ）（单位：元）与时间 x （单位：天，1≤ x ≤30， x
∈N＋）的函数关系满足 P （ x ）＝1＋ （ k 为正常数）.该商品的日
销售量 Q （ x ）（单位：个）与时间 x 的部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
Q （ x ） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求 k 的值；
解：依题意知第10天该商品的日销售收入为 P （10）· Q （10）
＝ ×110＝121，解得 k ＝1.
（2）给出以下四种函数模型：① Q （ x ）＝ ax ＋ b ；② Q （ x ）＝
a ｜ x －25｜＋ b ；③ Q （ x ）＝ a · bx ；④ Q （ x ）＝ a ·log bx .
请你根据表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述
该商品的日销售量 Q （ x ）与时间 x 的关系，并求出该函数的解
析式；
解：由题中的数据，知随着时间的变化，该商品的日销售量有
增有减，而①③④均为单调函数，故最合适的函数模型为② Q
（ x ）＝ a ｜ x －25｜＋ b .
从表中数据可得
即解得
故 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜（1≤ x ≤30， x ∈N＋）.
（3）求该商品的日销售收入 f （ x ）（单位：元）的最小值.
解：由（2）知 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜＝
所以 f （ x ）＝ P （ x ）· Q （ x ）
＝
当1≤ x ＜25时， y ＝ x ＋ 在区间[1，10]上单调递减，在区间
[10，25）上单调递增，
所以当 x ＝10时， f （ x ）取得最小值，且 f （ x ）min＝121；
当25≤ x ≤30时， y ＝ － x 单调递减，
所以当 x ＝30时， f （ x ）取得最小值，且 f （ x ）min＝124.
综上所述，当 x ＝10时， f （ x ）取得最小值，且 f （ x ）min＝121.
故该商品的日销售收入 f （ x ）的最小值为121元.
通性通法
建立拟合函数与预测的基本步骤
【跟踪训练】
某纪念章从2024年5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章
每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
上市时间 x 天 4 10 36
市场价 y 元 90 51 90
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念
章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：① y ＝ ax ＋
b ；② y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；③ y ＝ a log bx .
解：∵随着时间 x 的增加， y 的值先减后增，
而所给的三个函数中 y ＝ ax ＋ b 和 y ＝ a log bx 显然都是单调函
数，不满足题意，
∴选取 y ＝ ax2＋ bx ＋ c .
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最
低的价格.
解：把点（4，90），（10，51），（36，90）代入 y ＝ ax2＋ bx
＋ c 中，得
解得 a ＝ ， b ＝－10， c ＝126.
∴ y ＝ x2－10 x ＋126＝ （ x －20）2＋26，
∴当 x ＝20时， y 有最小值 ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价
为26元.
1. 国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离 x
（km） 0＜ x
≤500 500＜ x
≤1 000 1 000＜ x
≤1 500 1 500＜ x
≤2 000 …
邮资 y
（元） 5.00 6.00 7.00 8.00 …
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么
他应付的邮资是（　　）
A. 5.00元 B. 6.00元
C. 7.00元 D. 8.00元
2. 一辆汽车在某段路上的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图，那
么图象所对应的函数模型是（　　）
A. 分段函数 B. 二次函数
C. 指数函数 D. 对数函数
解析：　根据函数图象由不同的直线段构成可知，函数是分段函
数，在每一段上函数是一次函数，故选A.
3. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂.已知每一天荷叶覆盖水面面
积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面.当荷叶覆盖
水面面积一半时，荷叶已生长了 天.
解析：设荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数关系式为 y ＝
a ·（2 x ）（ x ∈N＋），根据题意：令2（ a ·2 x ）＝ a ·220 x ＝19，
即生长19天时，布满水面一半.
19　
4. 已知强度为 x 的声音对应的等级为 f （ x ） dB时，有 f （ x ）＝10lg
.喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音
约为60 dB. 则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强
度的 倍.
解析： f （ x ）＝10lg ＝10（lg x ＋12）.当 f （ x ）＝140时，
10（lg x ＋12）＝140，所以 x ＝100.当 f （ x ）＝60时，10（lg x ＋
12）＝60，所以 x ＝10－6. ＝108，所以喷气式飞机起飞时的声
音强度是一般说话时声音强度的108倍.
108　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了
5%，如果按此速度，设2023年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为 m ，则
从2023年起， x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数关系式
是（　　）
C. y ＝0.9550－ x · m D. y ＝（1－0.0550－ x ）· m
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解析：　设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的 q %.由题意
可知（ q %）50＝0.95，所以 q %＝0.9 ，所以从2023年起， x 年
后北冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数关系式为 y ＝0.9 · m .
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2. 某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（　　）
A. y ＝2 x －1 B. y ＝ x2－1
C. y ＝2 x －1 D. y ＝1.5 x2－2.5 x ＋2
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解析：　由题知：当 x ＝1时， y ＝1，而选项B，当 x ＝1时， y ＝
0，故排除B. 当 x ＝3时， y ＝8，而选项A，当 x ＝3时， y ＝5，故
排除A，选项C，当 x ＝3时， y ＝7，故排除C，选项D，当 x ＝1
时， y ＝1， x ＝3时， y ＝8，D正确.故选D.
