资源简介

2.2　分层随机抽样
1.某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）
A.抽签法　 B.简单随机抽样
C.分层随机抽样　 D.随机数法
2.当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270户，180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（　　）
A.40　　 B.30　　　C.20　　 D.36
3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡8 758人，西乡7 236人，南乡8 356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡各征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是（　　）
A.112　 B.128　　C.145　 D.167
4.在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球（　　）
A.33个　 B.20个　　C.5个　 D.10个
5.（多选）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（　　）
A.应该采用分层随机抽样法
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
6.（多选）某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量n的取值可能是（　　）
A.5　 B.6　　C.20　 D.24
7.用分层随机抽样的方法对某品牌暖风机同一批次的甲、乙两种型号的产品进行抽查，已知样本量为80，其中有50件甲型号产品.若乙型号产品的总数为2 100，则该批次产品的总数为　　　　.
8.某网站对“双十二”网上购物的情况做了一项调查，收回的有效问卷共50 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如表：
商品种类 服饰鞋帽 家居用品 化妆品 家用电器
购买人数 19 800 9 400 11 600 9 200
为了解顾客对商品的满意度，该网站用分层随机抽样的方法从中选出部分问卷进行调查.已知在购买“家用电器”这一类中抽取了92份问卷，则在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷份数为　　　　.
9.某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层随机抽样的方法共抽取10亩进行统计.如果所抽取的山地是平地的2倍多1亩，则这个橘子园的平地的亩数为　　　　，山地的亩数为　　　　.
10.某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A 方案 支持B 方案 支持C 方案
35岁以下 的人数 200 400 800
35岁以上（含 35岁）的人数 100 100 400
（1）从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
（2）从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上（含35岁）的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
11.某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60.现采用分层随机抽样的方法选出12位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（　　）
A.7　 B.6　　
C.3　 D.2
12.某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（　　）
A.12　 B.15　　
C.20　 D.21
13.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层随机抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师　　　　人.
14.为预防某种流感病毒爆发，某生物技术公司研制出一种流感疫苗，为测试该疫苗的有效性，公司将2 000个流感样本分成三组，测试结果如表：
A组 B组 C组
疫苗有效 673 x y
疫苗无效 77 90 z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的可能性是0.33.
（1）求x的值；
（2）现用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
15.广东某高中开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的.为了了解学生对这两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取　　　　人.
16.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（其中0＜m≤72≤n）.
（1）若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；
（2）若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数.
2.2　分层随机抽样
1.C　根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样.
2.A　抽样比为＝，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40，故选A.
3.D　由题意结合分层随机抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为487×＝≈167.
4.C　设应抽红球x个，由＝，得x＝5.
5.ABD　由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法.由于比例为＝，因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确，故选A、B、D.
6.BD　因为运动队有足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人，所以当样本容量为n时，分层随机抽样的抽样比为，则足球运动员为×18＝人，篮球运动员为×12＝人，乒乓球运动员为×6＝人，所以n是6的整数倍，故选B、D.
7.5 600　解析：由题知抽取的样本中乙型号产品所占比例为＝，所以该批次产品的总数为2 100÷＝5 600.
8.198　解析：由题意知，抽样比为＝，所以购买“服饰鞋帽”这一类应抽取的问卷份数为19 800×＝198.
9.36　84　解析：设所抽取的平地的亩数为x，则抽取的山地的亩数为2x＋1，∴x＋2x＋1＝10，得x＝3，∴这个橘子园的平地的亩数为120×＝36，山地的亩数为120－36＝84.
10.解：（1）由题意得
＝，
解得n＝40.
（2）35岁以下的人数为×400＝4，
35岁以上（含35岁）的人数为5－4＝1.
11.C　由条件可知，“史政生”组合中选出的同学人数为12×＝3.故选C.
12.A　因为分层随机抽样的抽取比例为＝，所以初中生中抽取的男生人数是＝12.
13.182　解析：设该校其他教师有x人，则 ＝，解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182（人）.
