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§4　用样本估计总体的数字特征
4.1　样本的数字特征
1.某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96.则这组数据的中位数和平均数分别是（　　）
A.91.5和91.5　 B.91.5和92
C.91和91.5　 D.92和92
2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）
A.x1，x2，…，xn的平均数
B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值
D.x1，x2，…，xn的中位数
3.如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为，，样本标准差分别为sA，sB，则（　　）
A.＞，sA＞sB　　 B.＜，sA＞sB
C.＞，sA＜sB　 D.＜，sA＜sB
4.已知样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是（　　）
5.（多选）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是（　　）
A.这组新数据的平均数为6
B.这组新数据的平均数为9
C.这组新数据的方差为1
D.这组新数据的方差为4
6.（多选）为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.根据统计图的数据，下列结论正确的是（　　）
A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次
B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次
C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320
D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32
7.一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的平均数为　　　　.
8.2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间[10，20）的有10位，位于区间[20，30）的有20位，位于区间[30，40）的有25位，位于区间[40，50]的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为　　　　.
9.小明5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为　　　　.
10.高一（3）班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分.
（1）求这次测验全班平均分（精确到0.01）；
（2）估计全班成绩在80分以下（含80分）的同学至少有多少人？
（3）分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（　　）
A.甲地：总体平均数为3，中位数为4
B.乙地：总体平均数为1，总体方差大于0
C.丙地：中位数为2，众数为3
D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3
12.（多选）共享经济的商业模式在全球范围迅速崛起，以Uber，Airbnb为代表的共享经济商业平台，以超乎想象的速度在影响和改变着人们的生活方式、商业的运行模式、组织管理模式，也给传统的领域带来了巨大冲击和压力.某共享汽车公司为了解大众家庭在汽车共享方面的支出情况，随机抽取了n个家庭进行调查，结果显示这些家庭的支出（单位：元）都在[10，50）内，并绘制了频率分布直方图如图所示，则以下说法正确的是（　　）
A.若n＝200，则支出在[40，50）内的家庭有60个
B.调查的这些家庭的平均支出为33.8元
C.若支出在[30，50）内的家庭有67个，则调查的家庭共有100个
D.调查的这些家庭的支出的中位数约为31.35元
13.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1，那么当这组数据的方差最大时，被污损的两个数据分别是　　　　.
14.为普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为　　　　.（用“＜”连接）
15.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.
（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲
乙
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（谁的成绩更稳定）；
②从平均数和中位数相结合看（谁的成绩好些）；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（谁的成绩好些）；
④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看（谁更有潜力）.
16.（2021·全国乙卷17题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1
旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
4.1　样本的数字特征
1.A　∵这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，∴中位数是＝91.5，平均数＝＝91.5.
2.B　因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差.故选B.
3.B　∵样本A的数据均不大于10，样本B的数据均不小于10，∴＜.由题图可知样本A中数据波动程度较大，样本B中数据较稳定，∴sA＞sB.故选B.
4.D　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大.
5.BD　由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2－6）2＋…＋（xn－6）2＝n，
则
＝＝9，
＝＝4，
所以这组新数据的平均数为9，方差为4.故选B、D.
6.ABC　由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次.1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为160.D是错误的.
7.4　解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷＝3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则＝3，解得x＝4，所以这组数据的平均数为＝×（1＋2＋2＋4＋5＋10）＝4.
8.35　解析：由于25＞20＞15＞10，故众数位于区间[30，40），所以众数的估计值为＝35.
9.4　解析：由题意可得x＋y＝20，（x－10）2＋（y－10）2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，｜t｜＝2，故｜x－y｜＝2｜t｜＝4.
10.解：（1）这次测验全班平均分＝（82×27＋80×21）≈81.13（分）.
（2）因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分.
又因为女同学的中位数是80，所以至少有11人得分不超过80分.
所以全班至少有25人得分在80分以下（含80分）.
（3）男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大.
11.D　根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人.
选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，选项C中也有可能存在大于7的数；
选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；
选项D中，设连续10天，每天新增疑似病例分别为x1，x2，x3，…，x10，并设有一天超过7人，如第一天为8人，则s2＝[（8－2）2＋（x2－2）2＋…＋（x10－2）2]＞3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人.
