资源简介

§3　用样本估计总体的分布
3.1　从频数到频率 3.2　频率分布直方图
1.从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下（单位：克）：125，120，122，105，130，114，116，95，120，134.则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（　　）
A.0.2　　 B.0.3　　
C.0.4　　 D.0.5
2.在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，该组的频率为m，该组的频率分布直方图的高为h，则｜a－b｜＝（　　）
A.hm　 B.　　
C.　 D.h＋m
3.2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高.某机构对本届冬奥会各项主要收入进行了统计，得到的数据如图所示：
已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多25亿元，则估计2022年北京冬奥会各项主要收入总和约为（　　）
A.221亿元　 B.203亿元
C.133亿元　 D.108亿元
4.某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200，900，900.现按照分层随机抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间.样本数据（单位：h）整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（　　）
A.每个年级抽取的学生人数分别为120，90，90
B.估计高一年级每周平均体育运动时间不足4 h的人数约为300
C.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8 h的人数约为600
D.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8 h的百分比约为10%
5.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图（如图）.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是（　　）
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
6.（多选）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（　　）
A.2023年第四季度的销售额为280万元
B.2023年上半年的总销售额为500万元
C.2023年2月份的销售额为60万元
D.2023年12个月的月销售额的众数为60万元
7.在某样本的频率分布直方图中共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余（n－1）个小矩形面积之和的，且样本容量为3 200，则中间一组的频数为　　　　.
8.一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）内的频率为0.6，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和是　　　　.
9.为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如图所示的频率分布直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40，后6组的频数和为87.设最大频率为a，视力在4.5到5.2之间的学生人数为b，则a，b的值分别为　　　　，　　　　.
10.某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示.
组号 分组 回答正确 的人数 回答正确的人数 占本组的频率
第1组 [15，25） a 0.5
第2组 [25，35） 18 x
第3组 [35，45） b 0.9
第4组 [45，55） 9 0.36
第5组 [55，65] 3 y
（1）分别求出a，b，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
11.（多选）如图是民航部门统计的2023年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是（　　）
A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
12.（多选）给出如图所示的三幅图：
则下列说法中，正确的有（　　）
A.从折线图能看出世界人口的变化情况
B.2050年非洲人口将达到大约15亿
C.2050年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多
D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
13.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图所示），由图中数据可知a＝　　　　.若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为　　　　.
14.从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整数）的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图所示），从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数为6.
（1）求样本容量；
（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
15.为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行了抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项：
A.1.5小时以上　 B.1～1.5小时
C.0.5～1小时　 D.0.5小时以下
图①图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次一共调查了多少名学生；
（2）在图①中将选项B对应的部分补充完整；
（3）若该校有3 000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？
3.1　从频数到频率
3.2　频率分布直方图
1.C　在125，120，122，105，130，114，116，95，120，134这10个数据中，落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122，共4个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为＝0.4.故选C.
2.B　＝h，故｜a－b｜＝组距＝＝.
3.B　设冬奥会收入总和为x亿元，则x（35.3%－10.8%－12.2%）＝25，所以x＝≈203.故选B.
4.D　由题意可知，高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，所以300人中各年级抽取的人数分别为120，90，90，故A正确；由题图知，高一年级每周平均体育运动时间不足4 h的人数约为1 200×（0.025＋0.1）×2＝300，故B正确；由题图知，该校学生每周平均体育运动时间不少于8 h的人数约为3 000×（0.075＋0.025）×2＝600，故C正确；由C知，该校学生每周平均体育运动时间不少于8 h的百分比约为＝20%，故D错误.故选D.
5.D　由图可知0 ℃均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于5 ℃，而一月的平均温差小于5 ℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10 ℃，基本相同，故C正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，所以D不正确.
6.AD　第二季度销售额为260万元，第二季度占总销售额的百分比为6%＋9%＋11%＝26%，可得年销售额为1 000万元，2023年第四季度的销售额为1 000×28%＝280万元，故A正确；2023年上半年的总销售额为160＋260＝420万元，故B错误；2023年2月份的销售额为160－1 000×5%－1 000×6%＝50万元，故C错误；2023年12个月的月销售额分别是50万元，50万元，60万元，60万元，90万元，110万元，80万元，100万元，120万元，120万元，100万元，60万元，众数是60万元，故D正确.故选A、D.
7.400　解析：因为中间一个小矩形的面积等于其余（n－1）个小矩形面积之和的，所以中间一个小矩形的面积为所有小矩形面积和的，因此中间一组的频数为3 200×＝400.
8.21　解析：根据题意，设分布在[40，50），[50，60）内的数据个数分别为x，y.∵样本中数据在[20，60）内的频率为0.6，样本容量为50，∴＝0.6，解得x＋y＝21.即样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和为21.
