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章末检测（五）　函数应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.二次函数y＝2x2＋x－1的零点是（　　）
A.，－1　　B.－，1　　C.，（1，0）　　D.，（－1，0）
2.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（　　）
A.f（x）＝3x－1　　B.f（x）＝x3　　C.f（x）＝｜x｜　　D.f（x）＝ln x
3.根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是（　　）
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6
A.（－1，0）　　B.（0，1）　　C.（1，2）　　D.（2，3）
4.函数f（x）＝－x2＋1的零点个数是（　　）
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
5.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0（1＋k）n（k＞－1），其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期k∈（－1，0），那么在这期间人口数（　　）
A.呈上升趋势　　B.呈下降趋势　　C.摆动变化　　D.不变
6.已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两个不相等的实数根都在（0，4）内，则实数m的取值范围是（　　）
A.∪[2，＋∞）　　B.∪（2，＋∞）
C.　　D.
7.已知函数f（x）＝若关于x的方程m－f（x）＝0有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A.（0，＋∞）　　B.（－∞，0]∪（1，＋∞）　　C.（－∞，0]　　D.（0，1]
8.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示.如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（　　）
A.9：00　　B.8：40　　C.8：30　　D.8：00
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，若f（a）·f（b）＜0，则在区间[a，b]上（　　）
A.方程f（x）＝0没有实数根
B.方程f（x）＝0至多有一个实数根
C.若函数f（x）单调，则f（x）＝0必有唯一的实数根
D.若函数f（x）不单调，则f（x）＝0至少有一个实数根
10.已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，则以下结论正确的是（　　）
A.a＜1　　B.若x1x2≠0，则＋＝
C.f（－1）＝f（3）　　D.函数y＝f（｜x｜）有4个零点
11.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x－1）＝f（x＋1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，若函数g（x）＝f（x）－loga（x＋2）（a＞1）在区间（－1，3）恰有3个不同的零点，则实数a的取值可以是（　　）
A.1　　B.3　　C.4　　D.5
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知函数f（x）＝e－x－2x－5的零点位于区间（m，m＋1）内，则整数m的值为　　　　.
13.若关于x的方程＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是　　　　.
14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
（1）当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付　　　　元；
（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度x/cm 40.0 37.0
课桌高度y/cm 75.0 70.2
（1）请你确定y与x的函数解析式（不必写出x的取值范围）；
（2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
16.（本小题满分15分）某公司为了进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，产量为x（单位：千部）时，需另投入成本为R（x）（单位：万元），且R（x）＝由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2024年的利润W（x）（单位：万元）关于年产量x的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）2024年的年产量为多少部时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝2｜x－1｜－x＋1.
（1）请画出函数f（x）的图象；
（2）根据函数f（x）的图象回答下列问题：
①求函数f（x）的单调区间；
②求函数f（x）的值域；
③求关于x的方程f（x）＝2在区间[0，2]内解的个数.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f（x）＝0在区间[0，1]内有两个实根.
19.（本小题满分17分）水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2，现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）与y＝p＋q（p＞0）可供选择.
（参考数据：≈1.414，≈1.732，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
章末检测（五）　函数应用
1.A　二次函数y＝2x2＋x－1的零点就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝，或x＝－1，故选A.
2.C　f（x）＝｜x｜≥0恒成立，在定义域内不存在变号零点.
3.C　令f（x）＝ex－x－3＝ex－（x＋3），由上表可知f（－1）＜0，f（0）＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）＞0. 故f（1）f（2）＜0，故断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是（1，2）.故选C.
4.C　令f（x）＝－x2＋1＝0，得＝x2－1，则函数f（x）的零点个数，即y＝与y＝x2－1的交点个数，如图所示，由图可知有两个交点，故函数f（x）＝－x2＋1有两个零点.
5.B　由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有k∈（－1，0），即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故选B.
6.C　设f（x）＝x2＋mx＋1，则二次函数f（x）＝x2＋mx＋1的两个零点都在区间（0，4）内，由题意
解得－＜m＜－2.因此，实数m的取值范围是（－，－2）.故选C.
7.D　函数图象如图所示，关于x的方程m－f（x）＝0有两个不同的实数根，说明函数y＝m和y＝f（x）有两个不同的交点，由数形结合思想可知m∈（0，1]，故选D.
8.A　根据函数的图象，可得函数的图象过点（10，1），代入函数的解析式，可得＝1，解得a＝1，所以y＝令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或≤0.25，解得0≤t≤2.5或t≥30，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00.
