资源简介

4　事件的独立性
1.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是（　　）
A.0.64　　　　　　 B.0.56
C.0.81　 D.0.99
2.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）（　　）
A.　 B.
C.　 D.
3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（　　）
A.0.12　 B.0.42
C.0.46　 D.0.88
4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是（　　）
A.0.26　 B.0.08
C.0.18　 D.0.72
5.某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（　　）
A.0.378　 B.0.3
C.0.58　 D.0.958
6.（多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（　　）
A.甲、乙都研发成功的概率为
B.疫苗A研发成功的概率为
C.疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为
D.仅有一款疫苗研发成功的概率为
7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为　　　　.
8.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为　　　　.
9.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为　　　　.
10.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：
（1）进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
（2）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
11.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代广泛开展投壶活动，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲、乙两人进行投壶比赛（两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，得分多者赢.乙赢得这局比赛的概率为（　　）
A.　 B.
C.　 D.
12.（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　）
A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有4个白球，8个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，事件A发生事件B不发生的概率与事件B发生事件A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　.
14.为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老年、中年、青年三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点.
（1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
（2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.
15.甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.
（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；
（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.
16.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4的概率.
4　事件的独立性
1.C　Ai表示“第i次击中目标”，i＝1，2，则P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝0.9×0.9＝0.81.
2.B　该学生三项均合格的概率为××＝.
3.D　设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P（ ）＝1－（1－P（A））·（1－P（B））＝1－0.4×0.3＝0.88.
4.A　甲种子发芽而乙种子不发芽的概率为0.8×0.1＝0.08.乙种子发芽而甲种子不发芽的概率为0.9×0.2＝0.18，故恰有一粒种子能发芽的概率为0.08＋0.18＝0.26.
5.D　透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为P1＝0.3，恰在第二次落地打破的概率为P2＝0.7×0.4＝0.28，恰在第三次落地打破的概率为P3＝0.7×0.6×0.9＝0.378，所以落地3次以内被打破的概率P＝P1＋P2＋P3＝0.958.故选D.
6.ACD　用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则：A.根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝；B.由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（）＝；C.两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝；D.所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝.故选A、C、D.
7.　解析：设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝.
8.　解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因为事件M，N相互独立，所以能配成A型螺栓（即一个A型螺杆与一个A型螺母）的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝×＝.
9.0.09　解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝（1－0.4）×0.5×（1－0.4）×0.5＝0.09.
10.解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P（A）＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P（B）＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”.
（1）易知C＝AB，则P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.6＝0.3.
（2）易知D＝（A）∪（B），则P（D）＝P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
（3）易知＝ ，则P（）＝P（）＝P（）P（）＝0.5×0.4＝0.2.故P（E）＝1－P（）＝0.8.
11.A　由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P1＝×＝；
（2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2＝×＝，
所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.故选A.
12.AC　对于A，该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的情况是前2个路口都遇到绿灯，第3个路口遇到红灯，其概率为P＝××＝，故A正确；对于B，此密码被破译的对立事件是三个人都没有破译密码，∴此密码被破译的概率为P＝1－（1－）×（1－）×（1－）＝，故B错误；对于C，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为P＝×＋×＝，故C正确；对于D，设事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），则事件A不发生的概率为1－P（A），事件B不发生的概率为1－P（B），依题意得解得P（A）＝，故D错误.故选A、C.
13.0.128　解析：由已知条件知，第2个问题答错，第3，4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P（A）＝0.8，故P＝P[（A＋）AA]＝[1－P（A）]·P（A）·P（A）＝0.128.
14.解：（1）设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，
则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
（2）消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.010，
消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.
15.解：（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件A1，A2，A3，则A1，A2，A3为相互独立事件，记事件E表示“恰有一人通过笔试”，则P（E）＝P（A1 ）＋P（A2）＋P（ A3）＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38，故恰有一人通过笔试的概率为0.38.
（2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，
则P（A）＝0.6×0.6＝0.36，P（B）＝0.5×0.6＝0.3，P（C）＝0.4×0.75＝0.3.
