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3　频率与概率
1.在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（　　）
A.0.45，0.45　　　　 B.0.5，0.5
C.0.5，0.45　 D.0.45，0.5
2.从存放标有1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到号码为奇数的频率是（　　）
A.0.53　 B.0.5
C.0.47　 D.0.37
3.“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（　　）
A.小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B.小概率事件很少发生，不用怕
C.小概率事件就是不可能事件，不会发生
D.大概率事件就是必然事件，一定发生
4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683
631　257　393　027　556　488　730　113　137　989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为（　　）
A.　 B.
C.　 D.
5.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6
B.某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报
C.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D.频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
6.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B.掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件
C.连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀
D.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于
7.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了　　　　次试验.
8.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组 [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150]
频数 1 2 3 10 3 1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的　　　　%.
9.投掷硬币的结果如下表：
投掷硬币的次数 200 500 c
正面向上的次数 102 b 404
正面向上的频率 a 0.482 0.505
则a　　　　，b＝　　　　，c＝　　　　.
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为　　　　.
10.国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如下表：
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
（1）计算表中优等品的各个频率；
（2）从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
11.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理（　　）
A.甲公司　 B.乙公司
C.甲与乙公司　 D.以上都对
12.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20 ℃，25 ℃），需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40]
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝　　　　　.
13.对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25）内的为一等品，在区间[15，20）或[25，30）内的为二等品，在区间[10，15）或[30，35]内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为　　　　　　.
14.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）进行试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
质量指标 值分组 频数
[90，94） 8
[94，98） 20
[98，102） 42
[102，106） 22
[106，110] 8
　　B配方的频数分布表
质量指标 值分组 频数
[90，94） 4
[94，98） 12
[98，102） 42
[102，106） 32
[106，110] 10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值t的关系为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品的平均利润.
15.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A.抛一枚硬币，出现正面朝上
B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
16.深夜，一辆出租车牵涉一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车和红色出租车的数量分别占整个城市出租车数量的85%和15%，据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，相关人员对证人的辨色能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
3　频率与概率
1.D　出现正面朝上的频率是45÷100＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5.故选D.
2.A　取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53.∴取到号码为奇数的频率为＝0.53.
3.A　因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件.故选A.
4.B　由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共7组随机数，∴所求概率为.
5.CD　A项，某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误；B项，买彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；C项，根据古典概型的概率公式可知正确；D项，频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化；概率指的是某一事件发生的可能程度，故正确.故选C、D.
6.AC　由频率与概率的关系知，A正确；对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，故B错误；对于C，连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，若骰子是均匀的，这是一个概率很小的事件，故有理由认为这枚骰子质地不均匀，故C正确；对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于，故D错误.故选A、C.
7.500　解析：设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验.
8.70　解析：计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例，由题意知＝0.7＝70%.
9.0.51　241　800　0.5　解析：a＝＝0.51，b＝500×0.482＝241，c＝＝800.
易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.
10.解：（1）结果如下表：
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
（2）根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约为0.95.
11.B　该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车3 100辆，则甲公司出租车肇事的概率为P＝＝，乙公司出租车肇事的概率为P＝＝，显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的概率.故认定乙公司肇事较合理.故选B.
12.300　解析：由表可知，最高气温低于25 ℃的频率为：＝0.1，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.
13.0.45　解析：设区间[25，30）对应矩形的高度为x，则由所有矩形面积之和为1，得（0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x）×5＝1，解得x＝0.05，所以该件产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.
14.解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96.
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率的估计值为0.96.
用B配方生产的这100件产品的平均利润为×[4×（－2）＋（12＋42）×2＋（32＋10）×4]＝2.68（元）.
15.D　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合；选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为，不符合；选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为，不符合；选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为，在0.3到0.4之间，符合题意.故选D.
16.解：判断认定结论是否公平，需先估算出两种颜色出租车肇事的概率，再根据相应的概率进行判断.
法一　假设该城市有出租车1 000辆，那么依题意可得如下信息：
证人所说的颜色（正确率80%）
真实 颜色 蓝色 红色 合计
蓝色（85%） 680 170 850
红色（15%） 30 120 150
合计 710 290 1 000
从表中可以看出，当证人说出租车是红色的时，它确实是红色的概率为≈0.41，而它是蓝色的概率为≈0.59，
在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.