14.解：（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的可能性是0.33，
∴＝0.33，解得x＝660.
（2）C组样本个数是y＋z＝2 000－（673＋77＋660＋90）＝500，
用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C组抽取360×＝90（个）.
15.6　解析：法一　因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，故“剪纸”社团的人数为800×＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数所占比例为＝＝，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6.
法二　因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，故抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数所占比例为＝＝，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6.
16.解：（1）因为0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，所以B高校中抽取2人，A高校中抽取1人，C高校中抽取3人，所以＝＝，解得m＝36，n＝108.
（2）因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，
所以（m＋n）＝72，解得m＋n＝108，
所以三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.
3 / 32.2　分层随机抽样
新课程标准解读 核心素养
1.理解分层随机抽样的概念 数学抽象
2.掌握分层随机抽样的步骤，会利用分层随机抽样从总体中抽取样本 数学运算
3.能解决分层随机抽样中的计算问题 数学运算
4.能综合运用简单随机抽样与分层随机抽样解决相关问题 数学抽象
　　某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数分别为：很喜欢4 800人，喜欢3 600人，一般1 800人，不喜欢1 800人.电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从这12 000人中抽取60人进行更为详细的调查.
【问题】　你认为应采取什么样的抽样方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　分层随机抽样
　将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照　　　　　　随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.
提醒　关于分层随机抽样应注意的问题：①分层随机抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间样本的差异要大，且互不重叠；②每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到；③各层抽样可以按简单随机抽样进行.
【想一想】
如何理解“在每个类型中按照所占比例”？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）简单随机抽样和分层随机抽样都是等可能抽样.（　　）
（2）分层随机抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样.（　　）
（3）在分层随机抽样时，每层可以不等可能抽样.（　　）
2.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是（　　）
A.分层随机抽样　　 B.抽签法
C.随机数法　　 D.其他随机抽样
3.为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园.针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层随机抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查.已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人.若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是　　　　.
题型一 分层随机抽样的概念
【例1】　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（　　）
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.红星中学共有学生1 600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本
C.从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
尝试解答
通性通法
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
（1）前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取；
（2）遵循的两条原则：①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.
【跟踪训练】
　某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（　　）
A.抽签法　　　　　　B.简单随机抽样法
C.分层随机抽样法　　D.随机数法
题型二 分层随机抽样中的相关计算问题
角度1　求样本各层中抽取的量
【例2】　（1）某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市　　　　家；
（2）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的经济收入状况，现采用分层随机抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为　　　　.
尝试解答
角度2　求总体容量
【例3】　交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）
A.101　　 B.808
C.1 212　　 D.2 012
尝试解答
通性通法
分层随机抽样中的等量关系
（1）＝；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
【跟踪训练】
1.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为　　　　.
2.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，导致看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则C产品的数量是　　　　件.
题型三 分层随机抽样方案的设计
【例4】　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
尝试解答
【母题探究】
　（变设问）本例条件不变，若要从中抽取200名职工作为样本，则各年龄段依次抽取多少人？
通性通法
分层随机抽样的步骤
【跟踪训练】
　一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.
1.简单随机抽样与分层随机抽样之间的共同点是（　　）
A.都是从总体中逐个抽取
B.将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
C.抽样过程中每个个体被抽取的机会相同
D.将总体分成几层，分层进行抽取
2.已知A，B，C三个社区的居民人数分别为600，1 200，1 500，现从中抽取一个样本量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则n＝（　　）
A.33　　　B.18　　　C.27　　　D.21
3.某校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层随机抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（　　）
A.18　　B.20　　C.22　　D.30
4.某单位工作人员的构成如图所示，现采用分层随机抽样的方法抽取工作人员进行薪资情况调查.若管理人员抽取了6人，则抽到的讲师人数为　　　　.
2.2　分层随机抽样
【基础知识·重落实】
知识点
　所占比例
想一想
　提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么＝＝＝.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×
2.A　从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样.故选A.
