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模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“ x∈R，x＞sin x”的否定是（　　）
A. x∈R，x≤sin x　　B. x∈R，x≥sin x　　C. x∈R，x＞sin x　　D. x∈R，x≤sin x
2.已知A＝{（x，y）｜4x＋y＝6}，B＝{（x，y）｜3x＋2y＝7}，则A∩B＝（　　）
A.{1，2}　　B.{（1，2）}　　C.（1，2）　　D.{（2，1）}
3.有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（　　）
A.两组样本数据的样本平均数相同　　B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差不相同　　D.两组样本数据的样本极差相同
4.已知函数f（x）＝若f（a）＝0，则a＝（　　）
A.－1　　B.1　　C.－1或1　　D.0
5.定义在R上的函数f（x）在（－∞，2）上单调递增，且f（x＋2）为偶函数，则（　　）
A.f（－1）＜f（3）　　B.f（0）＞f（3）　　C.f（－1）＝f（3）　　D.f（0）＝f（3）
6.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则这2类元素相生的概率为（　　）
A.　　 B.
C.　 　D.
7.当x∈[－2，2）时，y＝3－x－1的值域是（　　）
A.　　B.　　C.　　D.
8.已知f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，它们的部分图象如图所示，则f（x）·g（x）的图象大致是（　　）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.小赵于2023年10月1日投资了一款理财产品，2023年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.10月6日与10月9日的收益相等
B.10月2日至10月5日的每日收益递增
C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元
D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多
10.下列命题正确的是（　　）
A.0＜a＜b，m＞0，则＜　　B.9x2－6x＋1＞0的解集是全体实数R
C.x＞0，则2－3x－的最大值是2－4　　D.2＜a＜3，－2＜b＜－1，则0＜2a＋b＜4
11.已知函数f（x）＝若存在实数a，b，c，d满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中a＜b＜c＜d，以下说法正确的是（　　）
A.＋∈　　B.ab＝1　　C.cd∈（21，24）　　D.c＋d＝5
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为　　　　.
13.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t（单位时间） 0 2 4 6 8 10
A（t） 320 226 160 115 80 57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为　　　个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A（t）＝　　　　.
14.若函数f（x）＝ax2－2x－｜x2－ax＋1｜有且仅有两个零点，则a的取值范围为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝－xm，且f（4）＝－.
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，＋∞）上的单调性，并给予证明.
16.（本小题满分15分）某城市为鼓励人们乘坐地铁绿色出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表.现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.
乘坐站数x 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9
票价（元） 1 2 3
（1）若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？
（2）若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率.
17.（本小题满分15分）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为P（t）＝P0e－kt（P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中P0为t＝0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数k的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11）
18.（本小题满分17分）近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作由点到面、逐步启动、成效初显，46个重点城市先行先试，推进垃圾分类取得积极进展.某中学举办了一场关于垃圾分类知识的竞赛，甲、乙、丙三人同时回答一道有关垃圾分类知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝loga（2x＋1），g（x）＝loga（1－2x），其中a＞0且a≠1，F（x）＝f（x）－g（x）.
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）判断函数F（x）的奇偶性；
（3）求关于x的不等式F（x）＞0的解集.
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1.D　 的否定是 ，x＞sin x的否定是x≤sin x，故“ x∈R，x＞sin x”的否定是“ x∈R，x≤sin x”，故选D.
2.B　由解得∴A∩B＝{（1，2）}.故选B.
3.D　对于A，第一组数据的平均数为，则第二组数据的平均数为＋c，平均数不同；对于B，第一组数据的中位数是x，则第二组数据的中位数是x＋c，中位数不同；对于C，第一组数据的方差为s2，则第二组数据的方差也是s2，方差相同，所以标准差也相同；对于D，第一组数据的样本极差为xmax－xmin，第二组数据的样本极差是（xmax＋c）－（xmin＋c）＝xmax－xmin，极差相同.故选D.