9.CD　由函数零点存在定理，知函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，所以若函数f（x）不单调，则f（x）＝0至少有一个实数根，若函数f（x）单调，则函数f（x）有唯一的零点，即f（x）＝0必有唯一的实数根，故选C、D.
10.ABC　根据题意，函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，即方程x2－2x＋a＝0有两个不同的根，为x1，x2.对于A，若方程x2－2x＋a＝0有两个不同的根，则有（－2）2－4a＞0，解得a＜1，故A正确；对于B，易知x1＋x2＝2，x1x2＝a≠0，则＋＝＝，故B正确；对于C，函数f（x）＝x2－2x＋a的图象的对称轴为直线x＝1，则有f（－1）＝f（3），故C正确；对于D，当a＝0时，y＝f（｜x｜）＝x2－2｜x｜，有3个零点，故D错误.
11.CD　由题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，函数f（x）＝f（－x）＝2－x－1，又对任意x∈R，都有f（x－1）＝f（x＋1），则f（x）＝f（x＋2），又函数g（x）＝f（x）－loga（x＋2）（a＞1）在区间（－1，3）恰有3个不同的零点，即函数y＝f（x）与y＝loga（x＋2）（a＞1）的图象在区间（－1，3）上有3个不同的交点，又由f（1）＝f（3）＝1，则满足loga（1＋2）＜1，且loga（3＋2）≥1，解得3＜a≤5，即实数a的取值可以是4，5.
12.－2　解析：因为f（x）＝e－x－2x－5为减函数，f（－2）＝e2－1＞0，f（－1）＝e－3＜0，所以f（x）＝e－x－2x－5存在唯一的零点x0，且x0∈（－2，－1），所以m＝－2.
13.　解析：由题意可知k≠0，∵＝kx，∴kx2－2kx＝｜x｜.当x≥0时，kx2－2kx＝x，解得x＝0或x＝，∴＞0，∴k＞0或k＜－；当x＜0时，kx2－2kx＝－x，解得x＝0（舍去）或x＝，∴＜0，∴0＜k＜.综上，可知实数k的取值范围是.
14.（1）130　（2）15　解析：（1）当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付（60＋80）－10＝130（元）.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，
当y＜120元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求；
当y≥120元时，有（y－x）×80%≥y×70%恒成立，即8（y－x）≥7y，x≤，即x≤＝15（元）.
所以x的最大值为15.
15.解：（1）根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得解得所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
（2）把x＝42代入（1）中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的.
16.解：（1）当0＜x＜40时，W（x）＝700x－（10x2＋100x）－250＝－10x2＋600x－250；
当x≥40时，W（x）＝700x－（701x＋－9 450）－250＝－（x＋）＋9 200.
∴W（x）＝
（2）若0＜x＜40，则W（x）＝－10（x－30）2＋8 750，
当x＝30时，W（x）取最大值，W（x）max＝8 750.
若x≥40，则W（x）＝－（x＋）＋9 200≤9 200－2＝9 000，
当且仅当x＝，即x＝100时，W（x）取最大值，W（x）max＝9 000.
故2024年的年产量为100 000部时，公司所获利润最大，最大利润是9 000万元.
17.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，
f（x）＝2（x－1）－x＋1＝x－1；
当x－1＜0，即x＜1时，f（x）＝2（1－x）－x＋1＝3－3x.
f（x）的图象如图所示.
（2）①函数f（x）的单调递增区间为[1，＋∞）；函数f（x）的单调递减区间为（－∞，1].
②函数f（x）的值域为[0，＋∞）.
③方程f（x）＝2在区间[0，2]内解的个数为1.
18.证明：∵f（1）＞0，∴f（1）＝3a＋2b＋c＞0，
即3（a＋b＋c）－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c＞0，
∴－b－c＞c，即a＞c.
∵f（0）＞0，∴f（0）＝c＞0，∴a＞0.
取区间[0，1]的中点，
则f＝a＋b＋c＝a＋（－a）＝－a＜0.
∵f（0）＞0，f（1）＞0，
∴函数f（x）在区间和上各有一个零点.
又f（x）为二次函数，最多有两个零点，
∴f（x）＝0在[0，1]内有两个实根.
19.解：（1）因为y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，y＝p＋q（p＞0）的增长速度越来越慢，
所以依题意，应选择y＝kax（k＞0，a＞1）.
则有解得
所以y＝8·（）x（x∈N）.
（2）当x＝0时，y＝8.
设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
有8·（）x＝8×1 000，
所以x＝lo1 000＝＝≈17.
