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§3　数学建模活动的主要过程
知识点　课题研究的过程
课题研究的过程包括：选题、开题、做题、结题四个环节.
1.选题
（1）“选题”就是选定研究的问题.
（2）课题的来源
来源之一：阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的问题；
来源之二：研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究相关的问题；
来源之三：用数学的眼光观察世界，发现研究新的问题.
2.开题
“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
开题主要做的工作是：
（1）明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果；
（2）选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案；
（3）完成开题报告.
3.做题
“做题”是研究者（研究小组）建立数学模型，用数学解决实际问题的实践活动.
在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，特别需要关注以下两个问题：
（1）建立恰当的数学模型；
（2）获取客观真实的数据.
4.结题
“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果，进行答辩的过程.一般来讲，结题会是结题的基本形式.
题型一 课题研究的过程——选题
【例1】　怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要做些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等.
（1）估计一个人体内血液的总量；
（2）决定十字路口黄灯亮的时间长度；
（3）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划；
（4）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制定合理的运行计划.
尝试解答
通性通法
　　我们已知道课题的三个来源，选题的一般步骤是先发现和提出问题，再查找资料，分析问题，最后结合实际，确定研究课题.
　　选题原则通常要满足科学性、价值性、创造性、需要性、可行性、效益性等原则.
　　选题宜小不宜大，选题应结合实际，有新意，要考虑自身的优势，与自身的能力相适应.
题型二 课题研究的过程——开题
【例2】　在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快地疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题.根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告.
尝试解答
通性通法
　　课题研究的第二步是开题，要完成开题报告，举行开题报告会，通常开题报告由以下几部分组成：
（1）课题名称；（2）课题研究的目的、意义；（3）课题研究的目标；（4）课题研究的基本内容；（5）课题研究的方法；（6）课题研究的步骤和计划；（7）课题预期的成果与表现形式；（8）课题研究的组织机构和人员分工.
题型三 课题研究的主要过程——做题
【例3】　在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，其中建立恰当的数学模型是特别要关注的.下面是“包扎管道”问题中的两个数学模型，比较它们的优劣.
用W表示带子的宽度，C表示圆管的周长，θ表示带子的倾斜方向与管道母线垂线的方向之间的夹角.设想将带子缠绕在管道上使它包住管道且带子间互不重叠，并且从带子的一角的A点沿圆管母线的方向画一条辅助线l，再在辅助线与带子边缘的交点处画出圆管的横截面的切口线c.将画有辅助线的带子截下一段展开，平放在平面上（如图所示）.
模型一　注意只有在带子覆盖圆管且又互不重叠的情况下母线和截口线将相交于带子的边缘.这时A，B和D，E分别表示管道上的同一个点.直线AB和DE是圆管的截口，而BD和EF是圆管的母线，且有AO⊥OB.因此容易得出带子的宽度W、圆管截面周长C和带子的倾斜角度θ这三个变量之间的关系式为W＝Csin θ.
模型二　考虑组建线段OB的模型，因为由前面的分析我们知道，当用带子包住圆管且又互不重叠时的充分必要条件是直线AB与端口的截面周长C重合，A点和B点在管道上要重合为一点.而线段AB的长度就可以用来确定点B的准确的位置.这样一来，使用｜OB｜＝作为管道包扎的数学模型.
尝试解答
通性通法
建立同一问题的数学模型时，由于决策变量设置方法的多样性，数学模型的形式也就不唯一，即使决策变量是一致的，但要实现的目标可以通过不同形式达到而使数学模型不同.建模过程是一项创造性的工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案.建模是一个渐进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型.
题型四 课题研究的主要过程——结题
【例4】　我们目前使用的键盘都是QWERTY键盘布局，以键盘第一排字母的左边6个字母而得名.QWERTY键盘在1868年由Christopher sholes提出，旨在解决打字速度过快导致的某些键组合卡键的问题.因此，打字速度最大化并不是QWERTY键盘的主要目的.QWERTY键盘满足了当时的需求，得到了大范围的推广.
