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2　数学建模的主要步骤
知识点　数学建模的一般步骤
超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图.两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，
若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？
题型一 分蛋糕问题
【例1】　问题提出　妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕（如图所示），哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你.如图①所示.
模型假设　（1）假设蛋糕是平放在桌上的，即蛋糕表面与水平面是平行的；
（2）假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形.
模型建立　已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状）.P是曲线所围成的图形上一点.（如图②）
求证：存在一条过P的直线L，将这个图形的面积二等分.
模型求解　过P点任作一直线L，L将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2.如果S1＝S2，则L即是所要找的直线.现在，我们考虑S1≠S2的情形：
不失一般性，设S1＞S2，首先，建立如图③的坐标轴：x轴.设直线L与x轴的初始交角为α0.
以点P为旋转中心，将直线L按逆时针方向旋转，则面积S1，S2就连续地依赖于角α的变化.即S1＝S1（α），S2＝S2（α）都是关于α的连续函数.
令f（α）＝S1（α）－S2（α），则函数f（α）是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且f（α0）＝S1（α0）－S2（α0）＞0.
f（α0＋π）＝S1（α0＋π）－S2（α0＋π）＝S2（α0）－S1（α0）＜0.
根据零点定理，存在一点c∈（α0，α0＋π），使得f（c）＝S1（c）－S2（c）＝0.
即存在一点c∈（α0，α0＋π）使得S1（c）＝S2（c）.
模型结论　通过上述几何问题的证明，我们得知：对于蛋糕上的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线L，使得沿L切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块.
模型评价　本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性.但是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决.
题型二 搭砖块问题
【例2】　【问题】　将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离？
模型准备　这个问题涉及重心的概念，关于重心的结果有：设xOy平面上有n个质点，它们的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的质量分别为m1，m2，…，mn，则该质点系的重心坐标（，）满足的关系式为＝，＝.
模型假设　（1）所有砖块的长度和重量均为一个单位；
（2）参与叠放的砖块有足够多；
（3）每块砖块的密度都是均匀的，密度系数相同；
（4）最底层的砖块可以完全水平且平稳地放在地面上.
模型构成　（1）考虑两块砖块的叠放情况：
对只有两块砖块的叠放，注意到此时叠放后的砖块平衡主要取决于上面的砖块，而下面的砖块只起到支撑作用，假设在叠放平衡的前提下，上面砖块超过下面砖块右端的最大前伸距离x，选择下面砖块的最右端为坐标原点，建立如图所示的坐标系，因为砖块是均匀的，所以它的重心在其中心位置，且其质量可以认为是集中在重心的，于是每个砖块可以认为是质量为1且其坐标在重心位置的质点，因为下面的砖块总是稳定的，要想上面的砖块与下面的砖块离开最大的位移且不掉下来，则上面的砖块重心应该恰好在底下砖块最右端位置，因此可以得到上面砖块在位移最大且不掉下来的重心水平坐标为x＝（因为砖块的长度是1），于是上面的砖块可以向右前伸的最大距离为.
（2）考虑n＋1块砖块的叠放情况：
两块砖块的情况解决了，如果再加一块砖块，叠放情况如何呢？如果增加的砖块放在原来两块砖块的上边，那么此砖块是不能再向右前伸了（为什么），除非再移动底下的砖块，但这样会使问题复杂化，因为这里讨论的是建模问题，不是搭砖块的问题，为了便于问题的讨论，把前两块搭好的砖块看做一个整体且不移动它们的相对位置，而把增加的砖块插入在最底下的砖块下方，于是问题又归结为两块砖块的叠放问题，不过这次是质量不同的两块砖块的叠放问题，这个处理可以推广到n＋1块砖块的问题，即假设已经叠放好n（n＞1）块砖块后，再加一块砖块的叠放问题.
下面就n＋1（n＞1）块砖块的叠放问题来讨论，假设增加的一块砖块插入最底层，选择底层砖块的最右端为坐标原点建立如图坐标系，
考虑上面的n块砖块的重心关系，把上面的n块砖块分成两部分；从最高层开始的前n－1块砖块，记它们的水平重心为x1，总质量为n－1；与最底层砖块相连的第n块砖块，记它的水平重心为x2，质量为1.
