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第二课时　互斥事件的概率
1.P（A）＝0.1，P（B）＝0.2，则P（A＋B）＝（　　）
A.0.3　　　　　　　 B.0.2
C.0.1　 D.不确定
2.若事件A和B是互斥事件，且P（A）＝0.1，则P（B）的取值范围是（　　）
A.[0，0.9]　 B.[0.1，0.9]
C.（0，0.9]　 D.[0，1]
3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）
A.0.20　 B.0.39
C.0.35　 D.0.90
4.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g范围内的概率是（　　）
A.0.62　 B.0.38
C.0.02　 D.0.68
5.（多选）口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球中至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”.下列判断中正确的是（　　）
A.A与D为对立事件
B.C与E是对立事件
C.P（C∪E）＝1
D.P（B）＝P（C）
6.（多选）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（　　）
A.恰有一名参赛学生是男生的概率为
B.至少有一名参赛学生是男生的概率为
C.至多有一名参赛学生是男生的概率为
D.两名参赛学生都是男生的概率为
7.围棋盒子中有多颗黑子和白子，已知取出2颗都是黑子的概率为，取出2颗都是白子的概率是，则任意取出2颗恰好是同一色的概率是　　　　.
8.事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P（A）＝2P（B），则P（A）＝　　　　.
9.已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是　　　　.
10.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位（单位：m）在各个范围内的概率如下表：
年最高 水位/m [8，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，18]
概率 0.10 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：
（1）[10，16）m；
（2）[8，12）m；
（3）[14，18]m.
11.某城市2023年的空气污染指数如下表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染.该城市2023年空气质量达到良或优的概率为（　　）
A.　　 B.　　C.　　 D.
12.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有　　　　人.
13.甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”.
根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测　　　　次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为　　　.
14.某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）抽取1张奖券中奖概率；
（3）抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
15.（多选）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.
若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（　　）
A.应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人
B.第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C.第5组志愿者被抽中的概率为
D.第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
16.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
（1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是多少？
（3）经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的概率是多少？
第二课时　互斥事件的概率
1.D　由于不能确定A与B是否互斥，则P（A＋B）的值不能确定.
2.A　由于事件A和B是互斥事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.1＋P（B），又0≤P（A＋B）≤1，所以0≤0.1＋P（B）≤1，又P（B）≥0，所以0≤P（B）≤0.9，故选A.
3.C　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P（A）＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
4.C　设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8～4.85 g”为事件C，则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P（B）＝P（A＋C）＝P（A）＋P（C），则P（C）＝P（B）－P（A）＝0.32－0.3＝0.02.
5.AC　因为口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，由对立事件定义得A与D为对立事件，故A正确；C与E有可能同时发生，不是对立事件，故B错误；P（C）＝1－＝，P（E）＝，P（C∩E）＝，从而P（C∪E）＝P（C）＋P（E）－P（C∩E）＝1（或由C∪E为必然事件，得P（C∪E）＝1），故C正确；黄球与白球的个数不同，从而P（B）≠P（C），故D错误.
6.AC　从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3＝9（种）结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为＝，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为＝，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，C对.故选A、C.
7.　解析：设“取出2颗都是黑子”为事件A，“取出2颗都是白子”为事件B，“任意取出2颗恰好是同一色”为事件C，则事件C即事件A＋B，且事件A与事件B互斥，所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝＋＝，即任意取出2颗恰好是同一色的概率为.
8.　解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P（A）＋P（B）＝1－＝.又因为P（A）＝2P（B），所以P（A）＋P（A）＝，所以P（A）＝.
9.　解析：从6名同学中任选两人，用列举法易知共有15个样本点.如果从中选2人，全是男生，共有6个样本点.故全是男生的概率是＝.从而至少有1名女生的概率是1－＝.
10.解：记此河流某处的年最高水位在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18]m分别为事件A，B，C，D，E，则A，B，C，D，E两两互斥.
（1）P（B＋C＋D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
（2）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.10＋0.28＝0.38.
