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培优课　概率与统计的综合问题
1.已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设A表示事件“3件产品都不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（　　）
A.B与C互斥
B.A与C互斥
C.A，B，C任意两个事件均互斥
D.A，B，C任意两个事件均不互斥
2.甲箱子里有3个白球，2个黑球，乙箱子里有2个白球，3个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
3.十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2022年春节前，某兴趣小组的甲、乙两位成员将模型随机抛出，希望能抛出虎的图案朝上（即虎的图案在最上面），两人各抛一次，则恰好出现一次虎的图案朝上的概率为（　　）
A.　 B.
C.　 D.
4.某射击运动员射击一次命中目标的概率为p，且每次射击结果相互独立，已知他连续射击三次，至少有一次命中的概率为，则p＝（　　）
A.　 B.
C.　 D.
5.4×100米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（　　）
A.p1p2p3
B.1－p1p2p3
C.（1－p1）（1－p2）（1－p3）
D.1－（1－p1）（1－p2）（1－p3）
6.在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
7.（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（　　）
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
8.（多选）某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两粒骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法（　　）
A.公平，每个班被选到的概率都为
B.2班和12班被选到的概率相等
C.不公平，6班被选到的概率最大
D.不公平，7班被选到的概率最大
9.（多选）一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，，，三人独立解答，则下列说法正确的是（　　）
A.只有一人解出试题的概率为
B.至少有两人解出试题的概率为
C.三人都没有解出试题的概率为
D.该试题被解出的概率为
10.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为　　　　.
11.由红、黄、蓝、白四种发光元件（除颜色外没有区别）连接成霓虹灯系统N，四种发光元件的工作相互独立，当四种发光元件均正常工作时，霓虹灯系统N才能随机地发出亮丽的色彩，当某种元件出现故障时，霓虹灯系统N在该处将出现短暂的黑幕现象，若某时刻出现两处黑幕现象，则需从霓虹灯系统N中抽取两种相应的发光元件进行更换，则一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为　　　　.
12.有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙获得不是正品的概率为，乙获得正品甲获得不是正品的概率为，且每台机床获得正品的概率均大于，则甲、乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是　　　　.
13.为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层随机抽样的方法从A，B，C三个区抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C三个区分别有18，27，18个工厂.
（1）求从A，B，C区分别抽取的工厂个数；
（2）若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
14.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
（1）分别求出一辆车从甲地到乙地遇到0个和1个红灯的概率；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
15.（2023·新高考Ⅱ卷19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；
（2）设函数f（c）＝p（c）＋q（c）.当c∈[95，105]时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值.
16.随着小汽车的普及，驾驶证已经成为现代人必考证件之一 .若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过往年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.
培优课　概率与统计的综合问题
1.B　由题意得事件A与事件B不可能同时发生，是互斥事件；事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件；当事件B发生时，事件C一定发生，所以事件B与事件C不是互斥事件.
2.B　因为甲箱子里有3个白球，2个黑球，所以从甲箱子里摸1个球是白球的概率为；因为乙箱子里有2个白球，3个黑球，所以从乙箱子里摸1个球是白球的概率为.所以从甲、乙两个箱子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率为×＝.
3.B　抛出一次恰好出现虎的图案朝上的概率为，出现其他图案朝上的概率为，由于甲、乙抛掷模型的结果相互独立，故所求概率为×＋×＝.
4.A　因为射击一次命中目标的概率为p，所以射击一次未命中目标的概率为1－p，又每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为（1－p）3.因为“连续射击三次，至少有一次命中”的对立事件为“三次都未命中”，所以“连续射击三次，至少有一次命中”的概率为1－（1－p）3＝，解得p＝.
5.C　由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：1－p1，1－p2，1－p3，则该组合不失误的概率为：（1－p1）（1－p2）（1－p3）.故选C.
6.A　当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，可求得A至B畅通的概率为1－×［1－（1－）×（1－）］＝，B至C畅通的概率为1－×＝，所以电路畅通的概率为×＝.
