资源简介 1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有（ ）A.2个 B.3个C.4个 D.5个2.在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是（ ）A.与的夹角是锐角B.与的夹角是锐角C.与的夹角是钝角D.与的夹角是锐角3.“向量，共线”是“直线AB∥CD”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法中，正确的是（ ）A.任意单位向量的模都相等B.若A，B是平面内的两个不同的点，则＝C.若向量a∥b，b∥c，则a∥cD.单位向量与任意向量平行5.（多选）已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）A.C A B.A∩B＝{a}C.C B D.A∩B {a}6.（多选）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A.＝ B.｜｜＝｜｜C.＞ D.∥7.将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且｜｜＝2｜｜＝2时，｜｜＝ .8.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为 .9.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：（1）有两个向量的模相等，这两个向量是 ，它们的模都等于 ；（2）存在着共线向量，这些共线的向量是 ，它们的模的和等于 .10.如图，等边△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角：（1）与；（2）与；（3）与.11.下列说法中正确的个数是（ ）①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.A.1 B.2C.3 D.412.（多选）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是（ ）A.｜｜＝｜｜ B.与共线C.与共线 D.与共线13.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，｜｜＝2，则｜｜＝ .14.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地.（1）在如图所示的坐标系中画出，，，；（2）求B地相对于A地的位置向量.15.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则｜｜＝ .16.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{｜M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数.1.1 位移、速度、力与向量的概念1.2 向量的基本关系1.C ②③④⑤是向量.2.B 由两向量夹角的定义知，与的夹角的大小是180°－∠B，为钝角，与的夹角是∠A，为锐角，与的夹角与∠C的大小相等，为锐角，与的夹角的大小是180°－∠C，为钝角.故选B.3.A 向量，共线 直线AB，CD平行或重合；直线AB∥CD 向量，共线.因此“向量，共线”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件.4.A 根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确；与互为相反向量，故B错误；若b＝0时，a与c不一定共线，故C错误；零向量与任意向量平行而不是单位向量，D错误；故选A.5.ACD 因为A∩B＝{a，－a}，所以A、C、D正确.6.BD 与显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；｜｜与｜｜表示等腰梯形两腰的长度，所以｜｜＝｜｜，故B正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥，故D正确.故选B、D.7.3或1 解析：当与同向时，｜｜＝｜｜＋｜｜＝3；当与反向时，｜｜＝｜｜－｜｜＝1.8.1 解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.9.（1）， （2）， 5 解析：（1）模相等的两个向量是，，｜｜＝｜｜＝＝.（2）共线的向量是，，且｜｜＋｜｜＝2＋3＝5.10.解：（1）与的夹角是∠EDA＝120°.（2）因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠FDA＝60°.（3）如图，延长FD至B'，使DB'＝FD，则'＝，则与的夹角等于与'的夹角，即∠FDB'＝180°.11.B 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确.12.ABD ∵三个四边形都是菱形，∴｜｜＝｜｜，AB∥CD∥FH，故与共线.又三点D，C，E共线，∴与共线，故A、B、D都正确.故选A、B、D.13.1 解析：连接AC（图略），由｜｜＝｜｜，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则｜｜＝｜｜＝×2＝1.14.解：（1）向量，，，如图所示.（2）由题意知＝，∴AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴＝，∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”.15.2 解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得｜｜＝，∴｜｜＝2｜｜＝2.16.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个.2 / 3§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系新课程标准解读 核心素养1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景 数学抽象2.理解平面向量的几何表示和基本要素 直观想象3.了解平面向量共线和向量相等的含义及向量的夹角 数学抽象、逻辑推理 我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如图，放在水平桌面上的物体A.【问题】 （1）物体A受到哪些力的作用？（2）物体A受到的力应怎样表示？ 知识点一 向量的概念与表示1.向量的背景——位移、速度、力在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量.位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同.2.