12.AC　根据频率分布直方图可得，支出在[40，50）内的频率为1－（0.01＋0.023＋0.037）×10＝0.3，则频数为200×0.3＝60，故选项A正确；调查的这些家庭的平均支出为15×0.01×10＋25×0.023×10＋35×0.037×10＋45×0.03×10＝33.7（元），故选项B错误；由图知[10，30）的频率为（0.023＋0.01）×10＝0.33，[30，50）的频率为1－0.33＝0.67，所以n＝＝100，故选项C正确；[10，30）的频率为（0.023＋0.01）×10＝0.33，可知中位数应该在[30，40）内，设中位数为x，则有0.01×10＋0.023×10＋（x－30）×0.037＝0.5，解得x≈34.59，故选项D错误.
13.19，1　解析：设这组数据的最后两个数分别是10＋x，y，则9＋10＋11＋（10＋x）＋y＝50，得x＋y＝10，所以s2＝[1＋0＋1＋x2＋（－x）2]＝＋x2，所以当x＝9时，s2最大，为，故被污损的两个数据分别是19，1.
14.n＜m＜　解析：由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数（分别为5，6）的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；
＝（2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10）≈5.97.故n＜m＜.
15.解：（1）由题图可知，甲射靶命中的环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙射靶命中的环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.
甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；
乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上次数为3.
如下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
（2）①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定；
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；
④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力.
16.解：（1）由表格中的数据易得：
＝＋10.0＝10.0，
＝＋10.0＝10.3，
＝×[（9.7－10.0）2＋2×（9.8－10.0）2＋（9.9－10.0）2＋2×（10.0－10.0）2＋（10.1－10.0）2＋2×（10.2－10.0）2＋（10.3－10.0）2]＝0.036，
＝×[（10.0－10.3）2＋3×（10.1－10.3）2＋（10.3－10.3）2＋2×（10.4－10.3）2＋2×（10.5－10.3）2＋（10.6－10.3）2]＝0.04.
（2）由（1）中数据可得－＝10.3－10.0＝0.3，而2＝＝，显然有－＞2成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
4 / 44.1　样本的数字特征
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义 数据分析
2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义 数学运算、数据分析
　　藏宝图只能够标出宝藏所在的具体位置及路线，但真正探索宝藏的秘密还有很多工作要做，同样杂乱无章的数据仅用统计图表来分析显然是不全面的，不同的数字特征往往具有不同的意义和作用.
【问题】　（1）你知道平均数、中位数、众数所代表的含义吗？
（2）用哪些数字特征可以反映总体的离散程度？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平均数、中位数、众数
1.平均数：平均数是指一组数据的　　　　.
2.中位数：将一组数据按　　　　　　的顺序排列后，“中间”的那个数据.
3.众数：一组数据中出现次数　　　的数据.
4.平均数、中位数、众数都刻画了一组数据（样本）的“　　　”位置，通常称它们为数据的　　　　　　参数.
5.在统计中，　　　　是最常用的量.如数据中个别数据特别大或特别小时，用　　　　会更合理.
提醒　众数、中位数、平均数的比较
名称 优点 缺点
众 数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征
中 位 数 ①不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感
平 均 数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量.一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”，对平均数的影响越大
【想一想】
1.中位数一定是样本数据中的一个数吗？
2.一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？
知识点二　极差、方差和标准差
1.极差：数据中　　　　和　　　　的差.
2.方差：方差刻画的是数据偏离　　　　的离散程度.
3.标准差：方差的算术平方根s＝＝　　　　　　　　　　　　　　　　，称之为标准差.
提醒　（1）标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小；方差和标准差的取值范围是[0，＋∞）；（2）标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性；（3）标准差的大小不会超过极差.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）众数是一组数据中出现次数最多的数.（　　）
（2）一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响.（　　）
（3）数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.（　　）
2.某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
环数 5 6 7 8 9 10
人数 1 2 7 6 3 1
A.7，7　　B.8，7.5　　C.7，7.5　　D.8，6
3.某校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数分别为8，9，10，13，15，则该运动员在这五场比赛中得分的平均数为　　　　，方差为　　　　，标准差为　　　　.