法二　由题意可知，证人说出租车是红色的概率为15%×80%＋85%×20%＝29%，而其中它确实是红色的概率为15%×80%＝12%，
因此证人证词正确的概率为≈0.41，而证人证词错误的概率为≈0.59，
在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.
4 / 43　频率与概率
新课程标准解读 核心素养
结合实例，会用频率估计概率 数学抽象、逻辑推理
投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是.很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性.体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在处，即正面和反面出现的概率都为.
【问题】　你知道频率与概率有什么关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　频率与概率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在　　　　　附近摆动，即随机事件A发生的频率具有　　　　.这时，把这个　　　叫作随机事件A的概率，记作P（A）.显然，　 　≤P（A）≤　 　.我们通常用频率来估计概率.
提醒　（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到某个事件的频率会不同.而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；（2）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
【想一想】
1.同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？
2.怎样根据频率求事件发生的概率？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品.（　　）
（2）做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是.（　　）
（3）某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.（　　）
（4）小概率事件就是不可能发生的事件.（　　）
2.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是（　　）
A.概率为
B.频率为
C.概率接近
D.每抽10台电视机，必有1台次品
3.某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件商品中一定有1件是不合格的，这种认识是　　　　的（填“合理”或“不合理”）.
题型一 概率的意义
【例1】　试从概率角度解释下列说法的含义：
（1）掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？
（2）某种病的治愈率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈率是0.3？
（3）据报道：某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震.在这里，“千年一遇”是什么意思？
尝试解答
通性通法
三个方面理解概率
（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值；
（2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映；
（3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
【跟踪训练】
（多选）下列说法中，正确的是（　　）
A.某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B.某人射击10次，击中靶心7次，则他击中靶心的概率是0.7
C.某人射击10次，击中靶心的概率是，则他可能击中靶心5次
D.某人射击击中靶心的概率是0.6，则他射击10次击不中靶心的次数一定是为4次
题型二 利用频率估计概率
【例2】　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如表所示：
分组 频数 频率
[500，900） 223
[900，1 100） 193
[1 100，1 300） 165
[1 300，1 500） 42
[1 500，1 700） 48
[1 700，1 900） 121
[1 900，＋∞） 208
（1）求各组的频率；
（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
尝试解答
通性通法
1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.
2.解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.
【跟踪训练】
某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟数 81 95 123 82 119 129 121
击中飞碟 的频率
（1）将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
（2）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
题型三 频率与概率的实际应用
【例3】　为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
尝试解答
通性通法
　　由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
【跟踪训练】
1.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为　　　　双.
2.某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示：
鱼卵数 200 600 900 1 200 1 800 2 400
孵化出的 鱼苗数 188 548 817 1 067 1 614 2 163
孵化成功 的频率 0.940 0.913 0.908 ① 0.897 ②
（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）？
（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率；
（3）要孵化5 000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）？
1.“某彩票的中奖概率为”意味着（　　）
A.买1 000张彩票就一定能中奖
B.买1 000张彩票中一次奖
C.买1 000张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性是
2.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的（　　）
A.概率为　　　　　 B.频率为
C.频率为8　　 D.概率接近
3.在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P（A）与的关系是（　　）
A.P（A）≈　　 B.P（A）＜
C.P（A）＞　　 D.P（A）＝
4.（多选）下列说法不合理的是（　　）
A.抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，即每掷6次就有一次掷得点数6
B.抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率
C.某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的区域下雨
D.随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
5.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为　　　　.
3　频率与概率
【基础知识·重落实】
知识点
　某个常数　稳定性　常数　0　1
想一想
1.提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的.
2.提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　事件C发生的频率为，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近的结论.
3.不合理
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点.所以掷一枚骰子得到6点的概率是，并不意味着把它掷6次能得到1次6点.
（2）如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是0.3，是指随着试验次数的增加，即治疗病人人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈.
（3）“千年一遇”是指0.001的概率，虽然0.001的概率比较小，但不代表没有可能；但也不能说每1 000年就一定会发生一次9级地震.
