资源简介

一、数据分析
　　数据分析核心素养在本章中主要体现在频率与概率的有关问题中.
培优一 频率与概率
【例1】　为了解某种产品的质量，从一大批产品中抽出若干批进行质量检查，结果如下：
抽取个数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
（1）计算各批产品中优等品的频率，把上表补充完整；
（2）从这一大批产品中随机抽取1个，则抽到优等品的概率约是多少？
尝试解答
二、数学运算
　　数学运算在本章主要体现在概率计算问题中.
培优二 互斥事件与对立事件的概率计算
【例2】　甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
尝试解答
培优三 古典概型的求法
【例3】　（2022·全国甲卷6题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C.　　 D.
尝试解答
培优四 事件的相互独立性
【例4】　（1）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
（2）计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
①假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
②这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
尝试解答
三、数学建模
　　数学建模核心素养在本章主要体现在概率的实际应用问题中.
培优五 概率的实际应用
【例5】　某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100].
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率.
尝试解答
培优六 概率中的决策问题
【例6】　甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：
甲 82 82 79 95 87
乙 95 75 80 90 85
（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　解：（1）
抽取个数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
（2）由（1）知随着抽取个数的增加，频率都在常数0.95附近摆动，所以从这一大批产品中随机抽取1个，抽到优等品的概率约是0.95.
【例2】　解：（1）甲连胜四场的概率为.
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，
至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为
1－－－＝.
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.
【例3】　C　从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），其中卡片上的数字之积是4的倍数的是（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种取法，所以所求概率是P＝＝.故选C.
【例4】　（1）B　P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝，P（丁）＝＝，P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），P（甲丁）＝＝P（甲）P（丁），P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），P（丙丁）＝0≠P（丁）P（丙），故选B.
（2）解：①设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P（A）＝×＝，P（B）＝×＝，
P（C）＝×＝.
因为P（C）＞P（B）＞P（A），所以丙获得合格证书的可能性最大.
②设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P（D）＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）
＝××＋××＋××＝.
【例5】　解：（1）因为（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所以a＝0.006.
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4，
所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.
（3）受访职工中评分在[50，60）的有50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50）的有50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，即（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）.
因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即（B1，B2），所以所求的概率为.
【例6】　解：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对（x，y）表示样本点如下：
（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（79，95），（79，75），（79，80），（79，90），（79，85），（95，95），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，95），（87，75），（87，80），（87，90），（87，85），样本点总数n＝25.
记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的样本点有（82，75），（82，80），（82，75），（82，80），（79，75），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，75），（87，80），（87，85），样本点数m＝12，所以P（A）＝＝.
（2）派甲参赛比较合适，理由如下：
＝×（82＋82＋79＋95＋87）＝85，
＝×（95＋75＋80＋90＋85）＝85，
＝×[（79－85）2＋（82－85）2＋（82－85）2＋（87－85）2＋（95－85）2]＝31.6，
＝×[（75－85）2＋（80－85）2＋（85－85）2＋（90－85）2＋（95－85）2]＝50，
因为＝，＜，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.
（注：本小题的结论及理由均不唯一，如果能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样正确，如派乙参赛比较合适，理由如下：
从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率P1＝，乙获得85分以上（含85分）的概率P2＝.因为P2＞P1，所以派乙参赛比较合适）.
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章末复习与总结
一、数据分析
　　数据分析核心素养在本章中主要体现在频率与概率的有关问
题中.
培优一 频率与概率
【例1】　为了解某种产品的质量，从一大批产品中抽出若干批进行
质量检查，结果如下：
抽取个数 n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902
（1）计算各批产品中优等品的频率，把上表补充完整；
解：
抽取个数 n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902
0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
（2）从这一大批产品中随机抽取1个，则抽到优等品的概率约是
多少？
解：由（1）知随着抽取个数的增加，频率都在常数0.95附近摆
动，所以从这一大批产品中随机抽取1个，抽到优等品的概率约
是0.95.
二、数学运算
　　数学运算在本章主要体现在概率计算问题中.
培优二 互斥事件与对立事件的概率计算
【例2】　甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮
空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直
至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中
一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为
.
（1）求甲连胜四场的概率；
解：甲连胜四场的概率为 .
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 ；
乙连胜四场的概率为 ；
丙上场后连胜三场的概率为 .
所以需要进行第五场比赛的概率为
1－ － － ＝ .
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
解：根据赛制，至少需要进行四场比赛，
至多需要进行五场比赛.