（3）P（D＋E）＝P（D）＋P（E）＝0.16＋0.08＝0.24.
11.A　所求概率为＋＋＝.故选A.
12.120　解析：可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
13.5　　解析：记Ai为乙的第i个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有（，A2，A3，A4），（A1，，A3，A4），（A1，A2，，A4），（A1，，，A4），（，A2，，A4），（，，A3，A4），共6种，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为.
14.解：（1）∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝.
（2）设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝＋＋＝.
（3）设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P（E）＝1－P（A）－P（B）＝1－－＝.
15.ABC　第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.因为第3，4，5组共有60名志愿者，利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，抽样比为，所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人，故A正确.记第3组的3名志愿者分别为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者分别为B1，B2，第5组的1名志愿者为C，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）}，共有15个样本点.第4组的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的样本点个数为8，所以第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为，故B正确.第5组的志愿者恰好被抽中，所含的样本点个数为5，所以第5组志愿者被抽中的概率为＝，故C正确.第3组志愿者至少有一人被抽中，所含的样本点个数为12，所以第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为＝，故D不正确.综上，应选A、B、C.
16.解：（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，
得
解得
所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
所以黑球的个数为9×＝3个，黄球的个数为9×＝2个，绿球的个数为9×＝4个，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4个.
（2）由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2， 所以从所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，黑球与黄球各得一个的事件为D，其D中包含6个样本点，则P（D）＝＝.
（3）因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两个黑球包含的样本点是3个，两个黄球包含的样本点是1个，两个绿球包含的样本点是6个，于是，两个球同色的概率为＝，则两个球颜色不相同的概率是1－＝.
3 / 3第二课时　互斥事件的概率
新课程标准解读 核心素养
通过实例，理解概率的性质，掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则 数学建模、数学运算
【问题】　（1）抛掷一枚骰子，点数2朝上和点数3朝上可以同时发生吗？
（2）在两个装有质量盘的不透明箱子中各随机地取出一个质量盘，“总质量至少20 kg”与“总质量不超过10 kg”能同时发生吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　互斥事件的概率加法公式
1.在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P（A∪B）＝　　　　　　.这一公式称为互斥事件的概率加法公式.
2.特别地，P（A∪）＝P（A）＋P（），即P（A）＋P（）＝1，所以P（）＝　　　　.
3.一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P（A1∪A2∪…∪An）＝　　　　　　　　　　　　　　.
提醒　（1）运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果；
（2）求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解.如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误；（3）求解“至多”“至少”型事件的概率时，若直接计算符合条件的样本点的个数较烦琐，可先计算其对立事件的概率，再求结果.
【想一想】
设事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），那么事件A∪B发生的概率是P（A）＋P（B）吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）A，B为两个事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）.（　　）
（2）若事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1.（　　）
（3）如果事件A与事件B互斥，那么P（A）＋P（B）≤1.（　　）
2.事件A与B是对立事件，且P（A）＝0.3，则P（B）＝　　　　.
题型一 互斥事件与对立事件概率公式的应用
【例1】　一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，求射中环数小于8环的概率.
2.（变条件，变设问）某射击运动员在一次射击中，射中10环的概率是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1，求运动员在一次射击中，射中10环的概率.
通性通法
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
（1）确定各事件彼此互斥；
（2）求各事件分别发生的概率，再求其和.
值得注意的是：（1）是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
【跟踪训练】
甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
（1）甲获胜的概率；
（2）甲不输的概率.
题型二 互斥事件与对立事件概率的综合问题
【例2】　一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率.
尝试解答
通性通法
求复杂互斥事件概率的2种方法
直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和
间接法 先求该事件的对立事件的概率，再由P（A）＝1－P（）求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法
【跟踪训练】
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求：
（1）该队员只属于一支球队的概率；
（2）该队员最多属于两支球队的概率.