故原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
3 / 3(共37张PPT)
章末检测（五）函数应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 二次函数 y ＝2 x2＋ x －1的零点是（　　）
解析：　二次函数 y ＝2 x2＋ x －1的零点就是2 x2＋ x －1＝0的
解，解得 x ＝ ，或 x ＝－1，故选A.
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2. 下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（　　）
A. f （ x ）＝3 x －1 B. f （ x ）＝ x3
C. f （ x ）＝｜ x ｜ D. f （ x ）＝ln x
解析：　 f （ x ）＝｜ x ｜≥0恒成立，在定义域内不存在变号
零点.
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3. 根据表格内的数据，可以断定方程e x － x －3＝0的一个根所在区间
是（　　）
x －1 0 1 2 3
e x 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x ＋3 2 3 4 5 6
A. （－1，0） B. （0，1）
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解析：　令 f （ x ）＝e x － x －3＝e x －（ x ＋3），由上表可知 f
（－1）＜0， f （0）＜0， f （1）＜0， f （2）＞0， f （3）＞0. 故
f （1） f （2）＜0，故断定方程e x － x －3＝0的一个根所在区间是
（1，2）.故选C.
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4. 函数 f （ x ）＝ － x2＋1的零点个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：　令 f （ x ）＝ － x2＋1＝0，得 ＝ x2－1，则函数 f
（ x ）的零点个数，即 y ＝ 与 y ＝ x2－1的交点个数，如图所示，
由图可知有两个交点，故函数 f （ x ）＝ － x2＋1有两个零点.
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5. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
Pn ＝ P0（1＋ k ） n （ k ＞－1），其中 Pn 为预测期人口数， P0为初
期人口数， k 为预测期内人口年增长率， n 为预测期间隔年数，如
果在某一时期 k ∈（－1，0），那么在这期间人口数（　　）
A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势
C. 摆动变化 D. 不变
解析：　由题意， k 为预测期内年增长率，如果在某一时期有 k
∈（－1，0），即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故
选B.
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6. 已知一元二次方程 x2＋ mx ＋1＝0的两个不相等的实数根都在（0，
4）内，则实数 m 的取值范围是（　　）
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解析：　设 f （ x ）＝ x2＋ mx ＋1，则二次函数 f （ x ）＝ x2＋ mx
＋1的两个零点都在区间（0，4）内，由题意
解得－ ＜ m ＜－2.因此，实数 m 的取
值范围是 .故选C.
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7. 已知函数 f （ x ）＝若关于 x 的方程 m － f （ x ）＝0
有两个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为（　　）
A. （0，＋∞） B. （－∞，0]∪（1，＋∞）
C. （－∞，0] D. （0，1]
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解析：　函数图象如图所示，
关于 x 的方程 m － f （ x ）＝0有两
个不同的实数根，说明函数 y ＝ m
和 y ＝ f （ x ）有两个不同的交
点，由数形结合思想可知 m ∈
（0，1]，故选D.
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8. 为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面
消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物
的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷洒
药物开始，商场内部的药物浓度 y （毫克/立方米）与时间 t （分
钟）之间的函数关系为 y ＝函数的图象如图所
示.如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时
间最迟是（　　）
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A. 9：00 B. 8：40
C. 8：30 D. 8：00
解析：　根据函数的图象，可得函数的图象过点（10，1），代
入函数的解析式，可得 ＝1，解得 a ＝1，所以 y ＝
令 y ≤0.25，可得0.1 t ≤0.25或
≤0.25，解得0≤ t ≤2.5或 t ≥30，所以如果商场规定9：30顾客可
以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是一条连续不断的曲线，
若 f （ a ）· f （ b ）＜0，则在区间[ a ， b ]上（　　）
A. 方程 f （ x ）＝0没有实数根
B. 方程 f （ x ）＝0至多有一个实数根
C. 若函数 f （ x ）单调，则 f （ x ）＝0必有唯一的实数根
D. 若函数 f （ x ）不单调，则 f （ x ）＝0至少有一个实数根
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解析：　由函数零点存在定理，知函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]
上至少有一个零点，所以若函数 f （ x ）不单调，则 f （ x ）＝0至少
有一个实数根，若函数 f （ x ）单调，则函数 f （ x ）有唯一的零
点，即 f （ x ）＝0必有唯一的实数根，故选C、D.