跟踪训练
　AC　对于A，正确，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以他击中靶心的频率是＝0.8； 对于B，错误，因为某人射击10次，击中靶心7次，只能说这一次试验击中靶心的频率为0.7，但不能说他击中靶心的概率为0.7；对于C，正确，因为某人射击10次，击中靶心的概率是，所以他可能击中靶心5次；对于D，错误，因为某人射击击中靶心的概率是0.6，所以他击不中靶心的概率是0.4，在一次试验中他射击了10次，不一定出现击不中靶心恰有4次.故选A、C.
【例2】　解：（1）频率依次是：0.223，0.193，0.165，0.042，0.048，0.121，0.208.
（2）样本中寿命不足1 500小时的频数是223＋193＋165＋42＝623，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.623.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.623.
跟踪训练
　解：（1）射击次数是100时，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，0.820，0.793，0.806，0.807.
（2）击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
【例3】　解：设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P（A）＝， ①
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P（A）＝， ②
由①②两式，得＝，解得n＝1 500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
跟踪训练
1.60　解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频率分别为＝0.15，＝0.175，＝0.225.
∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2.
∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60（双）.
2.解：（1）≈0.889，≈0.901，
所以①②对应的频率分别为0.889，0.901.
（2）从表中数据可以看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.
（3）设大概需要鱼卵n个，由题意知，＝0.9，所以n＝≈5 600（个）.
随堂检测
1.D
2.B　投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为＝.
3.A　在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于P（A），所以可以用近似的代替P（A），即P（A）≈，故选A.
4.ACD　在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，其意义是掷1次就有的可能掷得点数6，故A错误；在B中，抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；在C中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的可能性会下雨，故C错误；在D中，随机事件A，B中至少有一个发生的概率不一定比A，B中恰有一个发生的概率大，如A＝掷一枚骰子一次，向上的点数是偶数，B＝掷一枚骰子一次，向上的点数是奇数，则A，B中至少有一个发生的概率的概率是1，A，B中恰有一个发生的概率也是1，故D错误.故选A、C、D.
5.0.52　解析：＝0.52.
3 / 4(共77张PPT)
§3　频率与概率
新课程标准解读 核心素养
结合实例，会用频率估计概率 数学抽象、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是
一样的，都是 .很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样
的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有
更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型
的对称性.体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为了
解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果
可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近 ，我
们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固
定在 处，即正面和反面出现的概率都为 .
【问题】　你知道频率与概率有什么关系吗？




知识点　频率与概率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率通
常会在 附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有
.这时，把这个 叫作随机事件 A 的概率，记作 P （ A ）.
显然， ≤ P （ A ）≤ .我们通常用频率来估计概率.
某个常数　
稳定
性　
常数　
0　
1　
提醒　（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的
重复试验得到某个事件的频率会不同.而概率是一个确定的常数，是
客观存在的，与每次试验无关；（2）频率是概率的近似值，随着试
验次数的增加，频率会越来越接近概率.
1. 同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一
样吗？
提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性
的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试
验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的
概率都是一样的.
2. 怎样根据频率求事件发生的概率？
提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估
计概率.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10
件是次品. （　×　）
（2）做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现
正面朝上的概率是 . （　×　）
（3）某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化. （　×　）
（4）小概率事件就是不可能发生的事件. （　×　）
×
×
×
×
2. 从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1
台是次品，若用 C 表示抽到次品这一事件，则对 C 的说法正确的是
（　　）
D. 每抽10台电视机，必有1台次品
解析：　事件 C 发生的频率为 ，由于只做了一次试验，故不能
得出概率接近 的结论.
3. 某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件
商品中一定有1件是不合格的，这种认识是 的（填“合
理”或“不合理”）.
不合理　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 概率的意义
【例1】　试从概率角度解释下列说法的含义：
（1）掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是 ，是否意味着把它
掷6次能得到1次6点？
解：把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验
的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的.这就是
说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也
可以是其他点数，不一定出现6点.所以掷一枚骰子得到6点的概
率是 ，并不意味着把它掷6次能得到1次6点.
（2）某种病的治愈率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能
治愈吗？如何理解治愈率是0.3？
解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是0.3，是指随
着试验次数的增加，即治疗病人人数的增加，大约有30%的人
能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病
人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即
有可能治愈，也可能没有治愈.
