资源简介

1.4　随机事件的运算
1.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为（　　）
A.至多做完三套练习题
B.至多做完二套练习题
C.至多做完四套练习题
D.至少做完二套练习题
2.一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是（　　）
A.至多有一次击中目标
B.三次都击不中目标
C.三次都击中目标
D.只有一次击中目标
3.设A，B为两事件，则（A∪B）（∪）表示（　　）
A.必然事件
B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生
D.A与B不同时发生
4.如果事件M与N是互斥事件，那么（　　）
A.M＋N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.＋是必然事件
5.（多选）从一堆产品（正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法正确的为（　　）
A.“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件
B.“至少有1件正品”和“全是次品”是互斥事件也是对立事件
C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件
D.“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件
6.（多选）将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝{向上的一面出现奇数点}，事件B＝{向上的一面出现的点数不超过2}，事件C＝{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有（　　）
A.B＝
B.C＝{向上的一面出现的点数大于3}
C.A＋C＝{向上的一面出现的点数不小于3}
D.＝{向上的一面出现的点数为2}
7.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是数理化书可记为　　　　.
8.向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数}，则事件C与A，B的运算关系是　　　　.
9.甲、乙两人下象棋，设“甲获胜”为事件A，“两人下成和棋”为事件B，则事件“甲不输”为　　　　，事件“乙获胜”为　　　　.
10.从某大学数学系图书室中任选一本书，设A＝“数学书”，B＝“中文版的书”，C＝“2024年后出版的书”，问：
（1）A∩B∩表示什么事件？
（2）在什么条件下，有A∩B∩C＝A？
（3） B表示什么意思？
（4）如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？
11.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（　　）
A.对立事件　　　　　 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件　 D.不是互斥事件
12.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是（　　）
A.A B
B.A∩B＝{出现的点数为2}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
13.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.现有四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E表示“甲取到《红楼梦》”，事件F表示“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C.甲、乙两人投篮，“甲投中”记为事件A，“乙投中”记为事件B，则事件“甲、乙两人都投中”可表示为A∩B
D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
14.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
15.如图所示的电路中，用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝　　　　　.（用B，C，D间的运算关系式表示）
16.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
1.4　随机事件的运算
1.B　至少做完3套练习题包含做完3，4，5，6，…套练习题，故它的对立事件为做完0，1，2套练习题，即至多做完2套练习题.
2.B　一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是“三次都击不中目标”.故选B.
3.C　A∪B表示事件A，B至少有1个发生，∪表示事件A，B至少有一个不发生，∴（A∪B）（∪）表示A与B恰有一个发生.
4.D　因为M，N为互斥事件，则有如图所示的两种情况：
无论哪种情况，＋是必然事件.
5.ABD　A中“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同时发生，是互斥事件，故A正确；B中“至少有1件正品”和“全是次品”不能同时发生，且必有一个发生，是互斥事件也是对立事件，故B正确；C中“至少有1件正品”和“至少有1件次品”均存在恰有1件正品和1件次品的可能，即两事件可能同时发生，故不是互斥事件，故C不正确；D中“至少有1件次品”和“全是正品”不能同时发生，且必有一个发生，是互斥事件也是对立事件，故D正确.
6.BC　由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6.所以B＝{向上的一面出现的点数为2}，故A错误；C＝{向上的一面出现的点数为4或5或6}，故B正确；A＋C＝{向上的一面出现的点数为3或4或5或6}，故C正确；＝Ω，故D错误，故选B、C.
7.B∪D∪E　解析：由题意可知事件“取到数理化书”可记为B∪D∪E.
8.C＝A∪B　解析：由题意可知C＝A∪B.
9.A＋B　　解析：依题意有，事件A＝{甲获胜}，B＝{两人下成和棋}，则事件“甲不输”为“甲获胜”或“下成和棋”，表示为A＋B，事件“乙获胜”为“甲不输”的反面，即.
10.解：（1）A∩B∩＝“2024年或2024年前出版的中文版的数学书”.
（2）在“图书室中所有数学书都是2024年后出版的且为中文版”的条件下，才有A∩B∩C＝A.
（3） B表示2024年或2024年前出版的书全是中文版的.
（4）是.＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时＝B又可化成＝A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书.
11.C　因为甲、乙不能同时得到红色，所以这两个事件是互斥事件.又甲、乙可能都得不到红色，则“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件，故选C.