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10. 已知函数 f （ x ）＝ x2－2 x ＋ a 有两个零点 x1， x2，则以下结论正
确的是（　　）
A. a ＜1
C. f （－1）＝ f （3）
D. 函数 y ＝ f （｜ x ｜）有4个零点
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解析：　根据题意，函数 f （ x ）＝ x2－2 x ＋ a 有两个零点
x1， x2，即方程 x2－2 x ＋ a ＝0有两个不同的根，为 x1， x2.对于
A，若方程 x2－2 x ＋ a ＝0有两个不同的根，则有（－2）2－4 a ＞
0，解得 a ＜1，故A正确；对于B，易知 x1＋ x2＝2， x1 x2＝ a ≠0，
则 ＋ ＝ ＝ ，故B正确；对于C，函数 f （ x ）＝ x2－2 x
＋ a 的图象的对称轴为直线 x ＝1，则有 f （－1）＝ f （3），故C
正确；对于D，当 a ＝0时， y ＝ f （｜ x ｜）＝ x2－2｜ x ｜，有3个
零点，故D错误.
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11. 若函数 f （ x ）是定义在R上的偶函数，对任意 x ∈R，都有 f （ x －
1）＝ f （ x ＋1），且当 x ∈[0，1]时， f （ x ）＝2 x －1，若函数 g
（ x ）＝ f （ x ）－log a （ x ＋2）（ a ＞1）在区间（－1，3）恰有
3个不同的零点，则实数 a 的取值可以是（　　）
A. 1 B. 3
C. 4 D. 5
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解析：　由题意，函数 f （ x ）是定义在R上的偶函数，当 x
∈[0，1]时， f （ x ）＝2 x －1，则当 x ∈[－1，0]时，－ x ∈[0，
1]，函数 f （ x ）＝ f （－ x ）＝2－ x －1，又对任意 x ∈R，都有 f
（ x －1）＝ f （ x ＋1），则 f （ x ）＝ f （ x ＋2），又函数 g （ x ）
＝ f （ x ）－log a （ x ＋2）（ a ＞1）在区间（－1，3）恰有3个不
同的零点，即函数 y ＝ f （ x ）与 y ＝log a （ x ＋2）（ a ＞1）的图
象在区间（－1，3）上有3个不同的交点，又由 f （1）＝ f （3）
＝1，则满足log a （1＋2）＜1，且log a （3＋2）≥1，解得3＜ a
≤5，即实数 a 的取值可以是4，5.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知函数 f （ x ）＝e－ x －2 x －5的零点位于区间（ m ， m ＋1）
内，则整数 m 的值为 .
解析：因为 f （ x ）＝e－ x －2 x －5为减函数， f （－2）＝e2－1＞
0， f （－1）＝e－3＜0，所以 f （ x ）＝e－ x －2 x －5存在唯一的零
点 x0，且 x0∈（－2，－1），所以 m ＝－2.
－2　
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解析：由题意可知 k ≠0，∵ ＝ kx ，∴ kx2－2 kx ＝｜ x ｜.当
x ≥0时， kx2－2 kx ＝ x ，解得 x ＝0或 x ＝ ，∴ ＞0，∴ k
＞0或 k ＜－ ；当 x ＜0时， kx2－2 kx ＝－ x ，解得 x ＝0（舍去）
或 x ＝ ，∴ ＜0，∴0＜ k ＜ .综上，可知实数 k 的取值范
围是 .
13. 若关于 x 的方程 ＝ kx 有三个不等实数根，则实数 k 的取值范
围是 .
　
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14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、
京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒 、65元/盒、80元/盒、90
元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果
的总价达到120元，顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功
后，李明会得到支付款的80%.
（1）当 x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支
付 元；
解析：当 x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，
需要支付（60＋80）－10＝130（元）.
130　
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（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促
销前总价的七折，则 x 的最大值为 .
解析：设顾客一次购买水果的促销前总价为 y 元，
当 y ＜120元时，李明得到的金额为 y ×80%，符合要求；
当 y ≥120元时，有（ y － x ）×80%≥ y ×70%恒成立，即8
（ y － x ）≥7 y ， x ≤ ，即 x ≤ ＝15（元）.
所以 x 的最大值为15.
15　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按
一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为 y cm，椅子
的高度为 x cm，则 y 应是 x 的一次函数，下表列出了两套符合条件
的课桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度x/cm 40.0 37.0
课桌高度y/cm 75.0 70.2
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（1）请你确定 y 与 x 的函数解析式（不必写出 x 的取值范围）；
解：根据题意，课桌高度 y 是椅子高度 x 的一次函数，
故可设函数解析式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.将符合条件的两
套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得
解得所以 y 与 x 的函数解析式是 y ＝1.6 x ＋11.