4.A　由f（x）＝当a≤0时，a2－1＝0，解得a＝－1或a＝1（舍去）；当a＞0时，＋1＝0，解得a＝－1（舍去），综上a＝－1，故选A.
5.A　因为f（x＋2）为偶函数，所以其图象关于y轴对称，由于f（x＋2）的图象可由f（x）的图象向左平移2个单位长度得到，故f（x）的图象关于直线x＝2对称.因为函数f（x）在（－∞，2）上单调递增，所以在（2，＋∞）上单调递减，所以f（－1）＝f（5）＜f（4）＝f（0）＜f（3）.
6.A　从金、木、水、火、土中任取两类，共有10种等可能结果：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土，共5种，所以所求概率为＝.
7.A　∵y＝3－x－1＝－1，x∈[－2，2）是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.
8.C　由题意，得f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）.令F（x）＝f（x）g（x），则F（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x）＝－F（x），所以函数F（x）＝f（x）g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除A、B.又由函数f（x），g（x）的图象可知，当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞0，所以F（x）＞0，可排除D，故选C.
9.ABC　由题中折线图可知，10月6日与10月9日的收益均为160元，故A正确；由题中折线图可以看出，10月2日至10月5日的每日收益递增，故B正确；10月1日至10月14日每日收益的中位数为＝103.5（元），故C正确；10月8日比前一日收益增加217－40＝177（元），而10月5日比前一日收益增加220－143＝77（元），故D错误.故选A、B、C.
10.AC　∵－＝＝，又0＜a＜b，m＞0，∴－＝＜0，即＜，故A选项正确；9x2－6x＋1＝（3x－1）2＞0，解得x≠，故B选项错误；∵x＞0，∴2－3x－＝－＋2≤－2＋2＝－4＋2，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，∴2－3x－的最大值为2－4，C选项正确；∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6，又－2＜b＜－1，∴2＜2a＋b＜5，D选项错误.故选A、C.
11.ABC　作出函数f（x）的图象，如图所示.
由图可知：＜a＜1，1＜b＜3，∵log3b＝－log3a，∴log3a＋log3b＝0，∴log3（ab）＝0，∴ab＝1；又∵a＞0，b＞0，且a－1＝b，∴b＝，设y＝＋＝b＋，b∈（1，3），根据对勾函数的性质，y在（1，3）上单调递增，∴2＜y＜，即2＜＋＜；由x2－x＋8＝1得x2－10x＋21＝0，得x＝7或x＝3，∴c∈（3，4），d∈（6，7），∵c，d关于x＝5对称，∴＝5，即c＋d＝10，∴cd＝c（10－c）＝－c2＋10c＝－（c－5）2＋25，∵c∈（3，4），∴当c＝3时，cd＝3×7＝21；当c＝4时，cd＝4×6＝24，∴cd∈（21，24）.故选A、B、C.
12.　解析：掷一个骰子的试验，基本事件总数n＝6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生包含的基本事件有：出现2点，4点，5点，6点，共4个，∴一次试验中，事件A＋发生的概率为＝.
13.4　320·2（t≥0）　解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为＝320·（t≥0）.
16.（－∞，0）∪（0，1）∪（1，＋∞）　解析：由题意知f（x）＝ax2－2x－｜x2－ax＋1｜有且仅有两个零点.当a＝0时，f（x）＝－2x－｜x2＋1｜＝－2x－x2－1＝－（x＋1）2≤0，不符合题意.当a≠0时，若a2－4≤0，即a∈[－2，0）∪（0，2]时，f（x）＝ax2－2x－x2＋ax－1＝（a－1）x2＋（a－2）x－1.当a＝1时，f（x）＝－x－1，不符合题意.当a≠1时，若f（x）有且仅有两个零点，则Δ＝（a－2）2＋4（a－1）＝a2＞0，得a∈[－2，0）∪（0，1）∪（1，2]，符合题意.当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，f（x）＝0等价于ax2－2x＝｜x2－ax＋1｜.当a＞2时，函数y＝ax2－2x的图象开口向上，对称轴为直线x＝，且∈（0，）；函数y＝x2－ax＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝，且＞1，当x＝时，y＝－＋1＜0.作出函数y＝ax2－2x与y＝｜x2－ax＋1｜的大致图象，如图①，
函数图象恰有两个交点，符合题意.当a＜－2时，函数y＝ax2－2x的图象开口向下，对称轴为直线x＝，且∈（－，0）；函数y＝x2－ax＋1的图象开口向上，对称轴为直线
x＝，且＜－1，当x＝时，y＝－＋1＜0.
