资源简介 2.1 古典概型的概率计算公式1.下列是古典概型的是（ ）A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率D.抛掷一枚不均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点2.从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是（ ）A. B. C. D.3.某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款，则三人恰好选择同一款套餐的概率为（ ）A. B. C. D.4.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为（ ）A. B. C. D.5.（多选）下列关于各事件发生的概率判断正确的是（ ）A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为B.四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个贫路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为D.已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为6.（多选）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是（ ）A.a＋b＝7时的概率为B.≥2时的概率为C.ab＝6时的概率为D.a＋b是6的倍数的概率是7.甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是 .8.在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是 .9.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n的值为 .10.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.11.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（ ）A. B.C. D.12.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）A. B.C. D.13.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋（m＋n）x＋4＝0无实数根的概率是 .14.从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：（1）事件A＝“三个数字中不含1和5”；（2）事件B＝“三个数字中含1或5”.15.某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.（1）求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；（2）若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率.2.1 古典概型的概率计算公式1.C A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点不具有等可能性，故D不是.2.C 集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中 ，{a}，{b}，{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为＝.故选C.3.C 设两款优惠套餐分别为A，B，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款套餐，结果如图所示.可得三人恰好选择同款套餐的概率为＝.4.B 在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率P＝.5.ABC 对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共三种情况，其中，甲被选中的情况有两种，故甲被选中的概率为，故A正确；对于B，从四条线段中任取三条，有（1，3，5），（1，3，7），（1，5，7），（3，5，7）四种情况，而能构成三角形的只有（3，5，7）一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是，故B正确；对于C，树枝的树梢有6个，有2个树梢有食物，所以蚂蚁能获得食物的概率为＝，故C正确；对于D，因为A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以所求的概率是，故D错误.故选A、B、C.6.CD 先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.满足a＋b＝7的情形有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），故P＝＝，故A错误；满足≥2的情形有（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），（6，3），故P＝＝，故B错；满足ab＝6的情形有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），故P＝＝，故C正确；满足a＋b是6的倍数的情形有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，6），故a＋b是6的倍数的概率是，故D正确.故选C、D.7. 解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为P＝＝.8. 解析：用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）共4种，故所求的概率为＝.9.2 解析：由题意可知＝，解得n＝2.10.解：（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛，则试验的样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，X），（A，Y），（A，Z），（B，C），（B，X），（B，Y），（B，Z），（C，X），（C，Y），（C，Z），（X，Y），（X，Z），（Y，Z）}，共15种可能的结果.（2）M＝{（A，Y），（A，Z），（B，X），（B，Z），（C，X），（C，Y）}，共6种可能的结果.因此，事件M发生的概率P（M）＝＝.11.C 所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝.12.B 不超过12的素数为：2，3，5，7，11，共5个，从中随机选取两个共有10个样本点：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），其中和为奇数的为：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），共4个样本点，所以和为奇数的概率为＝.故选B.13. 解析：总的样本点个数为36.因为方程无实根，所以Δ＝（m＋n）2－16＜0.即m＋n＜4，其中有（1，1），（1，2），（2，1），共3个样本点.所以所求概率为＝.14.解：这个试验样本空间Ω＝{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，所以样本点总数n＝10.（1）因为事件A＝{（2，3，4）}，所以事件A包含的样本点数m＝1，所以P（A）＝＝.（2）因为事件B＝{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，所以事件B包含的样本点数m'＝9，所以P（B）＝＝.15.解：（1）由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3，2，1.（2）在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3，2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师（记为事件B）的样本点为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3个.所以所求概率P（B）＝＝.2 / 22.1 古典概型的概率计算公式新课程标准解读 核心素养结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学抽象、数学运算 齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马.现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上（含两场）即为获胜.【问题】 （1）若齐王知道田忌马的出场顺序，他获胜的概率是多大？（2）如田忌知道齐王马的出场顺序，他能获胜吗？