题型一 样本数字特征的计算
【例1】　（多选）某篮球俱乐部甲、乙两名球员练习罚球，每人练习10组，每组罚球20个，命中个数为：
甲：20，19，17，18，18，16，17，15，20，20
乙：18，19，13，18，19，20，20，20，17，16
则下面结论中正确的是（　　）
A.甲的极差比乙的极差小
B.甲的中位数与乙的中位数相等
C.甲的平均数与乙的平均数相等
D.甲的方差是2.8
尝试解答
通性通法
1.平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.
2.计算标准差的步骤
（1）算出样本数据的平均数；
（2）算出每个样本数据与样本平均数的差xi－（i＝1，2，…，n）；
（3）算出（xi－）2（i＝1，2，…，n）；
（4）算出（xi－）2（i＝1，2，…，n）这n个数的平均数，即样本方差s2；
（5）算出方差s2的算术平方根，即为样本标准差s.
【跟踪训练】
1.（多选）对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，下列结论中正确的是（　　）
A.这组数据的众数是3
B.这组数据的众数与中位数相等
C.这组数据的中位数与平均数相等
D.这组数据的平均数与众数相等
2.若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为（　　）
A.5，2　　B.16，2
C.16，18　　D.16，9
题型二 众数、中位数、平均数与频率分布直方图相结合
【例2】　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.
（1）求这次测试数学成绩的众数；
（2）求这次测试数学成绩的中位数.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）若本例的条件不变，求数学成绩的平均数.
2.（变设问）若本例条件不变，求80分以下的学生人数.
通性通法
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
（1）众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标；
（2）中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值；
（3）平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.
【跟踪训练】
某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，求：
（1）高一参赛学生成绩的众数、中位数；
（2）高一参赛学生的平均成绩.
题型三 样本的数字特征的应用
【例3】　如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况（击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数），每人射击了6次.
（1）请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；
（2）请用学过的统计知识对甲、乙两人这次的射击情况进行比较.
尝试解答
通性通法
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
（1）平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征；
（2）当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.
【跟踪训练】
在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：
分数/分 50 60 70 80 90 100
人 数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.
1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（　　）
A.85，85，85　　　　　 B.87，85，86
C.87，85，85　　 D.87，85，90
2.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为（　　）
A.2，　　B.2，1　　C.4，　　D.4，3
3.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（　　）
A.12.5，12.5　　 B.12.5，13
C.13，12.5　　 D.13，13
4.（多选）下列对一组数据的分析，说法正确的是（　　）
A.数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C.数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定
4.1　样本的数字特征
【基础知识·重落实】
知识点一
1.平均值　2.从小到大　3.最多　4.中心　集中趋势　5.平均数　中位数
想一想
1.提示：不一定.一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数据就是中位数；如果有偶数个数据，则中间两个数据的平均数才是中位数.
2.提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.
知识点二
1.最大值　最小值　2.平均数
3.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　 （3）√
2.C　从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，所以中位数是＝7.5.
3.11　6.8　　解析：依题意知，运动员在5场比赛中的分数依次为8，9，10，13，15，其平均数为＝11.由方差公式得s2＝[（8－11）2＋（9－11）2＋（10－11）2＋（13－11）2＋（15－11）2]＝（9＋4＋1＋4＋16）＝6.8.s＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　ACD　甲的最大值为20，最小值为15，则极差为5，乙的最大值为20，最小值为13，则极差为7，所以A正确；甲的中位数为＝18，乙的中位数为＝18.5，所以B不正确；甲的平均数为＝（20＋19＋17＋18＋18＋16＋17＋15＋20＋20）＝18，乙的平均数为＝（18＋19＋13＋18＋19＋20＋20＋20＋17＋16）＝18，所以C正确；甲的方差为[（20－18）2＋（19－18）2＋…＋（20－18）2]＝×28＝2.8，故D正确.
跟踪训练
1.AB　在这11个数中，3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这个11个数按从小到大顺序排列得2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中间数据是3，故中位数是3；平均数＝＝4，故A、B正确.
2.C　法一　∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，∴＝5，∴＋1＝3×5＋1＝16.∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
法二　观察新数据与原数据的关系，可知新数据的平均数为3＋1＝3×5＋1＝16，新方差为32s2＝32×2＝18.
【例2】　解：（1）由题图知众数为＝75（分）.
（2）由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03（x－70），所以x≈73.3.故这次测试数学成绩的中位数为73.3分.
母题探究
1.解：由题图知这次数学成绩的平均数为×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72（分）.