作出函数y＝ax2－2x与y＝｜x2－ax＋1｜的大致图象，如图②，函数图象恰有两个交点，符合题意.综上可得，a∈（－∞，0）∪（0，1）∪（1，＋∞）.
15.解：（1）∵f（4）＝－，∴－4m＝－，∴m＝1.
（2）f（x）＝－x在（0，＋∞）上单调递减.
证明如下：
任取0＜x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝（x2－x1）·.
∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，＋1＞0，
∴f（x1）－f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），
即f（x）＝－x在（0，＋∞）上单调递减.
16.解：（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A1，B1，C1，
甲、乙两人共有（A1，A1），（A1，B1），（A1，C1），（B1，A1），（B1，B1），（B1，C1），（C1，A1），（C1，B1），（C1，C1）9种下车方案.
（2）设9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况.
由（1）可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案.
而甲比乙先到达目的地的方案有（A1，A3），（A1，B3），（A1，C3），（B1，A3），（B1，B3），（B1，C3），（C1，A3），（C1，B3），（C1，C3），（A2，B2），（A2，C2），（B2，C2），共12种，
故所求概率为＝.
所以甲比乙先到达目的地的概率为.
17.解：（1）由已知得，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，
解得k＝－ln 0.9（或k≈0.022）.
（2）由（1）知P＝P0，当P＝40%P0时，
有0.4P0＝P0，
解得t＝≈＝≈42.
故污染物减少到40%至少需要42 h.
18.解：（1）设甲、乙、丙三人独自答对这道题分别为事件A，B，C，乙答对这道题的概率P（B）＝x，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件.
由题意，得P（）＝P（）P（）＝×（1－x）＝，解得x＝，
所以乙答对这道题的概率P（B）＝.
（2）设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P（C）＝y.
由（1），得P（BC）＝P（B）P（C）＝×y＝，
解得y＝.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率P（ ）＝P（）P（）·P（）＝××（1－）＝.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以P（M）＝1－＝.
19.解：（1）F（x）＝f（x）－g（x）＝loga（2x＋1）－loga（1－2x）.
由题意，得解得－＜x＜，
∴函数F（x）的定义域为.
（2）∵F（x）的定义域关于原点对称，
且F（－x）＝f（－x）－g（－x）＝loga（－2x＋1）－loga（1＋2x）＝－F（x），∴F（x）为奇函数.
（3）F（x）＞0，即loga（2x＋1）－loga（1－2x）＞0，
即loga（2x＋1）＞loga（1－2x）.
若0＜a＜1，则0＜2x＋1＜1－2x，解得－＜x＜0；
若a＞1，则2x＋1＞1－2x＞0，解得0＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，原不等式的解集为；
当a＞1时，原不等式的解集为.
3 / 3(共44张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“ x ∈R， x ＞ sin x ”的否定是（　　）
A. x ∈R， x ≤ sin x B. x ∈R， x ≥ sin x
C. x ∈R， x ＞ sin x D. x ∈R， x ≤ sin x
解析：　 的否定是 ， x ＞ sin x 的否定是 x ≤ sin x ，故“ x
∈R， x ＞ sin x ”的否定是“ x ∈R， x ≤ sin x ”，故选D.