9.0.27　96　解析：由频率分布直方图知组距为0.1.由前4组的频数和为40，后6组的频数和为87，知第4组的频数为40＋87－100＝27，即视力在4.6到4.7之间的频数最大，为27，故最大频率a＝0.27.视力在4.5到5.2之间的频率为1－0.01－0.03＝0.96，故视力在4.5到5.2之间的学生人数b＝0.96×100＝96.
10.解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为＝25，再结合频率分布直方图可知n＝＝100，
所以a＝100×0.01×10×0.5＝5，
b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝＝0.9，y＝＝0.2.
（2）第2，3，4组回答正确的共有18＋27＋9＝54（人）.
所以利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组：×6＝2（人）；第3组：×6＝3（人）；第4组：×6＝1（人）.
11.ABD　对于A，从折线图看，深圳的涨幅最接近0%，从条形图看，北京的平均价格最高，故A正确；对于B，从折线图看，深圳和厦门的涨幅均为负值，故B正确；对于C，从折线图看，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，故C错误；从条形图看，平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州，故D正确.
12.AC　从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从柱形图中可得到：2050年非洲人口大约将达到17亿，故B错误；从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选A、C.
13.0.030　3　解析：因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1，所以有10×（0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010）＝1，解得a＝0.030.由频率分布直方图可知在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生总数为100×10×（0.030＋0.020＋0.010）＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为100×10×0.010＝10，所以从身高在[140，150]内抽取的学生人数为×10＝3.
14.解：在频率分布直方图中频数之比等于频率之比且样本的所有频率之和等于1.
（1）小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右的频率之比为2∶3∶6∶4∶1.
∴最左边的一组所占的频率为＝.
∴样本容量＝＝＝48.
（2）105.5～120.5这一组的频率为＝，
∴频数为48×＝18.
（3）成绩大于120分的频率为＝，
∴考试成绩的优秀率为×100%＝31.25%.
15.解：（1）由图①知，选A的人数为60，而图②显示，选A的人数占总人数的30%，故本次调查的总人数为60÷30%＝200.
（2）由图②知，选B的人数占总人数的50%，因此其人数为200×50%＝10，
图①补充如图所示：
（3）根据图②知：平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数占统计人数的5%，以此估计全校有3 000×5%＝150（名）学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.
5 / 5§3　用样本估计总体的分布
3.1　从频数到频率 3.2　频率分布直方图
新课程标准解读 核心素养
能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性 数据分析、直观想象
　　与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量直方图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的方便.
【问题】　你会画这样的直方图吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　从频数到频率
1.频率表示　　　与　　　的比值.
2.频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布.
知识点二　频率分布直方图
1.定义：频率分布直方图中每个小矩形的底边长是该组的　　　，每个小矩形的高是该组的　　　与　　　的比，从而每个小矩形的面积等于该组的　　　，即每个小矩形的面积＝组距×＝　　　.
2.频率分布直方图与频率的关系
频率分布直方图以　　　的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.
3.频率分布直方图的好处
（1）能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别；
（2）当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用　　　　　　　　　　来表示.
4.画频率分布直方图的步骤
（1）计算　　　；（2）确定　　　与　　　；（3）　　　；（4）　　　；（5）画频率分布直方图.
5.频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的　　　开始，用线段依次连接各个矩形的顶端　　　，直至右边所加区间的　　　，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图.
提醒　频率分布直方图应关注的问题：①一般地，样本容量越大，所分组数越多，为方便起见，组距的选择力求“取整”，当样本容量不超过120时，按照数据的多少，通常分成5～12组；②画频率分布直方图时，同一组数据，分组时组距要相等，每个矩形的高与频率成正比，这点应特别注意.
【想一想】
　频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？
知识点三　其他统计图表
统计图表 主要应用
扇形图（饼图） 直观描述各类数据占总数的比例
条形图（柱形图） 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
【想一想】
扇形统计图与折线统计图分别有什么特点？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.（　　）
（2）频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.（　　）
（3）频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.（　　）
2.要反映某市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（　　）
A.条形统计图　　　　B.扇形统计图
C.折线统计图　　D.频率分布直方图
3.下面是2017年至2020年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的条形图（如图所示）.
注：人口出生率＝×100%，
人口死亡率＝×100%，
人口自然增长率＝人口出生率－人口死亡率.
下面说法正确的是（　　）
A.2018年我国二孩政策全面实施后，人口出生率不断提升
B.2017年以来，随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降
C.2018年以来，我国人口增速逐渐放缓
D.2020年人口较2019年减少
4.已知一个容量是80的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是12，13，15，16，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是　　　　，频率是　　　　.
题型一 频数与频率的有关计算
【例1】　已知一个容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是　　　　，频率是　　　　.