若双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？ 知识点 古典概型1.古典概型的含义一般地，若试验E具有如下特征：（1）有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数 ，即样本空间Ω为 样本空间；（2）等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性 .则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型.2.古典概型的概率计算公式对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P（A）＝＝ .【想一想】若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）古典概型中每个事件发生的可能性相同.（ ）（2）古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现是等可能的.（ ）（3）用古典概型的概率公式可求“在线段[0，5]上任取一点，此点小于2”的概率.（ ）（4）从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.（ ）2.下列试验中，是古典概型的有（ ）A.某人射击中靶或不中靶B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C.四位同学用抽签法选一人参加会议D.运动员投篮，观察是否投中3.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 .题型一 古典概型的判断【例1】 （多选）下列概率模型不属于古典概型的是（ ）A.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环B.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲C.一只使用中的灯泡的寿命长短D.中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”尝试解答通性通法判断一个试验是否为古典概型的依据 判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.【跟踪训练】下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）①从集合{x∈R｜1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率；②从集合{x∈Z｜1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率；③从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球（除颜色外其他均相同），求取到一白一红的概率；④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率.A.1 B.2C.3 D.4题型二 较为简单的古典概型问题【例2】 同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？尝试解答【母题探究】1.（变设问）本例条件不变，求向上的点数之和不大于7的概率？2.（变设问）本例条件不变，求向上的点数之和等于3的倍数的概率？通性通法“四步”法求解古典概型的概率【跟踪训练】1.甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ）A. B.C. D.2.某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工，若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率.题型三 较为复杂的古典概型问题【例3】 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.尝试解答通性通法 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：（1）试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性；（2）计算样本点的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.【跟踪训练】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.1.下列试验中，是古典概型的为（ ）A.三月份某一天是否下雨B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC.抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D.春天移植的树苗能否成活2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）A. B.C. D.3.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.14.（2024·洛阳月考）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是 .2.1 古典概型的概率计算公式【基础知识·重落实】知识点1.（1）有限 有限 （2）相等 2.想一想 提示：不一定，还必须满足每个样本点出现的可能性相等.自我诊断1.（1）× （2）√ （3）× （4）√2.C A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不相等，所以D不是古典概型.3. 解析：试验所包含的样本点有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝），共9种，其中颜色相同的有（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种，故所求的概率为P＝＝.【典型例题·精研析】【例1】 ACD A不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；B属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；C不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.跟踪训练 B ①不是古典概型.因为从区间[1，10]内任取一个数，虽满足等可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性”这个条件.②是古典概型.因为试验结果只有10个，并且每个数被取到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可能性”.③是古典概型，道理同②.④不是古典概型.虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”.【例2】 解：（1）把两个骰子标上记号1，2以便区分，可能结果如表所示：1 2 3 4 5 61 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）所以同时掷两个骰子的结果共有36种.（2）由表可知，向上的点数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种.（3）记事件A表示“向上的点数之和为5”，由（2）可知，事件A包含的样本点个数为4.于是由古典概型的概率计算公式可得P（A）＝＝.母题探究1.解：记“点数之和不大于7”这一事件为C，则C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（6，1）}，样本点共有21个.∴P（C）＝＝.2.解：记“点数之和等于3的倍数”为事件D，即点数和为3，6，9，12的情形，则D＝{（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）}，样本点共有12个.∴P（D）＝＝.跟踪训练1.A 甲、乙两人参加学习小组，若以（A，B）表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则样本空间Ω＝{（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C）}，其中两人参加同一个学习小组共包含3个样本点，所以所求概率为.2.解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有（A1，B1），（A1，B2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，B1），（A2，B2），（A2，b1），（A2，b2），（a，B1），（a，B2），（a，b1），（a，b2），共12种.其中选出的2名职工性别相同的结果有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（a，b1），（a，b2），共6种.