2.解：[40，80）分的频率为（0.005＋0.015＋0.020＋0.030）×10＝0.7，所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.
跟踪训练
　解：（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65.又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
（2）依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67分.
【例3】　解：（1）甲、乙两人的射击成绩统计如下表：
环数 6 7 8 9 10
甲命中次数 0 0 2 2 2
乙命中次数 0 1 0 3 2
（2）＝×（8×2＋9×2＋10×2）＝9（环），
＝×（7×1＋9×3＋10×2）＝9（环），
＝×[（8－9）2×2＋（9－9）2×2＋（10－9）2×2]＝，
＝×[（7－9）2＋（9－9）2×3＋（10－9）2×2]＝1，
因为＝，＜，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定.
跟踪训练
　解：①甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些.
②＝（50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6）＝×4 000＝80，
＝（50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12）＝×4 000＝80.
＝[2×（50－80）2＋5×（60－80）2＋10×（70－80）2＋13×（80－80）2＋14×（90－80）2＋6×（100－80）2]＝172，
＝[4×（50－80）2＋4×（60－80）2＋16×（70－80）2＋2×（80－80）2＋12×（90－80）2＋12×（100－80）2]＝256.
∵＝，＜，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些.
③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上（包括80分）的有33人，乙组成绩在80分以上（包括80分）的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好.
④从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好.
随堂检测
1.C　从小到大列出所有数学成绩的数值：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.故选C.
2.D　由题意得数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数＝2，方差s2＝，所以数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为＝3－2＝3×2－2＝4，方差为s'2＝9s2＝9×＝3.
3.B　众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.∵中间的一个矩形最高，10与15的平均数是12.5，∴众数是12.5.中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线与横轴交点的横坐标.∵第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是1－（0.04＋0.10）×5＝0.3，∴中位数线将第二个矩形分成3∶2两部分，∴中位数是13.故选B.
4.ACD　极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中.方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定.方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高.平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否.故选A、C、D.
4 / 5(共80张PPT)
4.1　样本的数字特征
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数
（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的
统计含义 数据分析
2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数
（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统
计含义 数学运算、数
据分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　藏宝图只能够标出宝藏所在的具体位置及路线，但真正探索宝藏
的秘密还有很多工作要做，同样杂乱无章的数据仅用统计图表来分析
显然是不全面的，不同的数字特征往往具有不同的意义和作用.
【问题】　（1）你知道平均数、中位数、众数所代表的含义吗？
（2）用哪些数字特征可以反映总体的离散程度？




知识点一　平均数、中位数、众数
1. 平均数：平均数是指一组数据的 .
2. 中位数：将一组数据按 的顺序排列后，“中间”的那
个数据.
3. 众数：一组数据中出现次数 的数据.
4. 平均数、中位数、众数都刻画了一组数据（样本）的“ ”
位置，通常称它们为数据的 参数.
平均值　
从小到大　
最多　
中心　
集中趋势　
5. 在统计中， 是最常用的量.如数据中个别数据特别大或
特别小时，用 会更合理.
提醒　众数、中位数、平均数的比较
平均数　
中位数　
名称 优点 缺点
众 数 ①体现了样本数据的最大集中
点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很
少的一部分信息；
②无法客观地反映总体的特
征
名
称 优点 缺点
中 位 数 ①不受少数几个极端数据（即排
序靠前或靠后的数据）的影响； ②容易计算，便于利用中间数据
的信息 对极端值不敏感
平 均 数 代表性较好，是反映数据集中趋
势的量.一般情况下，可以反映
出更多的关于样本数据的信息 任何一个数据的改变都会引
起平均数的改变.数据越“离
群”，对平均数的影响越大
【想一想】
1. 中位数一定是样本数据中的一个数吗？
提示：不一定.一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，
处于中间位置的数据就是中位数；如果有偶数个数据，则中间两个
数据的平均数才是中位数.
2. 一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？
提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯
一一个.
知识点二　极差、方差和标准差
1. 极差：数据中 和 的差.
2. 方差：方差刻画的是数据偏离 的离散程度.
3. 标准差：方差的算术平方根 s ＝
＝ ，称之为标准差.
最大值　
最小值　
平均数　
　
提醒　（1）标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大
小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越
小，数据的离散程度越小；方差和标准差的取值范围是[0，＋
∞）；（2）标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有
波动幅度和离散性；（3）标准差的大小不会超过极差.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）众数是一组数据中出现次数最多的数. （　√　）
（2）一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小
于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受
极端值的影响. （　√　）
（3）数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.