随着技术的发展，键盘早已不存在之前提到的卡键问题.于是，1936年美国人August Dvorak设计出了另外一种键盘，将常用字母都归在一起，以期提高打字速度，这种键盘被称作Dvorak键盘.
针对以上情况，提出问题.完成一个数学建模活动，并以小论文形式写出结题报告.
尝试解答
通性通法
一项研究完成之后，要写出报告，举行答辩会.结题报告主要包括以下几部分：题目，问题的由来，课题的目的、意义，人员分工，方法，步骤，研究过程，研究结果，结论，体会，参考文献等部分.
3　数学建模活动的主要过程
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容积的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量，注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收.
（2）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t≈（S1＋S2）/v.而S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.
（3）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修还是更新.
（4）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）.
【例2】　解：
要解决的问题 在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间
选题的原因及意义 建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议
建模问题的可行性分析 教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数
基本模型、解决问题的大体思路和步骤 做出合理假设，列出有关的参数.队列中人与人之间的距离为常数，记为d，队列行进的速度也是常数v，令第i个教室中的人数为ni＋1人，第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为Li，教室门的宽度为D.疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计. T1，2＝
续表
预期结果和结果呈现方式 建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告
参考文献 《数学模型与数学建模》北京师范大学数学科学学院
其他说明
【例3】　解：这就是我们所需要的管道包扎的两个数学模型.对于熟悉数学的人来说前者组建这个模型是一个正常的思维过程，所得到的模型也是完美的，无懈可击的.但是认真思考一下，我们很容易发现这个模型并不实用.因为它牵涉到了角度的计算和测量，这在实际操作当中是不太容易实现的.
要使得模型在实际操作过程中更加实用就需要尽量避免涉及角度的计算和测量.为此我们从另外一个角度出发，考虑组建的线段OB的模型较之前者就有更强的可操作性.
【例4】　解：①问题的提出：电脑键盘优化
现如今，电脑的使用不论是从地域范围还是使用人数的多少来说都位居前列，然而现有的键盘字母排列是根据英文单词的输入来排列的，所以我们要研究出一种便于汉字输入的键盘字母排列方案，使汉字的输入更加快捷.
②数据采集及数据分析
我们将3 500个常用汉字的拼音中字母的使用次数统计出来，比较得出每个字母使用频率的高低，得出新的方案后，通过比较，用本组方案和常用键盘输入同一段文字时手的位移来证明本组方案的合理性，最后得出结论.
③数学模型
a.字母的使用次数
每个汉字输入时用到的拼音中的每个字母记为输入一次.设某字母在所有a开头的汉字中需要输入x1次，在b开头的汉字中需要输入x2次，在c开头的汉字中需要输入x3次，依此类推，到其使用次数（y）为y＝x1＋x2＋x3＋…＋x26.
b.手的位移
设Q为手的位移，字母的使用次数为x，手指的位移为T.则有函数关系如下：
T＝
Q＝2x＋x.
设法找到使得平均移动次数较小的字母排列（过程略）.
④结论：一个新键盘排列图：
K P Q D Y E H Z T F [ ]
R W B I A U N G O ； ' Enter
V M X C J S L ， . / Shift
⑤误差分析
在证明时，我们默认两键盘的字母排列都如表格一样整齐，所以比较起来没有误差.但是每个人在输入时手指的摆放不一定像我们规定的那样，所以会有一定的误差.
⑥问题拓展
现有的输入法有很多，其中五笔输入法中字母的使用频率与我们研究的输入法有较大差异.在今后的研究过程中，我们还可以根据五笔输入法进行新的字母优化排列，然后可以将两种方案综合考虑.
⑦合作经历
电脑键盘优化排列是我们组经过多次讨论最终决定的研究课题.在一次又一次的讨论过程中，我们渐渐有了默契；在完善我们的论文的过程中，我们学会了严谨；当然，还有珍贵的友谊……
2 / 3(共30张PPT)
§3　数学建模活动的主要过程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
知识点　课题研究的过程
课题研究的过程包括：选题、开题、做题、结题四个环节.
1. 选题
（1）“选题”就是选定研究的问题.