7.ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P（A1）＝，P（A2）＝，且A1，A2相互独立.2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；2个球中至少有1个红球的概率为1－P（）P（）＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确.故选A、C、D.
8.BD　掷两粒骰子，每粒骰子得到的点数有6种结果，故样本点数为36.两粒骰子的点数和的情况如图所示.由图可以看出掷两粒骰子得到的点数和是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的情况分别有1种，2种，3种，4种，5种，6种，5种，4种，3种，2种，1种.记“掷两粒骰子，得到点数和为i”的概率为Pi（i＝2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12），则P2＝P12＝，P3＝P11＝＝，P4＝P10＝＝，P5＝P9＝＝，P6＝P8＝，P7＝＝.所以2班和12班被选到的概率相等，7班被选到的概率最大，故选B、D.
9.AC　根据题意知三人解出试题是相互独立的，事件“只有一人解出试题”包含“A解出试题而其余两人没有解出试题”“B解出试题而其余两人没有解出试题”“C解出试题而其余两人没有解出试题”，三个事件互斥，所以P（只有一人解出试题）＝×（1－）×（1－）＋（1－）××（1－）＋（1－）×（1－）×＝，所以A正确；同样，可以得出P（只有两人解出试题）＝（1－）××＋×（1－）×＋××（1－）＝，P（三人都解出试题）＝××＝，事件“至少有两人解出试题”包含“只有两人解出试题”“三人都解出试题”，这两个事件互斥，所以P（至少有两人解出试题）＝＋＝，所以B不正确；P（三人都没有解出试题）＝（1－）×（1－）×（1－）＝，所以C正确；事件“该试题被解出”的对立事件是“三人都没有解出试题”，所以P（该试题被解出）＝1－＝，所以D不正确.
10.0.72　解析：设事件A为水稻种子发芽，事件B为出芽后的幼苗成活，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.9，所以这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72.
11.　解析：记红、黄、蓝、白四种发光元件分别为A，B，C，D，则从中随机抽取两个的所有情况为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，故其概率为.
12.　解析：设甲、乙两台机床生产这种零件为正品的概率分别为p，q，则＜p≤1，＜q≤1.因为甲获得正品乙获得不是正品的概率为，所以p（1－q）＝①.因为乙获得正品甲获得不是正品的概率为，所以q（1－p）＝②.①②联立得p＝，q＝.所以甲、乙均获得正品的概率为pq＝×＝，则甲、乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是＋＋＝.
13.解：（1）工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区抽取的工厂个数分别为2，3，2.
（2）设A1，A2为在A区抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区抽得的3个工厂，C1，C2为在C区抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能出现的样本点有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A1，C2），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（A2，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2），共有21个.
随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区（记为事件X）的样本点有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A1，C2），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（A2，C2），共有11个.
所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P（X）＝.
14.解：（1）用P（X＝0）表示该车从甲地到乙地遇到0个红灯的概率，用P（X＝1）表示该车从甲地到乙地遇到1个红灯的概率.
则P（X＝0）＝（1－）×（1－）×（1－）＝，
P（X＝1）＝×（1－）×（1－）＋（1－）××（1－）＋（1－）×（1－）×＝.
（2）同（1），用P（Y＝0），P（Y＝1）分别表示第一辆车从甲地到乙地遇到0个红灯和遇到1个红灯的概率，用P（Z＝0），P（Z＝1）分别表示第二辆车从甲地到乙地遇到0个红灯和遇到1个红灯的概率.
则所求事件的概率为
P（Y＝0）P（Z＝1）＋P（Y＝1）P（Z＝0）
＝×＋×＝.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
15.解：（1）由题图知，（100－95）×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，
则p（c）＝（c－95）×0.002＝0.5%，所以c＝97.5，
所以q（c）＝0.01×2.5＋0.002×5＝3.5%.
（2）依题意，当c∈[95，100]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝（c－95）×0.002＋（100－c）×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82；
当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝5×0.002＋（c－100）×0.012＋（105－c）×0.002＝0.01c－0.98.
故f（c）＝
所以f（c）在区间[95，105]的最小值为f（100）＝0.02.