（　√　）
√
√
√
2. 某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，
则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
环数 5 6 7 8 9 10
人数 1 2 7 6 3 1
A. 7，7 B. 8，7.5
C. 7，7.5 D. 8，6
解析：　从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；
中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第
10个数是7，第11个数是8，所以中位数是 ＝7.5.

解析：依题意知，运动员在5场比赛中的分数依次为8，9，10，
13，15，其平均数为 ＝11.由方差公式得 s2＝ [（8－
11）2＋（9－11）2＋（10－11）2＋（13－11）2＋（15－11）2]＝
（9＋4＋1＋4＋16）＝6.8. s ＝ ＝ .
11　
6.8　
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 样本数字特征的计算
【例1】　（多选）某篮球俱乐部甲、乙两名球员练习罚球，每人练
习10组，每组罚球20个，命中个数为：
甲：20，19，17，18，18，16，17，15，20，20
乙：18，19，13，18，19，20，20，20，17，16
则下面结论中正确的是（　　）
A. 甲的极差比乙的极差小
B. 甲的中位数与乙的中位数相等
C. 甲的平均数与乙的平均数相等
D. 甲的方差是2.8
解析：　甲的最大值为20，最小值为15，则极差为5，乙的最大
值为20，最小值为13，则极差为7，所以A正确；甲的中位数为
＝18，乙的中位数为 ＝18.5，所以B不正确；甲的平均数为
＝ （20＋19＋17＋18＋18＋16＋17＋15＋20＋20）＝18，乙的平均
数为 ＝ （18＋19＋13＋18＋19＋20＋20＋20＋17＋16）＝18，
所以C正确；甲的方差为 [（20－18）2＋（19－18）2＋…＋（20－
18）2]＝ ×28＝2.8，故D正确.
通性通法
1. 平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先
将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的
定义计算.
2. 计算标准差的步骤
（1）算出样本数据的平均数 ；
（2）算出每个样本数据与样本平均数的差 xi － （ i ＝1，2，…，
n ）；
（3）算出（ xi － ）2（ i ＝1，2，…， n ）；
（4）算出（ xi － ）2（ i ＝1，2，…， n ）这 n 个数的平均数，即
样本方差 s2；
（5）算出方差 s2的算术平方根，即为样本标准差 s .
【跟踪训练】
1. （多选）对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，下列结论
中正确的是（　　）
A. 这组数据的众数是3
B. 这组数据的众数与中位数相等
C. 这组数据的中位数与平均数相等
D. 这组数据的平均数与众数相等
解析：　在这11个数中，3出现了6次，频率最高，故众数是3；
将这个11个数按从小到大顺序排列得2，2，3，3，3，3，3，3，
6，6，10，中间数据是3，故中位数是3；平均数 ＝
＝4，故A、B正确.
2. 若数据 x1， x2， x3，…， xn 的平均数为 ＝5，方差 s2＝2，则数据3
x1＋1，3 x2＋1，3 x3＋1，…，3 xn ＋1的平均数和方差分别为（　）
A. 5，2 B. 16，2
C. 16，18 D. 16，9
解析：　法一　∵ x1， x2， x3，…， xn 的平均数为5，
∴ ＝5，
∴ ＋1＝3×5＋1＝16.∵ x1， x2， x3，…， xn 的
方差为2，∴3 x1＋1，3 x2＋1，3 x3＋1，…，3 xn ＋1的方差是32×2
＝18.
法二　观察新数据与原数据的关系，可知新数据的平均数为3 ＋1＝
3×5＋1＝16，新方差为32 s2＝32×2＝18.
题型二 众数、中位数、平均数与频率分布直方图相结合
【例2】　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学
生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.
（1）求这次测试数学成绩的众数；
解：由题图知众数为 ＝75（分）.
（2）求这次测试数学成绩的中位数.
解：由题图知，设中位数为 x ，由于前三个矩形面积之和为
0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于
第四个矩形内，得0.1＝0.03（ x －70），所以 x ≈73.3.故这次
测试数学成绩的中位数为73.3分.
【母题探究】
1. （变设问）若本例的条件不变，求数学成绩的平均数.