此外，把上面的n块砖块看做一个整体，并记它的重心水平坐标为，显然n块砖块的质量为n，那么，在保证平衡的前提下，上面n块砖块的水平重心应该恰好在最底层砖块的右端，即有＝0，假设第n块砖块超过最底层砖块右端的最大距离为z，同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n－1的，于是在上图的坐标下，第n块砖块的水平重心坐标为x2＝z－，故由重心的关系，有＝＝＝0.z·（n－1）＋＝0 z＝.
于是，对3块砖块（即n＝2）的叠放有，第3块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸＋；
对4块砖块（n＝3）的叠放有，第4块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸＋＋；
对n＋1块砖块的叠放，设从第n＋1块砖块的右端到第1块砖块的右端最远距离为dn＋1，则有dn＋1＝＋＋…＋，
所以当n趋于＋∞时，有dn＋1趋于1，这说明随着砖块数量的无限增加，最顶层的砖块可以前伸到1个单位长度.
通性通法
本题给出的启示是：当问题涉及较多对象时，对考虑的问题进行合理的分类往往使问题变得清晰，此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能.
2　数学建模的主要步骤
【基础知识·重落实】
自我诊断
　解：
合算就是纸的量多.因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算.为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯（即小圆）上，如图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算.
即：设有芯纸卷截面的内、外半径分为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，＝R2－r2，当D＝d时，S有芯＝π（R2－r2）＝π＝π＝S无芯.当D＞d时，S有芯＝π（R2－r2）＝π＜π＝S无芯.当D＜d时，S有芯＝π（R2－r2）＝π＞π＝S无芯.
3 / 3(共24张PPT)
§2　数学建模的主要步骤
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
知识点　数学建模的一般步骤
超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸
卷，如图.两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一
样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺
子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？
解：合算就是纸的量多.因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较
两种纸卷截面的面积，取较大的就合算.为此可以各取一个纸卷，令
无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯（即小圆）上，如图，然
后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在
有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸
卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算.
即：设有芯纸卷截面的内、外半径分为 r ， R ，大圆内与小圆相切的
弦长为 d ，无芯纸卷截面的直径为 D ，于是， ＝ R2－ r2，当 D ＝
d 时， S有芯＝π（ R2－ r2）＝π ＝π ＝ S无芯.当 D ＞ d 时， S有芯
＝π（ R2－ r2）＝π ＜π ＝ S无芯.当 D ＜ d 时， S有芯＝π（ R2－
r2）＝π ＞π ＝ S无芯.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分蛋糕问题
【例1】　问题提出　妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状
任意的蛋糕（如图所示），哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对
哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其
中的一块送给你.如图①所示.
模型假设　（1）假设蛋糕是平放在桌上的，即蛋糕表面与水平面是
平行的；
（2）假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形.
模型建立　已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什
么形状）. P 是曲线所围成的图形上一点.（如图②）
求证：存在一条过 P 的直线 L ，将这个图形的面积二等分.
模型求解　过 P 点任作一直线 L ， L 将曲线所围图形分为两部
分，其面积分别记为 S1， S2.如果 S1＝ S2，则 L 即是所要找的直
线.现在，我们考虑 S1≠ S2的情形：
不失一般性，设 S1＞ S2，首先，建立如图③的坐标轴： x 轴.设
直线 L 与 x 轴的初始交角为α0.
以点 P 为旋转中心，将直线 L 按逆时针方向旋转，则面积 S1， S2
就连续地依赖于角α的变化.即 S1＝ S1（α）， S2＝ S2（α）都
是关于α的连续函数.
令 f （α）＝ S1（α）－ S2（α），则函数 f （α）是闭区间
[α0，α0＋π]上的连续函数，并且 f （α0）＝ S1（α0）－ S2
（α0）＞0.
f （α0＋π）＝ S1（α0＋π）－ S2（α0＋π）＝ S2（α0）－ S1
（α0）＜0.
根据零点定理，存在一点 c ∈（α0，α0＋π），使得 f （ c ）＝
S1（ c ）－ S2（ c ）＝0.
即存在一点 c ∈（α0，α0＋π）使得 S1（ c ）＝ S2（ c ）.
模型结论　通过上述几何问题的证明，我们得知：对于蛋糕上
的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线 L ，使得
沿 L 切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块.
模型评价　本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性.但
是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决.