尝试解答
通性通法
频数与频率的求解策略
　　对于频数与频率的问题，首先要明确几个等量关系，即各组的频数之和等于样本容量，各组的频率之和为1，频率＝.在解题过程中，要明确频数、频率以及样本容量之间的关系，弄清已知、未知，选择合适的公式进行解题.
【跟踪训练】
　一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：
组距 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据在区间[10，50）上的频率为　 　　.
题型二 频率分布直方图、频率折线图的画法
【例2】　为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的100棵树的底部周长，得到如下数据（单位：cm）：
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
109 124 87 131 97 102 123 104 104 128
105 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图及频率折线图；
（3）估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占多少，底部周长不小于120 cm的树占多少.
尝试解答
通性通法
绘制频率分布直方图应注意的2个问题
（1）在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”（没有统一规定），然后以各组的“频率/组距”所占的比例来定高.如我们预先设定以“”为一个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”（占两个单位长度），如此类推；
（2）数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～120个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.
【跟踪训练】
　有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[10，15），4；[15，20），5；[20，25），10；[25，30），11；[30，35），9；[35，40），8；[40，45]，3.
（1）求出样本中各组的频率；
（2）画出频率分布直方图及频率折线图.
题型三 频率分布直方图的相关计算问题
【例3】　某校100名学生期中考试语文成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90]
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
尝试解答
通性通法
　　由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
（1）小长方形的面积＝组距×＝频率；
（2）各小长方形的面积之和等于1；
（3）＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数.
【跟踪训练】
　一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则月收入不足3 500元的人占全部居民的百分比为　　　　.
题型四 统计图的综合应用问题
【例4】　（多选）某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A.结伴步行，B.自行乘车，C.家人接送，D.其他方式.并将收集的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息可知，下列说法正确的是（　　）
A.扇形统计图中D的占比最小
B.条形统计图中A和C一样高
C.无法计算扇形统计图中A的占比
D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送
尝试解答
通性通法
1.常用统计图的优势
条形图可以直观地表示各个项目的具体数量，扇形图能够清晰地显示各个项目占总体的百分比，折线图可以清楚地看到数据变动趋势，解决统计类问题时常需将若干种统计图结合，不能孤立分开.
2.求百分比确定扇形圆心角的度数
在扇形图中，每部分对应扇形的圆心角的度数＝360°×该部分占总体的百分比.所以要求圆心角的度数，则需求出该部分占总体的百分比.
【跟踪训练】
　2021年11月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2 000名青少年进行的专项调查显示，对于神舟十三号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注.针对两个问题“关于此次神舟十三号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题（1））”和“青少年最关注哪些方面（问题（2））”，问卷网统计了这2 000名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为（　　）
A.对于问题（2），只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的
B.对于问题（1），不到一半的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目
C.对于问题（2），青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活
D.对于问题（1），超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.总体容量越大，估计越精确
B.总体容量越小，估计越精确
C.样本容量越大，估计越精确
D.样本容量越小，估计越精确
2.甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（　　）
A.150　　　　　　B.250
C.300　　 D.400
3.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是（　　）
A.14和0.14　　 B.0.14和14
C.和0.14　　 D.和
4.（多选）如图给出的是某高校土木工程系大四55名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，下列结论中正确的是（　　）
A.成绩是75分的人数为20
B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C.成绩落在[70，90）内的人数为35
D.成绩落在[70，80）内的人数为20
5.交通管理部门为了解某一段公路上小汽车的行驶速度，随机抽取了200辆通过这一段公路的小汽车，其速度的频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段上行驶速度低于60 km/h的有　　　　辆.
3.1　从频数到频率
3.2　频率分布直方图
【基础知识·重落实】
知识点一
1.频数　总数　
知识点二
1.组距　频率　组距　频率　频率　2.面积　3.（2）相应矩形面积之和　4.（1）极差　（2）组距　组数　（3）分组　（4）列表　　5.中点　中点　中点
想一想
　提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律.
知识点三
想一想
　提示：扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例，折线统计图可以看出变化趋势.
自我诊断
1.（1）√　 （2）×　 （3）√
2.C　描述数据随时间的变化趋势宜采用折线统计图.
3.C　根据条形图的特点及作用，对比各相关数据间的关系，即可排除A、B、D，故选C.
4.16　0.2　解析：因为频率＝，所以频数＝频率×样本容量.因为第五组的频率是0.1，样本容量是80，所以第五组的频数是0.1×80＝8，所以第六组的频数是80－（12＋13＋15＋16＋8）＝16，所以第六组的频率是＝0.2.
【典型例题·精研析】
【例1】　4　0.1　解析：因为频率＝，所以频数＝频率×样本容量，因为第五组的频率是0.2，所以频数是0.2×40＝8，第六组的频数是40－（5＋6＋7＋10＋8）＝4，所以第六组的频率是＝0.1.