解：由题图知这次数学成绩的平均数为 ×0.005×10＋
×0.015×10＋ ×0.02×10＋ ×0.03×10＋
×0.025×10＋ ×0.005×10＝72（分）.
2. （变设问）若本例条件不变，求80分以下的学生人数.
解：[40，80）分的频率为（0.005＋0.015＋0.020＋0.030）×10
＝0.7，所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.
通性通法
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
（1）众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的
底边中点的横坐标；
（2）中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该
相等，由此可估计中位数的值；
（3）平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分
布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐
标之和.
【跟踪训练】
某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成
五组绘制成如图所示的频率分布直方图，求：
（1）高一参赛学生成绩的众数、中位数；
解：用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众
数的近似值，得众数为65.又∵第一个小矩形的面积为0.3，设
第二个小矩形底边的一部分长为 x ，则 x ×0.04＝0.2，得 x ＝
5，∴中位数为60＋5＝65.
（2）高一参赛学生的平均成绩.
解：依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋
85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67分.
题型三 样本的数字特征的应用
【例3】　如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况（击中靶
中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的
环数），每人射击了6次.
（1）请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；
解：甲、乙两人的射击成绩统计如下表：
环数 6 7 8 9 10
甲命中次数 0 0 2 2 2
乙命中次数 0 1 0 3 2
（2）请用学过的统计知识对甲、乙两人这次的射击情况进行比较.
解： ＝ ×（8×2＋9×2＋10×2）＝9（环），
＝ ×（7×1＋9×3＋10×2）＝9（环），
＝ ×[（8－9）2×2＋（9－9）2×2＋（10－9）2×2]＝ ，
＝ ×[（7－9）2＋（9－9）2×3＋（10－9）2×2]＝1，
因为 ＝ ， ＜ ，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的
发挥比乙稳定.
通性通法
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
（1）平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受
极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受
几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客
观反映总体特征；
（2）当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；
反之，说明数据中存在许多较小的极端值.
【跟踪训练】
在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：
分数/分 50 60 70 80 90 100
人 数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优
谁劣，并说明理由.
解：①甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比
较看，甲组成绩好些.
② ＝ （50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋
100×6）＝ ×4 000＝80，
＝ （50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋
100×12）＝ ×4 000＝80.
＝ [2×（50－80）2＋5×（60－80）2＋10×（70－
80）2＋13×（80－80）2＋14×（90－80）2＋6×（100－80）2]＝
172，
＝ [4×（50－80）2＋4×（60－80）2＋16×（70－
80）2＋2×（80－80）2＋12×（90－80）2＋12×（100－80）2]＝
256.
∵ ＝ ， ＜ ，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些.
③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80
分以上（包括80分）的有33人，乙组成绩在80分以上（包括80分）的
有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好.
④从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于
等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组
得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩
较好.
1. 某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，
90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成
绩的平均数、众数、中位数分别是（　　）
A. 85，85，85 B. 87，85，86
C. 87，85，85 D. 87，85，90
解析：　从小到大列出所有数学成绩的数值：75，80，85，85，
85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得
平均数为87.故选C.
2. 已知一组数据 x1， x2， x3， x4， x5的平均数是2，方差是 ，那么另
一组数据3 x1－2，3 x2－2，3 x3－2，3 x4－2，3 x5－2的平均数和方
差分别为（　　）
B. 2，1
D. 4，3
解析：　由题意得数据 x1， x2， x3， x4， x5的平均数 ＝2，方差
s2＝ ，所以数据3 x1－2，3 x2－2，3 x3－2，3 x4－2，3 x5－2的平均
数为 ＝3 －2＝3×2－2＝4，方差为s'2＝9 s2＝9× ＝3.
3. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估
计众数与中位数分别是（　　）
A. 12.5，12.5 B. 12.5，13
C. 13，12.5 D. 13，13
解析：　众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐
标.∵中间的一个矩形最高，10与15的平均数是12.5，∴众数是
12.5.中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于
纵轴的直线与横轴交点的横坐标.∵第一个矩形的面积是0.2，第三
个矩形的面积是1－（0.04＋0.10）×5＝0.3，∴中位数线将第二
个矩形分成3∶2两部分，∴中位数是13.故选B.
