资源简介

一、数学抽象
　　学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯.在本章中，数学抽象主要体现在随机抽样中.
培优一 随机抽样
【例1】　为了考察某校的教学水平，相关部门将抽查这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下两种方式进行抽查：
Ⅰ.从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
Ⅱ.将学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察.
根据上面的叙述，试回答下列问题：
（1）上面两种抽样方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽样方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
（2）在上面两种抽样方式中，各自采用何种抽样方法？
尝试解答
二、数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段，是计算机解决问题的基础.在本章中，数学运算主要体现在计算百分位数、平均数、中位数、方差和标准差中.
培优二 百分位数的计算
【例2】　已知甲、乙两组数据（从小到大的顺序排列）：
甲组：27，28，39，40，m，50；
乙组：24，n，34，43，48，52.
若这两组数据的30%分位数、80%分位数分别相等，则＝（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
尝试解答
培优三 方差、标准差的计算
【例3】　设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（　　）
A.0.01　　B.0.1
C.1　　D.10
尝试解答
培优四 平均数、中位数的计算
【例4】　统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.
（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[4 000，4 500）内的应抽取多少人？
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.
尝试解答
三、数据分析
　　数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.
数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.在本章中，数据分析主要体现在频率分布直方图及总体集中趋势的估计中.
培优五 频率分布直方图
【例5】　（2021·全国甲卷2题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（　　）
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
尝试解答
培优六 数据的集中趋势和离散程度的估计
【例6】　（1）一条产品生产线平均每天的产量为3 700件，标准差为50件.如果某一天的产量低于或高于平均产量，并落在±2个标准差的范围之外，就认为该生产线失去控制.下表是该生产线一周各天的产量，问该生产线在星期　　　　失去了控制？
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
产量/件 3 850 3 670 3 690 3 720 3 610 3 590 3 700
（2）某中学将从甲、乙、丙3人中选一人参加全市中学男子1 500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：
甲 乙 丙
平均数 280 280 290
方差 20 16 16
根据表中的数据，该中学应选　　　　参加比赛.
尝试解答
培优七 统计在实际问题中的决策作用
【例7】　寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.
日期 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日
销售 量/件 白天 35 32 43 39 51
晚上 46 42 50 52 60
已知摊位租金900元/档，售余精品可以按进货价退回厂家.
（1）求表中10个销售数据的中位数和平均数；
（2）明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所有.如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理？
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　解：（1）这两种抽样方式中，其总体都是该校高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是高三年级每个学生本学年的考试成绩.其中第一种抽样方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽样方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
（2）上面的两种抽样方式中，第一种采用了简单随机抽样法；第二种采用了分层随机抽样法和简单随机抽样法.
【例2】　A　因为30%×6＝1.8，80%×6＝4.8，所以30%分位数为n＝28，80%分位数为m＝48，所以＝＝.
【例3】　C　∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，∴样本数据10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1，故选C.
【例4】　解：（1）因为（0.000 2＋0.000 4＋0.000 3＋0.000 1）×500＝0.5，所以a＝＝0.000 5.又0.000 5×500＝0.25，所以月收入在[4 000，4 500）内的频率为0.25，所以100人中月收入在[4 000，4 500）内的人数为0.25×100＝25.
（2）因为0.000 2×500＝0.1，0.000 4×500＝0.2，0.000 5×500＝0.25，0.1＋0.2＝0.3＜0.5，0.1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5，所以中位数在区间[3 500，4 000）内，
所以样本数据的中位数是3 500＋＝3 900.
（3）样本数据的平均数为（2 750×0.000 2＋3 250×0.000 4＋3 750×0.000 5＋4 250×0.000 5＋4 750×0.000 3＋5 250×0.000 1）×500＝3 900.
【例5】　C　对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为（0.02＋0.04）×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为（0.04＋0.02＋0.02＋0.02）×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68（万元），故C错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为（0.10＋0.14＋0.20＋0.20）×1×100%＝64%＞50%，故D正确.
【例6】　（1）一、六　（2）乙　解析：（1）由题意知，当产量在（3 700－2×50，3 700＋2×50）即（3 600，3 800）之外时该生产线失去控制，由表中数据可知，该生产线在星期一和星期六两天失去了控制.
（2）因为方差越小，发挥越稳定，且比赛成绩是时间越短越好，所以选乙参加比赛.
【例7】　解：（1）中位数为＝44.5，
平均数为＝45.
（2）由题知，今年花市期间该摊位所售精品的销售量与时间段有关，明年合租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今年的平均销售量按比例分担.
今年白天的平均销售量为＝40（件/天），
今年晚上的平均销售量为＝ 50（件/天），
所以甲同学应分担的租金为900×＝400（元），
乙同学应分担的租金为900×＝500（元）.
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章末复习与总结
一、数学抽象
　　学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、
概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问
题的习惯.在本章中，数学抽象主要体现在随机抽样中.
培优一 随机抽样
【例1】　为了考察某校的教学水平，相关部门将抽查这个学校高三
年级的部分学生本学年的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以
下两种方式进行抽查：
Ⅰ.从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考
察他们的学习成绩；
Ⅱ.将学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名
学生进行考察.
