资源简介

一、数学运算
　　数学运算核心素养在本章中主要体现在方程根（函数零点）的求解及所在区间的判断问题中.
培优一 求函数的零点
【例1】　函数f（x）＝则函数g（x）＝3f2（x）－8f（x）＋4的零点个数是（　　）
A.5　　 B.4
C.3　　 D.6
尝试解答
培优二 函数零点、方程的根所在区间的判断
【例2】　方程6－2x＝ln x必有一根的区间是（　　）
A.（2，3）　　　　　 B.（3，4）
C.（0，1）　　 D.（4，5）
尝试解答
二、直观想象
　　在本章中，根据函数零点或方程解的情况求参数等问题均突出体现了直观想象这一核心素养.
培优三 根据函数零点或方程解的情况求参数
【例3】　已知函数f（x）＝若方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　）
A.（0，1）　　 B.（0，2）
C.（0，3）　　 D.（1，3）
尝试解答
三、数学建模
根据具体问题，选择合适的数学模型解决实际问题，突出体现了数学建模这一核心素养.
培优四 函数模型的应用
【例4】　我国独创的视力记录法（缪氏记录法），将正常视力规定为5分，无光感规定为0，使所有视力等级连成一个完整的数学系统.5分记录是以5分减去视角的对数值表达视力，若用公式表达，则为L＝5－tlg α.已知视力表最大视标的视角为100'，此时α＝102，L＝3.0，则α＝10－0.1时，L＝（　　）
A.4.9　　 B.5.0
C.5.1　　 D.5.2
尝试解答
【例5】　已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：2≤t≤20，t∈N.经测算，电车载客量p（t）与发车时间间隔t满足：p（t）＝其中t∈N.
（1）求p（5），并说明p（5）的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为Q＝－60（元），问：当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　A　
函数g（x）＝3f2（x）－8f（x）＋4＝[3f（x）－2]·[f（x）－2]的零点，
即方程f（x）＝和f（x）＝2的根.
函数f（x）＝的图象如图所示，
由图可得，方程f（x）＝和f（x）＝2共有5个根，
即函数g（x）＝3f2（x）－8f（x）＋4有5个零点，故选A.
【例2】　A　由6－2x＝ln x，得2x＋ln x－6＝0，构造函数f（x）＝2x＋ln x－6.∵f（2）＝ln 2－2＜0，f（3）＝ln 3＞0，f（4）＝ln 4＋2＞0，f（5）＝ln 5＋4＞0，f（1）＝－4＜0，∴由零点存在定理可知，方程6－2x＝ln x必有一根的区间是（2，3）.
【例3】　A　∵函数f（x）＝∴作出函数f（x）图象，如图所示.方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，等价于函数y＝f（x）的图象与y＝a有三个不同的交点，根据图象可知，当0＜a＜1时，函数y＝f（x）的图象与y＝a有三个不同的交点，即方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，故a的取值范围是（0，1），故选A.
【例4】　C　因为α＝102时，L＝3.0，所以3＝5－tlg 100，解得t＝1，所以L＝5－lg α，将α＝10－0.1代入上式，可得L＝5－lg 10－0.1＝5＋0.1＝5.1.
【例5】　解：（1）因为p（t）＝
所以p（5）＝400－2（10－5）2＝350.
p（5）的实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载客量为350.
（2）将p（t）＝
代入Q＝－60中可得
Q＝
化简可得Q＝
当2≤t＜10时，Q＝180－（12t＋）≤180－2＝60，当且仅当t＝5时等号成立；
当10≤t≤20时，Q＝－60≤－60＋90＝30，当t＝10时等号成立.
综上可知，当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的收益最大，最大为60元.
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章末复习与总结
一、数学运算
　　数学运算核心素养在本章中主要体现在方程根（函数零点）的求
解及所在区间的判断问题中.