记事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则表示“甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取”，又＝，
于是P（F）＝1－P（）＝1－P（）P（）P（）＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4.
故经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率为0.686 4.
16.解：甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝.
（1）租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.
都付0元的概率为P1＝×＝；
都付2元的概率为P2＝×＝；
都付4元的概率为P3＝×＝.
所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元.
所以可得P（ξ＝4）＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
2 / 3§4　事件的独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算概率 数学运算、逻辑推理
【问题】　（1）常言道“三个臭皮匠能抵诸葛亮”.怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
（2）2010年1月26日上午，NBA常规赛进行了一场焦点之战——勒布朗·詹姆斯领衔的克利夫兰骑士在客场挑战由韦德率领的迈阿密热火.比赛非常激烈，直到终场前3.1秒比分打成90平，热火队犯规，詹姆斯获两次罚篮机会，已知詹姆斯的罚篮命中率为77.6%，问骑士队此时获胜的概率是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　事件的独立性
1.相互独立事件
（1）事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率　　　　　　，这样的两个事件叫作相互独立事件；
（2）两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P（AB）＝　　　　　　.
2.随机事件的独立性的性质
如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立.
于是，由事件A与B相互独立，可以得到A与，与B，与也相互独立.
提醒　相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B（或A＋B）
计算公式 P（AB）＝P（A）P（B） P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
【想一想】
1.事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
2.公式P（AB）＝P（A）P（B）可以推广到一般情形吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不可能事件与任何一个事件相互独立.（　　）
（2）必然事件与任何一个事件相互独立.（　　）
（3）“P（AB）＝P（A）·P（B）”是“事件A，B相互独立”的充要条件.（　　）
（4）如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.（　　）
2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C.　　 D.
3.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为　　　　.
题型一 事件独立性的判断
【例1】　下列事件A，B是相互独立事件的是（　　）
A.一枚硬币抛掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数”
D.事件A为“人能活到20岁”，事件B为“人能活到50岁”
尝试解答
通性通法
两个事件是否相互独立的判断
（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；
（2）定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.
【跟踪训练】
同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立.
题型二 相互独立事件概率的计算
【例2】　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响.
（1）求3人同时被选中的概率；
（2）求3人中至少有1人被选中的概率.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）保持条件不变，求三人均未被选中的概率.
2.（变条件，变设问）若条件“3人能被选中的概率分别为，，”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率.
通性通法
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
【跟踪训练】
1.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　.
2.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车准点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否准点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列准点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列准点到达的概率.
题型三 复杂事件的概率
【例3】　某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
尝试解答
通性通法
求较复杂事件的概率的方法
（1）列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
（2）厘清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
1.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
2.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是　　　.
1.设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是（　　）
A.A与B相互独立　　 B.A与C互斥
C.B与C互斥　　 D. 与 相互独立
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（　　）
A.1　　 B.0.629
C.0　　 D.0.74或0.85
3.一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率分别为，，，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.1
4.如图所示，用A，B，C三类不同的元件接成系统N，若元件A，B，C正常工作的概率分别为，，，那么系统N正常工作的概率为　　　　.
4　事件的独立性
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）没有影响　（2）P（A）P（B）
想一想
1.提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立.
2.提示：公式P（AB）＝P（A）P（B）可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　 （3）√　（4）√
2.D　根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.
3.0.56　解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
【典型例题·精研析】
【例1】　A　把一枚硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，事件A，B应为对立事件，选项D中事件B受事件A的影响.
跟踪训练
　解：A＝{第一颗骰子出现1，3，5点}，
B＝{第二颗骰子出现2，4，6点}.
∴P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝＝，
∴P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A，B相互独立.
【例2】　解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.
（1）3人同时被选中的概率P1＝P（ABC）＝P（A）P（B）·P（C）＝××＝.
（2）3人中有2人被选中的概率P2＝P（AB∪AC∪BC）＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率P3＝P（A）∪B∪C）＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
母题探究
1.解：法一　三人均未被选中的概率P＝P（ ）＝××＝.
