资源简介

　 第七章　概率
§1　随机现象与随机事件
1.1　随机现象 1.2　样本空间 1.3　随机事件
1.以下现象是随机现象的是（　　）
A.标准大气压下，水加热到100 ℃，会沸腾
B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a×b
C.走到十字路口，遇到红灯
D.三角形内角和为180°
2.在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机现象的是（　　）
A.3件都是正品　　　　 B.至少有1件次品
C.3件都是次品　 D.至多有1件正品
3.抛掷2枚质地均匀的5角、1元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　　）
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”
4.10件产品中有8件正品，2件次品，从中随机地取出3件，则下列事件中是必然事件的为（　　）
A.3件都是正品　 B.至少有一件次品
C.3件都是次品　 D.至少有一件正品
5.已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有（　　）
A.7个　 B.8个
C.9个　 D.10个
6.（多选）下列事件是随机事件的是（　　）
A.当x＞10时，lg x＞1
B.x2＋x＝0在R上有解
C.关于x的方程x2＋a＝0（a∈R）在实数集内有解
D.当a2＞b2时，a＞b
7.用红、黄、蓝三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则样本空间包含的样本点的个数为　　　　.
8.从100个同类产品中（其中2个次品）任取3个.
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少有一个次品；⑥至少有一个正品.
其中必然事件是　　 　，不可能事件是　　 　，随机事件是　　　　.
9.从2，3，8，9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用（a，b）表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”可表示为　　　　　.
10.一套分上、中、下三册的选集，随机地放到书架上.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验样本点的个数；
（3）写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的样本点.
11.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的样本点个数记为p1，点数之和大于5的样本点个数记为p2，点数之和为偶数的样本点个数记为p3，则（　　）
A.p1＜p2＜p3　 B.p2＜p1＜p3
C.p1＜p3＜p2　 D.p3＜p1＜p2
12.（多选）已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题中正确的是（　　）
A.若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B.若任取x A，则x∈B是不可能事件
C.若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D.若任取x B，则x A是必然事件
13.写出下列试验的样本空间：
（1）甲、乙两队进行一场足球赛，甲队比赛中可能出现的结果（包括平局）　　　　；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数　　　　.
14.从1，2，3，5中任取两个不同的数字作为一次函数y＝－x中的A，B.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）写出“－大于－1”这一事件所包含的样本点.
15.某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数（如图，比如玩家一开始掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位置），若踩到炸弹则返回起点重新开始，若到达终点则游戏结束.现在已知小明掷完三次骰子后游戏恰好结束，则所有不同的情况种数为　　　　.
16.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形.
土口木
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜.
（1）写出该试验的样本空间Ω；
（2）设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A.
1.1　随机现象1.2　样本空间1.3　随机事件
1.C　在A中，“标准大气压下，水加热到100 ℃，会沸腾”是确定性现象，故A错误；在B中，“长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a×b”是确定性现象，故B错误；在C中，“走到十字路口，遇到红灯”是随机现象，故C正确；在D中，“三角形内角和为180°”是确定性现象，故D错误.
2.C　25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机现象.
3.A　事件“至少一枚硬币正面向上”包括“5角正面向上，1元正面向上”“5角正面向上，1元正面向下”“5角正面向下，1元正面向上”3个样本点.
4.D　因为次品共2件，而要取出3件产品，所以取出的3件中至少有1件为正品，故选D.
5.C　“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，因A中有9个非零数，故选C.
6.CD　由对数函数的单调性可知，当x＞10时，lg x＞1，所以A是必然事件；因为x2＋x＝0的解为x＝0或x＝－1，所以B是必然事件；当a＞0时，关于x的方程x2＋a＝0在实数集内无解，当a≤0时，关于x的方程x2＋a＝0在实数集内有解，所以C为随机事件；当a2＞b2时，a＞b或a＜b均有可能发生，所以D为随机事件.
7.27　解析：所有可能出现的结果如图所示.
易知样本空间包含27个样本点.
8.⑥　④　①②③⑤　解析：从100个产品（其中2个次品）中取3个可能结果是“三个全是正品”“两个正品一个次品”“一个正品两个次品”.