跟踪训练
　0.7　解析：区间[10，50）包括四部分的数据，在这四部分上的数据的频数和是2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以样本数据在区间[10，50）上的频率为＝0.7.
【例2】　解：（1）这组数据的最大的数为135，最小的数为80，最大的数与最小的数的差为55，可将该组数据分为11组，组距为5.
频率分布表如下：
底部周长分组 频数 频率
[80，85） 1 0.01 0.002
[85，90） 2 0.02 0.004
[90，95） 4 0.04 0.008
[95，100） 14 0.14 0.028
[100，105） 24 0.24 0.048
[105，110） 15 0.15 0.030
[110，115） 12 0.12 0.024
[115，120） 9 0.09 0.018
[120，125） 11 0.11 0.022
[125，130） 6 0.06 0.012
[130，135] 2 0.02 0.004
（2）频率分布直方图和频率折线图如图所示.
（3）从频率分布表得，样本中底部周长小于100 cm的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中底部周长不小于120 cm的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19.所以估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占21%，底部周长不小于120 cm的树占19%.
跟踪训练
　解：（1）由所给的数据，可得下表：
分组 频数 频率
[10，15） 4 0.08
[15，20） 5 0.10
[20，25） 10 0.20
[25，30） 11 0.22
[30，35） 9 0.18
[35，40） 8 0.16
[40，45] 3 0.06
（2）频率分布直方图如图①所示，频率折线图如图②所示.
【例3】　解：（1）依题意得，10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，解得a＝0.005.
（2）数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，
数学成绩在[60，70）之间的人数为100×0.4×＝20，
数学成绩在[70，80）之间的人数为100×0.3×＝40，
数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2×＝25，
所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
跟踪训练
　55%　解析：由频率分布直方图可知，月收入不足3 500的人占全部居民的百分比为（0.000 2＋0.000 4＋0.000 5）×500×100%＝55%.
【例4】　ABD　由条形统计图知，自行乘车上学的有42人，家人接送上学的有30人，其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，结伴步行上学与自行乘车上学的学生占60%，所以＝，解得x＝30，故条形图中A，C一样高，故B正确；扇形图中A的占比与C一样，都为25%，A和C共占50%，故D正确；D的占比最小，故A正确.
跟踪训练
　C　A项，对于神舟十三号太空之旅，关注航天员是怎样选的占46.6%，不是极少数，故A错误；B项，对于神舟十三号飞行乘组出征太空，受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目占64.6%，超过一半，故B错误；C项，对于神舟十三号太空之旅，青少年关注航天员在太空的工作和生活的比值最大，因此青少年关注最多，故C正确；D项，对于神舟十三号飞行乘组出征太空，受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步占75.3%，没有超过八成，故D错误.故选C.
随堂检测
1.C　由用样本估计总体的性质可得.
2.B　∵甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%，∴总人数为120÷30%＝400.∵丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1－30%－7.5%＝62.5%，∴丙、丁两组人数和为400×62.5%＝250.
3.A　x＝100－（10＋13＋14＋15＋13＋12＋9）＝100－86＝14，第三组的频率为＝0.14.
4.CD　成绩落在[70，80）内的人数为10××55＝20，不能说成绩是75分的人数为20，所以A错误，D正确；从频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在[50，60）内的人数和成绩落在[90，100]内的人数相等，所以B错误；成绩落在[70，90）内的人数为×55＝35，所以C正确.
5.80　解析：由频率分布直方图，可知该路段上行驶速度低于60 km/h的有200×（0.01＋0.03）×10＝80（辆）.
6 / 7(共86张PPT)
3.1　从频数到频率布
3.2　频率分布直方图
新课程标准解读 核心素养
能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性 数据分析、直
观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就
是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量直方
图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以
直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的
方便.
【问题】　你会画这样的直方图吗？



知识点一　从频数到频率
1. 频率表示 与 的比值.
2. 频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远
超过频数.在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较
客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就更能客观地
反映总体分布.
频数　
总数　
知识点二　频率分布直方图
1. 定义：频率分布直方图中每个小矩形的底边长是该组的 ，
每个小矩形的高是该组的 与 的比，从而每个小矩
形的面积等于该组的 ，即每个小矩形的面积＝组距×
＝ .
2. 频率分布直方图与频率的关系
频率分布直方图以 的形式反映了数据落在各个小组的频率
的大小.
组距　
频率　
组距　
频率　
频率　
面积　
3. 频率分布直方图的好处
（1）能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差
别；
（2）当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用
来表示.
4. 画频率分布直方图的步骤
（1）计算 ；（2）确定 与 ；（3）
；（4） ；（5）画频率分布直方图.
