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第八章 数学建模活动 （一）
新课程标准解读 核心素养
收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义 数学建模、数据分析、数学运算
§1　走进数学建模
　　数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
【问题】　你知道什么是数学建模吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点
1.图形中点的有关概念
（1）经过点：如果图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”.“经过点”的特点：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点；
（2）终点、起点：有进无出的点为终点，有出无进的点为起点；
（3）奇点、偶点：若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点，否则为奇点，显然“经过点”是偶点.
2.一笔画定理
一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
（1）图形是连在一起的，即是连通图形；
（2）图形中的奇点个数是0或2.
提醒　（1）可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关.也就是说，凡是图形中没有奇点的（奇点个数为0），可选任一个点为起点，且一笔画后可以回到出发点；（2）若奇点个数为2，可选其中一个奇点为起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点；（3）凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画；（4）含有2n（n＞0）个奇点的图形，需要n笔画成.
1.完成下表.
奇点个数 偶点个数 能否一笔画出
　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　
　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　
　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　
2.图中的线段代表一条条小路，有A，B两只蚂蚁，想一想，能够不重复爬遍小路的是A蚂蚁还是B蚂蚁？
题型一 一笔画定理及应用
【例1】　一个居民小区平面如图，邮递员能否从东、南、西、北四个入口中的任何一个口进入，不重复而走遍大街小巷呢？
尝试解答
通性通法
1.熟悉一笔画定理.
2.一笔画定理中，若没有奇点，任意一点都可以同时作为起点和终点，若有2个奇点，一个为起点，另一个一定是终点.
【跟踪训练】
甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）.如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
题型二 与图有关的模型
【例2】　与哥尼斯堡七桥问题同样著名的是十二面体游戏（或“周游世界”）.图①表示一个正多面体.它的表面由12个正五边形所构成，称为正十二面体.若把它的顶点看作是一个图的顶点，则我们可以用图②中的图来表示它.设想图中的20个顶点代表20个城市，用十二面体的棱代表城市间的道路，那么你能不能游遍每个城市一次而且仅一次，并最终回到出发城市？
找出“周游世界”的一条线路.
尝试解答
通性通法
　　哥尼斯堡七桥问题和十二面体游戏都是利用图模型的例子，把“位置”抽象成“顶点”，把“路线”抽象成“顶点的连线”，进而利用图的性质加以解决.这两个经典问题在图论这一数学分支中有详细的阐述，本节主要通过它们来介绍这种思想方法.
【跟踪训练】
给定图G，若存在一条路线经过图G的每个顶点一次且仅一次，这条路称作哈密尔顿路.若存在一条闭合路径过图G的每个顶点一次且仅一次，这条路被称作哈密尔顿回路.试判断图①和图②中是否存在哈密尔顿路与哈密尔顿回路.如果存在，请找出它们；如果不存在，请说明理由.
题型三 利用比例关系建模
【例3】　生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温.研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比，血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比.
下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据.
表　一些动物的体重和脉搏率
动物名 体重/g 脉搏率/（心跳次数·min－1）
鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2 000 205
小狗 5 000 120
大狗 30 000 85
羊 50 000 70
马 450 000 38
回答下面的问题：
（1）请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型；
（2）从表可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高.请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型.
尝试解答
通性通法
　　本例利用变量之间的比例关系进行推导，建立了血流量与体重关系、脉搏率与体重关系的数学模型，有些是题目给出的，如消耗能量E与通过心脏的血流量Q成正比，还有的是我们的假设，如表面积S大约与体积V的次方成正比.实际问题中变量之间的关系是复杂的.需要我们根据常识作出合理假设.
【跟踪训练】
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法.假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据：（胸围指鱼身的最大周长）
身长（cm） 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1
重量（g） 765 482 1 162 737 482 1 389 652 454
胸围（cm） 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数.
1　走进数学建模
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.0　4　否　0　5　能　2　2　能
2.解：
标点：标出双数点和单数点；
判断：有2个单数点可以一次走过，但是只能从一个单数点开始，到另一个单数点结束，所以只有B处的蚂蚁才可以.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：图形可作如下处理：
由图可知，有2个单数点，所以从一个单数点进另一个单数点出即从西（北）进，从北（西）出.
跟踪训练
　解：由题图看出，只有A，C两个奇点，根据一笔画定理，甲从A出发，可以不重复地一次走完所有街道，而乙从B出发走完所有街道回到C点必须重复一段街道，故甲先回到邮局.