16.解：（1）用M表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”，Ai表示“丈夫在第i次参加科目二考试中通过”，Bi表示“妻子在第i次参加科目二考试中通过”，
则P（M）＝P（A1B1）＋P（B1A2）＋P（A1B2）＋P（A2B2）＝×＋××＋××＋×××＝.
（2）用N表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”.
D表示“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，E表示“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，F表示“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，G表示“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，
则P（D）＝P（A3）＝××＝，
P（E）＝P（B3）＝××＝，
P（F）＝＋×＝，
P（G）＝＋×＝，
所以P（N）＝P（D）P（G）＋P（E）P（F）＝×＋×＝.
所以这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.
2 / 3培优课　概率与统计的综合问题
题型一 古典概型与统计
【例1】　随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm以上的学生人数；
（2）将身高在区间[170，175），[175，180），[180，185]内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从三个组中抽取6人，求从这三个组中分别抽取的学生人数；
（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率.
尝试解答
通性通法
古典概型与统计综合问题的解题策略
　　该类问题需要利用统计中频率分布表或频率分布直方图等统计图表获取相关的数据信息，再利用样本估计总体的统计思想，解决生活实践情境下的实际问题.具体步骤如下：
（1）分析题意，构建（古典概型）数字模型；
（2）由统计图表获取样本数据；
（3）求解该事件的样本空间及含有该事件的样本点数，求出该事件的概率；
（4）用样本事件的概率估计总体事件的概率，从而解决问题.
【跟踪训练】
某市2024年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.
（1）作出频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；污染指数在51～100之间时，空气质量为良；污染指数在101～150之间时，空气质量为轻度污染；污染指数在151～200之间时，空气质量为中度污染.从30天中任意选取一天，则这天空气质量为优或良的概率是多少？
（4）请对该市的空气质量给出一个简短评价.
题型二 相互独立事件的概率与统计
【例2】　为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）若测试数据与成绩之间的关系如下表：
测试数据（单位：米） （0，6） [6，8） [8，12]
成绩 不合格 及格 优秀
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）在（2）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率.
尝试解答
通性通法
相互独立事件与统计的综合问题的解题策略
（1）正难则反：灵活应用对立事件的概率关系（P（A）＋P（）＝1）简化问题，是求解概率问题最常用的方法；
（2）化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系：“所求事件”分几类（考虑加法公式转化为互斥事件）还是分几步组成（考虑乘法公式转化为相互独立事件）.
【跟踪训练】
10月1日，某品牌的两款新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
A B C D E
W型号手机销量 6 6 13 8 11
T型号手机销量 12 9 13 6 4
若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率.
培优课　概率与统计的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由频率分布直方图可知，5x＝1－5×（0.07＋0.04＋0.02＋0.01），得x＝0.06.
因此身高在170 cm以上的学生人数为100×（0.06×5＋0.04×5＋0.02×5）＝60.
（2）A，B，C三组的人数分别为0.06×5×100＝30，0.04×5×100＝20，0.02×5×100＝10.
因此应该从A，B，C三组中每组分别抽取30×＝3（人），20×＝2（人），10×＝1（人）.
（3）在（2）的条件下，设A组的3名学生分别为A1，A2，A3，B组的2名学生分别为B1，B2，C组的1名学生为C1，则从6名学生中抽取2人可能出现的样本点共15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.
其中B组的2名学生至少有1人被抽中包含的样本点有9个，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.
所以B组中至少有1人被抽中的概率为＝.
跟踪训练
　解：（1）频率分布表如下：
分组 频数 频率
[41，51） 2
[51，61） 1
[61，71） 4
[71，81） 6
[81，91） 10
[91，101） 5
[101，111] 2
（2）频率分布直方图如图所示.
（3）共有30天，污染指数在0～100之间的有28天，故所求概率为＝.
（4）答对下述两条中的一条即可.
①由（3）知，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的，说明该市空气质量基本良好.
②轻度污染有2天，占当月天数的.污染指数在80以上的接近轻度污染的天数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善.