12.B　由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.
13.BC　对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确.对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，显然E与F不是对立事件，即E与F是互斥但不对立事件，故B正确.对于C，甲、乙两人都投中即事件A与事件B都发生，可以表示为A∩B，故C正确.对于D，因为有10个产品，所以样本空间中含有10个样本点，故D不正确.
14.解：（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件.
（3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件.
（4）事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
15.（BC）∪（BD）（或B∩（C∪D））　解析：由串并联电路可知，当B发生且C发生时A发生，或当B发生且D发生时A发生，故A＝B∩（C∪D）.
16.解：（1）所有的试验结果如图所示.
用数组（x1，x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}.
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，
于是R1＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）}；
事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，
于是R2＝{（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}.
同理，有R＝{（1，2），（2，1）}，
G＝{（3，4），（4，3）}，
M＝{（1，2），（2，1），（3，4），（4，3）}，
N＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}.
（2）因为R R1，所以事件R1包含事件R；
因为R∩G＝ ，所以事件R与事件G互斥；
因为M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M与事件N互为对立事件.
（3）因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
2 / 31.4　随机事件的运算
新课程标准解读 核心素养
了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算 数学抽象、数学运算
　　中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B.
【问题】　那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　随机事件的运算
随机事件的运算 含义 符号表示 Venn图表示
交事件 （积事件） 由事件A与事件B都发生所构成的事件 A∩B 或AB
并事件 （和事件） 由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A，B都发生）所构成的事件 A∪B或A＋B
互斥事件 不能同时发生的两个事件A与B A∩B＝
对立事件 每次试验，要么事件A发生，要么事件B发生（A，B必有一个发生，但不可能同时发生） A∩B＝ ，且A ∪B＝Ω
提醒　互斥事件与对立事件的区别与联系
①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：（ⅰ）若事件A发生，则事件B就不发生；（ⅱ）若事件B发生，则事件A就不发生；（ⅲ）事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个；
②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.
【想一想】
1.一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？
2.命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”有什么关系？（指充分性与必要性）
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件.（　　）
（2）若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.（　　）
（3）事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件.（　　）
（4）如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么与一定互斥.（　　）
2.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
3.有甲、乙两台机床，记“甲正常工作”＝A，“乙正常工作”＝B，则AB表示　　　　，“甲不能正常工作”可记为　　　　.
题型一 事件关系的判断
【例1】　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件？如果是，再判断它们是不是对立事件：
（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；
（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；
（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
尝试解答
通性通法
判断事件间关系的方法
（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的；
（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
【跟踪训练】
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否互为对立事件，并说明理由.
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取1张.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
题型二 事件的运算
【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.问：
（1）事件D与A，B是怎样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么？
（3）设事件E＝“3个球都是红球”，事件F＝“3个球中至少有1个白球”，那么事件C与A，B，E是怎样的运算关系？事件C与F的交事件是什么？
尝试解答
通性通法
事件运算应注意的2个问题
（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析；
（2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
【跟踪训练】
1.打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（　　）
A.全部击中　　　　B.至少击中1发
C.至少击中2发　　D.以上均不正确
2.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为（　　）
A.1；6　　 B.4；2
C.5；1　　 D.6；1
1.从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（　　）
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任何两个都互斥
D.任何两个都不互斥
2.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则（　　）
A.A B
B.A B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
3.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（　　）
A.A B
B.A＝B
C.A∪B表示向上的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的点数是1或2或3
4.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝　　　.
1.4　随机事件的运算
【基础知识·重落实】
想一想
1.提示：A＝C∩D.
2.提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件.
自我诊断
1.（1） ×　（2）√　（3）×　（4）×
2.C　A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.
3.“甲、乙同时正常工作”　
【典型例题·精研析】
【例1】　解：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女.
（1）“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件.
（2）“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
（3）“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
（4）“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
跟踪训练
　解：（1）是互斥事件，不是对立事件.
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
（2）既是互斥事件，又是对立事件.
理由是从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
（3）不是互斥事件，也不是对立事件.
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件.
【例2】　解：（1）对于事件D，可能的结果为3个球中有1个红球2个白球，或3个球中有2个红球1个白球，故D＝A∪B.
（2）对于事件C，可能的结果为3个球中有1个红球2个白球，或3个球中有2个红球1个白球，或3个球都是红球，故C∩A＝A.