相应矩
形面积之和　
极差　
组距　
组数　
分
组　
列表　
5. 频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区
间，从所加的左边区间的 开始，用线段依次连接各个矩形
的顶端 ，直至右边所加区间的 ，就可以得到一条
折线，我们称之为频率折线图.
中点　
中点　
中点　
提醒　频率分布直方图应关注的问题：①一般地，样本容量越大，
所分组数越多，为方便起见，组距的选择力求“取整”，当样本容
量不超过120时，按照数据的多少，通常分成5～12组；②画频率分
布直方图时，同一组数据，分组时组距要相等，每个矩形的高与频
率成正比，这点应特别注意.
【想一想】
　频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？
提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的
个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比
例大小的角度来表示数据分布的规律.
知识点三　其他统计图表
统计图表 主要应用
扇形图（饼图） 直观描述各类数据占总数的比例
条形图（柱形图） 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
【想一想】
扇形统计图与折线统计图分别有什么特点？
提示：扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例，折
线统计图可以看出变化趋势.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中
出现的频率与组距的比值. （　√　）
（2）频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.
（　×　）
（3）频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1. （　√　）
√
×
√
2. 要反映某市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（　　）
A. 条形统计图 B. 扇形统计图
C. 折线统计图 D. 频率分布直方图
解析：　描述数据随时间的变化趋势宜采用折线统计图.
3. 下面是2017年至2020年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增
长率的条形图（如图所示）.
注：人口出生率＝ ×100%，
人口死亡率＝ ×100%，
人口自然增长率＝人口出生率－人口死亡率.
下面说法正确的是（　　）
A. 2018年我国二孩政策全面实施后，人口出生率不断提升
B. 2017年以来，随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降
C. 2018年以来，我国人口增速逐渐放缓
D. 2020年人口较2019年减少
解析：　根据条形图的特点及作用，对比各相关数据间的关系，
即可排除A、B、D，故选C.
4. 已知一个容量是80的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数
分别是12，13，15，16，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数
是 ，频率是 .
解析：因为频率＝ ，所以频数＝频率×样本容量.因为第
五组的频率是0.1，样本容量是80，所以第五组的频数是0.1×80＝
8，所以第六组的频数是80－（12＋13＋15＋16＋8）＝16，所以第
六组的频率是 ＝0.2.
16　
0.2　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 频数与频率的有关计算
【例1】　已知一个容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四
组的频数分别是5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频
数是 ，频率是 .
4　
0.1　
解析：因为频率＝ ，所以频数＝频率×样本容量，因为第五
组的频率是0.2，所以频数是0.2×40＝8，第六组的频数是40－（5＋
6＋7＋10＋8）＝4，所以第六组的频率是 ＝0.1.
通性通法
频数与频率的求解策略
　　对于频数与频率的问题，首先要明确几个等量关系，即各组的频
数之和等于样本容量，各组的频率之和为1，频率＝ .在解题
过程中，要明确频数、频率以及样本容量之间的关系，弄清已知、未
知，选择合适的公式进行解题.
【跟踪训练】
　一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：
组距 [10，
20） [20，
30） [30，
40） [40，
50） [50，
60） [60，
70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据在区间[10，50）上的频率为 .
解析：区间[10，50）包括四部分的数据，在这四部分上的数据的频
数和是2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以样本数据在区间[10，
50）上的频率为 ＝0.7.
0.7　
题型二 频率分布直方图、频率折线图的画法
【例2】　为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的100棵树
的底部周长，得到如下数据（单位：cm）：
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
109 124 87 131 97 102 123 104 104 128
105 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
（1）列出频率分布表；
解：这组数据的最大的数为135，最小的数为80，最大的数与最
小的数的差为55，可将该组数据分为11组，组距为5.
频率分布表如下：
底部周长分组 频数 频率
[80，85） 1 0.01 0.002
[85，90） 2 0.02 0.004
[90，95） 4 0.04 0.008
[95，100） 14 0.14 0.028
[100，105） 24 0.24 0.048
[105，110） 15 0.15 0.030
[110，115） 12 0.12 0.024
[115，120） 9 0.09 0.018
[120，125） 11 0.11 0.022
[125，130） 6 0.06 0.012
[130，135] 2 0.02 0.004
（2）画出频率分布直方图及频率折线图；
解：频率分布直方图和频率折线图如图所示.
（3）估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占多少，底部周长
不小于120 cm的树占多少.
解：从频率分布表得，样本中底部周长小于100 cm的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中底部周长不小于120 cm的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19.所以估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占21%，底部周长不小于120 cm的树占19%.
通性通法
绘制频率分布直方图应注意的2个问题
（1）在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小
矩形的高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是
不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”（没
有统一规定），然后以各组的“频率/组距”所占的比例来定高.
如我们预先设定以“ ”为一个单位长度，代表“0.1”，则若
一个组的 为0.2，则该小矩形的高就是“ ”（占两个单
位长度），如此类推；
（2）数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为
30～120个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各
个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正
比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.