题型二 搭砖块问题
【例2】　问题　将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可
能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离？
模型准备　这个问题涉及重心的概念，关于重心的结果有：设 xOy 平
面上有 n 个质点，它们的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），…，
（ xn ， yn ），对应的质量分别为 m1， m2，…， mn ，则该质点系的重
心坐标（ ， ）满足的关系式为 ＝ ， ＝ .
模型假设　（1）所有砖块的长度和重量均为一个单位；
（2）参与叠放的砖块有足够多；
（3）每块砖块的密度都是均匀的，密度系数相同；
（4）最底层的砖块可以完全水平且平稳地放在地面上.
模型构成　（1）考虑两块砖块的叠放情况：
对只有两块砖块的叠放，注意到此时叠放后的砖块平衡主要取
决于上面的砖块，而下面的砖块只起到支撑作用，假设在叠放
平衡的前提下，上面砖块超过下面砖块右端的最大前伸距离 x ，
选择下面砖块的最右端为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
因为砖块是均匀的，所以它的重心在其中心位置，且其质量可
以认为是集中在重心的，于是每个砖块可以认为是质量为1且其
坐标在重心位置的质点，因为下面的砖块总是稳定的，要想上
面的砖块与下面的砖块离开最大的位移且不掉下来，则上面的
砖块重心应该恰好在底下砖块最右端位置，因此可以得到上面
砖块在位移最大且不掉下来的重心水平坐标为 x ＝ （因为砖块
的长度是1），于是上面的砖块可以向右前伸的最大距离为 .
（2）考虑 n ＋1块砖块的叠放情况：
两块砖块的情况解决了，如果再加一块砖块，叠放情况如何
呢？如果增加的砖块放在原来两块砖块的上边，那么此砖块是
不能再向右前伸了（为什么），除非再移动底下的砖块，但这
样会使问题复杂化，因为这里讨论的是建模问题，不是搭砖块
的问题，为了便于问题的讨论，把前两块搭好的砖块看做一个
整体且不移动它们的相对位置，而把增加的砖块插入在最底下
的砖块下方，于是问题又归结为两块砖块的叠放问题，不过这
次是质量不同的两块砖块的叠放问题，这个处理可以推广到 n ＋
1块砖块的问题，即假设已经叠放好 n （ n ＞1）块砖块后，再加
一块砖块的叠放问题.
下面就 n ＋1（ n ＞1）块砖块的叠放问题来讨论，假设增加的一
块砖块插入最底层，选择底层砖块的最右端为坐标原点建立如
图坐标系，考虑上面的 n 块砖块的重心关系，把上面的 n 块砖块
分成两部分；从最高层开始的前 n －1块砖块，记它们的水平重
心为 x1，总质量为 n －1；与最底层砖块相连的第 n 块砖块，记
它的水平重心为 x2，质量为1.
此外，把上面的 n 块砖块看做一个整体，并记它的重心水平坐标
为 ，显然 n 块砖块的质量为 n ，那么，在保证平衡的前提下，
上面 n 块砖块的水平重心应该恰好在最底层砖块的右端，即有
＝0，假设第 n 块砖块超过最底层砖块右端的最大距离为 z ，同
样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前 n －1的 ，于是在
上图的坐标下，第 n 块砖块的水平重心坐标为 x2＝ z － ，故由
重心的关系，有 ＝ ＝ ＝0.
z ·（ n －1）＋ ＝0 z ＝ .
于是，对3块砖块（即 n ＝2）的叠放有，第3块砖块的右端到第1
块砖块的右端距离最远可以前伸 ＋ ；
对4块砖块（ n ＝3）的叠放有，第4块砖块的右端到第1块砖块的
右端距离最远可以前伸 ＋ ＋ ；
对 n ＋1块砖块的叠放，设从第 n ＋1块砖块的右端到第1块砖块
的右端最远距离为 dn＋1，则有 dn＋1＝ ＋ ＋…＋ ，
所以当 n 趋于＋∞时，有 dn＋1趋于1，这说明随着砖块数量的无
限增加，最顶层的砖块可以前伸到1个单位长度.
通性通法
　　本题给出的启示是：当问题涉及较多对象时，对考虑的问题进行
合理的分类往往使问题变得清晰，此外，一些看似不可能的事情其实
并非不可能.
谢 谢 观 看！

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