题型三 概率与统计的综合应用问题
【例3】　为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5，6，7，8，9，10（单位：分）.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
评估的平均得分/分 [0，6） [6，8） [8，10]
全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀
（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计我市的总体交通状况等级；
（2）用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
尝试解答
通性通法
　　解决古典概型与统计交汇的综合问题时，把相关的知识转化为事件，列举出样本空间，求出样本点的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
【跟踪训练】
某校从七年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校七年级共有学生640人，试估计该校七年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
1.已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.5，P（B）＝0.3，则P（）＝（　　）
A.0.5　　 B.0.2
C.0.7　　 D.0.8
2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）
A.0.3　　 B.0.4
C.0.6　　 D.0.7
3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（　　）
A.0.42　　 B.0.28
C.0.3　　 D.0.7
4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（　　）
A.　　　B.　　C.　　　D.
5.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
第二课时　互斥事件的概率
【基础知识·重落实】
知识点
1.P（A）＋P（B）　2.1－P（A）　3.P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）
想一想
　提示：不一定.当事件A与B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；当事件A与B不互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）.
自我诊断
1.（1）×　 （2）×　（3）√
2.0.7　解析：P（B）＝1－P（A）＝0.7.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P（A）＝0.24，P（B）＝0.28，P（C）＝0.19，P（D）＝0.16，P（E）＝0.13.
（1）P（射中10环或9环）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
（2）事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P（至少射中7环）＝1－P（E）＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.
母题探究
1.解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P（射中环数小于8环）＝P（D∪E）＝P（D）＋P（E）＝0.16＋0.13＝0.29.
2.解：设事件A，B，C分别表示“射中10环”“射中9环”“射中9环以下”，则＝A∪B，
因为P（A）＝2P（B），所以P（）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1－0.1＝0.9，
得3P（B）＝0.9，所以P（B）＝0.3，P（A）＝0.6.
即运动员在一次射击中，射中10环的概率为0.6.
跟踪训练
　解：（1）“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.即甲获胜的概率是.
（2）法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P（A）＝＋＝.
法二　设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P（A）＝1－＝.即甲不输的概率是.
【例2】　解：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（A4）＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
法一　由互斥事件的概率加法公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝＋＝.
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
＝＋＋＝.
法二　（1）取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P（A1＋A2）＝1－P（A3＋A4）＝1－P（A3）－P（A4）＝1－－＝＝.
（2）A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以
P（A1＋A2＋A3）＝1－P（A4）＝1－＝.
跟踪训练
　解：（1）分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名.则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.
令“抽取一名队员且该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，
∴P（D）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝＋＋＝.
（2）令“抽取一名队员且该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员且该队员属于3支球队”，
∴P（E）＝1－P（）＝1－＝.
【例3】　解：（1）6条道路的平均得分为×（5＋6＋7＋8＋9＋10）＝7.5（分），所以该市的总体交通状况等级为合格.
（2）设A表示事件“样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5”.
从6条道路中抽取2条的得分组成的样本空间为Ω＝{（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）}，共15个样本点，事件A包括的样本点为（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共7个.
所以P（A）＝.
故该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.
跟踪训练
　解：（1）由已知，得10×（0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010）＝1，解得a＝0.030.
（2）根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×（0.005＋0.010）＝0.85.由于该校七年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校七年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.
（3）易知成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的样本点有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个.如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的样本点有（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，故所求概率P（M）＝.
随堂检测
1.D　∵A与B互斥，∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B），∴P（A）＝0.5－0.3＝0.2，∴P（）＝1－P（A）＝1－0.2＝0.8.
2.B　设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P（C）＝1－P（A）－P（B）＝1－0.45－0.15＝0.4.
3.C　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
4.D　记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2，从3个红球、2个白球中任取3个，则样本空间Ω＝{（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，b1，b2），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2）}，共含10个样本点，样本点出现的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用事件A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”，则事件包含的样本点有1个（a1，a2，a3），所以P（）＝.故P（A）＝1－P（）＝1－＝.