（3）由（2）的分析可知，C＝A∪B∪E；C∩F＝A∪B.
跟踪训练
1.B　A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
2.C　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中事件A包含的样本点有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个.事件B包含的样本点有：（1，3），（2，4），共2个.所以事件A∪B包含的样本点有：（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；事件A∩B包含的样本点有： （2，4），共1个.故选C.
随堂检测
1.D　由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥.
2.C　由互斥事件的定义可知，C正确.故选C.
3.C　由题意可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数是1或2或3.故选C.
4.{向上的点数为2}　解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的点数为2}.
4 / 4(共58张PPT)
§1.4　随机事件的运算
新课程标准解读 核心素养
了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合
实例进行随机事件的并、交运算 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比
赛，“甲夺得冠军”为事件 A ，“乙夺得冠军”为事件 B .
【问题】　那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件 A 与 B 如
何表示？





知识点　随机事件的运算
随机事件的运算 含义 符号表示 Venn图表示
交事件 （积事件） 由事件 A 与事件
B 都发生所构成
的事件 A ∩ B 或 AB
随机事件的运算 含义 符号表示 Venn图表示
并事件 （和事件） 由事件 A 和事件
B 至少有一个发
生（即 A 发生，
或 B 发生，或
A ， B 都发生）
所构成的事件 A ∪ B 或 A ＋ B
随机事件的运算 含义 符号表示 Venn图表示
互斥事件 不能同时发生的
两个事件 A 与 B A ∩ B ＝
对立事件 每次试验，要么事件 A 发生，要么事件 B 发生（ A ， B 必有一个发生，但不可能同时发生） A ∩ B ＝ ，且 A ∪ B ＝Ω
提醒　互斥事件与对立事件的区别与联系
①区别：两个事件 A 与 B 是互斥事件，包括如下三种情况：（ⅰ）若事
件 A 发生，则事件 B 就不发生；（ⅱ）若事件 B 发生，则事件 A 就不发
生；（ⅲ）事件 A ， B 都不发生.而两个事件 A ， B 是对立事件，仅有
前两种情况，因此事件 A 与 B 是对立事件，则 A ∪ B 是必然事件，但
若 A 与 B 是互斥事件，则 A ∪ B 不一定是必然事件，即事件 A 的对立
事件只有一个，而事件 A 的互斥事件可以有多个；
②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事
件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.
1. 一枚骰子掷一次，记事件 A ＝{出现的点数为2}，事件 C ＝{出现的
点数为偶数}，事件 D ＝{出现的点数小于3}，则事件 A ， C ， D 有
什么关系？
提示： A ＝ C ∩ D .
2. 命题“事件 A 与 B 为互斥事件”与命题“事件 A 与 B 为对立事件”
有什么关系？（指充分性与必要性）
提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件 A 与 B 为互斥
事件”是“事件 A 与 B 为对立事件”的必要不充分条件.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件.
（　×　）
（2）若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.
（　√　）
（3）事件 A ∪ B 是必然事件，则事件 A 和 B 是对立事件.
（　×　）
（4）如果事件 A ， B 互斥，记 ， 分别为事件 A ， B 的对立事
件，那么 与 一定互斥. （　×　）
×
√
×
×
2. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对
立的两个事件是（　　）
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
解析：　A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个
事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.
3. 有甲、乙两台机床，记“甲正常工作”＝ A ，“乙正常工作”＝
B ，则 AB 表示 ，“甲不能正常工作”可
记为 .
“甲、乙同时正常工作”　
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 事件关系的判断
【例1】　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比
赛，判断下列每对事件是不是互斥事件？如果是，再判断它们是不是
对立事件：
（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
解：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男
生，2名女生，1男1女.
“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发
生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事
件都不发生，所以它们不是对立事件.
（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；
解：“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件
“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；
解：“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它
们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解：“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选
出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同
时发生，所以它们不是互斥事件.
通性通法
判断事件间关系的方法
（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立
其发生的条件都是一样的；
（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对
较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
【跟踪训练】
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否互为对立事件，并
说明理由.
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，
任取1张.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
解：是互斥事件，不是对立事件.
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑
桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其
中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅
花”，因此，二者不是对立事件.
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
解：既是互斥事件，又是对立事件.
理由是从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽
出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，
所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
解：不是互斥事件，也不是对立事件.
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍
数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽
得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立
事件.