9.{（2，8），（3，9）}　解析：只有log28＝3，log39＝2为整数.
10.解：（1）将书按从左到右的顺序摆放，则可得样本空间Ω＝{（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中）}.
（2）这个试验的样本点共有6个.
（3）“上册在三册中的最左边”这一事件包含2个样本点：（上，中，下），（上，下，中）.
11.C　列表如下，则p1＝10；p2＝36－10＝26；p3＝18，故选C.
　　　第二枚掷　 　　　　出的点数 第一枚掷　 出的点数　　 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
12.ACD　∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此A、C、D正确，B错误.
13.（1）Ω＝{胜，平，负}　（2）Ω＝{0，1，2，3，4}
解析：（1）对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果.
14.解：（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数字可构成有序实数对（A，B），其中A是第一次取到的数字，B是第二次取到的数字，则这个试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，2），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3）}.
（2）若－＞－1，则＜1.因为A，B均为正数，所以A＜B.因此，“－大于－1”这一事件包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，5），（2，3），（2，5），（3，5）.
15.21　解析：设小明掷三次骰子的点数为（x，y，z），x，y，z∈{1，2，3，4，5，6}，则符合题意的情况有（3，4，5），（3，5，4），（3，6，3），（1，3，5），（1，4，4），（1，5，3），（1，6，2），（2，2，5），（2，3，4），（2，4，3），（2，5，2），（2，6，1），（4，1，4），（4，2，3），（4，3，2），（4，4，1），（5，1，3），（5，2，2），（5，3，1），（6，1，2），（6，2，1），共21种.
16.解：（1）每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：
　　 　第二张卡片 第一张卡片 土 口 木
土 （土，土） （土，口） （土，木）
口 （口，土） （口，口） （口，木）
木 （木，土） （木，口） （木，木）
∴Ω＝{（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口），（木，木）}.
（2）能组成上下结构的汉字的样本为（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）.
∴A＝{（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）}.
2 / 3§1　随机现象与随机事件
1.1　随机现象 1.2　样本空间 1.3　随机事件
新课程标准解读 核心素养
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象、直观想象、逻辑推理
　　体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球，观察该球的号码.
【问题】　（1）这个试验的结果共有多少种情况？如何表示这些结果？
（2）如果改为抽取时先抽出一球，放回后再抽出一球，观察该球的号码，那么这个试验的结果共有多少种情况？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　确定性现象和随机现象
定义 特点
确定性 现象 在一定条件下　　　　　的现象，称为确定性现象 结果是　　　　的
随机 现象 在一定条件下，进行试验或观察会出现　　　的结果，而且每次试验之前都　　　　预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象 （1）结果至少有　　种； （2）事先并不知道会出现哪一种结果
知识点二　样本空间
定义 表示符号
样本空间 将试验E的　　　　　　组成的集合称为试验E的样本空间 Ω
样本点 样本空间Ω的元素，即试验E　　　　　　　　称为试验E的样本点 ω
有限样 本空间 如果样本空间Ω的样本点的个数是　　的，那么称样本空间Ω为有限样本空间 Ω
【想一想】
1.如何确定试验的样本空间？
2.观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
知识点三　随机事件
1.随机事件
一般地，把试验E的样本空间Ω的　　　称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示.
2.必然事件
样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含　　　的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都　　　　　，因此称Ω为必然事件.
3.不可能事件
空集 也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都　　　　　　，故称 为不可能事件.
提醒　事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，不同的基本事件不可能同时发生.而事件可以由若干个基本事件组成.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能结果是不知道的.（　　）
（2）连续抛掷2次硬币，该试验的样本空间Ω＝{正正，反反，正反}.（　　）
（3）“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球，从中任意取1个球，该球是白球或黑球”，此事件是必然事件.（　　）
（4）“某人射击一次，中靶”是随机事件.（　　）
2.下列现象中，是随机现象的有（　　）
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一颗炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品.
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
3.从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字.
（1）这个试验的样本点的总数为　　　　；
（2）“数字之和为5”这一事件包含样本点为　　　　.
题型一 随机现象和确定性现象的判断
【例1】　指出下列现象是确定性现象还是随机现象：
（1）小明在校学生会主席竞选中成功；
（2）掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
尝试解答
（3）某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
（4）骑车经过十字路口时，红绿灯的颜色.