（2）课题的来源
来源之一：阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的
问题；
来源之二：研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂
性，进一步研究相关的问题；
来源之三：用数学的眼光观察世界，发现研究新的问题.
2. 开题
“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
开题主要做的工作是：
（1）明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果；
（2）选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案；
（3）完成开题报告.
3. 做题
“做题”是研究者（研究小组）建立数学模型，用数学解决实际问
题的实践活动.
在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，特别需
要关注以下两个问题：
（1）建立恰当的数学模型；
（2）获取客观真实的数据.
4. 结题
“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果，进行答辩的过
程.一般来讲，结题会是结题的基本形式.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 课题研究的过程——选题
【例1】　怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要做
些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等.
（1）估计一个人体内血液的总量；
解：注射一定量的葡萄糖，采集一定容积的血样，测量注射前
后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量，注意采集和
测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又
基本上未被人体吸收.
（2）决定十字路口黄灯亮的时间长度；
解：司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离 S1，设通过十字
路口的距离为 S2，汽车行驶速度为 v ，则黄灯的时间长度 t 应使
距停车线 S1之内的汽车能通过路口，即 t ≈（ S1＋ S2）/v.而 S1可
由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察
不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.
（3）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划；
解：根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加
而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时
段，结合租金决定应该维修还是更新.
（4）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制定合理
的运行计划.
解：统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时
间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每
部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）.
通性通法
　　我们已知道课题的三个来源，选题的一般步骤是先发现和提出问
题，再查找资料，分析问题，最后结合实际，确定研究课题.
　　选题原则通常要满足科学性、价值性、创造性、需要性、可行
性、效益性等原则.
　　选题宜小不宜大，选题应结合实际，有新意，要考虑自身的优
势，与自身的能力相适应.
题型二 课题研究的过程——开题
【例2】　在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快地疏散撤
离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题.根据学校情况，
选一角度并提出问题，完成开题报告.
要解决 的问题 在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间
选题的原因及意义 建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议
建模问题的可行性分析 教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数
解：
基本模
型、解
决问题
的大体
思路和
步骤
预期结果和结
果呈现方式 建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告
参考文献 《数学模型与数学建模》北京师范大学数学科学学院
其他说明
通性通法
　　课题研究的第二步是开题，要完成开题报告，举行开题报告会，
通常开题报告由以下几部分组成：
（1）课题名称；（2）课题研究的目的、意义；（3）课题研究的目
标；（4）课题研究的基本内容；（5）课题研究的方法；（6）
课题研究的步骤和计划；（7）课题预期的成果与表现形式；
（8）课题研究的组织机构和人员分工.
题型三 课题研究的主要过程——做题
【例3】　在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实
施，其中建立恰当的数学模型是特别要关注的.下面是“包扎管道”
问题中的两个数学模型，比较它们的优劣.
用 W 表示带子的宽度， C 表示圆管的周长，θ表示带子的倾斜方向与
管道母线垂线的方向之间的夹角.设想将带子缠绕在管道上使它包住
管道且带子间互不重叠，并且从带子的一角的 A 点沿圆管母线的方向
画一条辅助线 l ，再在辅助线与带子边缘的交点处画出圆管的横截面
的切口线 c .将画有辅助线的带子截下一段展开，平放在平面上（如图
所示）.
模型一　注意只有在带子覆盖圆管且又互不重叠的情况下母线和截口
线将相交于带子的边缘.这时 A ， B 和 D ， E 分别表示管道上的同一个
点.直线 AB 和 DE 是圆管的截口，而 BD 和 EF 是圆管的母线，且有 AO
⊥ OB . 因此容易得出带子的宽度 W 、圆管截面周长 C 和带子的倾斜
角度θ这三个变量之间的关系式为 W ＝ C sin θ.
模型二　考虑组建线段 OB 的模型，因为由前面的分析我们知道，当
用带子包住圆管且又互不重叠时的充分必要条件是直线 AB 与端口的
截面周长 C 重合， A 点和 B 点在管道上要重合为一点.而线段 AB 的长
度就可以用来确定点 B 的准确的位置.这样一来，使用｜ OB ｜＝
作为管道包扎的数学模型.