【例2】　解：（1）由题意可知（0.2＋0.15＋0.075＋a＋0.025）×2＝1，解得a＝0.05.
所以此次测试的总人数为＝40.
故此次参加“掷实心球”项目测试的人数为40.
（2）设“从该市初二年级男生中任意选取一人，‘掷实心球’成绩为优秀”为事件A.
由频率直方图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15＋0.05）×2＝0.4，
由频率估计概率得P（A）＝0.4.
（3）记事件Ai：第i名男生成绩优秀，其中i＝1，2.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为A1＋A2，由（2）知，P（A1）＝P（A2）＝0.4，则P（）＝P（）＝0.6，
因为A1，相互独立，A2，相互独立，
所以P（A1）＝P（A1）P（）＝0.24，
P（A2）＝P（A2）P（）＝0.24，
又因为A1，A2互斥，
所以P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝0.48.
所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.48.
跟踪训练
　解：将从A手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为甲，从B手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为乙，设“甲手机为T型号手机”为事件M1，“乙手机为T型号手机”为事件M2，
依题意，有P（M1）＝＝，P（M2）＝＝，且事件M1，M2相互独立.
设“抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机”为事件M，则事件M的对立事件为M1M2，所以P（M）＝1－P（M1M2）＝1－×＝，即抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为.
2 / 2(共61张PPT)
培优课
概率与统计的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 古典概型与统计
【例1】　随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照
区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），
[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 x 的值及身高在170 cm以上的学生人数；
解：由频率分布直方图可知，5 x ＝1－5×（0.07＋0.04＋0.02
＋0.01），得 x ＝0.06.
因此身高在170 cm以上的学生人数为100×（0.06×5＋0.04×5
＋0.02×5）＝60.
（2）将身高在区间[170，175），[175，180），[180，185]内的学
生依次记为 A ， B ， C 三个组，用分层随机抽样的方法从三个组
中抽取6人，求从这三个组中分别抽取的学生人数；
解： A ， B ， C 三组的人数分别为0.06×5×100＝30，
0.04×5×100＝20，0.02×5×100＝10.
因此应该从 A ， B ， C 三组中每组分别抽取30× ＝3（人），
20× ＝2（人），10× ＝1（人）.
（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算 B 组
中至少有1人被抽中的概率.
解：在（2）的条件下，设 A 组的3名学生分别为 A1， A2， A3，
B 组的2名学生分别为 B1， B2， C 组的1名学生为 C1，则从6名学
生中抽取2人可能出现的样本点共15个，分别为：（ A1， A2），
（ A1， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， C1），（ A2，
A3），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， C1），（ A3， B1），
（ A3， B2），（ A3， C1），（ B1， B2），（ B1， C1），（ B2， C1）.
其中 B 组的2名学生至少有1人被抽中包含的样本点有9个，分别
为：（ A1， B1），（ A1， B2），（ A2， B1），（ A2， B2），
（ A3， B1），（ A3， B2），（ B1， B2），（ B1， C1），（ B2， C1）.
所以 B 组中至少有1人被抽中的概率为 ＝ .
通性通法
古典概型与统计综合问题的解题策略
　　该类问题需要利用统计中频率分布表或频率分布直方图等统计图
表获取相关的数据信息，再利用样本估计总体的统计思想，解决生活
实践情境下的实际问题.具体步骤如下：
（1）分析题意，构建（古典概型）数字模型；
（2）由统计图表获取样本数据；
（3）求解该事件的样本空间及含有该事件的样本点数，求出该事件
的概率；
（4）用样本事件的概率估计总体事件的概率，从而解决问题.
【跟踪训练】
某市2024年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要
污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，
81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，
79，86，85，75，71，49，45.
（1）作出频率分布表；
解：频率分布表如下：
分组 频数 频率
[41，51） 2
[51，61） 1
分组 频数 频率
[61，71） 4
[71，81） 6
[81，91） 10
[91，101） 5
[101，111] 2
（2）作出频率分布直方图；
解：频率分布直方图如图所示.