（3）据报道：某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震.在这
里，“千年一遇”是什么意思？
解：“千年一遇”是指0.001的概率，虽然0.001的概率比较
小，但不代表没有可能；但也不能说每1 000年就一定会发生一
次9级地震.
通性通法
三个方面理解概率
（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件 A 的本质
属性，随机事件 A 发生的概率是大量重复试验中事件 A 发生的频
率的稳定值；
（2）由概率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试验中发生与否
是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量
上的反映；
（3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的
问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某
一个具体的事件.
【跟踪训练】
（多选）下列说法中，正确的是（　　）
A. 某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B. 某人射击10次，击中靶心7次，则他击中靶心的概率是0.7
D. 某人射击击中靶心的概率是0.6，则他射击10次击不中靶心的次数
一定是为4次
解析：　对于A，正确，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以
他击中靶心的频率是 ＝0.8； 对于B，错误，因为某人射击10次，
击中靶心7次，只能说这一次试验击中靶心的频率为0.7，但不能说他
击中靶心的概率为0.7；对于C，正确，因为某人射击10次，击中靶心
的概率是 ，所以他可能击中靶心5次；对于D，错误，因为某人射击
击中靶心的概率是0.6，所以他击不中靶心的概率是0.4，在一次试验
中他射击了10次，不一定出现击不中靶心恰有4次.故选A、C.
题型二 利用频率估计概率
【例2】　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该
公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结
果如表所示：
分组 频数 频率
[500，900） 223
[900，1 100） 193
[1 100，1 300） 165
[1 300，1 500） 42
[1 500，1 700） 48
[1 700，1 900） 121
[1 900，＋∞） 208
（1）求各组的频率；
解：频率依次是：0.223，0.193，0.165，0.042，0.048，
0.121，0.208.
（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
解：样本中寿命不足1 500小时的频数是223＋193＋165＋42＝
623，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是 ＝0.623.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.623.
通性通法
1. 频率是事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值，利用此公式可
求出它们的频率.频率本身是随机变量，当 n 很大时，频率总是在
一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.
2. 解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用
频率估计概率.
【跟踪训练】
某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞
碟数 81 95 123 82 119 129 121
击中飞
碟的频率
（1）将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
解：射击次数是100时，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是
＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，
0.820，0.793，0.806，0.807.
（2）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
解：击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟
的概率约为0.81.
题型三 频率与概率的实际应用
【例3】　为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方
法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅
做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其
和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天
鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数
据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解：设保护区中天鹅的数量约为 n ，假定每只天鹅被捕到的可能性是
相等的，从保护区中任捕一只，设事件 A ＝{带有记号的天鹅}，则 P
（ A ）＝ ，　①
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的
统计定义可知 P （ A ）＝ ，　②
由①②两式，得 ＝ ，解得 n ＝1 500，所以该自然保护区中天鹅
的数量约为1 500只.
通性通法
　　由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们
可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情
作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似
估计总体中该事件发生的概率.
【跟踪训练】
1. 商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中
各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为
一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频
数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出
的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为 双.
60　
解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频
率分别为 ＝0.15， ＝0.175， ＝0.225.
∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－
0.225＝0.2.
∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60
（双）.
2. 某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同
的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示：
鱼卵数 200 600 900 1 200 1 800 2 400
孵化出的鱼苗数 188 548 817 1 067 1 614 2 163
孵化成功的频率 0.940 0.913 0.908 ① 0.897 ②
（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）？
解： ≈0.889， ≈0.901，
所以①②对应的频率分别为0.889，0.901.
（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率；
解：从表中数据可以看出，虽然频率都不一样，但随着试验
的鱼卵数不断增多，孵化的频率稳定在0.9附近，由此可估计
该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.
（3）要孵化5 000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）？
解：设大概需要鱼卵 n 个，由题意知， ＝0.9，所以 n ＝
≈5 600（个）.
1. “某彩票的中奖概率为 ”意味着（　　）
A. 买1 000张彩票就一定能中奖
B. 买1 000张彩票中一次奖
C. 买1 000张彩票一次奖也不中
2. 某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用 A 表示
“投进球”这一事件，则事件 A 发生的（　　）
C. 频率为8
解析：　投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事
件 A 发生的频数为8，所以事件 A 发生的频率为 ＝ .