【跟踪训练】
　有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[10，15），4；[15，20），5；[20，25），10；[25，30），11；
[30，35），9；[35，40），8；[40，45]，3.
（1）求出样本中各组的频率；
解：由所给的数据，可得下表：
分组 频数 频率
[10，15） 4 0.08
[15，20） 5 0.10
[20，25） 10 0.20
[25，30） 11 0.22
[30，35） 9 0.18
[35，40） 8 0.16
[40，45] 3 0.06
（2）画出频率分布直方图及频率折线图.
解：频率分布直方图如图①所示，频率折线图如图②所示.
题型三 频率分布直方图的相关计算问题
【例3】　某校100名学生期中考试语文成绩（单位：分）的频率分布
直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），
[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中 a 的值；
解：依题意得，10×（2 a ＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，解得 a ＝
0.005.
（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（ x ）与数学成
绩相应分数段的人数（ y ）之比如下表所示，求数学成绩在
[50，90）之外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90]
x ∶ y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
解：数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，
数学成绩在[60，70）之间的人数为100×0.4× ＝20，
数学成绩在[70，80）之间的人数为100×0.3× ＝40，
数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2× ＝25，
所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
通性通法
　　由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
（1）小长方形的面积＝组距× ＝频率；
（2）各小长方形的面积之和等于1；
（3） ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本容量，样本容
量×频率＝频数.
【跟踪训练】
　一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所
得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则月收入不足3
500元的人占全部居民的百分比为 .
55%　
解析：由频率分布直方图可知，月收入不足3 500的人占全部居民的百
分比为（0.000 2＋0.000 4＋0.000 5）×500×100%＝55%.
题型四 统计图的综合应用问题
【例4】　（多选）某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范
围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有： A . 结伴步行， B .
自行乘车， C . 家人接送， D . 其他方式.并将收集的数据整理绘制成
如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息可知，下列说法正确
的是（　　）
A. 扇形统计图中 D 的占比最小
B. 条形统计图中 A 和 C 一样高
C. 无法计算扇形统计图中 A 的占比
D. 估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送
解析：　由条形统计图知，自行乘车上学的有42人，家人接送上
学的有30人，其他方式上学的有18人，采用 B ， C ， D 三种方式上学
的共90人，设结伴步行上学的有 x 人，由扇形统计图知，结伴步行上
学与自行乘车上学的学生占60%，所以 ＝ ，解得 x ＝30，故条
形图中 A ， C 一样高，故B正确；扇形图中 A 的占比与 C 一样，都为
25%， A 和 C 共占50%，故D正确； D 的占比最小，故A正确.
通性通法
1. 常用统计图的优势
条形图可以直观地表示各个项目的具体数量，扇形图能够清晰地显
示各个项目占总体的百分比，折线图可以清楚地看到数据变动趋
势，解决统计类问题时常需将若干种统计图结合，不能孤立分开.
2. 求百分比确定扇形圆心角的度数
在扇形图中，每部分对应扇形的圆心角的度数＝360°×该部分占
总体的百分比.所以要求圆心角的度数，则需求出该部分占总体的
百分比.
【跟踪训练】
　2021年11月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2 000名青
少年进行的专项调查显示，对于神舟十三号航天员乘组出征太空，
98.9%的受访青少年都表示了关注.针对两个问题“关于此次神舟十
三号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题（1））”和“青少年
最关注哪些方面（问题（2））”，问卷网统计了这2 000名青少年回
答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为
（　　）
A. 对于问题（2），只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的
B. 对于问题（1），不到一半的受访青少年认为开启空间站新时代，
“中国速度”令人瞩目
C. 对于问题（2），青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活
D. 对于问题（1），超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天
事业取得大发展、大进步
解析：　A项，对于神舟十三号太空之旅，关注航天员是怎样选的
占46.6%，不是极少数，故A错误；B项，对于神舟十三号飞行乘组出
征太空，受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目
占64.6%，超过一半，故B错误；C项，对于神舟十三号太空之旅，青
少年关注航天员在太空的工作和生活的比值最大，因此青少年关注最
多，故C正确；D项，对于神舟十三号飞行乘组出征太空，受访青少
年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步占75.3%，没有
超过八成，故D错误.故选C.
1. 用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是
（　　）
A. 总体容量越大，估计越精确
B. 总体容量越小，估计越精确
C. 样本容量越大，估计越精确
D. 样本容量越小，估计越精确
解析：　由用样本估计总体的性质可得.
2. 甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可
以知道丙、丁两组人数和为（　　）
A. 150 B. 250
C. 300 D. 400
解析：　∵甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%，∴总人
数为120÷30%＝400.∵丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1－
30%－7.5%＝62.5%，∴丙、丁两组人数和为400×62.5%＝250.