（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；污染
指数在51～100之间时，空气质量为良；污染指数在101～150之
间时，空气质量为轻度污染；污染指数在151～200之间时，空
气质量为中度污染.从30天中任意选取一天，则这天空气质量为
优或良的概率是多少？
解：共有30天，污染指数在0～100之间的有28天，故所求概率
为 ＝ .
（4）请对该市的空气质量给出一个简短评价.
解：答对下述两条中的一条即可.
①由（3）知，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的 ，
说明该市空气质量基本良好.
②轻度污染有2天，占当月天数的 .污染指数在80以上的接近
轻度污染的天数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有17
天，占当月天数的 ，超过50%，说明该市空气质量有待进一
步改善.
题型二 相互独立事件的概率与统计
【例2】　为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”
项目测试的人数；
解：由题意可知（0.2＋0.15＋0.075＋ a ＋0.025）×2＝1，解
得 a ＝0.05.
所以此次测试的总人数为 ＝40.
故此次参加“掷实心球”项目测试的人数为40.
（2）若测试数据与成绩之间的关系如下表：
测试数据（单位：米） （0，6） [6，8） [8，12]
成绩 不合格 及格 优秀
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意
选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
解：设“从该市初二年级男生中任意选取一人，‘掷实心球’
成绩为优秀”为事件 A .
由频率直方图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二
男生，成绩优秀的频率为（0.15＋0.05）×2＝0.4，
由频率估计概率得 P （ A ）＝0.4.
（3）在（2）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定
两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实
心球”成绩为优秀的概率.
解：记事件 Ai ：第 i 名男生成绩优秀，其中 i ＝1，2.两人中恰有
一人成绩优秀可以表示为 A1 ＋ A2 ，由（2）知， P （ A1）
＝ P （ A2）＝0.4，则 P （ ）＝ P （ ）＝0.6，
因为 A1， 相互独立， A2， 相互独立，
所以 P （ A1 ）＝ P （ A1） P （ ）＝0.24，
P （ A2 ）＝ P （ A2） P （ ）＝0.24，
又因为 A1 ， A2 互斥，
所以 P （ A1 ＋ A2 ）＝ P （ A1 ）＋ P （ A2 ）＝0.48.
所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.48.
通性通法
相互独立事件与统计的综合问题的解题策略
（1）正难则反：灵活应用对立事件的概率关系（ P （ A ）＋ P （ ）
＝1）简化问题，是求解概率问题最常用的方法；
（2）化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找
所求事件与已知事件之间的关系：“所求事件”分几类（考虑
加法公式转化为互斥事件）还是分几步组成（考虑乘法公式转
化为相互独立事件）.
【跟踪训练】
10月1日，某品牌的两款新手机（记为 W 型号， T 型号）同时投放市
场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机
调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
A B C D E
W 型号手机销量 6 6 13 8 11
T 型号手机销量 12 9 13 6 4
若在10月1日当天，从 A ， B 这两个手机店售出的新款手机中各随机抽
取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为 W 型号手机的概率.
解：将从 A 手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为甲，从 B
手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为乙，设“甲手机为 T
型号手机”为事件 M1，“乙手机为 T 型号手机”为事件 M2，
依题意，有 P （ M1）＝ ＝ ， P （ M2）＝ ＝ ，且事件 M1，
M2相互独立.
设“抽取的2部手机中至少有1部为 W 型号手机”为事件 M ，则事件 M
的对立事件为 M1 M2，所以 P （ M ）＝1－ P （ M1 M2）＝1－ × ＝
，即抽取的2部手机中至少有1部为 W 型号手机的概率为 .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设 A
表示事件“3件产品都不是次品”， B 表示事件“3件产品全是次
品”， C 表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确
的是（　　）
A. B 与 C 互斥
B. A 与 C 互斥
C. A ， B ， C 任意两个事件均互斥
D. A ， B ， C 任意两个事件均不互斥
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解析：　由题意得事件 A 与事件 B 不可能同时发生，是互斥事
件；事件 A 与事件 C 不可能同时发生，是互斥事件；当事件 B 发生
时，事件 C 一定发生，所以事件 B 与事件 C 不是互斥事件.