法二　由本例（2）知，三人至少有1人被选中的概率为，
∴P＝1－＝.
2.解：设甲被选中的概率为P（A），乙被选中的概率为P（B），
则P（A）（1－P（B））＋P（B）（1－P（A））＝， ①
P（A）P（B）＝， ②
由①②知P（A）＝，
P（B）＝，
故恰有2人被选中的概率P＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）＝.
跟踪训练
1.　　解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
2.解：设A，B，C分别表示这三列火车准点到达的事件，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，
所以P（）＝0.2，P（）＝0.3，P（）＝0.1.
（1）由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列准点到达的概率为P1＝P（BC）＋P（AC）＋P（AB）＝P（）P（B）P（C）＋P（A）P（）P（C）＋P（A）P（B）P（）＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
（2）三列火车至少有一列准点到达的概率为P2＝1－P（ ）＝1－P（）P（）P（）＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
【例3】　解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则P（A）＝，且有
即
所以P（B）＝，P（C）＝.
（2）有0个家庭回答正确的概率为P0＝P（）＝P（）P（）P（）＝××＝，
有1个家庭回答正确的概率为P1＝P（A＋B＋C）＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－－＝.
跟踪训练
1.C　灯泡不亮包括四个开关都断开，或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率为×××＋×××＋×××＝.∵灯泡亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是1－＝.
2.0.79　解析：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，∴1－（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.3）≥a，解得a≤0.79.∴a的最大值是0.79.
随堂检测
1.D　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确.
2.B　设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，则P（A）＝0.85，P（B）＝0.74，由事件A与B相互独立，得“两根保险丝都熔断”为事件AB，∴P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.85×0.74＝0.629.
3.B　所求概率P＝××＋××＋××＝＋＋＝.
4.　解析：要使系统N正常工作，则需A正常工作，B，C至少有一个能正常工作，因此系统N能正常工作的概率为×＝.
4 / 4(共42张PPT)
§4　事件的独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的
含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算概率 数学运算、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
【问题】　（1）常言道“三个臭皮匠能抵诸葛亮”.怎样从数学上来
解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为
0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.5.问
这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
（2）2010年1月26日上午，NBA常规赛进行了一场焦点之战——勒布
朗·詹姆斯领衔的克利夫兰骑士在客场挑战由韦德率领的迈阿密
热火.比赛非常激烈，直到终场前3.1秒比分打成90平，热火队
犯规，詹姆斯获两次罚篮机会，已知詹姆斯的罚篮命中率为
77.6%，问骑士队此时获胜的概率是多少？




知识点　事件的独立性
1. 相互独立事件
（1）事件 A （或 B ）是否发生对事件 B （或 A ）发生的概率
，这样的两个事件叫作相互独立事件；
（2）两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的
概率的积，即 P （ AB ）＝ .
没有
影响　
P （ A ） P （ B ）　
2. 随机事件的独立性的性质
如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样
的两个事件仍然相互独立.
于是，由事件 A 与 B 相互独立，可以得到 A 与 ， 与 B ， 与
也相互独立.
提醒　相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件 A （或 B ）是否发生对事件 B （或 A ）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个
事件
符号 相互独立事件 A ， B 同时发
生，记作： AB 互斥事件 A ， B 中有一
个发生，记作： A ∪ B
（或 A ＋ B ）
计算公式 P （ AB ）＝ P （ A ） P （B） P （ A ∪ B ）＝ P
（ A ）＋ P （B）
【想一想】
1. 事件 A 与 B 相互独立可以推广到 n 个事件的一般情形吗？
提示：对于 n 个事件 A1， A2，…， An ，如果其中任何一个事件发
生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件 A1， A2，…，
An 相互独立.
提示：公式 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）可以推广到一般情形：如
果事件 A1， A2，…， An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概
率等于每个事件发生的概率的积，即 P （ A1 A2… An ）＝ P （ A1） P
（ A2）… P （ An ）.