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3. 一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么 a 千克的这种物质的
半衰期（剩余量为原来的一半） t ＝（　　）
解析：　由题意知 a （1－8%） t ＝ ，即（1－8%） t ＝ ，等式
两边取对数得lg 0.92 t ＝lg 0.5，即 t lg 0.92＝lg 0.5，∴ t ＝ ，
故C选项是正确的.
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4. 某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求
其整改，降低声强.已知声强 I （单位：W/m2）表示声音在传播途
径中每平方米面积上的声能流密度，声强级 L （单位：dB）与声强
I 的函数关系式为 L ＝10lg（ aI ），其中 a 为正实数.已知 I ＝1013
W/m2时， L ＝10 dB. 若整改后的施工噪音的声强为原声强的10－2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（　　）
A. 50 dB B. 40 dB
C. 30 dB D. 20 dB
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解析：　由已知得10＝10·lg（ a ×1013），解得 a ＝10－12，故 L ＝
10·lg（10－12× I ）＝10（－12＋lg I ）.设施工噪音原来的声强为
I1，声强级为 L1，整改后的声强为 I2，声强级为 L2，则 L1－ L2＝10
（－12＋lg I1）－10（－12＋lg I2）＝10（lg I1－lg I2）＝10·lg ＝
20.故选D.
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5. （多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超
过部分按每千米2.15元收费：超过8 km时，超过部分按每千米2.85
元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（　　）
A. 出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元
B. 出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
C. 某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次
的费用
D. 某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km
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解析：　在A中，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋
1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋
2.15×5＋2.85×（10－8）＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出
租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30元，乘坐两次需
付费26.6元，26.6＞25.45，C正确；在D中，设出租车行驶 x km
时，付费 y 元，由8＋5×2.15＋1＝19.75＜22.6知 x ＞8，因此由 y
＝8＋2.15×5＋2.85（ x －8）＋1＝22.6，解得 x ＝9，D正确.
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6. （多选）如图，某池塘里浮萍的面积 y （单位：m2）与时间 t （单
位：月）的关系为 y ＝ at ，下列说法正确的是（　　）
A. 这个指数函数的底数为2
B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C. 浮萍从4 m2蔓延到12 m2需经过1.5个月
D. 若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是
t1， t2， t3，则 t1＋ t2＝ t3
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解析：　由图象可知经过点（1，2），代入 y ＝ at ，2＝ a1，
∴ a ＝2，故选项A正确；当 t ＝5时， y ＝25＝32＞30，∴浮萍面积
就会超过30 m2，故选项B正确；浮萍为4 m2时，得 t ＝2，经过1.5
个月后， t ＝3.5，此时浮萍面积为23.5＝8 ＜12，∴选项C错
误；若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别为 t1， t2，
t3，则 ＝2， ＝3， ＝6，则 · ＝2×3＝6＝ ，
∴ ＝ ，得 t1＋ t2＝ t3，∴选项D正确，故选A、B、D.
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7. 计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低 ，现在价格为8
100元的计算机9年后的价格为 元.
解析：依题意得，所求价格为8 100× ＝8 100× ＝2
400（元）.
2 400　
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8. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v 米/秒和燃料的质量
M 千克、火箭（除燃料外）的质量 m 千克的函数关系式是 v ＝2
000·ln .当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大
速度可达12 千米/秒.
解析：当 v ＝12 000时，2 000·ln ＝12 000，∴ln ＝
6，∴ ＝e6－1.
e6－1　
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9. 将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， t 秒后甲桶剩余的水量符合
指数衰减曲线 y ＝ a e nt ，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若
再过 m 秒甲桶中的水只有 升，则 m 的值为 .
解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数 y ＝ f （ t ）＝ a e nt
满足 f （5）＝ a e5 n ＝ a ，即5 n ＝ln ，得 n ＝ ln ，当 k 秒后甲桶
中的水只有 升，即 f （ k ）＝ ，即 · k ln ＝ln ＝2ln ，得 k ＝
10，故 m ＝10－5＝5.
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10. 汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于
人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停
车安全距离为 S ，驾驶员反应时间内汽车所行距离为 S1，刹车距
离为 S2，则 S ＝ S1＋ S2.而 S1与反应时间 t 有关， S1＝10ln（ t ＋
1）， S2与车速 v 有关， S2＝ bv2.某人刹车反应时间为 －1秒，
当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速
100千米/时的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？（精
确到米）
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解：因为刹车反应时间为 －1秒，
所以 S1＝10ln（ －1＋1）＝10ln ＝5，
当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则 S2＝
b ·（60）2＝20，
解得 b ＝ ，即 S2＝ v2.
若 v ＝100，则 S2＝ ×1002≈56， S1＝5，
所以该汽车的安全距离 S ＝ S1＋ S2＝5＋56＝61（米）.