【例2】　解：如图所示，用数字表示所游城市的顺序，一条完整的路线如下.
跟踪训练
　解：图①和图②中均存在哈密尔顿路，它们的路线如下图所示.
但是它们都不存在哈密尔顿回路.
理由如下：假设存在一条完整的回路经过图中的顶点一次且仅一次，若删去其中的k个顶点及和它相关联的边，产生的分支应不多于k个.若删去图①中的点p将产生两个分支，因而一条闭合的依次经过全部顶点的路线应是不存在的.同理，图②也不存在.
【例3】　解：建模过程如下：
（1）因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E与身体的表面积S成正比，可以表示为E＝p1S.又因为动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，可以表示为E＝p2Q.因此得到Q＝pS，其中p1，p2和p均为正的比例系数.另一方面，因为体积V与体重W成正比，可以表示为V＝r1W；又因为表面积S大约与体积V的次方成正比.可以表示为S＝r2，因此得到S＝r，其中r1，r2，r为正的比例系数.所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q＝k1，其中k1为正的比例系数.
（2）根据脉搏率的定义f＝，再根据生物学假设q＝cW（c为正的比例系数），最后得到f＝＝，也就是f＝k，其中k为正的待定系数.脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系，如图是以ln W和ln f为坐标的散点图.可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f＝ln k－.
跟踪训练
　解：对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即w＝k1l3，k1为比例系数.
钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待.如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长d的平方成正比，于是w＝k2d2l，k2为比例系数.利用数据估计模型中的系数可得k1≈0.014，k2≈0.032 2.
4 / 4(共34张PPT)
第八章 数学建模活动（一）
新课程标准解读 核心素养
收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域
中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际
问题，感悟数学模型中参数的现实意义 数学建模、
数据分析、数
学运算
§1　走进数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国
的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现
在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课
程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟
了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现
的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几
所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参
赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞
生，在中国开花、结果的.
【问题】　你知道什么是数学建模吗？




知识点
1. 图形中点的有关概念
（1）经过点：如果图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其
他的点都是“经过点”.“经过点”的特点：只要从一条线进
入这个点，就要从另一条线离开这个点；
（2）终点、起点：有进无出的点为终点，有出无进的点为起点；
（3）奇点、偶点：若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为
偶点，否则为奇点，显然“经过点”是偶点.
2. 一笔画定理
一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
（1）图形是连在一起的，即是连通图形；
（2）图形中的奇点个数是0或2.
提醒　（1）可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点
个数有关.也就是说，凡是图形中没有奇点的（奇点个数为
0），可选任一个点为起点，且一笔画后可以回到出发点；
（2）若奇点个数为2，可选其中一个奇点为起点，而终点一
定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点；（3）凡是
图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画；（4）含有2 n
（ n ＞0）个奇点的图形，需要 n 笔画成.
1. 完成下表.
奇点个数 偶点个数 能否一笔画出



0　
4　
否　
0　
5　
能　
2　
2　
能　
2. 图中的线段代表一条条小路，有 A ， B 两只蚂蚁，想一想，能够不
重复爬遍小路的是 A 蚂蚁还是 B 蚂蚁？
解：标点：标出双数点和单数点；
判断：有2个单数点可以一次走过，但是只能从一个单数点开始，
到另一个单数点结束，所以只有 B 处的蚂蚁才可以.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 一笔画定理及应用
【例1】　一个居民小区平面如图，邮递员能否从东、南、西、北四
个入口中的任何一个口进入，不重复而走遍大街小巷呢？
解：图形可作如下处理：
由图可知，有2个单数点，所以从一个单数点进另一个单数点出即从
西（北）进，从北（西）出.
通性通法
1. 熟悉一笔画定理.
2. 一笔画定理中，若没有奇点，任意一点都可以同时作为起点和终
点，若有2个奇点，一个为起点，另一个一定是终点.
【跟踪训练】
甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从 A 点出发，乙从 B 点出发，最后都回到邮局（ C 点）.如果要
选择最短的线路，谁先回到邮局？
解：由题图看出，只有 A ， C 两个奇点，根据一笔画定理，甲从 A 出
发，可以不重复地一次走完所有街道，而乙从 B 出发走完所有街道回
到 C 点必须重复一段街道，故甲先回到邮局.