尝试解答
通性通法
　　判断某一现象是随机现象还是确定性现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定.若在一定条件下，出现的结果是可以预知、必然出现的，这类现象称为确定性现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象.
【跟踪训练】
下列现象中，随机现象是　　　　，确定性现象是　　　　.（填序号）
①长度分别为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天.
题型二 样本点和样本空间
【例2】　某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对（x，y）.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若将本例中的条件改为每次取一个，先取的小球的标号为x，记录编号后放回盒子摇匀，再取一个小球的标号为y，这样构成有序实数对（x，y）.试写出这个试验的样本空间.
通性通法
　　写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
（1）列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
（2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；
（3）树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步（两步及两步以上）完成的结果可以用树状图进行列举.
【跟踪训练】
设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①写出该试验的样本空间；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示.
题型三 事件与事件的表示
【例3】　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为（x，y）.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验包含的样本点的总数；
（3）用集合表示下列事件：
①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x＜3，且y＞1”；③T＝“xy＝4”.
尝试解答
通性通法
1.随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：（1）必须明确事件发生的条件；（2）根据题意，按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
2.试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错.
【跟踪训练】
甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布）.
（1）写出样本空间；
（2）写出事件“甲赢”；
（3）写出事件“平局”.
1.将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是（　　）
A.必然事件　　　　　 B.随机事件
C.不可能事件　　 D.无法确定
2.为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（　　）
A.3　　　B.5　　C.6　　　D.9
3.（多选）下列现象是随机现象的是（　　）
A.连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点
B.第一胎是女孩
C.异性电荷相互吸引
D.抛一石块，下落
4.抛掷3枚硬币，试验的样本点用（x，y，z）表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝　　　　.
1.1　随机现象
1.2　样本空间
1.3　随机事件
【基础知识·重落实】
知识点一
　必然出现　必然　不同　无法　2
知识点二
　所有可能结果　每种可能结果　有限　
想一想
1.提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式.
2.提示：不一定，也可能是无限的.如在实数集中，任取一个实数.
知识点三
1.子集　2.所有　必然发生　3.不会发生
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.C　当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象.
3.（1）10　（2）（1，4），（2，3）
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）随机现象.因为竞选能否成功是不可预知，无法确定的.
（2）随机现象.因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定.
（3）随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不确定的.
（4）随机现象.因为红绿灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的.
跟踪训练
　②④　①　解析：①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象.
【例2】　解：（1）当x＝1时，y＝2，3，4；当x＝2时，y＝1，3，4；
当x＝3时，y＝1，2，4；当x＝4时，y＝1，2，3.
因此，这个试验的样本空间是Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}.
（2）记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{（2，1），（2，3），（2，4）}.
母题探究
　解：当x＝1时，y可取1，2，3，4.
同理，x＝2，3，4时，对应的不同的试验结果也有4个.
所以这个试验的样本空间为Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}.
跟踪训练
　解：（1）甲、乙、丙三个协会共有运动员人数为27＋9＋18＝54，
则应从甲协会抽取27×＝3（人），
从乙协会抽取9×＝1（人），
从丙协会抽取18×＝2（人）.
故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
（2）①该试验的样本空间Ω＝{A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A5A6}.
②事件A可用集合表示为{A1A5，A1A6，A2A5，A2A6，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A5A6}.
【例3】　解：（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}.
（2）样本点总数为16.
（3）①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）.
所以M＝{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}；
②“x＜3，且y＞1”包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）.
所以N＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）}；
③“xy＝4”包含以下3个样本点：（1，4），（2，2），（4，1）.
所以T＝{（1，4），（2，2），（4，1）}.
跟踪训练
　解：（1）Ω＝{（锤，剪），（锤，布），（锤，锤），（剪，锤），（剪，剪），（剪，布），（布，锤），（布，剪），（布，布）}.
（2）记“甲赢”为事件A，则A＝{（锤，剪），（剪，布），（布，锤）}.
（3）记“平局”为事件B，则B＝{（锤，锤），（剪，剪），（布，布）}.
随堂检测
1.B　“正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件.故选B.