3. 容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是（　　）
A. 14和0.14 B. 0.14和14
解析：　 x ＝100－（10＋13＋14＋15＋13＋12＋9）＝100－86＝
14，第三组的频率为 ＝0.14.
4. （多选）如图给出的是某高校土木工程系大四55名学生期末考试专
业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50
分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，下列结论中正确的是
（　　）
A. 成绩是75分的人数为20
B. 成绩是100分的人数比成
绩是50分的人数多
C. 成绩落在[70，90）内的人数为35
D. 成绩落在[70，80）内的人数为20
解析：　成绩落在[70，80）内的人数为10× ×55＝20，不能
说成绩是75分的人数为20，所以A错误，D正确；从频率折线图看
不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落
在[50，60）内的人数和成绩落在[90，100]内的人数相等，所以B
错误；成绩落在[70，90）内的人数为（10× ＋10× ）×55
＝35，所以C正确.
5. 交通管理部门为了解某一段公路上小汽车的行驶速度，随机抽取了
200辆通过这一段公路的小汽车，其速度的频率分布直方图如图所
示，则这200辆汽车中在该路段上行驶速度低于60 km/h的有 辆.
80　
解析：由频率分布直方图，可知该路段上行驶速度低于60 km/h的有200×（0.01＋0.03）×10＝80（辆）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下（单位：克）：
125，120，122，105，130，114，116，95，120，134.则样本数据
落在[114.5，124.5）内的频率为（　　）
A. 0.2 B. 0.3
C. 0.4 D. 0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　在125，120，122，105，130，114，116，95，120，
134这10个数据中，落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，
122，共4个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为 ＝
0.4.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[ a ， b ）是其中
的一组，该组的频率为 m ，该组的频率分布直方图的高为 h ，则｜
a － b ｜＝（　　）
A. hm
D. h ＋ m
解析：　 ＝ h ，故｜ a － b ｜＝组距＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工
作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，多项收入也创下历
届冬奥会新高.某机构对本届冬奥会各项主要收入进行了统计，得
到的数据如图所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多25亿
元，则估计2022年北京冬奥会各项主要收入总和约为（　　）
A. 221亿元 B. 203亿元
C. 133亿元 D. 108亿元
解析：　设冬奥会收入总和为 x 亿元，则 x （35.3%－10.8%－
12.2%）＝25，所以 x ＝ ≈203.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200，900，900.
现按照分层随机抽样的方法抽取300名学
生，调查学生每周平均参加体育运动的
时间.样本数据（单位：h）整理后得到
如图所示的频率分布直方图，则下列说
法不正确的是（　　）
A. 每个年级抽取的学生人数分别为120，90，90
B. 估计高一年级每周平均体育运动时间不足4 h的人数约为300
C. 估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8 h的人数约为600
D. 估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8 h的百分比约为10%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　由题意可知，高一、高二、高三年级的学生人数之比为
4∶3∶3，所以300人中各年级抽取的人数分别为120，90，90，故
A正确；由题图知，高一年级每周平均体育运动时间不足4 h的人数
约为1 200×（0.025＋0.1）×2＝300，故B正确；由题图知，该校
学生每周平均体育运动时间不少于8 h的人数约为3 000×（0.075＋
0.025）×2＝600，故C正确；由C知，该校学生每周平均体育运动
时间不少于8 h的百分比约为 ＝20%，故D错误.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均
最高气温和平均最低气温的雷达图（如图）.图中 A 点表示十月的
平均最高气温约为15 ℃， B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.
下面叙述不正确的是（　　）
A. 各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　由图可知0 ℃均在虚线框内，所以各月的平均最低气温
都在0 ℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于5 ℃，而
一月的平均温差小于5 ℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差
大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10
℃，基本相同，故C正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份
只有3个，所以D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的
销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘
制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（　）
A. 2023年第四季度的销售额为280万元
B. 2023年上半年的总销售额为500万元
C. 2023年2月份的销售额为60万元
D. 2023年12个月的月销售额的众数为60万元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　第二季度销售额为260万元，第二季度占总销售额的百
分比为6%＋9%＋11%＝26%，可得年销售额为1 000万元，2023年
第四季度的销售额为1 000×28%＝280万元，故A正确；2023年上
半年的总销售额为160＋260＝420万元，故B错误；2023年2月份的
销售额为160－1 000×5%－1 000×6%＝50万元，故C错误；2023
年12个月的月销售额分别是50万元，50万元，60万元，60万元，90
万元，110万元，80万元，100万元，120万元，120万元，100万
元，60万元，众数是60万元，故D正确.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 在某样本的频率分布直方图中共有 n 个小矩形，若中间一个小矩形
的面积等于其余（ n －1）个小矩形面积之和的 ，且样本容量为3
200，则中间一组的频数为 .