培优一 求函数的零点
【例1】　函数 f （ x ）＝则函数 g （ x ）＝3 f2（ x ）
－8 f （ x ）＋4的零点个数是（　　）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 6
解析：　函数 g （ x ）＝3 f2（ x ）－8 f （ x ）＋4＝
[3 f （ x ）－2]·[ f （ x ）－2]的零点，
即方程 f （ x ）＝ 和 f （ x ）＝2的根.
函数 f （ x ）＝的图象如图所示，
由图可得，方程 f （ x ）＝ 和 f （ x ）＝2共有5个根，
即函数 g （ x ）＝3 f2（ x ）－8 f （ x ）＋4有5个零点，故选A.
培优二 函数零点、方程的根所在区间的判断
【例2】　方程6－2 x ＝ln x 必有一根的区间是（　　）
A. （2，3） B. （3，4）
C. （0，1） D. （4，5）
解析：　由6－2 x ＝ln x ，得2 x ＋ln x －6＝0，构造函数 f （ x ）＝2 x
＋ln x －6.∵ f （2）＝ln 2－2＜0， f （3）＝ln 3＞0， f （4）＝ln 4＋2
＞0， f （5）＝ln 5＋4＞0， f （1）＝－4＜0，∴由零点存在定理可
知，方程6－2 x ＝ln x 必有一根的区间是（2，3）.
二、直观想象
　　在本章中，根据函数零点或方程解的情况求参数等问题均突出体
现了直观想象这一核心素养.
培优三 根据函数零点或方程解的情况求参数
【例3】　已知函数 f （ x ）＝若方程 f （ x ）－ a ＝
0有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为（　　）
A. （0，1） B. （0，2）
C. （0，3） D. （1，3）
解析：　∵函数 f （ x ）＝
∴作出函数 f （ x ）图象，如
图所示.方程 f （ x ）－ a ＝0有三个不同的实数根，等价于函数 y ＝ f （ x ）的图象与 y ＝ a 有三个不同的交点，根据图象可知，当0＜ a ＜1时，函数 y ＝ f （ x ）的图象与 y ＝ a 有三个不同的交点，即方程 f （ x ）－ a ＝0有三个不同的实数根，故 a 的取值范围是（0，1），故选A.
三、数学建模
　　根据具体问题，选择合适的数学模型解决实际问题，突出体现了
数学建模这一核心素养.
【例4】　我国独创的视力记录法（缪氏记录法），将正常视力规定
为5分，无光感规定为0，使所有视力等级连成一个完整的数学系统.5
分记录是以5分减去视角的对数值表达视力，若用公式表达，则为 L ＝
5－ t lg α.已知视力表最大视标的视角为100'，此时α＝102， L ＝
3.0，则α＝10－0.1时， L ＝（　　）
A. 4.9 B. 5.0
C. 5.1 D. 5.2
培优四 函数模型的应用
解析：　因为α＝102时， L ＝3.0，所以3＝5－ t lg 100，解得 t ＝
1，所以 L ＝5－lg α，将α＝10－0.1代入上式，可得 L ＝5－lg 10－0.1
＝5＋0.1＝5.1.
【例5】　已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔 t （单位：分钟）
满足：2≤ t ≤20， t ∈N. 经测算，电车载客量 p （ t ）与发车时间间
隔 t 满足： p （ t ）＝其中 t ∈N.
（1）求 p （5），并说明 p （5）的实际意义；
解：因为 p （ t ）＝
所以 p （5）＝400－2（10－5）2＝350.
p （5）的实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载客量
为350.
（2）若该线路每分钟的净收益为 Q ＝ －60（元），问：
当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求
每分钟最大净收益.
解：将 p （ t ）＝
代入 Q ＝ －60中可得 Q ＝
化简可得 Q ＝
当2≤ t ＜10时， Q ＝180－（12 t ＋ ）≤180－2 ＝
60，当且仅当 t ＝5时等号成立；
当10≤ t ≤20时， Q ＝ －60≤－60＋90＝30，当 t ＝10时等号成立.
综上可知，当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的收益最
大，最大为60元.
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