（3）求丙最终获胜的概率.
解：丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照
丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负
空胜胜，概率分别为 ， ， .
因此丙最终获胜的概率为 ＋ ＋ ＋ ＝ .
培优三 古典概型的求法
【例3】　（2022·全国甲卷6题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张
卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍
数的概率为（　　）
解析：　从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，
共有15种取法，它们分别是（1，2），（1，3），（1，4），（1，
5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，
4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），其中
卡片上的数字之积是4的倍数的是（1，4），（2，4），（2，6），
（3，4），（4，5），（4，6），共6种取法，所以所求概率是 P ＝
＝ .故选C.
培优四 事件的相互独立性
【例4】　（1）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，
从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出
的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表
示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的
球的数字之和是7”，则（　　）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
解析：　 P （甲）＝ ， P （乙）＝ ， P （丙）＝ ， P （丁）＝
＝ ， P （甲丙）＝0≠ P （甲） P （丙）， P （甲丁）＝ ＝ P
（甲） P （丁）， P （乙丙）＝ ≠ P （乙） P （丙）， P （丙丁）
＝0≠ P （丁） P （丙），故选B.
（2）计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只
记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算
机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试
中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实际操作考试中“合
格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有
影响.
①假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁
获得合格证书的可能性最大？
②这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合
格证书的概率.
解：①设“甲获得合格证书”为事件 A ，“乙获得合格证书”
为事件 B ，“丙获得合格证书”为事件 C ，则
P （ A ）＝ × ＝ ， P （ B ）＝ × ＝ ，
P （ C ）＝ × ＝ .
因为 P （ C ）＞ P （ B ）＞ P （ A ），所以丙获得合格证书的可
能性最大.
②设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件 D ，则
P （ D ）＝ P （ AB ）＋ P （　 A C 　）＋ P （ 　 BC 　）
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ .
三、数学建模
　　数学建模核心素养在本章主要体现在概率的实际应用问题中.
培优五 概率的实际应用
【例5】　某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机
访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方
图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40，50），[50，
60），…，[80，90），[90，100].
（1）求频率分布直方图中 a 的值；
解：因为（0.004＋ a ＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所
以 a ＝0.006.
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
解：由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的
频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4，
所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.
（3）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评
分都在[40，50）的概率.
解：受访职工中评分在[50，60）的有50×0.006×10＝3
（人），记为 A1， A2， A3；
受访职工中评分在[40，50）的有50×0.004×10＝2（人），记
为 B1， B2.
因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即（ B1， B2），
所以所求的概率为 .
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
即（ A1， A2），（ A1， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），
（ A2， A3），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A3， B1），（ A3，
B2），（ B1， B2）.
培优六 概率中的决策问题
【例6】　甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参
加的5次预赛成绩记录如下：
甲 82 82 79 95 87
乙 95 75 80 90 85
（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的
概率；
解：记甲被抽到的成绩为 x ，乙被抽到的成绩为 y ，用数对
（ x ， y ）表示样本点如下：
（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，
85），（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），
（82，85），（79，95），（79，75），（79，80），（79，
90），（79，85），（95，95），（95，75），（95，80），
（95，90），（95，85），（87，95），（87，75），（87，
80），（87，90），（87，85），样本点总数 n ＝25.
记“甲的成绩比乙高”为事件 A ，事件 A 包含的样本点有（82，75），
（82，80），（82，75），（82，80），（79，75），（95，75），
（95，80），（95，90），（95，85），（87，75），（87，80），
（87，85），样本点数 m ＝12，所以 P （ A ）＝ ＝ .
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认
为选派哪位学生参加合适？说明理由.
解：派甲参赛比较合适，理由如下：
＝ ×（82＋82＋79＋95＋87）＝85，
＝ ×（95＋75＋80＋90＋85）＝85，
＝ ×[（79－85）2＋（82－85）2＋（82－85）2＋（87－
85）2＋（95－85）2]＝31.6，
＝ ×[（75－85）2＋（80－85）2＋（85－85）2＋（90－
85）2＋（95－85）2]＝50，
因为 ＝ ， ＜ ，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较
合适.
（注：本小题的结论及理由均不唯一，如果能从统计学的角度
分析，给出其他合理回答，同样正确，如派乙参赛比较合适，
理由如下：
从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率 P1＝ ，
乙获得85分以上（含85分）的概率 P2＝ .因为 P2＞ P1，所以派
乙参赛比较合适）.
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