2. 公式 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）可以推广到一般情形吗？
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不可能事件与任何一个事件相互独立. （　√　）
（2）必然事件与任何一个事件相互独立. （　√　）
（3）“ P （ AB ）＝ P （ A ）· P （ B ）”是“事件 A ， B 相互独
立”的充要条件. （　√　）
（4）如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.
（　√　）
√
√
√
√
2. 甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能
荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互
独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（　　）
解析：　根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或
甲没有获得乙获得，则所求概率是 × ＋ × ＝
，故选D.
3. 甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确
率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概
率为 .
解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中
甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
0.56　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 事件独立性的判断
【例1】　下列事件 A ， B 是相互独立事件的是（　　）
A. 一枚硬币抛掷两次，事件 A 为“第一次为正面”，事件 B 为“第二
次为反面”
B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，事件 A 为“第一次摸
到白球”，事件 B 为“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，事件 A 为“出现点数为奇数”，事件 B 为“出现点数
为偶数”
D. 事件 A 为“人能活到20岁”，事件 B 为“人能活到50岁”
解析：　把一枚硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结
果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中
不放回地摸球，显然事件 A 与事件 B 不相互独立；对于选项C，其结
果具有唯一性，事件 A ， B 应为对立事件，选项D中事件 B 受事件 A 的
影响.
通性通法
两个事件是否相互独立的判断
（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互
影响；
（2）定义法：如果事件 A ， B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率
与事件 B 发生的概率的积，则事件 A ， B 为相互独立事件.
【跟踪训练】
同时掷两颗质地均匀的骰子，令 A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，令 B
＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件 A 与 B 是否相互独立.
解： A ＝{第一颗骰子出现1，3，5点}，
B ＝{第二颗骰子出现2，4，6点}.
∴ P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P （ AB ）＝ ＝ ，
∴ P （ AB ）＝ P （ A ） P （　 B 　），
∴事件 A ， B 相互独立.
题型二 相互独立事件概率的计算
【例2】　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人
能被选中的概率分别为 ， ， ，且各自能否被选中互不影响.
（1）求3人同时被选中的概率；
解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A ， B ， C ，则 P
（ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P （ C ）＝ .
3人同时被选中的概率 P1＝ P （ ABC ）＝ P （ A ） P （ B ）· P
（ C ）＝ × × ＝ .
（2）求3人中至少有1人被选中的概率.
解：3人中有2人被选中的概率 P2＝ P （ AB ∪ A C ∪ BC ）
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ .
3人中只有1人被选中的概率 P3＝ P （ A ）∪ B ∪ C ）
＝ × × ＋ × × ＋ ×
× ＝ .
故3人中至少有1人被选中的概率为 P1＋ P2＋ P3＝ ＋ ＋ ＝
.
【母题探究】
1. （变设问）保持条件不变，求三人均未被选中的概率.
解：法一　三人均未被选中的概率 P ＝ P （ ）＝ ×
× ＝ .
法二　由本例（2）知，三人至少有1人被选中的概率为 ，
∴ P ＝1－ ＝ .
2. （变条件，变设问）若条件“3人能被选中的概率分别为 ， ，
”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为 ，两人都被选中
的概率为 ，丙被选中的概率为 ”，求恰好有2人被选中的概率.
解：设甲被选中的概率为 P （ A ），乙被选中的概率为 P （　 B 　），
则 P （ A ）（1－ P （ B ））＋ P （ B ）（1－ P （ A ））＝ ，　①
P （ A ） P （ B ）＝ ，　②
由①②知 P （ A ）＝ ，
P （ B ）＝ ，
故恰有2人被选中的概率 P ＝ P （ AB ）＋ P （ A C ）＋ P （
BC ）＝ .
通性通法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用
条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
【跟踪训练】
1. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒
子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球
至少有一个落入盒子的概率为 .
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为 × ＝ ，甲、
乙两球都不落入盒子的概率为 × ＝ ，则甲、乙两
球至少有一个落入盒子的概率为1－ ＝ .