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2. 已知 A ＝{（ x ， y ）｜4 x ＋ y ＝6}， B ＝{（ x ， y ）｜3 x ＋2 y ＝
7}，则 A ∩ B ＝（　　）
A. {1，2} B. {（1，2）}
C. （1，2） D. {（2，1）}
解析：　由解得∴ A ∩ B ＝{（1，2）}.
故选B.
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3. 有一组样本数据 x1， x2，…， xn ，由这组数据得到新样本数据 y1，
y2，…， yn ，其中 yi ＝ xi ＋ c （ i ＝1，2，…， n ）， c 为非零常
数，则（　　）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差不相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
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解析：　对于A，第一组数据的平均数为 ，则第二组数据的平
均数为 ＋ c ，平均数不同；对于B，第一组数据的中位数是 x ，则
第二组数据的中位数是 x ＋ c ，中位数不同；对于C，第一组数据
的方差为 s2，则第二组数据的方差也是 s2，方差相同，所以标准差
也相同；对于D，第一组数据的样本极差为 xmax－ xmin，第二组数据
的样本极差是（ xmax＋ c ）－（ xmin＋ c ）＝ xmax－ xmin，极差相同.
故选D.
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4. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＝0，则 a ＝（　　）
A. －1 B. 1
C. －1或1 D. 0
解析：　由 f （ x ）＝当 a ≤0时， a2－1＝0，解
得 a ＝－1或 a ＝1（舍去）；当 a ＞0时， ＋1＝0，解得 a ＝－1
（舍去），综上 a ＝－1，故选A.
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5. 定义在R上的函数 f （ x ）在（－∞，2）上单调递增，且 f （ x ＋
2）为偶函数，则（　　）
A. f （－1）＜ f （3） B. f （0）＞ f （3）
C. f （－1）＝ f （3） D. f （0）＝ f （3）
解析：　因为 f （ x ＋2）为偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，
由于 f （ x ＋2）的图象可由 f （ x ）的图象向左平移2个单位长度得
到，故 f （ x ）的图象关于直线 x ＝2对称.因为函数 f （ x ）在（－
∞，2）上单调递增，所以在（2，＋∞）上单调递减，所以 f （－
1）＝ f （5）＜ f （4）＝ f （0）＜ f （3）.
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6. 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部
分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，
如图是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5
类元素中任选2类元素，则这2类元素相生的概率为（　　）
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解析：　从金、木、水、火、土中任取两类，共有10种等可能结
果：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、
火土，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土，共
5种，所以所求概率为 ＝ .
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7. 当 x ∈[－2，2）时， y ＝3－ x －1的值域是（　　）
A.
C. 　 D.
解析：　∵ y ＝3－ x －1＝ －1， x ∈[－2，2）是减函数，∴3
－2－1＜ y ≤32－1，即－ ＜ y ≤8.
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8. 已知 f （ x ）是R上的偶函数， g （ x ）是R上的奇函数，它们的部
分图象如图所示，则 f （ x ）· g （ x ）的图象大致是（　　）
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解析：　由题意，得 f （－ x ）＝ f （ x ）， g （－ x ）＝－ g
（ x ）.令 F （ x ）＝ f （ x ） g （ x ），则 F （－ x ）＝ f （－ x ） g
（－ x ）＝－ f （ x ） g （ x ）＝－ F （ x ），所以函数 F （ x ）＝ f
（ x ） g （ x ）为奇函数，其图象关于原点对称，排除A、B. 又由
函数 f （ x ）， g （ x ）的图象可知，当 x ＞0时， f （ x ）＞0， g
（ x ）＞0，所以 F （ x ）＞0，可排除D，故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 小赵于2023年10月1日投资了一款理财产品，2023年10月1日至14日
每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（　　）
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A. 10月6日与10月9日的收益相等
B. 10月2日至10月5日的每日收益递增
C. 10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元
D. 与前一日相比，10月5日的收益增加最多
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解析：　由题中折线图可知，10月6日与10月9日的收益均为
160元，故A正确；由题中折线图可以看出，10月2日至10月5日的
每日收益递增，故B正确；10月1日至10月14日每日收益的中位数
为 ＝103.5（元），故C正确；10月8日比前一日收益增加217
－40＝177（元），而10月5日比前一日收益增加220－143＝77
（元），故D错误.故选A、B、C.