3.300　解析：这次抽样调查抽取的总人数是＝300.
【典型例题·精研析】
【例1】　B　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.
跟踪训练
　C　总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.故选C.
【例2】　（1）20　（2）18　解析：（1）根据题意，可得抽样比为＝，故应抽取中型超市400×＝20（家）.
（2）设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18.
【例3】　B　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，所以驾驶员的总人数为（12＋21＋25＋43）÷＝808.
跟踪训练
1.16　解析：设应在丙专业抽取的学生人数为x，则＝，即＝，解得x＝16.
2.800　解析：设C产品的数量为x件，则A产品的数量为3 000－1 300－x＝（1 700－x）件.设C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层随机抽样的定义可知＝＝，解得x＝800.
【例4】　解：因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层随机抽样.
步骤如下：
①分层：按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.
②确定每层抽取个体的个数.抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25（人）；
在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56（人）；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19（人）.
③在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本.
④综合每层抽样，组成样本.
母题探究
　解：按＝的比例抽样，所以依次抽取125×＝50（人），280×＝112（人），95×＝38（人）.
跟踪训练
　解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法.
具体过程如下：
第一步，将3万人分为5层，一个乡镇为一层.
第二步，按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，40，60.
第三步，采用简单随机抽样的方法，按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本.
第四步，将300人合到一起，即得到一个样本.
随堂检测
1.C　两种抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相同.
2.A　由题意，知应采用分层随机抽样的方法，则＝，解得n＝33.故选A.
3.B　依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：550∶500∶450＝11∶10∶9，所以抽取的高二年级学生人数为×60＝20.故选B.
4.9　解析：由题意，设抽到的讲师人数为x，则＝，解得x＝9.
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2.2　分层随机抽样
新课程标准解读 核心素养
1.理解分层随机抽样的概念 数学抽象
2.掌握分层随机抽样的步骤，会利用分层随机抽样
从总体中抽取样本 数学运算
3.能解决分层随机抽样中的计算问题 数学运算
4.能综合运用简单随机抽样与分层随机抽样解决相
关问题 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参
加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数分别为：很喜欢4
800人，喜欢3 600人，一般1 800人，不喜欢1 800人.电视台为进一步
了解观众的具体想法和意见，打算从这12 000人中抽取60人进行更为
详细的调查.
【问题】　你认为应采取什么样的抽样方法呢？





知识点　分层随机抽样
　将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型（有时称作层），然
后在每个类型中按照 随机抽取一定的个体，这种抽样方
法通常叫作分层随机抽样.
所占比例　
提醒　关于分层随机抽样应注意的问题：①分层随机抽样中分多少
层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要
小，不同层之间样本的差异要大，且互不重叠；②每一层抽取的个体
数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到；③各层
抽样可以按简单随机抽样进行.
【想一想】
如何理解“在每个类型中按照所占比例”？
提示：从 N 个个体中抽取 n 个个体，若将总体分为 A ， B ， C 三层，
含有的个体数目分别是 x ， y ， z ，在 A ， B ， C 三层应抽取的个体数
目分别是 a ， b ， c ，那么 ＝ ＝ ＝ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）简单随机抽样和分层随机抽样都是等可能抽样. （　√　）
（2）分层随机抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽
样. （　√　）
（3）在分层随机抽样时，每层可以不等可能抽样. （　×　）
√
√
×
2. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重
状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.
这种抽样方法是（　　）
A. 分层随机抽样 B. 抽签法
C. 随机数法 D. 其他随机抽样
解析：　从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽
取的比例相同，因此用的是分层随机抽样.故选A.
3. 为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所
体育文化公园.针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层随机
抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查.已知该社区21岁至35
岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民
有560人.若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样
调查抽取的总人数是 .
解析：这次抽样调查抽取的总人数是 ＝300.
300　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分层随机抽样的概念
【例1】　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（　　）
A. 从10名同学中抽取3人参加座谈会
B. 红星中学共有学生1 600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进
行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本
C. 从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D. 从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析：　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽
样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层随机抽
样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.