题型二 事件的运算
【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件 A
＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件 B ＝“3个球中有2个红
球，1个白球”，事件 C ＝“3个球中至少有1个红球”，事件 D ＝“3
个球中既有红球又有白球”.问：
（1）事件 D 与 A ， B 是怎样的运算关系？
解：对于事件 D ，可能的结果为3个球中有1个红球2个白球，或
3个球中有2个红球1个白球，故 D ＝ A ∪ B .
（2）事件 C 与 A 的交事件是什么？
解：对于事件 C ，可能的结果为3个球中有1个红球2个白球，或
3个球中有2个红球1个白球，或3个球都是红球，故 C ∩ A ＝ A .
（3）设事件 E ＝“3个球都是红球”，事件 F ＝“3个球中至少有1个
白球”，那么事件 C 与 A ， B ， E 是怎样的运算关系？事件 C 与
F 的交事件是什么？
解：由（2）的分析可知， C ＝ A ∪ B ∪ E ； C ∩ F ＝ A ∪ B .
通性通法
事件运算应注意的2个问题
（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查
同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图
或列出全部的试验结果进行分析；
（2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以
根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事
件之间关系的定义来推理.
【跟踪训练】
1. 打靶3次，事件 Ai 表示“击中 i 发”，其中 i ＝0，1，2，3.那么 A ＝
A1∪ A2∪ A3表示（　　）
A. 全部击中 B. 至少击中1发
C. 至少击中2发 D. 以上均不正确
解析：　 A1∪ A2∪ A3所表示的含义是 A1， A2， A3这三个事件中
至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
2. 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大
于4”为事件 A ，“这2个数的和为偶数” 为事件 B ，则 A ∪ B 和 A
∩ B 包含的样本点数分别为（　　）
A. 1；6 B. 4；2 C. 5；1 D. 6；1
解析：　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样
本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，
4），（3，4）}.其中事件 A 包含的样本点有：（1，4），（2，
3），（2，4），（3，4），共4个.事件 B 包含的样本点有：（1，
3），（2，4），共2个.所以事件 A ∪ B 包含的样本点有：（1，
3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；事件 A
∩ B 包含的样本点有： （2，4），共1个.故选C.
1. 从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设 A ＝{三件
产品全不是次品}， B ＝{三件产品全是次品}， C ＝{三件产品有次
品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（　　）
A. A 与 C 互斥 B. B 与 C 互斥
C. 任何两个都互斥 D. 任何两个都不互斥
解析：　由题意知事件 A ， B ， C 两两不可能同时发生，因此两
两互斥.
2. 给出事件 A 与 B 的关系示意图，如图所示，则（　　）
A. A B
B. A B
C. A 与 B 互斥
D. A 与 B 互为对立事件
解析：　由互斥事件的定义可知，C正确.故选C.
3. 抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件 A ，“向上的点数是
2或3”为事件 B ，则（　　）
A. A B
B. A ＝ B
C. A ∪ B 表示向上的点数是1或2或3
D. A ∩ B 表示向上的点数是1或2或3
解析：　由题意可知 A ＝{1，2}， B ＝{2，3}，则 A ∩ B ＝{2}，
A ∪ B ＝{1，2，3}，所以 A ∪ B 表示向上的点数是1或2或3.故选C.
4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件 E ＝{向上的点数为偶数}，
F ＝{向上的点数为质数}，则 E ∩ F ＝ 　　 .
{向上的点数为2}
解析： E ＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}， F ＝{向上的点数为
质数}＝{2，3，5}，∴ E ∩ F ＝{向上的点数为2}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为
A ，则 A 的对立事件为（　　）
A. 至多做完三套练习题 B. 至多做完二套练习题
C. 至多做完四套练习题 D. 至少做完二套练习题
解析：　至少做完3套练习题包含做完3，4，5，6，…套练习
题，故它的对立事件为做完0，1，2套练习题，即至多做完2套
练习题.
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2. 一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是
（　　）
A. 至多有一次击中目标
B. 三次都击不中目标
C. 三次都击中目标
D. 只有一次击中目标
解析：　一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的
对立事件是“三次都击不中目标”.故选B.
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3. 设 A ， B 为两事件，则（ A ∪ B ）（ ∪ ）表示（　　）
A. 必然事件
B. 不可能事件
C. A 与 B 恰有一个发生
D. A 与 B 不同时发生
解析：　 A ∪ B 表示事件 A ， B 至少有1个发生， ∪ 表示事件
A ， B 至少有一个不发生，∴（ A ∪ B ）（ ∪ ）表示 A 与 B 恰有
一个发生.