3. 在进行 n 次反复试验中，事件 A 发生的频率为 ，当 n 很大时，事
件 A 发生的概率 P （ A ）与 的关系是（　　）
解析：　在进行 n 次反复试验中，事件 A 发生的频率为 ，当 n 很
大时， 越来越接近于 P （ A ），所以可以用 近似的代替 P
（ A ），即 P （ A ）≈ ，故选A.
4. （多选）下列说法不合理的是（　　）
B. 抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的
频率更接近概率
C. 某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有
80%的区域下雨
D. 随机事件 A ， B 中至少有一个发生的概率一定比 A ， B 中恰有一个
发生的概率大
解析：　在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率
是 ，其意义是掷1次就有 的可能掷得点数6，故A错误；在B中，
抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一
定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；在C中，某地气象局
预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的可能
性会下雨，故C错误；在D中，随机事件 A ， B 中至少有一个发生
的概率不一定比 A ， B 中恰有一个发生的概率大，如 A ＝掷一枚骰
子一次，向上的点数是偶数， B ＝掷一枚骰子一次，向上的点数是
奇数，则 A ， B 中至少有一个发生的概率的概率是1， A ， B 中恰有
一个发生的概率也是1，故D错误.故选A、C、D.
5. 在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝
上为事件 A ，则事件 A 出现的频率为 .
解析： ＝0.52.
0.52　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次
试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率
分别为（　　）
A. 0.45，0.45 B. 0.5，0.5
C. 0.5，0.45 D. 0.45，0.5
解析：　出现正面朝上的频率是45÷100＝0.45，出现正面朝上
的概率是0.5.故选D.
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2. 从存放标有1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每
次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号
码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的
次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到号码为奇数的频率是（　　）
A. 0.53 B. 0.5
C. 0.47 D. 0.37
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解析：　取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53.∴取
到号码为奇数的频率为 ＝0.53.
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3. “不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（　　）
A. 小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B. 小概率事件很少发生，不用怕
C. 小概率事件就是不可能事件，不会发生
D. 大概率事件就是必然事件，一定发生
解析：　因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件.故选A.
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4. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随
机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产
生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下
雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
631 257 393 027 556 488 730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为（　　）
A. C. 　 D.
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解析：　由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模
拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的
有：191，271，932，812，631，393，137，共7组随机数，∴所求
概率为 .
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5. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的
概率为0.6
B. 某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩
票，一定会有47元回报
C. 5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性
相同
D. 频率是不能脱离 n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖
于试验次数的理论值
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解析：　A项，某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶
的频率为0.6，故错误；B项，买彩票是一个随机事件，中奖或者
不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；C项，根据古典概型
的概率公式可知正确；D项，频率是在一次试验中某一事件出现的
次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化；概率指的是
某一事件发生的可能程度，故正确.故选C、D.
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6. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B. 掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件
C. 连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质
地不均匀
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解析：　由频率与概率的关系知，A正确；对于B，掷一枚骰子
1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，
故B错误；对于C，连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，若骰
子是均匀的，这是一个概率很小的事件，故有理由认为这枚骰子质
地不均匀，故C正确；对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪
一次，正面向上的概率都等于 ，故D错误.故选A、C.
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7. 已知随机事件 A 发生的频率是0.02，事件 A 出现了10次，那么共进
行了 次试验.
解析：设进行了 n 次试验，则有 ＝0.02，得 n ＝500，故进行了
500次试验.
500　
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8. 从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分
布表如下：
分组 [90，
100） [100，
110） [110，
120） [120，
130） [130，
140） [140，
150]
频数 1 2 3 10 3 1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 %.
解析：计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆
苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例，由题意知 ＝0.7
＝70%.
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9. 投掷硬币的结果如下表：
投掷硬币的次数 200 500 c
正面向上的次数 102 b 404
正面向上的频率 a 0.482 0.505
则 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ .
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 .
0.51　
241　
800　
0.5　
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解析： a ＝ ＝0.51， b ＝500×0.482＝241， c ＝ ＝800.
易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的
概率应为0.5.