2.C　由题意，可得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个，故选C.
3.AB　A、B是随机现象，C、D是确定性现象，故选A、B.
4.{（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）}　解析：试验的样本空间为Ω＝{（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}，则M＝{（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）}.
3 / 4(共63张PPT)
1.1　随机现象
1.2　样本空间
1.3　随机事件
新课程标准解读 核心素养
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的
含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象、直观想
象、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别
为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌
后先后摇出两个小球，观察该球的号码.
【问题】　（1）这个试验的结果共有多少种情况？如何表示这些
结果？
（2）如果改为抽取时先抽出一球，放回后再抽出一球，观察该球的
号码，那么这个试验的结果共有多少种情况？




知识点一　确定性现象和随机现象
定义 特点
确定
性现
象 在一定条件下 的现
象，称为确定性现象 结果是 的
随机 现象 在一定条件下，进行试验或观察会
出现 的结果，而且每次试
验之前都 预言会出现哪一
种结果的现象，称为随机现象 （1）结果至少有 种；
（2）事先并不知道会出现哪一种结果
必然出现　
必然　
不同　
无法　
2　
知识点二　样本空间
定义 表示符号
样本空间 将试验 E 的 组成的集合称为试验 E 的样本空间 Ω
样本点 样本空间Ω的元素，即试验 E 称为试验 E 的样本点 ω
有限样 本空间 如果样本空间Ω的样本点的个数是 的，那么称样本空间Ω为有限样本空间 Ω
所有可能结果　
每种可能结果　
有限　
【想一想】
1. 如何确定试验的样本空间？
提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写
成Ω＝{ω1，ω2，…，ω n }的形式.
2. 观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
提示：不一定，也可能是无限的.如在实数集中，任取一个实数.
知识点三　随机事件
1. 随机事件
一般地，把试验 E 的样本空间Ω的 称为 E 的随机事件，简
称事件，常用 A ， B ， C 等表示.
2. 必然事件
样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包
含 的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都
，因此称Ω为必然事件.
子集　
所有　
必
然发生　
3. 不可能事件
空集 也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何
样本点，它在每次试验中都 ，故称 为不可能事件.
提醒　事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最
简单的随机事件，不同的基本事件不可能同时发生.而事件可以由
若干个基本事件组成.
不会发生　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试
验的所有可能结果是不知道的. （　×　）
（2）连续抛掷2次硬币，该试验的样本空间Ω＝{正正，反反，正
反}. （　×　）
（3）“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球，从中任意取1个球，
该球是白球或黑球”，此事件是必然事件. （　√　）
（4）“某人射击一次，中靶”是随机事件. （　√　）
×
×
√
√
2. 下列现象中，是随机现象的有（　　）
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若 a 为整数，则 a ＋1为整数；
③发射一颗炮弹，命中目标；
④检查流水线上一件产品是合格品.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析：　当 a 为整数时， a ＋1一定为整数，是确定性现象，其余
3个均为随机现象.
3. 从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的
数字.
（1）这个试验的样本点的总数为 ；
（2）“数字之和为5”这一事件包含样本点为 .
10　
（1，4），（2，3）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 随机现象和确定性现象的判断
【例1】　指出下列现象是确定性现象还是随机现象：
（1）小明在校学生会主席竞选中成功；
解：随机现象.因为竞选能否成功是不可预知，无法确定的.
（2）掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
解：随机现象.因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结
果并不确定.
（3）某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
解：随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，
是不确定的.
（4）骑车经过十字路口时，红绿灯的颜色.
解：随机现象.因为红绿灯的颜色对每位过路口的人来说事先都
是不可知的，是无法确定的.
通性通法
　　判断某一现象是随机现象还是确定性现象的关键是看在一定条件
下，现象的结果是否可以预知、确定.若在一定条件下，出现的结果
是可以预知、必然出现的，这类现象称为确定性现象；若在一定条件
下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机
现象.
【跟踪训练】
下列现象中，随机现象是 ，确定性现象是 .（填序号）
①长度分别为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天.
解析：①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象.
②④　
①　
题型二 样本点和样本空间
【例2】　某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子
中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为 x ，后
取的小球的标号为 y ，这样构成有序实数对（ x ， y ）.