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4. 如果事件 M 与 N 是互斥事件，那么（　　）
A. M ＋ N 是必然事件
解析：　因为 M ， N 为互斥事件，则有如图所示的两种情况：
无论哪种情况， ＋ 是必然事件.
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5. （多选）从一堆产品（正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正
品件数和次品件数，则下列说法正确的为（　　）
A. “恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件
B. “至少有1件正品”和“全是次品”是互斥事件也是对立事件
C. “至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立
事件
D. “至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件
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解析：　A中“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”
不能同时发生，是互斥事件，故A正确；B中“至少有1件正
品”和“全是次品”不能同时发生，且必有一个发生，是互斥
事件也是对立事件，故B正确；C中“至少有1件正品”和“至
少有1件次品”均存在恰有1件正品和1件次品的可能，即两事件
可能同时发生，故不是互斥事件，故C不正确；D中“至少有1
件次品”和“全是正品”不能同时发生，且必有一个发生，是
互斥事件也是对立事件，故D正确.
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6. （多选）将一枚骰子向上抛掷一次，设事件 A ＝{向上的一面出现
奇数点}，事件 B ＝{向上的一面出现的点数不超过2}，事件 C ＝
{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有（　　）
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解析：　由题意知事件 A 包含的样本点：向上的一面出现的
点数为1，3，5；事件 B 包含的样本点：向上的一面出现的点数
为1，2；事件 C 包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，
5，6.所以 B ＝{向上的一面出现的点数为2}，故A错误； C
＝{向上的一面出现的点数为4或5或6}，故B正确； A ＋ C
＝{向上的一面出现的点数为3或4或5或6}，故C正确； ＝
Ω，故D错误，故选B、C.
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7. 现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取
到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A ， B ， C ， D ，
E ，则事件取出的是数理化书可记为 .
解析：由题意可知事件“取到数理化书”可记为 B ∪ D ∪ E .
B ∪ D ∪ E 　
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8. 向上抛掷一枚骰子，设事件 A ＝{点数为2或4}，事件 B ＝{点数为2
或6}，事件 C ＝{点数为偶数}，则事件 C 与 A ， B 的运算关系是
.
解析：由题意可知 C ＝ A ∪ B .
C
＝ A ∪ B 　
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9. 甲、乙两人下象棋，设“甲获胜”为事件 A ，“两人下成和棋”为
事件 B ，则事件“甲不输”为 ，事件“乙获胜”
为 .
解析：依题意有，事件 A ＝{甲获胜}， B ＝{两人下成和棋}，则事
件“甲不输”为“甲获胜”或“下成和棋”，表示为 A ＋ B ，事件
“乙获胜”为“甲不输”的反面，即 .
A ＋ B 　
　
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10. 从某大学数学系图书室中任选一本书，设 A ＝“数学书”， B ＝
“中文版的书”， C ＝“2024年后出版的书”，问：
（1） A ∩ B ∩ 表示什么事件？
解： A ∩ B ∩ ＝“2024年或2024年前出版的中文版的数学书”.
（2）在什么条件下，有 A ∩ B ∩ C ＝ A ？
解：在“图书室中所有数学书都是2024年后出版的且
为中文版”的条件下，才有 A ∩ B ∩ C ＝ A .
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（3） B 表示什么意思？
解： B 表示2024年或2024年前出版的书全是中文版的.
（4）如果 ＝ B ，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不
是中文版的？
解：是. ＝ B 意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时 ＝ B 又可化成 ＝ A ，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书.
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11. 奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依
次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课
上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每
人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（　　）
A. 对立事件 B. 不可能事件
C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件
解析：　因为甲、乙不能同时得到红色，所以这两个事件是互
斥事件.又甲、乙可能都得不到红色，则“甲或乙分得红色”的事
件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件，故选C.
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12. 掷一枚骰子，设事件 A ＝{出现的点数不大于3}， B ＝{出现的点
数为偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是（　　）
A. A B
B. A ∩ B ＝{出现的点数为2}
C. 事件 A 与 B 互斥
D. 事件 A 与 B 是对立事件
解析：　由题意事件 A 表示出现的点数是1或2或3；事件 B 表示
出现的点数是2或4或6.故 A ∩ B ＝{出现的点数为2}.