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10. 下列命题正确的是（　　）
A. 0＜ a ＜ b ， m ＞0，则 ＜
B. 9 x2－6 x ＋1＞0的解集是全体实数R
C. x ＞0，则2－3 x － 的最大值是2－4
D. 2＜ a ＜3，－2＜ b ＜－1，则0＜2 a ＋ b ＜4
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解析：　∵ － ＝ ＝ ，
又0＜ a ＜ b ， m ＞0，∴ － ＝ ＜0，即 ＜
，故A选项正确；9 x2－6 x ＋1＝（3 x －1）2＞0，解得 x ≠
，故B选项错误；
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∵ x ＞0，∴2－3 x － ＝－ ＋2≤－2 ＋2＝－4 ＋2，
当且仅当3 x ＝ ，即 x ＝ 时等号成立，∴2－3 x － 的最大值为2－
4 ，C选项正确；∵2＜ a ＜3，∴4＜2 a ＜6，又－2＜ b ＜－1，∴2
＜2 a ＋ b ＜5，D选项错误.故选A、C.
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11. 已知函数 f （ x ）＝若存在实数 a ， b ，
c ， d 满足 f （ a ）＝ f （ b ）＝ f （ c ）＝ f （ d ），其中 a ＜ b ＜ c
＜ d ，以下说法正确的是（　　）
A. ＋ ∈ B. ab ＝1
C. cd ∈（21，24） D. c ＋ d ＝5
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解析：　作出函数 f （ x ）的图象，如图所示.
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由图可知： ＜ a ＜1，1＜ b ＜3，∵log3 b ＝－log3 a ，∴log3 a ＋
log3 b ＝0，∴log3（ ab ）＝0，∴ ab ＝1；又∵ a ＞0， b ＞0，且 a
－1＝ b ，∴ b ＝ ，设 y ＝ ＋ ＝ b ＋ ， b ∈（1，3），根据对勾
函数的性质， y 在（1，3）上单调递增，∴2＜ y ＜ ，即2＜ ＋
＜ ；
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由 x2－ x ＋8＝1得 x2－10 x ＋21＝0，得 x ＝7或 x ＝3，∴ c ∈（3，
4）， d ∈（6，7），∵ c ， d 关于 x ＝5对称，∴ ＝5，即 c ＋ d ＝
10，∴ cd ＝ c （10－ c ）＝－ c2＋10 c ＝－（ c －5）2＋25，∵ c ∈（3，
4），∴当 c ＝3时， cd ＝3×7＝21；当 c ＝4时， cd ＝4×6＝24，∴
cd ∈（21，24）.故选A、B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 掷一个骰子的试验，事件 A 表示“小于5的偶数点出现”，事件 B
表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件 A ＋ 发生的概
率为 .
　
解析：掷一个骰子的试验，基本事件总数 n ＝6，事件 A 表示“小
于5的偶数点出现”，事件 B 表示“小于4的点数出现”，则一次
试验中，事件 A ＋ 发生包含的基本事件有：出现2点，4点，5
点，6点，共4个，∴一次试验中，事件 A ＋ 发生的概率为 ＝ .
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13. 放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常
把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，
记为 .现测得某种放射性元素的剩余质量 A 随时间 t 变化的6次
数据如下：
t （单位
时间） 0 2 4 6 8 10
A （ t ） 320 226 160 115 80 57
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从以上记录可知这种元素的半衰期约为 个单位时间，剩余质量
随时间变化的衰变公式为 A （ t ）＝ .