5.　解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
3 / 4(共75张PPT)
第二课时　互斥事件的概率
新课程标准解读 核心素养
通过实例，理解概率的性质，掌握互斥事件、
对立事件概率的运算法则 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
【问题】　（1）抛掷一枚骰子，点数2朝上和点数3朝上可以同时发
生吗？
（2）在两个装有质量盘的不透明箱子中各随机地取出一个质量盘，
“总质量至少20 kg”与“总质量不超过10 kg”能同时发生吗？



知识点　互斥事件的概率加法公式
1. 在一个试验中，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么有 P （ A ∪
B ）＝ .这一公式称为互斥事件的概率加法
公式.
2. 特别地， P （ A ∪ ）＝ P （ A ）＋ P （ ），即 P （ A ）＋ P
（ ）＝1，所以 P （ ）＝ .
P （ A ）＋ P （ B ）　
1－ P （ A ）　
3. 一般地，如果事件 A1， A2，…， An 两两互斥，那么有 P （ A1∪
A2∪…∪ An ）＝ .
提醒　（1）运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事
件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做
到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结
果；（2）求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转
化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运
用公式求解.如果采用
P （ A1）＋ P （ A2）＋…＋ P （ An ）　
方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗
漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现
错误；（3）求解“至多”“至少”型事件的概率时，若直接计
算符合条件的样本点的个数较烦琐，可先计算其对立事件的概
率，再求结果.
【想一想】
设事件 A 发生的概率为 P （ A ），事件 B 发生的概率为 P （ B ），
那么事件 A ∪ B 发生的概率是 P （ A ）＋ P （ B ）吗？
提示：不一定.当事件 A 与 B 互斥时， P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P
（ B ）；当事件 A 与 B 不互斥时， P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P
（ B ）－ P （ A ∩ B ）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） A ， B 为两个事件，则 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）.
（　×　）
（2）若事件 A ， B ， C 两两互斥，则 P （ A ）＋ P （ B ）＋ P
（ C ）＝1. （　×　）
（3）如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P （ A ）＋ P （ B ）≤1.
（　√　）
×
×
√
2. 事件 A 与 B 是对立事件，且 P （ A ）＝0.3，则 P （ B ）＝ .
解析： P （ B ）＝1－ P （ A ）＝0.7.
0.7　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 互斥事件与对立事件概率公式的应用
【例1】　一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，
7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击
运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射
中7环以下”的事件分别为 A ， B ， C ， D ， E ，可知它们彼此
之间互斥，且 P （ A ）＝0.24， P （ B ）＝0.28， P （ C ）＝
0.19， P （ D ）＝0.16， P （ E ）＝0.13.
P （射中10环或9环）＝ P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝
0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
（2）至少射中7环的概率.
解：事件“至少射中7环”与事件 E “射中7环以下”是对立事
件，则 P （至少射中7环）＝1－ P （ E ）＝1－0.13＝0.87.所以
至少射中7环的概率为0.87.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，求射中环数小于8环的概率.
解：事件“射中环数小于8环”包含事件 D “射中7环”与事件 E
“射中7环以下”两个事件，则 P （射中环数小于8环）＝ P （ D ∪
E ）＝ P （ D ）＋ P （ E ）＝0.16＋0.13＝0.29.
2. （变条件，变设问）某射击运动员在一次射击中，射中10环的概率
是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1，求运动
员在一次射击中，射中10环的概率.
解：设事件 A ， B ， C 分别表示“射中10环”“射中9环”“射中9
环以下”，则 ＝ A ∪ B ，
因为 P （ A ）＝2 P （ B ），所以 P （ ）＝ P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）
＋ P （ B ）＝1－0.1＝0.9，
得3 P （ B ）＝0.9，所以 P （ B ）＝0.3， P （ A ）＝0.6.
即运动员在一次射击中，射中10环的概率为0.6.
通性通法
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
（1）确定各事件彼此互斥；
（2）求各事件分别发生的概率，再求其和.