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10. 国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球
生产企业某批次产品的抽样检测，结果如下表：
抽取球
数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品
数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品
频率
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（1）计算表中优等品的各个频率；
解：结果如下表：
抽取球
数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品
数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品
频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
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（2）从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约
是多少？
解：根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中
任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约为0.95.
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11. 某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇
事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车
牌号码及颜色.该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔
纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租
车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车
辆较合理（　　）
A. 甲公司 B. 乙公司
C. 甲与乙公司 D. 以上都对
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解析：　该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车3 100辆，则甲
公司出租车肇事的概率为 P ＝ ＝ ，乙公司出租车肇事的概
率为 P ＝ ＝ ，显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的
概率.故认定乙公司肇事较合理.故选B.
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12. 某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量
与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25 ℃，
需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20 ℃，25 ℃），需求量
为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为100瓶.为了确定6月
份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下
面的频数分布表：
最高气
温 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40]
天数 4 5 25 38 18
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以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若
6月份这种冷饮一天的需求量不超过 x 瓶的概率估计值为0.1，则 x
＝ .
解析：由表可知，最高气温低于25 ℃的频率为： ＝0.1，所以
6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.
300　
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13. 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结
果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25）内的
为一等品，在区间[15，20）或[25，30）内的为二等品，在区间
[10，15）或[30，35]内的为三等品.用频率估计概率，现从该批
产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为 .
0.45　
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解析：设区间[25，30）对应矩形的高度为 x ，则由所有矩形面积
之和为1，得（0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋ x ）×5＝1，解得 x ＝
0.05，所以该件产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.
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14. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量
越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新
配方（分别称为 A 配方和 B 配方）进行试验，各生产了100件这种
产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
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质量指标值分组 频数
[90，94） 8
[94，98） 20
[98，102） 42
[102，106） 22
[106，110] 8
A 配方的频数分布表
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质量指标值分组 频数
[90，94） 4
[94，98） 12
[98，102） 42
[102，106） 32
[106，110] 10
B 配方的频数分布表
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（1）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；
解：由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品的
频率为 ＝0.3，所以用 A 配方生产的产品的优质品率的
估计值为0.3.
由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为
＝0.42，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计
值为0.42.
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（2）已知用 B 配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量
指标值 t 的关系为 y ＝估计用 B 配方生产
的一件产品的利润大于0的概率，并求用 B 配方生产的上述
100件产品的平均利润.
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解：由条件知，用 B 配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值 t ≥94，由试验结果知，质量指标值 t ≥94的频率为0.96.
所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率的估计值为0.96.
用 B 配方生产的这100件产品的平均利润为 ×[4×（－2）＋（12＋42）×2＋（32＋10）×4]＝2.68（元）.
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15. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的
频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
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解析：　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.选项A，抛一枚
硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合；选项B，掷一个正六
面体的骰子，出现3点朝上概率为 ，不符合；选项C，一副去掉
大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为
，不符合；选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一
球，取到的是黑球概率为 ，在0.3到0.4之间，符合题意.故选D.
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16. 深夜，一辆出租车牵涉一起交通事故，该市有两家出租车公司—
—红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车和红色出
租车的数量分别占整个城市出租车数量的85%和15%，据现场目
击证人说，事故现场的出租车是红色的，相关人员对证人的辨色
能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定
红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公
平吗？试说明理由.
解：判断认定结论是否公平，需先估算出两种颜色出租车肇事的
概率，再根据相应的概率进行判断.
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法一　假设该城市有出租车1 000辆，那么依题意可得如下信息：
证人所说的颜色（正确率80%） 真
实 颜
色 蓝色 红色 合计
蓝色（85%） 680 170 850
红色（15%） 30 120 150
合计 710 290 1 000
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从表中可以看出，当证人说出租车是红色的时，它确实是红色的概率
为 ≈0.41，而它是蓝色的概率为 ≈0.59，
在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不
公平的.
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法二　由题意可知，证人说出租车是红色的概率为15%×80%＋
85%×20%＝29%，而其中它确实是红色的概率为15%×80%＝12%，
因此证人证词正确的概率为 ≈0.41，而证人证词错误的概率为
≈0.59，
在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不
公平的.
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