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11. 已知某种鱼失去的新鲜度 h 与其出海后时间 t （分）满足的函数关
系式为 h （ t ）＝ mat .若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为
10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及
时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已
知lg 2≈0.3，结果取整数）（　　）
A. 33分钟 B. 43分钟
C. 50分钟 D. 56分钟
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解析：　依题设有解得 a ＝ ， m ＝
0.05，故 h （ t ）＝0.05×（ ） t .令 h （ t ）＝0.05×（ ） t
＝1，得（ ） t ＝20，故 t ＝ ＝ ≈ ≈43（分
钟）.
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12. （多选）声强级 Li （单位：dB）与声强 I （单位：ω/m2）之间的
关系是： Li ＝10×lg ，其中 I0指的是人能听到的最低声强，对应
的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为1 ω/m2，对应的声强级
为120 dB，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]
（单位：dB）.下列选项中正确的是（　　）
A. 闻阈的声强为10－12 ω/m2
B. 声强级增加10 dB，则声强变为原来的2倍
C. 此歌唱家唱歌时的声强范围为[10－5，10－4]（单位：dB）
D. 如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10 dB
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解析：　由题意10 lg ＝120，即lg ＝12，所以 ＝1012，
所以 I0＝10－12ω/m2，故 Li ＝10lg（1012 I ）＝120＋10lg I ，故A正
确；若 Li ＝70 dB，即10lg I ＝－50，则 I ＝10－5 ω/m2；若 Li ＝80
dB，即10lg I ＝－40，则 I ＝10－4 ω/m2，故歌唱家唱歌时的声强范
围为[10－5，10－4]（单位：ω/m2），C正确；设声强变为原来的 k
倍，对应声强级增加10 dB，则（120＋10lg kI ）－（120＋10lg
I ）＝10，解得 k ＝10，即如果声强变为原来的10倍，对应声强级
增加10 dB，故D正确，B错误.故选A、C、D.
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13. 某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四
年的年产量 f （ x ）（单位：万斤）与年份 x （记2019年为第1年）
之间的关系统计如下：
x 1 2 3 4
f （ x ） 4.00 5.62 7.00 8.86
则 f （ x ）近似符合以下三种函数模型之一：① f （ x ）＝ ax ＋ b ；
② f （ x ）＝2 x ＋ a ；③ f （ x ）＝ x2＋ b .你认为最适合的函数模型
的是 .（填序号）
①　
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解析：若模型为②，则 f （1）＝2＋ a ＝4，解得 a ＝2.于是 f
（ x ）＝2 x ＋2，此时 f （2）＝6， f （3）＝10， f （4）＝18，与
表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则 f （1）＝1＋ b
＝4，解得 b ＝3.于是 f （ x ）＝ x2＋3，此时 f （2）＝7， f （3）＝
12， f （4）＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为
①，则根据表中数据得即解得
经检验是最适合的函数模型.
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14. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践
证明，声音强度 D （dB）由公式 D ＝ a lg I ＋ b （ a ， b 为非零常
数）给出，其中 I （W/cm2）为声音能量.
（1）当声音强度 D1， D2， D3满足 D1＋2 D2＝3 D3时，求对应的
声音能量 I1， I2， I3满足的等量关系式；
解：∵ D1＋2 D2＝3 D3，
∴ a lg I1＋ b ＋2（ a lg I2＋ b ）＝3（ a lg I3＋ b ），
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，
∴ I1· ＝ .
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（2）当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为
30 dB；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音
强度为40 dB. 当声音强度大于60 dB时属于噪音，一般人在
100～120 dB的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量
在什么范围时，人会暂时性失聪.
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解：由题意得
∴100＜10lg I ＋160＜120，
∴10－6＜ I ＜10－4.
故当声音能量 I ∈（10－6，10－4）时，人会暂时性失聪.
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15. 某个体经营者把前六个月试销 A ， B 两种商品的逐月投资与所获
纯利润列成下表：
月投资 A 种商品 的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
月投资 B 种商品 的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
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该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入
A ， B 两种商品各多少万元才最合算.请你帮助制订一个资金投入
方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润.（精
确到0.1万元）
解：以投资额为横坐标，纯利润为
纵坐标，画出散点图，如图所示.
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据此，可考虑用函数 y ＝－ a （ x －4）2＋2（ a ＞0）　①表示投
资 A 种商品的金额与其纯利润的关系，用 y ＝ bx （ b ＞0）　②表
示投资 B 种商品的金额与其纯利润的关系.
把 x ＝1， y ＝0.65代入①式，得0.65＝－ a （1－4）2＋2，解得 a
＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资 A
种商品的金额的函数解析式可近似地用 y ＝－0.15（ x －4）2＋2
来表示.
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把 x ＝4， y ＝1代入②式，解得 b ＝0.25，经检验，解析式满足题
意，故所获纯利润关于月投资 B 种商品的金额的函数解析式可近
似地用 y ＝0.25 x 来表示.
设下个月投入 A ， B 两种商品的资金分别是 xA 万元， xB 万元，纯
利润为 W 万元，
得
即 W ＝－0.15（ xA － ）2＋0.15×（ ）2＋2.6.
故当 xA ＝ ≈3.2时， W 取得最大值，约为4.1，
此时， xB ＝8.8.
即下个月投入 A ， B 两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元
时，可获得最大纯利润，约为4.1万元.
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