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（2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是
否配套？为什么？
解：把 x ＝42代入（1）中所求的函数解析式中，有 y
＝1.6×42＋11＝78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的.
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16. （本小题满分15分）某公司为了进一步增加市场竞争力，计划在
2024年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机
全年需投入固定成本250万元，产量为 x （单位：千部）时，需另
投入成本为 R （ x ）（单位：万元），且 R （ x ）＝
由市场调研知，每部手机售价
0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
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（1）求出2024年的利润 W （ x ）（单位：万元）关于年产量 x 的
函数关系式（利润＝销售额－成本）；
解：当0＜ x ＜40时， W （ x ）＝700 x －（10 x2＋100
x ）－250＝－10 x2＋600 x －250；
当 x ≥40时， W （ x ）＝700 x －（701 x ＋ －9 450）－
250＝－（ x ＋ ）＋9 200.
∴ W （ x ）＝
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（2）2024年的年产量为多少部时，公司所获利润最大？最大利润
是多少？
解：若0＜ x ＜40，则 W （ x ）＝－10（ x －30）2＋8 750，
当 x ＝30时， W （ x ）取最大值， W （ x ）max＝8 750.
若 x ≥40，则 W （ x ）＝－（ x ＋ ）＋9 200≤9 200－2
＝9 000，
当且仅当 x ＝ ，即 x ＝100时， W （ x ）取最大值， W
（ x ）max＝9 000.
故2024年的年产量为100 000部时，公司所获利润最大，最
大利润是9 000万元.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝2｜ x －1｜－ x ＋1.
（1）请画出函数 f （ x ）的图象；
解：当 x －1≥0，即 x ≥1时，
f （ x ）＝2（ x －1）－ x ＋1＝ x －1；
当 x －1＜0，即 x ＜1时， f （ x ）＝2（1
－ x ）－ x ＋1＝3－3 x .
f （ x ）的图象如图所示.
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②求函数 f （ x ）的值域；
③求关于 x 的方程 f （ x ）＝2在区间[0，2]内解的个数.
解：①函数 f （ x ）的单调递增区间为[1，＋∞）；函
数 f （ x ）的单调递减区间为（－∞，1].
②函数 f （ x ）的值域为[0，＋∞）.
③方程 f （ x ）＝2在区间[0，2]内解的个数为1.
（2）根据函数 f （ x ）的图象回答下列问题：
①求函数 f （ x ）的单调区间；
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝3 ax2＋2 bx ＋ c ， a ＋ b ＋
c ＝0， f （0）＞0， f （1）＞0，证明 a ＞0，并利用二分法证明方
程 f （ x ）＝0在区间[0，1]内有两个实根.
证明：∵ f （1）＞0，∴ f （1）＝3 a ＋2 b ＋ c ＞0，
即3（ a ＋ b ＋ c ）－ b －2 c ＞0.
∵ a ＋ b ＋ c ＝0，∴ a ＝－ b － c ，－ b －2 c ＞0，
∴－ b － c ＞ c ，即 a ＞ c .
∵ f （0）＞0，∴ f （0）＝ c ＞0，∴ a ＞0.
取区间[0，1]的中点 ，
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则 f ＝ a ＋ b ＋ c ＝ a ＋（－ a ）＝－ a ＜0.
∵ f （0）＞0， f （1）＞0，∴函数 f （ x ）在区间 和
上各有一个零点.
又 f （ x ）为二次函数，最多有两个零点，
∴ f （ x ）＝0在[0，1]内有两个实根.
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19. （本小题满分17分）水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引
入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全
和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研
究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月覆盖面积为18 m2，经
过3个月其覆盖面积为27 m2，现水葫芦覆盖面积 y （单位：m2）
与经过时间 x （ x ∈N）个月的关系有两个函数模型 y ＝ kax （ k ＞
0， a ＞1）与 y ＝ p ＋ q （ p ＞0）可供选择.
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，lg 2≈0.301 0，lg
3≈0.477 1）
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（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
解：因为 y ＝ kax （ k ＞0， a ＞1）的增长速度越来越
快， y ＝ p ＋ q （ p ＞0）的增长速度越来越慢，
所以依题意，应选择 y ＝ kax （ k ＞0， a ＞1）.
则有解得
所以 y ＝8·（ ） x （ x ∈N）.
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（2）求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水
葫芦面积是当初投放的1 000倍.
解：当 x ＝0时， y ＝8.
设经过 x 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
有8·（ ） x ＝8×1 000，
所以 x ＝lo 1 000＝ ＝ ≈17.
故原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中
水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
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谢 谢 观 看！

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