　
　
2. 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列
火车准点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间
是否准点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列准点到达的概率；
解：设 A ， B ， C 分别表示这三列火车准点到达的事件，则 P
（ A ）＝0.8， P （ B ）＝0.7， P （ C ）＝0.9，
所以 P （ ）＝0.2， P （ ）＝0.3， P （ ）＝0.1.
由题意得 A ， B ， C 之间相互独立，所以恰好有两列准点到
达的概率为 P1＝ P （ BC ）＋ P （ A C ）＋ P （ AB ）＝ P
（ ） P （ B ） P （ C ）＋ P （ A ） P （ ） P （ C ）＋ P
（ A ） P （ B ） P （ ）＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋
0.8×0.7×0.1＝0.398.
（2）这三列火车至少有一列准点到达的概率.
解：三列火车至少有一列准点到达的概率为 P2＝1－ P （
）＝1－ P （ ） P （ ） P （ ）＝1－0.2×0.3×0.1＝
0.994.
题型三 复杂事件的概率
【例3】　某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛
中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲
家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率
是 ，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 .若各家庭回答是否正确
互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
解：记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道
题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件 A ， B ， C ，
则 P （ A ）＝ ，且有
即
所以 P （ B ）＝ ， P （ C ）＝ .
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的
概率.
解：有0个家庭回答正确的概率为 P0＝ P （ ）＝ P （ ） P
（ ） P （ ）＝ × × ＝ ，
有1个家庭回答正确的概率为 P1＝ P （ A ＋ B ＋ C ）＝
× × ＋ × × ＋ × × ＝ ，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P ＝1－ P0－ P1＝1
－ － ＝ .
通性通法
求较复杂事件的概率的方法
（1）列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
（2）厘清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独
立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算
对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
1. 如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是 ，且是互相独立
的，则灯亮的概率为（　　）
解析：　灯泡不亮包括四个开关都断开，或下边的2个都断开且
上边的2个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的
事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率为 × × × ＋ × ×
× ＋ × × × ＝ .∵灯泡亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概
率是1－ ＝ .
2. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是
0.5，0.4，0.3， a ，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概
率不小于丁独立解决这一问题的概率，则 a 的最大值是 .
解析：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是
0.5，0.4，0.3， a ，∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率
不小于丁独立解决这一问题的概率，∴1－（1－0.5）×（1－
0.4）×（1－0.3）≥ a ，解得 a ≤0.79.∴ a 的最大值是0.79.
0.79　
1. 设 A ， B ， C 为三个随机事件，其中 A 与 B 互斥， B 与 C 相互独
立，则下列命题一定成立的是（　　）
A. A 与 B 相互独立 B. A 与 C 互斥
C. B 与 C 互斥
解析：　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指
的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为 B 与 C 相互独
立，由两事件相互独立的性质易知D正确.
2. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断
的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险
丝都熔断的概率为（　　）
A. 1 B. 0.629
C. 0 D. 0.74或0.85
解析：　设“甲保险丝熔断”为事件 A ，“乙保险丝熔断”为事
件 B ，则 P （ A ）＝0.85， P （ B ）＝0.74，由事件 A 与 B 相互独
立，得“两根保险丝都熔断”为事件 AB ，∴ P （ AB ）＝ P
（ A ）· P （ B ）＝0.85×0.74＝0.629.
3. 一道竞赛题， A ， B ， C 三人可解出的概率分别为 ， ， ，则三
人独立解答，仅有一人解出的概率为（　　）
D. 1
解析：　所求概率 P ＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ＋ ＋
＝ .
4. 如图所示，用A，B，C三类不同的元件接成系统N，若元件A，
B，C正常工作的概率分别为 ， ， ，那么系统N正常工作的概
率为 .
解析：要使系统N正常工作，则需A正常工作，B，C至少有一个能
正常工作，因此系统N能正常工作的概率为 × ＝ .
　
谢 谢 观 看！

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