（1）写出这个试验的样本空间；
解：当 x ＝1时， y ＝2，3，4；当 x ＝2时， y ＝1，3，4；
当 x ＝3时， y ＝1，2，4；当 x ＝4时， y ＝1，2，3.
因此，这个试验的样本空间是Ω＝{（1，2），（1，3），（1，
4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），
（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}.
（2）写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
解：记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件 A ，则 A ＝
{（2，1），（2，3），（2，4）}.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的条件改为每次取一个，先取的小球的标号为
x ，记录编号后放回盒子摇匀，再取一个小球的标号为 y ，这样构成有
序实数对（ x ， y ）.试写出这个试验的样本空间.
解：当 x ＝1时， y 可取1，2，3，4.
同理， x ＝2，3，4时，对应的不同的试验结果也有4个.
所以这个试验的样本空间为Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），
（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），
（4，4）}.
通性通法
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
（1）列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出
来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
（2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结
果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有
序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不
易遗漏；
（3）树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步
（两步及两步以上）完成的结果可以用树状图进行列举.
【跟踪训练】
设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用
分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
解：甲、乙、丙三个协会共有运动员人数为27＋9＋18＝54，
则应从甲协会抽取27× ＝3（人），
从乙协会抽取9× ＝1（人），
从丙协会抽取18× ＝2（人）.
故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为 A1， A2， A3， A4，
A5， A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①写出该试验的样本空间；
②设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有1人被抽
到”，写出该事件的集合表示.
解：①该试验的样本空间Ω＝{ A1 A2， A1 A3， A1 A4， A1 A5， A1
A6， A2 A3， A2 A4， A2 A5， A2 A6， A3 A4， A3 A5， A3 A6， A4 A5，
A4 A6， A5 A6}.
②事件 A 可用集合表示为{ A1 A5， A1 A6， A2 A5， A2 A6， A3 A5，
A3 A6， A4 A5， A4 A6， A5 A6}.
题型三 事件与事件的表示
【例3】　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为 x ，转
盘乙得到的数为 y ，结果为（ x ， y ）.
（1）写出这个试验的样本空间；
解：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，
1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），
（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，
4）}.
（2）求这个试验包含的样本点的总数；
解：样本点总数为16.
（3）用集合表示下列事件：
① M ＝“ x ＋ y ＝5”；② N ＝“ x ＜3，且 y ＞1”；③ T ＝“ xy
＝4”.
解：①“ x ＋ y ＝5”包含以下4个样本点：（1，4），（2，
3），（3，2），（4，1）.
所以 M ＝{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}；
②“ x ＜3，且 y ＞1”包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）.
所以 N ＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）}；
③“ xy ＝4”包含以下3个样本点：（1，4），（2，2），（4，1）.
所以 T ＝{（1，4），（2，2），（4，1）}.
通性通法
1. 随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：（1）必
须明确事件发生的条件；（2）根据题意，按一定的次序列出所有
样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做
到既不重复也不遗漏.
2. 试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤
其是有顺序和无顺序的情况最易出错.
【跟踪训练】
甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布）.
（1）写出样本空间；
解：Ω＝{（锤，剪），（锤，布），（锤，锤），（剪，
锤），（剪，剪），（剪，布），（布，锤），（布，剪），
（布，布）}.
（3）写出事件“平局”.
（2）写出事件“甲赢”；
解：记“甲赢”为事件 A ，则 A ＝{（锤，剪），（剪，布），
（布，锤）}.
解：记“平局”为事件 B ，则 B ＝{（锤，锤），（剪，剪），
（布，布）}.
1. 将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5
次”是（　　）
A. 必然事件 B. 随机事件
C. 不可能事件 D. 无法确定
解析：　“正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事
件，故该事件为随机事件.故选B.
2. 为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模
型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样
本点的个数为（　　）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
解析：　由题意，可得样本点为（数学，计算机），（数学，航
空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，
绘画），（航空模型，绘画），共6个，故选C.
3. （多选）下列现象是随机现象的是（　　）
A. 连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点
B. 第一胎是女孩
C. 异性电荷相互吸引
D. 抛一石块，下落
解析：　A、B是随机现象，C、D是确定性现象，故选A、B.