向量的概念及表示方法向量 既有大小又有方向的量统称为向量； 那些只有大小没有方向的量称为数量（如年龄、长度、质量、面积、体积等）有向线段 在数学中，这种具有方向和长度的线段称为有向线段（如图），以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作｜｜向量的表示 几何表示 字母表示向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的 ，箭头所指的方向表示向量的 向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…（书写）来表示3.向量的相关概念向量的模 向量a的大小，记作 ，又称作向量的模零向量 长度为0的向量称为零向量，记作 或单位向量 模等于1个单位长度的向量称为 提醒 有向线段和向量的区别与联系向量 有向线段区别 ①向量有大小和方向两个要素；②向量是可以自由平移的 ①有向线段有起点、方向、长度三个要素；②有向线段是固定的线段联系 有向线段是向量的几何表示，一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段知识点二 向量的基本关系1.相等向量相等向量是指它们的长度 且方向 .向量a与b相等，记作a＝b.2.共线（平行）向量若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作 .规定：零向量与任一向量共线，即对任意的向量a，都有 .3.相反向量若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.a的相反向量记作 .零向量的相反向量仍是 .4.向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB （ ≤θ≤ ）称为向量a与b的夹角；（2）性质：当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b反向；（3）向量垂直：如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作 .规定：零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有 .【想一想】1.所有的单位向量都相等吗？2.若向量与共线，则A，B，C，D四点一定共线吗？1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）向量同数量一样可以比较大小.（ ）（2）两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行.（ ）（3）向量就是有向线段.（ ）2.设O为△ABC外接圆的圆心，则，，是（ ）A.相等向量 B.平行向量C.模相等的向量 D.起点相同的向量3.在等边三角形ABC中，与的夹角是 ，点E为BC中点，则与的夹角为 .题型一 向量的有关概念【例1】 给出以下说法：①若｜a｜＝0，则a为零向量；②若a与b共线，则a与b的方向相同或相反；③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.其中正确说法的序号是 .尝试解答通性通法1.判断一个量是否为向量的两个关键条件（1）有大小；（2）有方向.两个条件缺一不可.2.理解零向量和单位向量应注意的问题（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.【跟踪训练】 （多选）下列说法正确的是（ ）A.向量的长度与向量的长度相等B.零向量与任意非零向量平行C.长度相等方向相反的向量共线D.方向相反的向量可能相等题型二 向量的表示及应用【例2】 一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100 km到达点B，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达点C，最后又改变方向，向正东行驶了100 km到达点D.（1）作出向量，，；（2）说出向量的大小和方向.尝试解答通性通法画向量的方法及注意事项（1）方法：①确定向量的起点；②根据运动方向确定向量的方向，并根据向量的大小确定向量的终点；（2）注意事项：用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可.【跟踪训练】飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？题型三 相等向量与共线（平行）向量【例3】 O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：（1）分别找出与，相等的向量；（2）找出与共线的向量；（3）找出与模相等的向量；（4）向量与是否相等？尝试解答通性通法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.【跟踪训练】（多选）如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是（ ）A.与 B.与C.与 D.与题型四 向量的夹角【例4】 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别求出与，与，与的夹角.尝试解答通性通法 在求两个向量的夹角时，一定要明确夹角的定义，只有当表示两个向量的有向线段的起点重合时，所形成的角才是向量的夹角.当表示两个向量的有向线段的终点重合时，所形成的角也是向量的夹角；当表示两个向量的有向线段的起点与终点重合时，所形成的角是向量的夹角的补角.【跟踪训练】 如图，是由两个边长为1的正方形拼接而成的长方形，则在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，与向量的夹角为45°的单位向量有 个.1.下列说法错误的是（ ）A.若a＝0，则｜a｜＝0B.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的2.“｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（多选）下列说法中正确的有（ ）A.单位向量的长度大于零向量的长度B.零向量与任一单位向量平行C.向量和向量互为相反向量D.任意两个向量都有夹角4.给出下列命题：①｜｜＝｜｜；②向量a与向量b的方向相同或相反，则a∥b；③方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量.其中，正确的命题的序号是 .5.如图所示，已知小正方形的边长为1，则向量的长度是 ，与的夹角为 .1.1 位移、速度、力与向量的概念1.2 向量的基本关系【基础知识·重落实】知识点一2.大小 方向 3.｜a｜ 0 单位向量知识点二1.相等 相同 2.a∥b 0∥a 3.－a 零向量 4.（1）0° 180° （2）0° 180° （3）90° a⊥b 0⊥a想一想1.提示：不一定.单位向量指的是长度为1个单位长度的向量，方向不一定相同，故并非所有单位向量都相等.2.提示：不一定.向量与共线指的是向量与方向相同或相反，但表示向量与的有向线段的端点并非在一条直线上.自我诊断1.（1）× （2）× （3）×2.C 根据圆的性质可知，，是模相等的向量.