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13. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 若事件 A 与 B 互斥，则 A ∪ B 是必然事件
B. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.
现有四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，
设事件 E 表示“甲取到《红楼梦》”，事件 F 表示“乙取到《红楼
梦》”，则 E 与 F 是互斥但不对立事件
C. 甲、乙两人投篮，“甲投中”记为事件 A ，“乙投中”记为事件
B ，则事件“甲、乙两人都投中”可表示为 A ∩ B
D. 10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空
间含有2个样本点
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解析：　对于A，事件 A 与 B 互斥时， A ∪ B 不一定是必然事
件，故A不正确.对于B，事件 E 与 F 不会同时发生，所以 E 与 F 是
互斥事件，显然 E 与 F 不是对立事件，即 E 与 F 是互斥但不对立事
件，故B正确.对于C，甲、乙两人都投中即事件 A 与事件 B 都发
生，可以表示为 A ∩ B ，故C正确.对于D，因为有10个产品，所
以样本空间中含有10个样本点，故D不正确.
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14. 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为“只订甲
报”，事件 B 为“至少订一种报纸”，事件 C 为“至多订一种报
纸”，事件 D 为“不订甲报”，事件 E 为“一种报纸也不订”.判
断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对
立事件：
（1） A 与 C ；
解：由于事件 C “至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件.
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解：事件 B “至少订一种报纸”与事件 E “一种报纸也不
订”是不可能同时发生的，故 B 与 E 是互斥事件；由于事件
B 与事件 E 必有一个发生，故 B 与 E 是对立事件.
解：事件 B “至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即
有可能“不订甲报”，也就是说事件 B 和事件 D 有可能同时
发生，故 B 与 D 不是互斥事件.
（2） B 与 E ；
（3） B 与 D ；
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解：事件 B “至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲
报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件 C “至多订一
种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲
报”“只订乙报”.也就是说事件 B 与事件 C 可能同时发
生，故 B 与 C 不是互斥事件.
解：由（4）的分析，事件 E “一种报纸也不订”是事件 C
中的一种可能情况，所以事件 C 与事件 E 可能同时发生，故
C 与 E 不是互斥事件.
（4） B 与 C ；
（5） C 与 E .
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15. 如图所示的电路中，用 A 表示事件“电灯变亮”，用 B ， C ， D
依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则 A
＝ .（用 B ， C ， D 间
的运算关系式表示）
解析：由串并联电路可知，当 B 发生且 C 发生时 A 发生，或当 B 发
生且 D 发生时 A 发生，故 A ＝ B ∩（ C ∪ D ）.
（ BC ）∪（ BD ）（或 B ∩（ C ∪ D ））　
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16. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号
为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机
摸出2个球.设事件 R1＝“第一次摸到红球”， R2＝“第二次摸到
红球”， R ＝“两次都摸到红球”， G ＝“两次都摸到绿球”，
M ＝“两个球颜色相同”， N ＝“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
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解：所有的试验结果如图所示.
用数组（ x1， x2）表示可能的结果， x1是第一
次摸到的球的标号， x2是第二次摸到的球的标号，
则试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），
（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}.
事件 R1＝“第一次摸到红球”，即 x1＝1或2，
于是 R1＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）}；
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事件 R2＝“第二次摸到红球”，即 x2＝1或2，
于是 R2＝{（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}.
同理，有 R ＝{（1，2），（2，1）}， G ＝{（3，4），（4，3）}，
M ＝{（1，2），（2，1），（3，4），（4，3）}， N ＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}.
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（2）事件 R 与 R1， R 与 G ， M 与 N 之间各有什么关系？
解：因为 R R1，所以事件 R1包含事件 R ；
因为 R ∩ G ＝ ，所以事件 R 与事件 G 互斥；
因为 M ∪ N ＝Ω， M ∩ N ＝ ，所以事件 M 与事件 N 互为对
立事件.
（3）事件 R 与事件 G 的并事件与事件 M 有什么关系？事件 R1与事
件 R2的交事件与事件 R 有什么关系？
解：因为 R ∪ G ＝ M ，所以事件 M 是事件 R 与事件 G 的并事件；
因为 R1∩ R2＝ R ，所以事件 R 是事件 R1与事件 R2的交事件.
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谢 谢 观 看！

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