通性通法
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
（1）前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间
有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数
可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取；
（2）遵循的两条原则：①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重
复、不遗漏的原则；②每层样本量与每层个体数量的比等于抽
样比.
【跟踪训练】
　某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干
部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意
见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（　　）
A. 抽签法 B. 简单随机抽样法
C. 分层随机抽样法 D. 随机数法
解析：　总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.
故选C.
题型二 分层随机抽样中的相关计算问题
角度1　求样本各层中抽取的量
【例2】　（1）某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1
400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层随机抽样的方法抽取一
个容量为100的样本，应抽取中型超市 家；
解析：根据题意，可得抽样比为 ＝ ，故应抽取中型超
市400× ＝20（家）.
20　
（2）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，
中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的经济收入状
况，现采用分层随机抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有
青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 .
解析：设该单位老年职工人数为 x ，由题意得3 x ＝430－160，
解得 x ＝90.则样本中的老年职工人数为90× ＝18.
18　
角度2　求总体容量
【例3】　交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新
法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，
假设四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在
甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，
则这四个社区驾驶员的总人数 N 为（　　）
A. 101 B. 808
C. 1 212 D. 2 012
解析：　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的
人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为 ＝ ，所以驾驶员的
总人数为（12＋21＋25＋43）÷ ＝808.
通性通法
分层随机抽样中的等量关系
（1） ＝ ；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数
之比.
【跟踪训练】
1. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学
生.为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个
专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数
为 　　.
16
解析：设应在丙专业抽取的学生人数为 x ，则 ＝
，即 ＝ ，解得 x ＝16.
2. 某企业三月中旬生产 A ， B ， C 三种产品共3 000件，根据分层随机
抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于不小心，表格中 A ， C 产品的有关数据已被污染，导致看不清
楚，统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多10，则 C
产品的数量是 件.
800　
解析：设 C 产品的数量为 x 件，则 A 产品的数量为3 000－1 300－ x
＝（1 700－ x ）件.设 C 产品的样本容量为 a ，则 A 产品的样本容量
为10＋ a ，由分层随机抽样的定义可知 ＝ ＝ ，解得 x
＝800.
题型三 分层随机抽样方案的设计
【例4】　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至
49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工
与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工
年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解：因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层随机抽样.
步骤如下：
①分层：按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职
工；50岁及50岁以上的职工.
②确定每层抽取个体的个数.抽样比为 ＝ ，则在不到35岁的职工
中抽取125× ＝25（人）；
在35岁至49岁的职工中抽取280× ＝56（人）；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95× ＝19（人）.
③在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本.
④综合每层抽样，组成样本.
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，若要从中抽取200名职工作为样本，则各
年龄段依次抽取多少人？
解：按 ＝ 的比例抽样，所以依次抽取125× ＝50（人），280×
＝112（人），95× ＝38（人）.
通性通法
分层随机抽样的步骤
【跟踪训练】
　一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为
3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的
发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么
样的方法？并写出具体过程.
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况
差异明显，因而采用分层随机抽样的方法.
具体过程如下：
第一步，将3万人分为5层，一个乡镇为一层.
第二步，按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，
40，60.
第三步，采用简单随机抽样的方法，按照各层抽取的人数抽取各乡镇
的样本.
第四步，将300人合到一起，即得到一个样本.
1. 简单随机抽样与分层随机抽样之间的共同点是（　　）
A. 都是从总体中逐个抽取
B. 将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
C. 抽样过程中每个个体被抽取的机会相同
D. 将总体分成几层，分层进行抽取
解析：　两种抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机
会相同.
2. 已知 A ， B ， C 三个社区的居民人数分别为600，1 200，1 500，现
从中抽取一个样本量为 n 的样本，若从 C 社区抽取了15人，则 n ＝
（　　）
A. 33 B. 18
C. 27 D. 21
解析：　由题意，知应采用分层随机抽样的方法，则
＝ ，解得 n ＝33.故选A.