题型二 与图有关的模型
【例2】　与哥尼斯堡七桥问题同样著名的是十二面体游戏（或“周
游世界”）.图①表示一个正多面体.它的表面由12个正五边形所构
成，称为正十二面体.若把它的顶点看作是一个图的顶点，则我们可
以用图②中的图来表示它.设想图中的20个顶点代表20个城市，用十
二面体的棱代表城市间的道路，那么你能不能游遍每个城市一次而且
仅一次，并最终回到出发城市？
找出“周游世界”的一条线路.
解：如图所示，用数字表示所游城市的顺序，
一条完整的路线如下.
通性通法
　　哥尼斯堡七桥问题和十二面体游戏都是利用图模型的例子，把
“位置”抽象成“顶点”，把“路线”抽象成“顶点的连线”，进而
利用图的性质加以解决.这两个经典问题在图论这一数学分支中有详
细的阐述，本节主要通过它们来介绍这种思想方法.
【跟踪训练】
给定图 G ，若存在一条路线经过图 G 的每个顶点一次且仅一次，这条
路称作哈密尔顿路.若存在一条闭合路径过图 G 的每个顶点一次且仅
一次，这条路被称作哈密尔顿回路.试判断图①和图②中是否存在哈
密尔顿路与哈密尔顿回路.如果存在，请找出它们；如果不存在，请
说明理由.
解：图①和图②中均存在哈密尔顿路，它们的路线如下图所示.
但是它们都不存在哈密尔顿回路.
理由如下：假设存在一条完整的回路经过图中的顶点一次且仅一次，若删去其中的 k 个顶点及和它相关联的边，产生的分支应不多于 k 个.
若删去图①中的点 p 将产生两个分支，因而一条闭合的依次经过全部顶点的路线应是不存在的.同理，图②也不存在.
题型三 利用比例关系建模
【例3】　生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，
主要是为了保持体温.研究表明，消耗的能量 E 与通过心脏的血流量 Q
成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比，血流
量 Q 是单位时间流过的血量，脉搏率 f 是单位时间心跳的次数；还有
一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量 q 与心脏大小
成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比.
下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据.
动物名 体重/g 脉搏率/（心跳次数·min－1）
鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2 000 205
小狗 5 000 120
大狗 30 000 85
羊 50 000 70
马 450 000 38
表　一些动物的体重和脉搏率
回答下面的问题：
（1）请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型；
解：建模过程如下：
因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，
保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量 E 与身体的
表面积 S 成正比，可以表示为 E ＝ p1 S . 又因为动物体内消耗的能量 E
与通过心脏的血流量 Q 成正比，可以表示为 E ＝ p2 Q .
因此得到 Q ＝ pS ，其中 p1， p2和 p 均为正的比例系数.另一方面，因
为体积 V 与体重 W 成正比，可以表示为 V ＝ r1 W ；又因为表面积 S 大
约与体积 V 的 次方成正比.可以表示为 S ＝ r2 ，因此得到 S ＝ r ，
其中 r1， r2， r 为正的比例系数.所以可以构建血流量与体重关系的数
学模型 Q ＝ k1 ，其中 k1为正的比例系数.
（2）从表可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高.请根据上面所提供
的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数
学模型.
解：根据脉搏率的定义 f ＝ ，再根据生物学假设 q ＝ cW （ c 为正的比例系数），最后得到 f ＝ ＝ ，也就是 f ＝ k ，其中 k 为正的待定系数.脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的 次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系，
如图是以ln W 和ln f 为坐
标的散点图.可以看出，数据
取对数之后基本满足线性关
系，因此得到体重和脉搏率的
对数线性模型，可以把这个模
型表达为ln f ＝ln k － .
通性通法
　　本例利用变量之间的比例关系进行推导，建立了血流量与体重关
系、脉搏率与体重关系的数学模型，有些是题目给出的，如消耗能量
E 与通过心脏的血流量 Q 成正比，还有的是我们的假设，如表面积 S
大约与体积 V 的 次方成正比.实际问题中变量之间的关系是复杂的.
需要我们根据常识作出合理假设.
【跟踪训练】
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量
给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的
长度估计鱼的重量的方法.假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼
的如下数据：（胸围指鱼身的最大周长）
身长
（cm） 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1
重量
（g） 765 482 1 162 737 482 1 389 652 454
胸围
（cm） 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数.
解：对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相
同，所以重量 w 与身长 l 的立方成正比，即 w ＝ k1 l3， k1为比例系数.
钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同
等看待.如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大
周长 d 的平方成正比，于是 w ＝ k2 d2 l ， k2为比例系数.利用数据估计
模型中的系数可得 k1≈0.014， k2≈0.032 2.
谢 谢 观 看！

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