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2. 甲箱子里有3个白球，2个黑球，乙箱子里有2个白球，3个黑球，从
这两个箱子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是（　　）
解析：　因为甲箱子里有3个白球，2个黑球，所以从甲箱子里摸
1个球是白球的概率为 ；因为乙箱子里有2个白球，3个黑球，所
以从乙箱子里摸1个球是白球的概率为 .所以从甲、乙两个箱子里
分别摸出1个球，它们都是白球的概率为 × ＝ .
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3. 十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多
人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴
趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕
刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2022年春节前，某兴趣
小组的甲、乙两位成员将模型随机抛出，希望能抛出虎的图案朝上
（即虎的图案在最上面），两人各抛一次，则恰好出现一次虎的图
案朝上的概率为（　　）
A.
C. 　 D.
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解析：　抛出一次恰好出现虎的图案朝上的概率为 ，出现其他
图案朝上的概率为 ，由于甲、乙抛掷模型的结果相互独立，故
所求概率为 × ＋ × ＝ .
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4. 某射击运动员射击一次命中目标的概率为 p ，且每次射击结果相互
独立，已知他连续射击三次，至少有一次命中的概率为 ，则 p ＝
（　　）
A.
C. 　 D.
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解析：　因为射击一次命中目标的概率为 p ，所以射击一次未命
中目标的概率为1－ p ，又每次射击结果相互独立，所以三次都未
命中的概率为（1－ p ）3.因为“连续射击三次，至少有一次命
中”的对立事件为“三次都未命中”，所以“连续射击三次，至少
有一次命中”的概率为1－（1－ p ）3＝ ，解得 p ＝ .
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5. 4×100米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四
个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.
甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力
赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合
三次交接棒失误的概率分别是 p1， p2， p3，假设三次交接棒相互独
立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（　　）
A. p1 p2 p3
B. 1－ p1 p2 p3
C. （1－ p1）（1－ p2）（1－ p3）
D. 1－（1－ p1）（1－ p2）（1－ p3）
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解析：　由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：1－ p1，1－
p2，1－ p3，则该组合不失误的概率为：（1－ p1）（1－ p2）（1－
p3）.故选C.
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6. 在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通
电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是
（　　）
A.
C. 　 D.
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解析：　当开关合上时，电路畅通，即 A 至 B 畅通，且 B 至 C 畅
通，可求得 A 至 B 畅通的概率为1－ ×［1－（1－ ）×（1－
）］＝ ， B 至 C 畅通的概率为1－ × ＝ ，所以电路畅通的概
率为 × ＝ .
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7. （多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红
球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（　　）
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解析：　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 A1，“从乙袋
中摸出一个红球”为事件 A2，则 P （ A1）＝ ， P （ A2）＝ ，且
A1， A2相互独立.2个球都是红球为 A1 A2，其概率为 × ＝ ，A正
确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概
率为 ，B错误；2个球中至少有1个红球的概率为1－ P （ ） P
（ ）＝1－ × ＝ ，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为 ×
＋ × ＝ ，D正确.故选A、C、D.
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8. （多选）某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加
一项活动，有人提议：掷两粒骰子，得到的点数之和是几就选几
班，这种选法（　　）
B. 2班和12班被选到的概率相等
C. 不公平，6班被选到的概率最大
D. 不公平，7班被选到的概率最大
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解析：　掷两粒骰子，每粒骰
子得到的点数有6种结果，故样本
点数为36.两粒骰子的点数和的情
况如图所示.由图可以看出掷两粒
骰子得到的点数和是2，3，4，5，
6，7，8，9，10，11，12的情况分
别有1种，2种，3种，4种，5种，6
种，5种，4种，3种，2种，1种.
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记“掷两粒骰子，得到点数和为 i ”的概率为 Pi （ i ＝2，3，4，5，6，
7，8，9，10，11，12），则 P2＝ P12＝ ， P3＝ P11＝ ＝ ， P4＝
P10＝ ＝ ， P5＝ P9＝ ＝ ， P6＝ P8＝ ， P7＝ ＝ .所以2班
和12班被选到的概率相等，7班被选到的概率最大，故选B、D.