值得注意的是：（1）是公式使用的前提条件，不符合这点，是
不能运用互斥事件的概率加法公式的.
【跟踪训练】
甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，求：
（1）甲获胜的概率；
解：“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获
胜”的概率 P ＝1－ － ＝ .即甲获胜的概率是 .
法二　设事件 A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所
以 P （ A ）＝1－ ＝ .即甲不输的概率是 .
（2）甲不输的概率.
解：法一　设事件 A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”和
“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P （ A ）＝ ＋ ＝ .
题型二 互斥事件与对立事件概率的综合问题
【例2】　一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白
球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解：记事件 A1＝{任取1球为红球}， A2＝{任取1球为黑球}， A3
＝{任取1球为白球}， A4＝{任取1球为绿球}，则 P （ A1）＝
， P （ A2）＝ ， P （ A3）＝ ， P （ A4）＝ .
根据题意知，事件 A1， A2， A3， A4彼此互斥，
法一　由互斥事件的概率加法公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P （ A1＋ A2）＝ P （ A1）＋ P （ A2）＝ ＋ ＝ .
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P （ A1＋ A2＋ A3）＝ P （ A1）＋ P （ A2）＋ P （ A3）
＝ ＋ ＋ ＝ .
法二　（1）取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿
球，即 A1＋ A2的对立事件为 A3＋ A4.所以取得1球为红球或黑球的概率
为 P （ A1＋ A2）＝1－ P （ A3＋ A4）＝1－ P （ A3）－ P （ A4）＝1－
－ ＝ ＝ .
（2） A1＋ A2＋ A3的对立事件为 A4，所以
P （ A1＋ A2＋ A3）＝1－ P （ A4）＝1－ ＝ .
通性通法
求复杂互斥事件概率的2种方法
直接
法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和
间接
法
【跟踪训练】
　某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队
员不止参加了一支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名
队员，求：
（1）该队员只属于一支球队的概率；
解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球
队”为事件 A ， B ， C . 由图知3支球队共有球员20名.则 P
（ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P （ C ）＝ .
令“抽取一名队员且该队员只属于一支球队”为事件 D .
则 D ＝ A ＋ B ＋ C ，∵事件 A ， B ， C 两两互斥，
∴ P （ D ）＝ P （ A ＋ B ＋ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P
（　C　）
＝ ＋ ＋ ＝ .
（2）该队员最多属于两支球队的概率.
解：令“抽取一名队员且该队员最多属于两支球队”为事件
E ，则 为“抽取一名队员且该队员属于3支球队”，
∴ P （ E ）＝1－ P （ ）＝1－ ＝ .
题型三 概率与统计的综合应用问题
【例3】　为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分
别为5，6，7，8，9，10（单位：分）.规定评估的平均得分与全市的
总体交通状况等级如下表：
评估的平均得分/分 [0，6） [6，8） [8，10]
全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀
（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计我市的总体交通状况
等级；
解：6条道路的平均得分为 ×（5＋6＋7＋8＋9＋10）＝7.5
（分），所以该市的总体交通状况等级为合格.
（2）用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组
成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值
不超过0.5的概率.
解：设 A 表示事件“样本的平均数与总体的平均数之差的绝对
值不超过0.5”.
从6条道路中抽取2条的得分组成的样本空间为Ω＝{（5，6），
（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），
（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），
（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）}，共15个样本
点，事件 A 包括的样本点为（5，9），（5，10），（6，8），
（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共7个.
所以 P （ A ）＝ .
故该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 .
通性通法
　　解决古典概型与统计交汇的综合问题时，把相关的知识转化为事
件，列举出样本空间，求出样本点的个数，然后利用古典概型的概率
计算公式进行计算.
【跟踪训练】
某校从七年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩
（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），
[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中实数 a 的值；
解：由已知，得10×（0.005＋0.010＋0.020＋ a ＋0.025＋
0.010）＝1，解得 a ＝0.030.