4. （多选）下列对一组数据的分析，说法正确的是（　　）
A. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B. 数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C. 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D. 数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定
解析：　极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，
数据越集中.方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方
差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数
据越不稳定.方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高.平
均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否.故选
A、C、D.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，
94，87，93，96.则这组数据的中位数和平均数分别是（　　）
A. 91.5和91.5
B. 91.5和92
C. 91和91.5
D. 92和92
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解析：　∵这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，
94，96，∴中位数是 ＝91.5，平均数 ＝
＝91.5.
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2. 为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩
产量（单位：kg）分别为 x1， x2，…， xn ，下面给出的指标中可以
用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）
A. x1， x2，…， xn 的平均数
B. x1， x2，…， xn 的标准差
C. x1， x2，…， xn 的最大值
D. x1， x2，…， xn 的中位数
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解析：　因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程
度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或
标准差.故选B.
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3. 如图所示，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均
数分别为 ， ，样本标准差分别为 sA ， sB ，则（　　）
解析：　∵样本 A 的数据均不大于10，样本 B 的数据均不小于
10，∴ ＜ .由题图可知样本 A 中数据波动程度较大，样本 B 中
数据较稳定，∴ sA ＞ sB . 故选B.
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4. 已知样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图
所示，则标准差最大的是（　　）
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解析：　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选
项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，
样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据
为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D. 也可由
样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D
中的数据波动最大.
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5. （多选）一组数据 x1， x2，…， xn 的平均数为6，方差为1，则关于
新数据2 x1－3，2 x2－3，…，2 xn －3，下列说法正确的是（　　）
A. 这组新数据的平均数为6
B. 这组新数据的平均数为9
C. 这组新数据的方差为1
D. 这组新数据的方差为4
1
2
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6
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解析：　由题意得： x1＋ x2＋…＋ xn ＝6 n ，（ x1－6）2＋（ x2
－6）2＋…＋（ xn －6）2＝ n ，
则
＝ ＝9，
＝ ＝4，
所以这组新数据的平均数为9，方差为4.故选B、D.
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6. （多选）为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.根据统计图的数据，下列结论正确的是（　　）
A. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次
B. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次
C. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320
D. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32
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解析：　由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次.1分钟
仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1
分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次
数少于20次的频率为0.1，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐
的次数少于20次的人数约为160.D是错误的.
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7. 一组数据1，10，5，2， x ，2，且2＜ x ＜5，若该数据的众数是中
位数的 倍，则该数据的平均数为 .
解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷ ＝
3，把这组数据从小到大排列为1，2，2， x ，5，10，则 ＝
3，解得 x ＝4，所以这组数据的平均数为 ＝ ×（1＋2＋2＋4
＋5＋10）＝4.
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8. 2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对
英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院
记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间[10，20）
的有10位，位于区间[20，30）的有20位，位于区间[30，40）的有
25位，位于区间[40，50]的有15位，则这70位观众年龄的众数的估
计值为 .
解析：由于25＞20＞15＞10，故众数位于区间[30，40），所以众
数的估计值为 ＝35.
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9. 小明5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x ， y ，10，
11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜ x － y ｜的值
为 .
解析：由题意可得 x ＋ y ＝20，（ x －10）2＋（ y －10）2＝8，设 x
＝10＋ t ， y ＝10－ t ，则 t2＝4，｜ t ｜＝2，故｜ x － y ｜＝2｜ t ｜
＝4.
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10. 高一（3）班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男
同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，
中位数是80分.
（1）求这次测验全班平均分（精确到0.01）；
解：这次测验全班平均分 ＝ （82×27＋80×21）≈81.13（分）.
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（2）估计全班成绩在80分以下（含80分）的同学至少有多少人？
解：因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分.
又因为女同学的中位数是80，所以至少有11人得分不超
过80分.
所以全班至少有25人得分在80分以下（含80分）.
（3）分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
解：男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大.
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11. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间
内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似
病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病
例数据，一定符合该标志的是（　　）
A. 甲地：总体平均数为3，中位数为4
B. 乙地：总体平均数为1，总体方差大于0
C. 丙地：中位数为2，众数为3
D. 丁地：总体平均数为2，总体方差为3
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解析：　根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不
能超过7人.
选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，选项C中也有
可能存在大于7的数；
选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可
能存在大于7的数；
选项D中，设连续10天，每天新增疑似病例分别为 x1， x2，
x3，…， x10，并设有一天超过7人，如第一天为8人，则 s2＝
[（8－2）2＋（ x2－2）2＋…＋（ x10－2）2]＞3，因为总体方差
为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人.