解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为
A0＝320，则经过时间 t 的剩余质量为 A （ t ） ＝
320· （ t ≥0）.
4　
320·2 （ t ≥0）　
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14. 若函数 f （ x ）＝ ax2－2 x －｜ x2－ ax ＋1｜有且仅有两个零点，则
a 的取值范围为 .
解析：由题意知 f （ x ）＝ ax2－2 x －｜ x2－ ax ＋1｜有且仅有两个零点.当 a ＝0时， f （ x ）＝－2 x －｜ x2＋1｜＝－2 x － x2－1＝－（ x ＋1）2≤0，不符合题意.当 a ≠0时，若 a2－
4≤0，即 a ∈[－2，0）∪（0，2]时， f （ x ）＝ ax2－2 x － x2＋ ax －1＝（ a －1） x2＋（ a －2） x －1.当 a ＝1时， f （ x ）＝－ x －1，不符合题意.当 a ≠1时，若 f （ x ）有且仅有两个零点，则Δ＝（ a －2）2＋4（ a －1）＝ a2＞0，得 a ∈[－2，0）∪（0，1）∪（1，2]，符合题意.
（－∞，0）∪（0，1）∪（1，＋∞）　
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当 a2－4＞0，即 a ＞2或 a ＜－2时， f （ x ）＝0等价于 ax2－2 x ＝｜ x2－ ax ＋1｜.当 a ＞2时，函数 y ＝ ax2－2 x 的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝ ，且 ∈（0， ）；函数 y ＝ x2－ ax ＋1的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝ ，且 ＞1，当 x ＝ 时， y ＝－ ＋1＜0.作出函数 y ＝ ax2－2 x 与 y ＝｜ x2－ ax ＋1｜的大致图象，如图①，
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函数图象恰有两个交点，符合题意.当 a ＜－2时，
函数 y ＝ ax2－2 x 的图象开口向下，对称轴为直线 x
＝ ，且 ∈（－ ，0）；函数 y ＝ x2－ ax ＋1的图
象开口向上，对称轴为直线 x ＝ ，且 ＜－1，当 x
＝ 时，
y ＝－ ＋1＜0.作出函数 y ＝ ax2－2 x 与 y ＝｜ x2－ ax ＋1｜的大
致图象，如图②，函数图象恰有两个交点，符合题意.综上可得，
a ∈（－∞，0）∪（0，1）∪（1，＋∞）.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ － xm ，且 f （4）＝－ .
（1）求 m 的值；
解：∵ f （4）＝－ ，∴ －4 m ＝－ ，∴ m ＝1.
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（2）判断 f （ x ）在（0，＋∞）上的单调性，并给予证明.
解：f （ x ）＝ － x 在（0，＋∞）上单调递减.
证明如下：
任取0＜ x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝（ x2－ x1）
.
∵0＜ x1＜ x2，∴ x2－ x1＞0， ＋1＞0，
∴ f （ x1）－ f （ x2）＞0，∴ f （ x1）＞ f （ x2），
即 f （ x ）＝ － x 在（0，＋∞）上单调递减.
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16. （本小题满分15分）某城市为鼓励人们乘坐地铁绿色出行，地铁
公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9
站的地铁票价如下表.现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆
地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车
的可能性是相同的.
乘坐站数 x 0＜ x ≤3 3＜ x ≤6 6＜ x ≤9
票价（元） 1 2 3
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（1）若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？
解：由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设
为 A1， B1， C1，
甲、乙两人共有（ A1， A1），（ A1， B1），（ A1， C1），
（ B1， A1），（ B1， B1），（ B1， C1），（ C1， A1），
（ C1， B1），（ C1， C1）9种下车方案.
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（2）若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率.
解：设9站分别为 A1， B1， C1， A2， B2， C2， A3，
B3， C3，因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3
元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况.