4. 抛掷3枚硬币，试验的样本点用（ x ， y ， z ）表示，集合 M 表示
“既有正面朝上，也有反面朝上”，则 M ＝
.
解析：试验的样本空间为Ω＝{（正正正），（正正反），（正反
正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反
反反）}，则 M ＝{（正正反），（正反正），（反正正），（正
反反），（反正反），（反反正）}.
{（正正反），（正反
正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）}　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 以下现象是随机现象的是（　　）
A. 标准大气压下，水加热到100 ℃，会沸腾
B. 长和宽分别为 a ， b 的矩形，其面积为 a × b
C. 走到十字路口，遇到红灯
D. 三角形内角和为180°
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解析：　在A中，“标准大气压下，水加热到100 ℃，会沸腾”
是确定性现象，故A错误；在B中，“长和宽分别为 a ， b 的矩形，
其面积为 a × b ”是确定性现象，故B错误；在C中，“走到十字路
口，遇到红灯”是随机现象，故C正确；在D中，“三角形内角和
为180°”是确定性现象，故D错误.
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2. 在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机
现象的是（　　）
A. 3件都是正品 B. 至少有1件次品
C. 3件都是次品 D. 至多有1件正品
解析：　25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次
品，则“3件都是次品”不是随机现象.
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3. 抛掷2枚质地均匀的5角、1元的硬币，观察落地后硬币的正反面情
况，则下列事件包含3个样本点的是（　　）
A. “至少一枚硬币正面向上”
B. “只有一枚硬币正面向上”
C. “两枚硬币都是正面向上”
D. “两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析：　事件“至少一枚硬币正面向上”包括“5角正面向上，1
元正面向上”“5角正面向上，1元正面向下”“5角正面向下，1元
正面向上”3个样本点.
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4. 10件产品中有8件正品，2件次品，从中随机地取出3件，则下列事
件中是必然事件的为（　　）
A. 3件都是正品 B. 至少有一件次品
C. 3件都是次品 D. 至少有一件正品
解析：　因为次品共2件，而要取出3件产品，所以取出的3件中至
少有1件为正品，故选D.
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5. 已知集合 A ＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集
合 A 中任取不相同的两个数作为点 P 的坐标，则事件“点 P 落在 x
轴上”包含的样本点共有（　　）
A. 7个 B. 8个
C. 9个 D. 10个
解析：　“点 P 落在 x 轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，
因 A 中有9个非零数，故选C.
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6. （多选）下列事件是随机事件的是（　　）
A. 当 x ＞10时，lg x ＞1
B. x2＋ x ＝0在R上有解
C. 关于 x 的方程 x2＋ a ＝0（ a ∈R）在实数集内有解
D. 当 a2＞ b2时， a ＞ b
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解析：　由对数函数的单调性可知，当 x ＞10时，lg x ＞1，
所以A是必然事件；因为 x2＋ x ＝0的解为 x ＝0或 x ＝－1，所
以B是必然事件；当 a ＞0时，关于 x 的方程 x2＋ a ＝0在实数集
内无解，当 a ≤0时，关于 x 的方程 x2＋ a ＝0在实数集内有解，
所以C为随机事件；当 a2＞ b2时， a ＞ b 或 a ＜ b 均有可能发
生，所以D为随机事件.
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7. 用红、黄、蓝三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩
形只涂一种颜色，则样本空间包含的样本点的个数为 .
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解析：所有可能出现的结果如图所示.
易知样本空间包含27个样本点.
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8. 从100个同类产品中（其中2个次品）任取3个.
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④
三个次品；⑤至少有一个次品；⑥至少有一个正品.
其中必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 .
解析：从100个产品（其中2个次品）中取3个可能结果是“三个全
是正品”“两个正品一个次品”“一个正品两个次品”.
⑥　
④　
①②③⑤　
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9. 从2，3，8，9中任取两个不同数字，分别记为 a ， b ，用（ a ， b ）
表示该试验的样本点，则事件“log ab 为整数”可表示为
.
解析：只有log28＝3，log39＝2为整数.
{（2，
8），（3，9）}　
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10. 一套分上、中、下三册的选集，随机地放到书架上.