故选出的2名职工性别相同的概率为＝.【例3】 解：用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{（x，y）｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是16，所以样本点总数n＝16.（1）记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）}.所以P（A）＝，即小亮获得玩具的概率为.（2）记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个，即B＝{（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）}.所以P（B）＝＝.事件C包含的样本点共5个，即C＝{（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1）}.所以P（C）＝.因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.跟踪训练 解：（1）所有可能的摸出结果是（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2），（A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）.（2）不正确，理由如下：由（1）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果有（A1，a1），（A1，a2），（A2，a1），（A2，a2），共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝，故不中奖的概率比较大.随堂检测1.C 古典概型有两个条件：有限性、等可能性.故选C.2.C 样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率P＝＝.3.B 记3件合格品分别为A1，A2，A3，2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为＝0.6.4.0.2 解析：两数之和等于5有两种情况（1，4）和（2，3），总的样本点有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种，所以P＝＝0.2.3 / 4(共68张PPT)2.1 古典概型的概率计算公式新课程标准解读 核心素养结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学抽象、数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马.现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上（含两场）即为获胜.【问题】 （1）若齐王知道田忌马的出场顺序，他获胜的概率是多大？（2）如田忌知道齐王马的出场顺序，他能获胜吗？若双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？ 知识点 古典概型1. 古典概型的含义一般地，若试验 E 具有如下特征：（1）有限性：试验 E 的样本空间Ω的样本点总数 ，即样本空间Ω为 样本空间；（2）等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性 .则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型.有限 有限 相等 2. 古典概型的概率计算公式对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为 n ，随机事件 A 包含的样本点个数为 m ，那么事件 A 发生的概率为 P （ A ）＝＝ .【想一想】若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不一定，还必须满足每个样本点出现的可能性相等. 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）古典概型中每个事件发生的可能性相同. （ × ）（2）古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现是等可能的. （ √ ）×√（4）从甲地到乙地共 n 条线路，且这 n 条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.（ √ ）（3）用古典概型的概率公式可求“在线段[0，5]上任取一点，此点小于2”的概率. （ × ）×√2. 下列试验中，是古典概型的有（ ）A. 某人射击中靶或不中靶B. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C. 四位同学用抽签法选一人参加会议D. 运动员投篮，观察是否投中解析： A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不相等，所以D不是古典概型. 解析：试验所包含的样本点有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝），共9种，其中颜色相同的有（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种，故所求的概率为 P ＝ ＝. 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 古典概型的判断【例1】 （多选）下列概率模型不属于古典概型的是（ ）A. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环B. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲C. 一只使用中的灯泡的寿命长短D. 中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”解析： A不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；B属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；C不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.通性通法判断一个试验是否为古典概型的依据 判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.【跟踪训练】下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）①从集合{ x ∈R｜1≤ x ≤10}中任取一个数，求取到4的概率；②从集合{ x ∈Z｜1≤ x ≤10}中任取一个数，求取到4的概率；③从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球（除颜色外其他均相同），求取到一白一红的概率；④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率.A. 1 B. 2C. 3 D. 4解析： ①不是古典概型.因为从区间[1，10]内任取一个数，虽满足等可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性”这个条件.②是古典概型.因为试验结果只有10个，并且每个数被取到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可能性”.③是古典概型，道理同②.④不是古典概型.虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”.题型二 较为简单的古典概型问题【例2】 同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？解：把两个骰子标上记号1，2以便区分，可能结果如表所示：1 2 3 4 5 61 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）1 2 3 4 5 63 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）所以同时掷两个骰子的结果共有36种.（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？解：由表可知，向上的点数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种.（3）向上的点数之和是5的概率是多少？解：记事件 A 表示“向上的点数之和为5”，由（2）可知，事件 A 包含的样本点个数为4.于是由古典概型的概率计算公式可得 P （ A ）＝ ＝ .【母题探究】1. （变设问）本例条件不变，求向上的点数之和不大于7的概率？解：记“点数之和不大于7”这一事件为 C ，则 C ＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（6，1）}，样本点共有21个.