故选C.3.120° 90°【典型例题·精研析】【例1】 ①③ 解析：①正确，模等于0的向量是零向量；②错误，由于零向量与任一向量共线，且方向是任意的，因此，当a与b共线且其中有一个为零向量时，它们的方向不一定相同或相反；③正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同.跟踪训练 ABC 向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；规定零向量与任意向量平行，故B正确；能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.故选A、B、C.【例2】 解：（1）所作向量如图所示.（2）由题意，易知与方向相反，所以与共线.因为｜｜＝｜｜，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD.所以四边形ABCD为平行四边形.所以｜｜＝｜｜＝200（km），且AD∥BC，所以与同向，即的方向也是北偏西40°，且｜｜＝200（km）.跟踪训练 解：如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则｜｜＝1 400（km）.表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则｜｜＝1 400（km）.所以表示飞机从A地到C地的位移.在△ABC中，AB＝BC＝1 400（km），且∠ABC＝75°－15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400（km）.所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1 400 km.【例3】 解：（1）＝，＝.（2）与共线的向量有：，，.（3）与模相等的向量有：，，，，，，.（4）向量与不相等，因为它们的方向不相同.跟踪训练 AD 因为＝，所以四边形ABCD是平行四边形，所以＝，＝，＝－，≠.故选A、D.【例4】 解：由题意知△OAB，△OBC，△OCD，△OED，△OEF，△OFA均为等边三角形.∴与的夹角是∠DOB＝120°，与的夹角是∠DOE＝60°，与的夹角等于与的夹角，设夹角为θ，∴与的夹角θ＝60°.跟踪训练 7 解析：与向量有相同起点且夹角为45°的单位向量有，，与向量共线且同向的单位向量有，，，与向量共线且同向的单位向量有，，这几个向量与的夹角也为45°.所以与向量的夹角为45°的单位向量有7个.随堂检测1.B 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的.2.B 当｜a｜＝｜b｜时，因向量a，b的方向不一定相同，则a与b不一定相等，当a＝b时，必有｜a｜＝｜b｜，所以“｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.3.ABC 单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量和向量是方向相反，模相等的两个向量，C正确；定义两个非零向量存在夹角，而零向量与任何向量不存在夹角，D不正确.4.①②③ 解析：由①知与互为相反向量，它们的模一定相等，①正确.对于②，由共线向量的定义可知②正确.对于③，表述的两向量为方向相反的向量，两向量一定共线，③正确.5.2 90° 解析：｜｜＝＝2，｜｜＝＝，｜｜＝5，则BA2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，即与的夹角为90°.5 / 5(共61张PPT)1.1 位移、速度、力与向量的概念1.2 向量的基本关系新课程标准解读 核心素养1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景 数学抽象2.理解平面向量的几何表示和基本要素 直观想象3.了解平面向量共线和向量相等的含义及向量的夹角 数学抽象、逻辑推理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如图，放在水平桌面上的物体A.【问题】 （1）物体A受到哪些力的作用？（2）物体A受到的力应怎样表示？ 知识点一 向量的概念与表示1. 向量的背景——位移、速度、力在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量.位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同.2. 向量的概念及表示方法向量 既有大小又有方向的量统称为向量；那些只有大小没有方向的量称为数量（如年龄、长度、质量、面积、体积等）有向 线段向量的 表示 几何表示 字母表示向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的 ，箭头所指的方向表示向量的 大小 方向 3. 向量的相关概念向量的模 向量a的大小，记作 ，又称作向量的模零向量 长度为0的向量称为零向量，记作 或单位向量 模等于1个单位长度的向量称为 ｜a｜ 0 单位向量 提醒 有向线段和向量的区别与联系向量 有向线段区别 ①向量有大小和方向两个要素；②向量是可以自由平移的 ①有向线段有起点、方向、长度三个要素；②有向线段是固定的线段联系 有向线段是向量的几何表示，一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段 知识点二 向量的基本关系1. 相等向量相等向量是指它们的长度 且方向 .向量a与b相等，记作a＝b.2. 共线（平行）向量若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作 .规定：零向量与任一向量共线，即对任意的向量a，都有 .相等 相同 a∥b 0∥a 3. 相反向量若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.a的相反向量记作 .零向量的相反向量仍是 .－a 零向量 4. 向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a， ＝b，则θ＝∠AOB （ ≤θ≤ ）称为向量a与b的夹角；（2）性质：当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b反向；0° 180° 0° 180° （3）向量垂直：如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作 .规定：零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有 .90° a⊥b 0⊥a 【想一想】1. 所有的单位向量都相等吗？提示：不一定.单位向量指的是长度为1个单位长度的向量，方向不一定相同，故并非所有单位向量都相等.2. 若向量 与 共线，则A，B，C，D四点一定共线吗？提示：不一定.