解：这就是我们所需要的管道包扎的两个数学模型.对于熟悉数学的
人来说前者组建这个模型是一个正常的思维过程，所得到的模型也是
完美的，无懈可击的.但是认真思考一下，我们很容易发现这个模型
并不实用.因为它牵涉到了角度的计算和测量，这在实际操作当中是
不太容易实现的.
要使得模型在实际操作过程中更加实用就需要尽量避免涉及角度的计
算和测量.为此我们从另外一个角度出发，考虑组建的线段 OB 的模型
较之前者就有更强的可操作性.
通性通法
　　建立同一问题的数学模型时，由于决策变量设置方法的多样性，
数学模型的形式也就不唯一，即使决策变量是一致的，但要实现的目
标可以通过不同形式达到而使数学模型不同.建模过程是一项创造性
的工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有
多种不同的方案.建模是一个渐进过程，从一个初始模型往往需要不
断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型.
题型四 课题研究的主要过程——结题
【例4】　我们目前使用的键盘都是QWERTY键盘布局，以键盘第一
排字母的左边6个字母而得名.QWERTY键盘在1868年由Christopher
sholes提出，旨在解决打字速度过快导致的某些键组合卡键的问题.因
此，打字速度最大化并不是QWERTY键盘的主要目的.QWERTY键盘
满足了当时的需求，得到了大范围的推广.
随着技术的发展，键盘早已不存在之前提到的卡键问题.于是，1936
年美国人August Dvorak设计出了另外一种键盘，将常用字母都归在一
起，以期提高打字速度，这种键盘被称作Dvorak键盘.
针对以上情况，提出问题.完成一个数学建模活动，并以小论文形式
写出结题报告.
解：①问题的提出：电脑键盘优化
现如今，电脑的使用不论是从地域范围还是使用人数的多少来说都位
居前列，然而现有的键盘字母排列是根据英文单词的输入来排列的，
所以我们要研究出一种便于汉字输入的键盘字母排列方案，使汉字的
输入更加快捷.
②数据采集及数据分析
我们将3 500个常用汉字的拼音中字母的使用次数统计出来，比较得出
每个字母使用频率的高低，得出新的方案后，通过比较，用本组方案
和常用键盘输入同一段文字时手的位移来证明本组方案的合理性，最
后得出结论.
③数学模型
a.字母的使用次数
每个汉字输入时用到的拼音中的每个字母记为输入一次.设某字母在
所有 a 开头的汉字中需要输入 x1次，在 b 开头的汉字中需要输入 x2
次，在 c 开头的汉字中需要输入 x3次，依此类推，到其使用次数（ y ）
为 y ＝ x1＋ x2＋ x3＋…＋ x26.
b.手的位移
设 Q 为手的位移，字母的使用次数为 x ，手指的位移为 T . 则有函数关
系如下：
T ＝
Q ＝2 x ＋ x .
设法找到使得平均移动次数较小的字母排列（过程略）.
④结论：一个新键盘排列图：
K P Q D Y E H Z T F [ ]
R W B I A U N G O ； ' Ente
r
V M X C J S L ， . / Shift
⑤误差分析
在证明时，我们默认两键盘的字母排列都如表格一样整齐，所以比较
起来没有误差.但是每个人在输入时手指的摆放不一定像我们规定的
那样，所以会有一定的误差.
⑥问题拓展
现有的输入法有很多，其中五笔输入法中字母的使用频率与我们研究
的输入法有较大差异.在今后的研究过程中，我们还可以根据五笔输
入法进行新的字母优化排列，然后可以将两种方案综合考虑.
⑦合作经历
电脑键盘优化排列是我们组经过多次讨论最终决定的研究课题.在一
次又一次的讨论过程中，我们渐渐有了默契；在完善我们的论文的过
程中，我们学会了严谨；当然，还有珍贵的友谊……
通性通法
　　一项研究完成之后，要写出报告，举行答辩会.结题报告主要包
括以下几部分：题目，问题的由来，课题的目的、意义，人员分工，
方法，步骤，研究过程，研究结果，结论，体会，参考文献等部分.
谢 谢 观 看！

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