（1）写出这个试验的样本空间；
解：将书按从左到右的顺序摆放，则可得样本空间Ω
＝{（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），
（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中）}.
（2）求这个试验样本点的个数；
解：这个试验的样本点共有6个.
（3）写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的样本点.
解：“上册在三册中的最左边”这一事件包含2个样本点：（上，中，下），（上，下，中）.
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11. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的样本
点个数记为 p1，点数之和大于5的样本点个数记为 p2，点数之和为
偶数的样本点个数记为 p3，则（　　）
A. p1＜ p2＜ p3 B. p2＜ p1＜ p3
C. p1＜ p3＜ p2 D. p3＜ p1＜ p2
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解析：　列表如下，则 p1＝10； p2＝36－10＝26； p3＝18，
故选C.
　　　　第二枚掷　　　　出的点数 第一枚掷　　　 出的点数　　　　 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
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12. （多选）已知集合 A 是集合 B 的真子集，下列关于非空集合 A ， B
的四个命题中正确的是（　　）
A. 若任取 x ∈ A ，则 x ∈ B 是必然事件
B. 若任取 x A ，则 x ∈ B 是不可能事件
C. 若任取 x ∈ B ，则 x ∈ A 是随机事件
D. 若任取 x B ，则 x A 是必然事件
解析：　∵集合 A 是集合 B 的真子集，∴ A 中的任意一个元
素都是 B 中的元素，而 B 中至少有一个元素不在 A 中，因此A、
C、D正确，B错误.
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13. 写出下列试验的样本空间：
（1）甲、乙两队进行一场足球赛，甲队比赛中可能出现的结果
（包括平局） ；
解析：对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数
.
解析：从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果.
Ω＝{胜，平，负}　
Ω
＝{0，1，2，3，4}　
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14. 从1，2，3，5中任取两个不同的数字作为一次函数 y ＝－ x 中的
A ， B .
（1）写出这个试验的样本空间；
解：从1，2，3，5中任取两个不同的数字可构成有序
实数对（ A ， B ），其中 A 是第一次取到的数字， B 是第二
次取到的数字，则这个试验的样本空间为Ω＝{（1，2），
（1，3），（1，5），（2，1），（2，3），（2，5），
（3，1），（3，2），（3，5），（5，1），（5，2），
（5，3）}.
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（2）写出“－ 大于－1”这一事件所包含的样本点.
解：若－ ＞－1，则 ＜1.因为 A ， B 均为正数，所以 A ＜ B . 因此，“－ 大于－1”这一事件包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，5），（2，3），（2，5），（3，5）.
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15. 某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处，玩家每掷出
一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数（如
图，比如玩家一开始掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位
置），若踩到炸弹则返回起点重新开始，若到达终点则游戏结束.
现在已知小明掷完三次骰子后游戏恰好结束，则所有不同的情况
种数为 .
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解析：设小明掷三次骰子的点数为（ x ， y ， z ）， x ， y ， z
∈{1，2，3，4，5，6}，则符合题意的情况有（3，4，5），
（3，5，4），（3，6，3），（1，3，5），（1，4，4），（1，
5，3），（1，6，2），（2，2，5），（2，3，4），（2，4，
3），（2，5，2），（2，6，1），（4，1，4），（4，2，3），
（4，3，2），（4，4，1），（5，1，3），（5，2，2），（5，
3，1），（6，1，2），（6，2，1），共21种.
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16. 汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均
衡对称、和谐稳定的天性.如图所示，三个汉字可以看成轴对
称图形.
土口木
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，
规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背
面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出
的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），
则小敏获胜，否则小慧获胜.
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（1）写出该试验的样本空间Ω；
解：每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：
　　第二张卡片 第一张卡片　　　 土 口 木
土 （土，土） （土，口） （土，木）
口 （口，土） （口，口） （口，木）
木 （木，土） （木，口） （木，木）
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∴Ω＝{（土，土），（土，口），（土，木），（口，
土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，
口），（木，木）}.
（2）设小敏获胜为事件 A ，试用样本点表示 A .
解：能组成上下结构的汉字的样本为（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）.
∴ A ＝{（土，土），（口，口），（木，口），（口，
木）}.
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