（2）若该校七年级共有学生640人，试估计该校七年级期中考试数学
成绩不低于60分的人数；
解：根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－
10×（0.005＋0.010）＝0.85.由于该校七年级共有学生640
人，利用样本估计总体的思想，可估计该校七年级期中考试数
学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中
随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大
于10的概率.
解：易知成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，这2
人分别记为 A ， B ；成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1
＝4，这4人分别记为 C ， D ， E ， F .
若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选
取2名学生，则所有的样本点有（ A ， B ），（ A ， C ），（ A ， D ），
（ A ， E ），（ A ， F ），（ B ， C ），（ B ， D ），（ B ， E ），
（ B ， F ），（ C ， D ），（ C ， E ），（ C ， F ），（ D ， E ），
（ D ， F ），（ E ， F ），共15个.
如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件 M ，则事件 M 包含的样本点有（ A ， B ），（ C ， D ），（ C ， E ），（ C ， F ），（ D ， E ），（ D ， F ），（ E ， F ），共7个，故所求概率 P （ M ）＝ .
1. 已知随机事件 A 和 B 互斥，且 P （ A ∪ B ）＝0.5， P （ B ）＝0.3，
则 P （ ）＝（　　）
A. 0.5 B. 0.2
C. 0.7 D. 0.8
解析：　∵ A 与 B 互斥，∴ P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ），
∴ P （ A ）＝0.5－0.3＝0.2，∴ P （ ）＝1－ P （ A ）＝1－0.2
＝0.8.
2. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用
非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）
A. 0.3 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析：　设“只用现金支付”为事件 A ，“既用现金支付也用非
现金支付”为事件 B ，“不用现金支付”为事件 C ，则 P （ C ）＝
1－ P （ A ）－ P （ B ）＝1－0.45－0.15＝0.4.
3. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的
概率是（　　）
A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7
解析：　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出
黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
4. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少
有1个白球的概率是（　　）
A. 　　C. 　 D.
解析：　记3个红球分别为 a1， a2， a3，2个白球分别为 b1， b2，从3个红球、2个白球中任取3个，则样本空间Ω＝{（ a1， a2， a3），（ a1， a2， b1），（ a1， a2， b2），（ a1， a3， b1），（ a1， a3， b2），（ a1， b1， b2），（ a2， a3， b1），（ a2， a3， b2），（ a2， b1， b2），（ a3， b1， b2）}，共含10个样本点，样本点出现的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用事件 A 表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件 表示“所取的3个球中没有白球”，则事件 包含的样本点有1个（ a1， a2， a3），所以 P （ ）＝ .故 P （ A ）＝1－ P （ ）＝1－ ＝ .
5. 中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比
赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队
夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲
夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即
彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，即中国队
夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ＋ ＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. P （ A ）＝0.1， P （ B ）＝0.2，则 P （ A ＋ B ）＝（　　）
A. 0.3 B. 0.2
C. 0.1 D. 不确定
解析：　由于不能确定 A 与 B 是否互斥，则 P （ A ＋ B ）的值不能
确定.
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2. 若事件 A 和 B 是互斥事件，且 P （ A ）＝0.1，则 P （ B ）的取值范
围是（　　）
A. [0，0.9] B. [0.1，0.9]
C. （0，0.9] D. [0，1]
解析：　由于事件 A 和 B 是互斥事件，则 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）
＋ P （ B ）＝0.1＋ P （ B ），又0≤ P （ A ＋ B ）≤1，所以0≤0.1
＋ P （ B ）≤1，又 P （ B ）≥0，所以0≤ P （ B ）≤0.9，故选A.