3. 某校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生
550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学
生中用分层随机抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级
学生人数为（　　）
A. 18 B. 20
C. 22 D. 30
解析：　依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级
学生人数比为：550∶500∶450＝11∶10∶9，所以抽取的高二年级
学生人数为 ×60＝20.故选B.
4. 某单位工作人员的构成如图所示，现采用分层随机抽样的方法抽取
工作人员进行薪资情况调查.若管理人员抽取了6人，则抽到的讲师
人数为 .
解析：由题意，设抽到的讲师人数为 x ，则 ＝ ，解得 x ＝9.
9　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课
业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调
查，则最合理的抽样方法是（　　）
A. 抽签法 B. 简单随机抽样
C. 分层随机抽样 D. 随机数法
解析：　根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层
随机抽样.
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2. 当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问
题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270户，
180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中
90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的方法决定各社
区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（　　）
A. 40 B. 30
C. 20 D. 36
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解析：　抽样比为 ＝ ，则应从甲社区中抽取低收入
家庭的户数为360× ＝40，故选A.
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3. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡8 758
人，西乡7 236人，南乡8 356人，现要按人数多少从三个乡共征集
487人，问从各乡各征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的
人数大约是（　　）
A. 112 B. 128
C. 145 D. 167
解析：　由题意结合分层随机抽样的方法可知，需从南乡征集的
人数为487× ＝ ≈167.
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4. 在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层
随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球（　　）
A. 33个 B. 20个
C. 5个 D. 10个
解析：　设应抽红球 x 个，由 ＝ ，得 x ＝5.
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5. （多选）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个
班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年
级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（　　）
A. 应该采用分层随机抽样法
B. 高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C. 乙被抽到的可能性比甲大
D. 该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
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解析：　由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机
抽样法.由于比例为 ＝ ，因此高一年级1 000人中应抽
取100人，高二年级1 350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能
性都是 ，因此只有C不正确，故选A、B、D.
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6. （多选）某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运
动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容
量为 n 的样本，若采用分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则
样本量 n 的取值可能是（　　）
A. 5 B. 6
C. 20 D. 24
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解析：　因为运动队有足球运动员18人，篮球运动员12人，
乒乓球运动员6人，所以当样本容量为 n 时，分层随机抽样的抽
样比为 ，则足球运动员为 ×18＝ 人，篮球运动员为
×12＝ 人，乒乓球运动员为 ×6＝ 人，所以 n 是6的整数
倍，故选B、D.
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7. 用分层随机抽样的方法对某品牌暖风机同一批次的甲、乙两种型号
的产品进行抽查，已知样本量为80，其中有50件甲型号产品.若乙
型号产品的总数为2 100，则该批次产品的总数为 .
解析：由题知抽取的样本中乙型号产品所占比例为 ＝ ，所
以该批次产品的总数为2 100÷ ＝5 600.
5 600　
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8. 某网站对“双十二”网上购物的情况做了一项调查，收回的有效问
卷共50 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如表：
商品种类 服饰鞋帽 家居用品 化妆品 家用电器
购买人数 19 800 9 400 11 600 9 200
为了解顾客对商品的满意度，该网站用分层随机抽样的方法从中选出部分问卷进行调查.已知在购买“家用电器”这一类中抽取了92份问卷，则在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷份数为 .
198　
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解析：由题意知，抽样比为 ＝ ，所以购买“服饰鞋帽”这
一类应抽取的问卷份数为19 800× ＝198.
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9. 某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定
的比例用分层随机抽样的方法共抽取10亩进行统计.如果所抽取的
山地是平地的2倍多1亩，则这个橘子园的平地的亩数为 ，山地
的亩数为 .
解析：设所抽取的平地的亩数为 x ，则抽取的山地的亩数为2 x ＋
1，∴ x ＋2 x ＋1＝10，得 x ＝3，∴这个橘子园的平地的亩数为
120× ＝36，山地的亩数为120－36＝84.