∴ P（ C ）＝ ＝ .2. （变设问）本例条件不变，求向上的点数之和等于3的倍数的概率？解：记“点数之和等于3的倍数”为事件 D ，即点数和为3，6，9，12的情形，则 D ＝{（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）}，样本点共有12个.∴ P （ D ）＝ ＝ .通性通法“四步”法求解古典概型的概率【跟踪训练】1. 甲、乙两人有三个不同的学习小组 A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ）解析： 甲、乙两人参加学习小组，若以（ A ， B ）表示甲参加学习小组 A ，乙参加学习小组 B ，则样本空间Ω＝{（ A ， A ），（ A ， B ），（ A ， C ），（ B ， A ），（ B ， B ），（ B ， C ），（ C ， A ），（ C ， B ），（ C ， C ）}，其中两人参加同一个学习小组共包含3个样本点，所以所求概率为 .2. 某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工，若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率.解：记甲厂派出的2名男职工为 A1， A2，女职工为 a ；乙厂派出的2名男职工为 B1， B2，2名女职工为 b1， b2.从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1，b1），（ A1， b2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， b1），（ A2， b2），（ a ， B1），（ a ， B2），（ a ， b1），（ a ，b2），共12种.其中选出的2名职工性别相同的结果有（ A1， B1），（ A1， B2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ a ， b1），（ a ，b2），共6种.故选出的2名职工性别相同的概率为 ＝ .题型三 较为复杂的古典概型问题【例3】 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x ， y .奖励规则如下：①若 xy ≤3，则奖励玩具一个；②若 xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；解：用数对（ x ， y ）表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集 S ＝{（ x ， y ）｜ x ∈N， y ∈N，1≤ x ≤4，1≤ y≤4}一一对应.因为 S 中元素的个数是16，所以样本点总数 n ＝16.记“ xy ≤3”为事件 A ，则事件 A 包含的样本点共5个，即 A ＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）}.所以 P （ A ）＝ ，即小亮获得玩具的概率为 .（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解：记“ xy ≥8”为事件 B ，“3＜ xy ＜8”为事件 C .则事件 B 包含的样本点共6个，即 B ＝{（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）}.所以 P （ B ）＝ ＝ .事件 C 包含的样本点共5个，即 C ＝{（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1）}.所以 P （ C ）＝ .因为 ＞ ，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.通性通法 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：（1）试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性；（2）计算样本点的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.【跟踪训练】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球 A1， A2和1个白球 B 的甲箱与装有2个红球a1， a2和2个白球 b1， b2的乙箱中各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；解：所有可能的摸出结果是（ A1， a1），（ A1， a2），（ A1，b1），（ A1， b2），（ A2， a1），（ A2， a2），（ A2， b1），（ A2， b2），（ B ， a1），（ B ， a2），（ B ， b1），（ B ， b2）.（2）有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.解：不正确，理由如下：由（1）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果有（ A1， a1），（ A1， a2），（ A2， a1），（ A2， a2），共4种，所以中奖的概率为 ＝ ，不中奖的概率为1－ ＝ ，故不中奖的概率比较大.1. 下列试验中，是古典概型的为（ ）A. 三月份某一天是否下雨B. 从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径 dC. 抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D. 春天移植的树苗能否成活解析： 古典概型有两个条件：有限性、等可能性.故选C.2. 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）A.C. D.解析： 样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率 P ＝ ＝ .3. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A. 0.4 B. 0.6C. 0.8 D. 1解析： 记3件合格品分别为 A1， A2， A3，2件次品分别为 B1，B2，从5件产品中任取2件，有（ A1， A2），（ A1， A3），（ A1，B1），（ A1， B2），（ A2， A3），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A3， B1），（ A3， B2），（ B1， B2），共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为 ＝0.6.4. （2024·洛阳月考）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是 .解析：两数之和等于5有两种情况（1，4）和（2，3），总的样本点有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种，所以 P ＝ ＝0.2.0.2 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 下列是古典概型的是（ ）A. 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C. 在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率D. 抛掷一枚不均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点123456789101112131415解析： A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点不具有等可能性，故D不是.1234567891011121314152. 从集合{ a ， b ， c ， d }的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{ a ， b }的子集的概率是（ ）解析： 集合{ a ， b ， c ， d }的子集有16个，其中 ，{ a }，{ b }，{ a ， b }这4个集合是{ a ， b }的子集，因此所求概率为 ＝.故选C.1234567891011121314153. 某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款，则三人恰好选择同一款套餐的概率为（ ）解析： 设两款优惠套餐分别为 A ， B ，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款套餐，结果如图所示.可得三人恰好选择同款套餐的概率为 ＝ .1234567891011121314154. 