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3. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A ＝“抽到一等品”，事件
B ＝“抽到二等品”，事件 C ＝“抽到三等品”.已知 P （ A ）＝
0.65， P （ B ）＝0.2， P （ C ）＝0.1，则事件“抽到的不是一等
品”的概率为（　　）
A. 0.20 B. 0.39
C. 0.35 D. 0.90
解析：　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而 P
（ A ）＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
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4. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质
量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g范围内的概率
是（　　）
A. 0.62 B. 0.38
C. 0.02 D. 0.68
解析：　设“质量小于4.8 g”为事件 A ，“质量小于4.85 g”为
事件 B ，“质量在4.8～4.85 g”为事件 C ，则 A ＋ C ＝ B ，且 A ，
C 为互斥事件，所以 P （ B ）＝ P （ A ＋ C ）＝ P （ A ）＋ P
（ C ），则 P （ C ）＝ P （ B ）－ P （ A ）＝0.32－0.3＝0.02.
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5. （多选）口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小
球，从中取出2球，事件 A ＝“取出的2球同色”， B ＝“取出的2
球中至少有1个黄球”， C ＝“取出的2球中至少有1个白球”， D
＝“取出的2球不同色”， E ＝“取出的2球中至多有1个白球”.下
列判断中正确的是（　　）
A. A 与 D 为对立事件
B. C 与 E 是对立事件
C. P （ C ∪ E ）＝1
D. P （ B ）＝ P （　C　）
C
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解析：　因为口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小
球，从中取出2球，由对立事件定义得 A 与 D 为对立事件，故A正
确； C 与 E 有可能同时发生，不是对立事件，故B错误； P （ C ）
＝1－ ＝ ， P （ E ）＝ ， P （ C ∩ E ）＝ ，从而 P （ C ∪
E ）＝ P （ C ）＋ P （ E ）－ P （ C ∩ E ）＝1（或由 C ∪ E 为必然
事件，得 P （ C ∪ E ）＝1），故C正确；黄球与白球的个数不同，
从而 P （ B ）≠ P （ C ），故D错误.
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6. （多选）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任
选2名学生去参加数学竞赛，则（　　）
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解析：　从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学
竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名
男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3＝9（种）结果，所
以恰有一名参赛学生是男生的概率为 ＝ ，A对；“至少有一名
参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3
名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概
率为1－ ＝ ，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中
任选2人有3种结果，其概率为 ＝ ，D错；
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“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男
生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－ ＝ ，C对.故选
A、C.
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7. 围棋盒子中有多颗黑子和白子，已知取出2颗都是黑子的概率为
，取出2颗都是白子的概率是 ，则任意取出2颗恰好是同一色的
概率是 .
解析：设“取出2颗都是黑子”为事件 A ，“取出2颗都是白子”为
事件 B ，“任意取出2颗恰好是同一色”为事件 C ，则事件 C 即事
件 A ＋ B ，且事件 A 与事件 B 互斥，所以 P （ C ）＝ P （ A ）＋ P
（ B ）＝ ＋ ＝ ，即任意取出2颗恰好是同一色的概率为 .
　
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8. 事件 A ， B 互斥，它们都不发生的概率为 ，且 P （ A ）＝2 P
（ B ），则 P （ A ）＝ .
解析：因为事件 A ， B 互斥，它们都不发生的概率为 ，所以 P
（ A ）＋ P （ B ）＝1－ ＝ .又因为 P （ A ）＝2 P （ B ），所以 P
（ A ）＋ P （ A ）＝ ，所以 P （ A ）＝ .
　
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9. 已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项
活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是 .
解析：从6名同学中任选两人，用列举法易知共有15个样本点.如果
从中选2人，全是男生，共有6个样本点.故全是男生的概率是 ＝
.从而至少有1名女生的概率是1－ ＝ .
　
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10. 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位（单位：m）在各个
范围内的概率如下表：
年最高水
位/m [8，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，18]
概率 0.10 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概
率：
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（1）[10，16）m；
（1） P （ B ＋ C ＋ D ）＝ P （ B ）＋ P （ C ）＋ P （ D ）＝
0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
解：记此河流某处的年最高水位在[8，10），[10，12），
[12，14），[14，16），[16，18]m分别为事件 A ， B ，
C ， D ， E ，则 A ， B ， C ， D ， E 两两互斥.