36　
84　
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10. 某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的 A ， B ， C 三
种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持 A 方案 支持 B 方案 支持 C 方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上（含35
岁）的人数 100 100 400
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（1）从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取 n 人，
已知从支持 A 方案的人中抽取了6人，求 n 的值；
解：由题意得 ＝ ，
解得 n ＝40.
（2）从支持 B 方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5
人中在35岁以上（含35岁）的人数是多少？35岁以下的人数
是多少？
解：35岁以下的人数为 ×400＝4，
35岁以上（含35岁）的人数为5－4＝1.
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11. 某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合
的同学人数分别为210，90和60.现采用分层随机抽样的方法选出
12位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人
数为（　　）
A. 7 B. 6
C. 3 D. 2
解析：　由条件可知，“史政生”组合中选出的同学人数为
12× ＝3.故选C.
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12. 某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如
图所示.为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学
生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，
则从初中生中抽取的男生人数是（　　）
A. 12 B. 15
C. 20 D. 21
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解析：　因为分层随机抽样的抽取比例为 ＝ ，所以
初中生中抽取的男生人数是 ＝12.
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13. 某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人.为了了
解该校教师的工资收入情况，若按分层随机抽样从该校的所有教
师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该
校共有教师 　　人.
182
解析：设该校其他教师有 x 人，则 ＝ ，解得 x ＝52，经
检验， x ＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182
（人）.
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14. 为预防某种流感病毒爆发，某生物技术公司研制出一种流感疫
苗，为测试该疫苗的有效性，公司将2 000个流感样本分成三组，
测试结果如表：
A 组 B 组 C 组
疫苗有效 673 x y
疫苗无效 77 90 z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到 B 组疫苗有效的可能性是0.33.
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（1）求 x 的值；
解：∵在全体样本中随机抽取1个，抽到 B 组疫苗有效
的可能性是0.33，
∴ ＝0.33，解得 x ＝660.
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（2）现用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结
果，问应在 C 组抽取多少个？
解： C 组样本个数是 y ＋ z ＝2 000－（673＋77＋660＋90）＝500，
用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，
应在 C 组抽取360× ＝90（个）.
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15. 广东某高中开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社
团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只
能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
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其中 x ∶ y ∶ z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人
数的 .为了了解学生对这两个社团活动的满意程度，从中抽取一
个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应
抽取 人.
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解析：法一　因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，
所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的 ，故“剪纸”社
团的人数为800× ＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数所占
比例为 ＝ ＝ ，所以“剪纸”社团中高二年级人数
为320× ＝96.由题意知，抽样比为 ＝ ，所以从高二年级
“剪纸”社团中抽取的人数为96× ＝6.
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法二　因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，所以“剪
纸”社团的人数占两个社团总人数的 ，故抽取的50人的样本中，
“剪纸”社团中的人数为50× ＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数
所占比例为 ＝ ＝ ，所以从高二年级“剪纸”社团中抽
取的人数为20× ＝6.
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16. 为了对某课题进行研究，分别从 A ， B ， C 三所高校中用分层随
机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校 A 有 m 名教
授，高校 B 有72名教授，高校 C 有 n 名教授（其中0＜ m ≤72≤
n ）.
（1）若 A ， B 两所高校中共抽取3名教授， B ， C 两所高校中共抽
取5名教授，求 m ， n ；
解：因为0＜ m ≤72≤ n ， A ， B 两所高校中共抽取3名
教授，所以 B 高校中抽取2人， A 高校中抽取1人， C 高校中
抽取3人，所以 ＝ ＝ ，解得 m ＝36， n ＝108.
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（2）若高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取的教授总数的
，求三所高校的教授的总人数.
解：因为高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取的教授总数的 ，
所以 （ m ＋ n ）＝72，解得 m ＋ n ＝108，
所以三所高校的教授的总人数为 m ＋ n ＋72＝180.
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谢 谢 观 看！

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