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12. （多选）共享经济的商业模式在全球范围迅速崛起，以Uber，
Airbnb为代表的共享经济商业平台，以超乎想象的速度在影响和
改变着人们的生活方式、商业的运行模式、组织管理模式，也给
传统的领域带来了巨大冲击和压力.某共享汽车公司为了解大众家
庭在汽车共享方面的支出情况，随机抽取了 n 个家庭进行调查，
结果显示这些家庭的支出（单位：元）都在[10，50）内，并绘制
了频率分布直方图如图所示，则以下说法正确的是（　　）
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A. 若 n ＝200，则支出在[40，50）内的家庭有 60个
B. 调查的这些家庭的平均支出为33.8元
C. 若支出在[30，50）内的家庭有67个，则调查
的家庭共有100个
D. 调查的这些家庭的支出的中位数约为31.35元
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解析：　根据频率分布直方图可得，支出在[40，50）内的频
率为1－（0.01＋0.023＋0.037）×10＝0.3，则频数为200×0.3
＝60，故选项A正确；调查的这些家庭的平均支出为
15×0.01×10＋25×0.023×10＋35×0.037×10＋45×0.03×10
＝33.7（元），故选项B错误；由图知[10，30）的频率为
（0.023＋0.01）×10＝0.33，[30，50）的频率为1－0.33＝
0.67，所以 n ＝ ＝100，故选项C正确；[10，30）的频率为
（0.023＋0.01）×10＝0.33，可知中位数应该在[30，40）内，
设中位数为 x ，则有0.01×10＋0.023×10＋（ x －30）×0.037＝
0.5，解得 x ≈34.59，故选项D错误.
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13. 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，
但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即
9，10，11，1 ，那么当这组数据的方差最大时，故被污损的两
个数据分别是 .
解析：设这组数据的最后两个数分别是10＋ x ， y ，则9＋10＋11
＋（10＋ x ）＋ y ＝50，得 x ＋ y ＝10，所以 s2＝ [1＋0＋1＋ x2＋
（－ x ）2]＝ ＋ x2，所以当 x ＝9时， s2最大，为 ，故被污损
的两个数据分别是19，1.
19，1　
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14. 为普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加
环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为
m ，众数为 n ，平均数为 ，则 m ， n ， 的大小关系为
.（用“＜”连接）
n ＜ m ＜
　
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解析：由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个
数（分别为5，6）的平均数，即 m ＝5.5；又5出现次数最多，故
n ＝5； ＝ （2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋
2×10）≈5.97.故 n ＜ m ＜ .
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15. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图
所示.
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（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9
环以上的次数
甲
乙
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解：由题图可知，甲射靶命中的环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙射靶命中的环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.
甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；
乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上次数为3.
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平均数 方差 中位数 命中9环及9
环以上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
如下表：
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③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（谁的成绩好些）；
④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看（谁更有潜力）.
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（谁的成绩更稳定）；
②从平均数和中位数相结合看（谁的成绩好些）；
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解：①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩
更稳定；
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成
绩好些；
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲
多，所以乙的成绩较好；
④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起
伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力.
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16. （2021·全国乙卷17题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为
检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台
新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1
旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和
，样本方差分别记为 和 .
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（1）求 ， ， ， ；
解：由表格中的数据易得：
＝ ＋10.0＝10.0，
＝ ＋10.0＝10.3，
＝ ×[（9.7－10.0）2＋2×（9.8－10.0）2＋（9.9－
10.0）2＋2×（10.0－10.0）2＋（10.1－10.0）2＋2×
（10.2－10.0）2＋（10.3－10.0）2]＝0.036，
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＝ ×[（10.0－10.3）2＋3×（10.1－10.3）2＋（10.3－10.3）
2＋2×（10.4－10.3）2＋2×（10.5－10.3）2＋（10.6－10.3）2]＝
0.04.
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（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著
提高（如果 － ≥2 ，则认为新设备生产产品的该
项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
解：由（1）中数据可得 － ＝10.3－10.0＝0.3，
而2 ＝ ＝ ，显然有 － ＞2
成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值
较旧设备有显著提高.
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谢 谢 观 看！

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