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（2）[8，12）m；
解： P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝0.10＋0.28＝
0.38.
（3）[14，18]m.
解： P （ D ＋ E ）＝ P （ D ）＋ P （ E ）＝0.16＋0.08＝
0.24.
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11. 某城市2023年的空气污染指数如下表所示：
污染指数 T 30 60 100 110 130 140
概率 P
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解析：　所求概率为 ＋ ＋ ＝ .故选A.
其中污染指数 T ≤50时，空气质量为优；50＜ T ≤100时，空气质
量为良，100＜ T ≤150时，空气质量为轻微污染.该城市2023年空
气质量达到良或优的概率为（　　）
A.
C. 　 D.
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12. 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教
师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为 ，则参加
联欢会的教师共有 　　人.
120
解析：可设参加联欢会的教师共有 n 人，由于从这些教师中选一
人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所
以选中女教师的概率为1－ ＝ .再由题意，知 n － n ＝
12，解得 n ＝120.
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解析：记 Ai 为乙的第 i 个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到
幼的性别情况有（ ， A2， A3， A4），（ A1， ， A3， A4），
（ A1， A2， ， A4），（ A1， ， ， A4），（ ， A2，
， A4），（ ， ， A3， A4），共6种，最多需要猜测5次，
便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对
的概率为 .
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14. 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1
000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50
个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A ， B ，
C ，求：
（1） P （ A ）， P （ B ）， P （　 C 　）；
C
解：∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，
二等奖50个，
∴ P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ＝ ， P （ C ）＝
＝ .
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（2）抽取1张奖券中奖概率；
解：设“抽取1张奖券中奖”为事件 D ，则
P （ D ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （　C　）
＝ ＋ ＋ ＝ .
（3）抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件 E ，则 P （ E ）＝1－ P （ A ）－ P （ B ）＝1－ － ＝ .
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15. （多选）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣
传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：
第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组
[35，40），第5组[40，45]，得到
的频率分布直方图如图所示.
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若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广
场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介
绍宣传经验，则下列结论正确的是（　　）
A. 应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人
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解析：　第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为
0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.因为第3，
4，5组共有60名志愿者，利用分层随机抽样的方法在60名志愿者
中抽取6名志愿者，抽样比为 ，所以应从第3，4，5组中分别抽
取3人，2人，1人，故A正确.记第3组的3名志愿者分别为 A1，
A2， A3，第4组的2名志愿者分别为 B1， B2，第5组的1名志愿者为
C ，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的样本空间Ω＝{（ A1，
A2），（ A1， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， C ），
（ A2， A3），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， C ），（ A3，
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B1），（ A3， B2），（ A3， C ），（ B1， B2），（ B1， C ），（ B2，
C ）}，共有15个样本点.第4组的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的
样本点个数为8，所以第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为 ，故B
正确.第5组的志愿者恰好被抽中，所含的样本点个数为5，所以第5组
志愿者被抽中的概率为 ＝ ，故C正确.第3组志愿者至少有一人被
抽中，所含的样本点个数为12，所以第3组志愿者至少有一人被抽中
的概率为 ＝ ，故D不正确.综上，应选A、B、C.
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16. 袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿
球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或
绿球的概率是 ，试求：
（1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
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解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为
事件 A ， B ， C ，
由于 A ， B ， C 为互斥事件，根据已知，
得
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解得
所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， ， .
所以黑球的个数为9× ＝3个，黄球的个数为9× ＝2个，
绿球的个数为9× ＝4个，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4个.
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（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概
率是多少？
解：由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2， 所以从所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，黑球与黄球各得一个的事件为 D ，其 D 中包含6个样本点，则 P （ D ）＝ ＝ .
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（3）经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不
相同的概率是多少？
解：因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两
个黑球包含的样本点是3个，两个黄球包含的样本点是1个，
两个绿球包含的样本点是6个，于是，两个球同色的概率为
＝ ，则两个球颜色不相同的概率是1－ ＝ .
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谢 谢 观 看！

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