由（1）可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费
4元共有27种方案.
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而甲比乙先到达目的地的方案有（ A1， A3），（ A1，
B3），（ A1， C3），（ B1， A3），（ B1， B3），（ B1，
C3），（ C1， A3），（ C1， B3），（ C1， C3），（ A2，
B2），（ A2， C2），（ B2， C2），共12种，
故所求概率为 ＝ .
所以甲比乙先到达目的地的概率为 .
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17. （本小题满分15分）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给
人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等
污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为
此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气
经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污
染物数量 P （单位：mg/L）与过滤时间 t （单位：h）间的关系为
P （ t ）＝ P0e－ kt （ P0， k 均为非零常数，e为自然对数的底数），
其中 P0为 t ＝0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污
染物.
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（1）求常数 k 的值；
解：由已知得，当 t ＝0时， P ＝ P0；
当 t ＝5时， P ＝90% P0.
于是有90% P0＝ P0e－5 k ，
解得 k ＝－ ln 0.9（或 k ≈0.022）.
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（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1 h，
参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－
0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11）
解：由（1）知 P ＝ P0 ，当 P ＝40% P0时，
有0.4 P0＝ P0 ，
解得 t ＝ ≈ ＝ ≈42.
故污染物减少到40%至少需要42 h.
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18. （本小题满分17分）近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国
垃圾分类工作由点到面、逐步启动、成效初显，46个重点城市先
行先试，推进垃圾分类取得积极进展.某中学举办了一场关于垃圾
分类知识的竞赛，甲、乙、丙三人同时回答一道有关垃圾分类知
识的问题，已知甲答对这道题的概率是 ，甲、乙两人都回答错
误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 .设每人回答问
题正确与否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
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解：设甲、乙、丙三人独自答对这道题分别为事件
A ， B ， C ，乙答对这道题的概率 P （ B ）＝ x ，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此 A ， B ， C 是相互独立事件.
由题意，得 P （ ）＝ P （ ） P （ ）＝ ×（1－ x ）＝ ，解得 x ＝ ，
所以乙答对这道题的概率 P （ B ）＝ .
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（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道
题”为事件 M ，丙答对这道题的概率 P （ C ）＝ y .
由（1），得 P （ BC ）＝ P （ B ） P （ C ）＝ × y ＝ ，
解得 y ＝ .
甲、乙、丙三人都回答错误的概率 P （ ）＝ P （ ） P
（ ）· P （ ）＝ × ×（1－ ）＝ .
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、
丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以 P （ M ）＝1－ ＝ .
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19. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝log a （2 x ＋1）， g （ x ）
＝log a （1－2 x ），其中 a ＞0且 a ≠1， F （ x ）＝ f （ x ）－ g
（ x ）.
（1）求函数 F （ x ）的定义域；
解： F （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）＝log a （2 x ＋1）－
log a （1－2 x ）.
由题意，得解得－ ＜ x ＜ ，
∴函数 F （ x ）的定义域为 .
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（2）判断函数 F （ x ）的奇偶性；
解：∵ F （ x ）的定义域关于原点对称，
且 F （－ x ）＝ f （－ x ）－ g （－ x ）＝log a （－2 x ＋1）－
log a （1＋2 x ）＝－ F （ x ），
∴ F （ x ）为奇函数.
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（3）求关于 x 的不等式 F （ x ）＞0的解集.
解： F （ x ）＞0，即log a （2 x ＋1）－log a （1－2 x ）＞0，
即log a （2 x ＋1）＞log a （1－2 x ）.
若0＜ a ＜1，则0＜2 x ＋1＜1－2 x ，解得－ ＜ x ＜0；
若 a ＞1，则2 x ＋1＞1－2 x ＞0，解得0＜ x ＜ .
综上，当0＜ a ＜1时，原不等式的解集为（－ ，0）；
当 a ＞1时，原不等式的解集为 .
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