根据上面的叙述，试回答下列问题：
（1）上面两种抽样方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一
种抽样方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
解：这两种抽样方式中，其总体都是该校高三全体学生本学年
的考试成绩，个体都是高三年级每个学生本学年的考试成绩.其
中第一种抽样方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试
成绩，样本容量为20；第二种抽样方式中，样本为所抽取的100
名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
（2）在上面两种抽样方式中，各自采用何种抽样方法？
解：上面的两种抽样方式中，第一种采用了简单随机抽样法；
第二种采用了分层随机抽样法和简单随机抽样法.
二、数学运算
　　数学运算是解决数学问题的基本手段，是计算机解决问题的基
础.在本章中，数学运算主要体现在计算百分位数、平均数、中位
数、方差和标准差中.
培优二 百分位数的计算
【例2】　已知甲、乙两组数据（从小到大的顺序排列）：
甲组：27，28，39，40， m ，50；
乙组：24， n ，34，43，48，52.
若这两组数据的30%分位数、80%分位数分别相等，则 ＝（　　）
A.
C. 　 D.
解析：　因为30%×6＝1.8，80%×6＝4.8，所以30%分位数为 n ＝
28，80%分位数为 m ＝48，所以 ＝ ＝ .
培优三 方差、标准差的计算
【例3】　设一组样本数据 x1， x2，…， xn 的方差为0.01，则数据10
x1，10 x2，…，10 xn 的方差为（　　）
A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10
解析：　∵样本数据 x1， x2，…， xn 的方差为0.01，∴样本数据10
x1，10 x2，…，10 xn 的方差为102×0.01＝1，故选C.
培优四 平均数、中位数的计算
【例4】　统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10 000
人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.
（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收
入再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人作进一步
分析，则月收入在[4 000，4 500）内的应抽取多少人？
解：因为（0.000 2＋0.000 4＋0.000 3＋0.000 1）×500＝
0.5，所以 a ＝ ＝0.000 5.又0.000 5×500＝0.25，所以月
收入在[4 000，4 500）内的频率为0.25，所以100人中月收入在
[4 000，4 500）内的人数为0.25×100＝25.
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
解：因为0.000 2×500＝0.1，0.000 4×500＝0.2，0.000
5×500＝0.25，0.1＋0.2＝0.3＜0.5，0.1＋0.2＋0.25＝0.55
＞0.5，所以中位数在区间[3 500，4 000）内，
所以样本数据的中位数是3 500＋ ＝3 900.
（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.
解：样本数据的平均数为（2 750×0.000 2＋3 250×0.000 4＋3
750×0.000 5＋4 250×0.000 5＋4 750×0.000 3＋5 250×0.000
1）×500＝3 900.
三、数据分析
　　数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行
整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.
　　数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建
模型，进行推断，获得结论.在本章中，数据分析主要体现在频率分
布直方图及总体集中趋势的估计中.
培优五 频率分布直方图
【例5】　（2021·全国甲卷2题）为了解某地农村经济情况，对该地
农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得
到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（　　）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万
元之间
解析：　对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万
元的农户比率约为（0.02＋0.04）×1×100%＝6%，故A正确；对于
B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比
率约为（0.04＋0.02＋0.02＋0.02）×1×100%＝10%，故B正确；
对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约
为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋
9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝
7.68（万元），故C错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭
年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为（0.10＋0.14＋
0.20＋0.20）×1×100%＝64%＞50%，故D正确.
培优六 数据的集中趋势和离散程度的估计
【例6】　（1）一条产品生产线平均每天的产量为3 700件，标准差为
50件.如果某一天的产量低于或高于平均产量，并落在±2个标准差的
范围之外，就认为该生产线失去控制.下表是该生产线一周各天的产
量，问该生产线在星期 失去了控制？
一、六　
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
产量 /件 3 850 3 670 3 690 3 720 3 610 3 590 3 700
解析：由题意知，当产量在（3 700－2×50，3 700＋2×50）即（3
600，3 800）之外时该生产线失去控制，由表中数据可知，该生产线
在星期一和星期六两天失去了控制.
（2）某中学将从甲、乙、丙3人中选一人参加全市中学男子1 500米比
赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与
方差制成如下表格：
甲 乙 丙
平均数 280 280 290
方差 20 16 16
根据表中的数据，该中学应选 参加比赛.
解析：因为方差越小，发挥越稳定，且比赛成绩是时间越短越
好，所以选乙参加比赛.
乙　
培优七 统计在实际问题中的决策作用
【例7】　寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社
会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.
日期 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日
销售 量/件 白天 35 32 43 39 51
晚上 46 42 50 52 60
已知摊位租金900元/档，售余精品可以按进货价退回厂家.
（1）求表中10个销售数据的中位数和平均数；
解：中位数为 ＝44.5，
平均数为 ＝45.
（2）明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精
品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段
内销售所获利润归承包者所有.如果其他条件不变，以今年的数
据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理？
解：由题知，今年花市期间该摊位所售精品的销售量与时间段
有关，明年合租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今年的
平均销售量按比例分担.
今年白天的平均销售量为 ＝40（件/天），
今年晚上的平均销售量为 ＝50（件/天），
所以甲同学应分担的租金为900× ＝400（元），
乙同学应分担的租金为900× ＝500（元）.
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