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9. （多选）一道试题， A ， B ， C 三人可解出的概率分别为 ， ，
，三人独立解答，则下列说法正确的是（　　）
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解析：　根据题意知三人解出试题是相互独立的，事件“只有
一人解出试题”包含“ A 解出试题而其余两人没有解出试题”“ B
解出试题而其余两人没有解出试题”“ C 解出试题而其余两人没有
解出试题”，三个事件互斥，所以 P （只有一人解出试题）＝ ×
（1－ ）×（1－ ）＋（1－ ）× ×（1－ ）＋（1－ ）×（1
－ ）× ＝ ，所以A正确；
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同样，可以得出 P （只有两人解出试题）＝（1－ ）× × ＋ ×
（1－ ）× ＋ × ×（1－ ）＝ ， P （三人都解出试题）＝ ×
× ＝ ，事件“至少有两人解出试题”包含“只有两人解出试
题”“三人都解出试题”，这两个事件互斥，所以 P （至少有两人解
出试题）＝ ＋ ＝ ，所以B不正确； P （三人都没有解出试题）
＝（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ ，所以C正确；事件“该试题
被解出”的对立事件是“三人都没有解出试题”，所以 P （该试题被
解出）＝1－ ＝ ，所以D不正确.
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10. 某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批
水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水
稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概
率为 .
解析：设事件 A 为水稻种子发芽，事件 B 为出芽后的幼苗成活，
则 P （ A ）＝0.8， P （ B ）＝0.9，所以这粒水稻种子能成长为幼
苗的概率为 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）＝0.8×0.9＝0.72.
0.72　
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解析：记红、黄、蓝、白四种发光元件分别为 A ， B ， C ， D ，
则从中随机抽取两个的所有情况为 AB ， AC ， AD ， BC ， BD ，
CD ，共6种，故其概率为 .
　
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12. 有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙获得不是正品的
概率为 ，乙获得正品甲获得不是正品的概率为 ，且每台机床获
得正品的概率均大于 ，则甲、乙同时生产这种零件，至少一台
获得正品的概率是 .
　
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解析：设甲、乙两台机床生产这种零件为正品的概率分别为 p ，
q ，则 ＜ p ≤1， ＜ q ≤1.因为甲获得正品乙获得不是正品的概
率为 ，所以 p （1－ q ）＝ ①.因为乙获得正品甲获得不是正品
的概率为 ，所以 q （1－ p ）＝ ②.①②联立得 p ＝ ， q ＝ .所
以甲、乙均获得正品的概率为 pq ＝ × ＝ ，则甲、乙同时生产
这种零件，至少一台获得正品的概率是 ＋ ＋ ＝ .
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13. 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层随机抽
样的方法从 A ， B ， C 三个区抽取7个工厂进行调查，已知 A ，
B ， C 三个区分别有18，27，18个工厂.
（1）求从 A ， B ， C 区分别抽取的工厂个数；
解：工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中
的个体数比为 ＝ ，所以从 A ， B ， C 三个区抽取的工厂
个数分别为2，3，2.
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（2）若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，求
这2个工厂中至少有1个来自 A 区的概率.
解：设 A1， A2为在 A 区抽得的2个工厂， B1， B2， B3为在 B 区抽得的3个工厂， C1， C2为在 C 区抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能出现的样本点有
（ A1， A2），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， B3），（ A1， C1），（ A1， C2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， B3），（ A2， C1），（ A2， C2），（ B1， B2），（ B1， B3），（ B1， C1），（ B1， C2），（ B2， B3），（ B2， C1），（ B2， C2），（ B3， C1），（ B3， C2），（ C1， C2），共有21个.
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随机抽取的2个工厂至少有1个来自 A 区（记为事件 X ）的样
本点有（ A1， A2），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1，
B3），（ A1， C1），（ A1， C2），（ A2， B1），（ A2，
B2），（ A2， B3），（ A2， C1），（ A2， C2），共有11个.