将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为（ ）解析： 在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率 P ＝ .1234567891011121314155. （多选）下列关于各事件发生的概率判断正确的是（ ）123456789101112131415123456789101112131415解析： 对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共三种情况，其中，甲被选中的情况有两种，故甲被选中的概率为 ，故A正确；对于B，从四条线段中任取三条，有（1，3，5），（1，3，7），（1，5，7），（3，5，7）四种情况，而能构成三角形的只有（3，5，7）一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 ，故B正确；对于C，树枝的树梢有6个，有2个树梢有食物，所以蚂蚁能获得食物的概率为 ＝ ，故C正确；对于D，因为 A ∪ B ＝{2，3，4，5，6，7，9}， A ∩ B ＝{2，3，6}，所以所求的概率是 ，故D错误.故选A、B、C.1234567891011121314156. （多选）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为 a ， b ，则下列结论正确的是（ ）123456789101112131415解析： 先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.满足 a ＋ b ＝7的情形有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），故 P ＝ ＝ ，故A错误；满足 ≥2的情形有（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），（6，3），故 P ＝ ＝ ，故B错；满足 ab ＝6的情形有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），故 P ＝ ＝ ，故C正确；满足 a ＋ b 是6的倍数的情形有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，6），故 a ＋ b 是6的倍数的概率是 ，故D正确.故选C、D.1234567891011121314157. 甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是 .解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为P ＝ ＝ . 1234567891011121314158. 在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是 .解析：用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）共4种，故所求的概率为 ＝ . 1234567891011121314159. 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是 ，则 n 的值为 .解析：由题意可知 ＝ ，解得 n ＝2.2 12345678910111213141510. 某校夏令营有3名男同学 A ， B ， C 和3名女同学 X ， Y ， Z ，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.123456789101112131415（1）用表中字母列举出所有可能的结果；解：从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛，则试验的样本空间Ω＝{（ A ， B ），（ A ， C ），（ A ， X ），（ A ， Y ），（ A ， Z ），（ B ， C ），（ B ， X ），（ B ，Y ），（ B ， Z ），（ C ， X ），（ C ， Y ），（ C ， Z ），（ X ， Y ），（ X ， Z ），（ Y ， Z ）}，共15种可能的结果.123456789101112131415（2）设 M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件 M 发生的概率.解： M ＝{（ A ， Y ），（ A ， Z ），（ B ， X ），（ B ， Z ），（ C ， X ），（ C ， Y ）}，共6种可能的结果.因此，事件 M 发生的概率 P （ M ）＝ ＝ .12345678910111213141511. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为 x ， y ，则log2 xy ＝1的概率为（ ）A.C. D.123456789101112131415解析： 所有样本点的个数为36.由log2 xy ＝1得2 x ＝ y ，其中x ， y ∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或满足log2 xy ＝1，故事件“log2 xy ＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为 P ＝ ＝ .12345678910111213141512. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）123456789101112131415解析： 不超过12的素数为：2，3，5，7，11，共5个，从中随机选取两个共有10个样本点：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），其中和为奇数的为：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），共4个样本点，所以和为奇数的概率为＝ .故选B.12345678910111213141513. 一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为 m 和 n ，则关于 x 的方程 x2＋（ m ＋ n ） x ＋4＝0无实数根的概率是 .解析：总的样本点个数为36.因为方程无实根，所以Δ＝（ m ＋n ）2－16＜0.即 m ＋ n ＜4，其中有（1，1），（1，2），（2，1），共3个样本点.所以所求概率为 ＝ . 12345678910111213141514. 从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：（1）事件 A ＝“三个数字中不含1和5”；解：这个试验样本空间Ω＝{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，所以样本点总数 n ＝10.123456789101112131415（1）因为事件 A ＝{（2，3，4）}，所以事件 A 包含的样本点数 m ＝1，所以 P （ A ）＝ ＝ .123456789101112131415（2）事件 B ＝“三个数字中含1或5”.解： 因为事件 B ＝{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，所以事件 B 包含的样本点数m'＝9，所以 P （ B ）＝ ＝ .12345678910111213141515. 某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.（1）求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；解：由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3，2，1.123456789101112131415（2）若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率.解：在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为 A1， A2， A3，2名中级教师分别记为 A4， A5，高级教师记为 A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{（ A1， A2），（ A1，A3），（ A1， A4），（ A1， A5），（ A1， A6），（ A2，A3），（ A2， A4），（ A2， A5），（ A2， A6），（ A3，A4），（ A3， A5），（ A3， A6），（ A4， A5），（ A4，A6），（ A5， A6）}，即样本点的总数为15.123456789101112131415抽取的2名教师均为初级教师（记为事件 B ）的样本点为（ A1， A2），（ A1， A3），（ A2， A3），共3个.所以所求概率 P （ B ）＝ ＝ .123456789101112131415谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2.1 古典概型的概率计算公式.docx 2.1 古典概型的概率计算公式.pptx 2.1 古典概型的概率计算公式（练习，含解析）.docx
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