解析：因为中间一个小矩形的面积等于其余（ n －1）个小矩形面
积之和的 ，所以中间一个小矩形的面积为所有小矩形面积和的
，因此中间一组的频数为3 200× ＝400.
400　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得
样本中数据在[20，60）内的频率为0.6，则估计样本在[40，
50），[50，60）内的数据个数之和是 .
解析：根据题意，设分布在[40，50），[50，60）内的数据个数分
别为 x ， y .∵样本中数据在[20，60）内的频率为0.6，样本容量为
50，∴ ＝0.6，解得 x ＋ y ＝21.即样本在[40，50），
[50，60）内的数据个数之和为21.
21　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到
如图所示的频率分布直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4
组的频数和为40，后6组的频数和为87.设最大频率为 a ，视力在
4.5到5.2之间的学生人数为 b ，则 a ， b 的值分别为 ， .
0.27　
96　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：由频率分布直方图知组距为0.1.由前4组的频数和为40，后6
组的频数和为87，知第4组的频数为40＋87－100＝27，即视力在
4.6到4.7之间的频数最大，为27，故最大频率 a ＝0.27.视力在4.5
到5.2之间的频率为1－0.01－0.03＝0.96，故视力在4.5到5.2之间
的学生人数 b ＝0.96×100＝96.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了 n 人
回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数
占本组的频率
第1组 [15，25） a 0.5
第2组 [25，35） 18 x
第3组 [35，45） b 0.9
第4组 [45，55） 9 0.36
第5组 [55，65] 3 y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（1）分别求出 a ， b ， x ， y 的值；
解：由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为 ＝25，
再结合频率分布直方图可知 n ＝ ＝100，
所以 a ＝100×0.01×10×0.5＝5，
b ＝100×0.03×10×0.9＝27， x ＝ ＝0.9， y ＝ ＝0.2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6
人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
解：第2，3，4组回答正确的共有18＋27＋9＝54（人）.
所以利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的
人数为第2组： ×6＝2（人）；第3组： ×6＝3
（人）；第4组： ×6＝1（人）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （多选）如图是民航部门统计的2023年春运期间十二个城市售出
的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图
表，根据图表，下面叙述正确的是（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　对于A，从折线图看，深圳的涨幅最接近0%，从条
形图看，北京的平均价格最高，故A正确；对于B，从折线图看，
深圳和厦门的涨幅均为负值，故B正确；对于C，从折线图看，平
均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，
故C错误；从条形图看，平均价格从高到低居于前三位的城市为
北京、深圳、广州，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）给出如图所示的三幅图：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A. 从折线图能看出世界人口的变化情况
B. 2050年非洲人口将达到大约15亿
C. 2050年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多
D. 从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
解析：　从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从
柱形图中可得到：2050年非洲人口大约将达到17亿，故B错误；
从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口将比其他各洲
人口的总和还要多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957
年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选A、C.
则下列说法中，正确的有（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：cm）数据
绘制成频率分布直方图（如图所示），由图中数据可知 a
＝ .若要从身高在[120，130），[130，140），[140，
150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项
活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 .
0.030　
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1，所以
有10×（0.005＋0.035＋ a ＋0.020＋0.010）＝1，解得 a ＝
0.030.由频率分布直方图可知在[120，130），[130，140），
[140，150]三组内的学生总数为100×10×（0.030＋0.020＋
0.010）＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为
100×10×0.010＝10，所以从身高在[140，150]内抽取的学生人
数为 ×10＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整
数）的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图所
示），从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左
边的一组频数为6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（1）求样本容量；
（1）小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右的频率之比为2∶3∶6∶4∶1.
∴最左边的一组所占的频率为 ＝ .
∴样本容量＝ ＝ ＝48.
解：在频率分布直方图中频数之比等于频率之比且样本的所
有频率之和等于1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
解： 105.5～120.5这一组的频率为 ＝ ，
∴频数为48× ＝18.
（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
解：成绩大于120分的频率为 ＝ ，
∴考试成绩的优秀率为 ×100%＝31.25%.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行了抽样调
查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多
少？”共有4个选项：
A. 1.5小时以上 B. 1～1.5小时
C. 0.5～1小时 D. 0.5小时以下
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（1）本次一共调查了多少名学生；
解：由图①知，选A的人数为60，而图②显示，选A的人数占总人数的30%，故本次调查的总人数为60÷30%＝200.
图①图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）在图①中将选项B对应的部分补充完整；
解：由图②知，选B的人数占总人数的50%，因此其人数
为200×50%＝100，图①补充如图所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）若该校有3 000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天
参加体育活动的时间在0.5小时以下？
解：根据图②知：平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数占统计人数的5%，以此估计全校有3 000×5%＝150（名）学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