所以这2个工厂中至少有1个来自 A 区的概率为 P （ X ）＝ .
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14. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独
立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， .
（1）分别求出一辆车从甲地到乙地遇到0个和1个红灯的概率；
解：用 P （ X ＝0）表示该车从甲地到乙地遇到0个红灯的概率，用 P （ X ＝1）表示该车从甲地到乙地遇到1个红灯的概率.
则 P （ X ＝0）＝（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ ，
P （ X ＝1）＝ ×（1－ ）×（1－ ）＋（1－ ）× ×
（1－ ）＋（1－ ）×（1－ ）× ＝ .
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（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯
的概率.
解：同（1），用 P （ Y ＝0）， P （ Y ＝1）分别表示
第一辆车从甲地到乙地遇到0个红灯和遇到1个红灯的概率，
用 P （ Z ＝0）， P （ Z ＝1）分别表示第二辆车从甲地到乙
地遇到0个红灯和遇到1个红灯的概率.
则所求事件的概率为
P （ Y ＝0） P （ Z ＝1）＋ P （ Y ＝1） P （ Z ＝0）
＝ × ＋ × ＝ .
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为 .
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15. （2023·新高考Ⅱ卷19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患
病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得
到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
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利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c ，将该指标大
于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判定为阴性，此检测标准
的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p （ c ）；误诊率是
将未患病者判定为阳性的概率，记为 q （ c ）.假设数据在组内均
匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率 p （ c ）＝0.5%时，求临界值 c 和误诊率 q （ c ）；
解：由题图知，（100－95）×0.002＝1%＞0.5%，
所以95＜ c ＜100，
则 p （ c ）＝（ c －95）×0.002＝0.5%，所以 c ＝97.5，
所以 q （ c ）＝0.01×2.5＋0.002×5＝3.5%.
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（2）设函数 f （ c ）＝ p （ c ）＋ q （ c ）.当 c ∈[95，105]时，求
f （ c ）的解析式，并求 f （ c ）在区间[95，105]的最小值.
解：依题意，当 c ∈[95，100]时， f （ c ）＝ p （ c ）
＋ q （ c ）＝（ c －95）×0.002＋（100－ c ）×0.01＋
5×0.002＝－0.008 c ＋0.82；
当 c ∈（100，105]时， f （ c ）＝ p （ c ）＋ q （ c ）＝
5×0.002＋（ c －100）×0.012＋（105－ c ）×0.002＝
0.01 c －0.98.
故 f （ c ）＝
所以 f （ c ）在区间[95，105]的最小值为 f （100）＝0.02.
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16. 随着小汽车的普及，驾驶证已经成为现代人必考证件之一 .若某
人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个
科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员
有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考
试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则
需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没
有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某
驾校通过往年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二
考试，每次通过的概率均为 ，女性学员参加科目二考试，每次
通过的概率均为 .现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本
次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考
试或者用完所有机会为止.
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（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费
的概率；
解：用 M 表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”， Ai 表示“丈夫在第 i 次参加科目二考试中通过”， Bi 表示“妻子在第 i 次参加科目二考试中通过”，
则 P （ M ）＝ P （ A1 B1）＋ P （ B1 A2）＋ P （ A1 B2）
＋ P （ A2 B2）＝ × ＋ × × ＋ × × ＋ × ×
× ＝ .
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（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之
和为200元的概率.
解：用 N 表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考
试产生的补考费用之和为200元”.
D 表示“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”， E 表示
“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， F 表示“丈夫
参加科目二考试不需要交补考费”， G 表示“妻子参加科目
二考试不需要交补考费”，
则 P （ D ）＝ P （ A3）＝ × × ＝ ，
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P （ E ）＝ P （ B3）＝ × × ＝ ，
P （ F ）＝ ＋ × ＝ ，
P （ G ）＝ ＋ × ＝ ，
所以 P （ N ）＝ P （ D ） P （ G ）＋ P （ E ） P （ F ）＝ ×
＋ × ＝ .
所以这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用
之和为200元的概率为 .
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