向量 与 共线指的是向量 与 方向相同或相反，但表示向量 与 的有向线段的端点并非在一条直线上.1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）向量同数量一样可以比较大小. （ × ）（2）两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行.（ × ）（3）向量就是有向线段. （ × ）×××2. 设O为△ABC外接圆的圆心，则 ， ， 是（ ）A. 相等向量 B. 平行向量C. 模相等的向量 D. 起点相同的向量解析： 根据圆的性质可知 ， ， 是模相等的向量.故选C.3. 在等边三角形ABC中， 与 的夹角是 ，点E为BC中点，则 与 的夹角为 .120° 90°典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 向量的有关概念【例1】 给出以下说法：①若｜a｜＝0，则a为零向量；②若a与b共线，则a与b的方向相同或相反；③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.其中正确说法的序号是 .解析：①正确，模等于0的向量是零向量；①③ ②错误，由于零向量与任一向量共线，且方向是任意的，因此，当a与b共线且其中有一个为零向量时，它们的方向不一定相同或相反；③正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同.通性通法1. 判断一个量是否为向量的两个关键条件（1）有大小；（2）有方向.两个条件缺一不可.2. 理解零向量和单位向量应注意的问题（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.【跟踪训练】（多选）下列说法正确的是（ ）B. 零向量与任意非零向量平行C. 长度相等方向相反的向量共线D. 方向相反的向量可能相等解析： 向量 与向量 的方向相反，长度相等，故A正确；规定零向量与任意向量平行，故B正确；能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.故选A、B、C.题型二 向量的表示及应用【例2】 一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100 km到达点B，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达点C，最后又改变方向，向正东行驶了100 km到达点D.（1）作出向量 ， ， ；解：所作向量如图所示.（2）说出向量 的大小和方向.解：由题意，易知 与 方向相反，所以 与 共线.因为｜ ｜＝｜ ｜，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD. 所以四边形ABCD为平行四边形.所以｜ ｜＝｜ ｜＝200（km），且AD∥BC，所以与 同向，即 的方向也是北偏西40°，且｜ ｜＝200（km）.通性通法画向量的方法及注意事项（1）方法：①确定向量的起点；②根据运动方向确定向量的方向，并根据向量的大小确定向量的终点；（2）注意事项：用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可.【跟踪训练】飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？解：如图所示， 表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则｜ ｜＝1 400（km）. 表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则｜ ｜＝1 400（km）.所以 表示飞机从A地到C地的位移.在△ABC中，AB＝BC＝1 400（km），且∠ABC＝75°－15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400（km）.所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1 400 km.题型三 相等向量与共线（平行）向量【例3】 O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：（1）分别找出与 ， 相等的向量；解： ＝ ， ＝ .（2）找出与 共线的向量；解：与 共线的向量有： ， ， .（3）找出与 模相等的向量；解：与 模相等的向量有： ， ， ， ， ， ， .（4）向量 与 是否相等？解：向量 与 不相等，因为它们的方向不相同.通性通法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.【跟踪训练】（多选）如图，在四边形ABCD中，若 ＝ ，则图中相等的向量是（ ）解析： 因为 ＝ ，所以四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ， ＝ ， ＝－ ， ≠ .故选A、D.题型四 向量的夹角【例4】 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别求出 与， 与 ， 与 的夹角.解：由题意知△OAB，△OBC，△OCD，△OED，△OEF，△OFA均为等边三角形.∴ 与 的夹角是∠DOB＝120°，与 的夹角是∠DOE＝60°， 与 的夹角等于 与 的夹角，设夹角为θ，∴ 与 的夹角θ＝60°.通性通法 在求两个向量的夹角时，一定要明确夹角的定义，只有当表示两个向量的有向线段的起点重合时，所形成的角才是向量的夹角.当表示两个向量的有向线段的终点重合时，所形成的角也是向量的夹角；当表示两个向量的有向线段的起点与终点重合时，所形成的角是向量的夹角的补角.【跟踪训练】如图，是由两个边长为1的正方形拼接而成的长方形，则在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，与向量 的夹角为45°的单位向量有 个.7 解析：与向量 有相同起点且夹角为45°的单位向量有 ， ，与向量 共线且同向的单位向量有 ， ， ，与向量 共线且同向的单位向量有 ， ，这几个向量与 的夹角也为45°.所以与向量 的夹角为45°的单位向量有7个.1. 下列说法错误的是（ ）A. 若a＝0，则｜a｜＝0B. 零向量是没有方向的C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的解析： 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的.2. “｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析： 当｜a｜＝｜b｜时，因向量a，b的方向不一定相同，则a与b不一定相等，当a＝b时，必有｜a｜＝｜b｜，所以“｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.3. （多选）下列说法中正确的有（ ）A. 单位向量的长度大于零向量的长度B. 零向量与任一单位向量平行D. 任意两个向量都有夹角解析： 单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量 和向量 是方向相反，模相等的两个向量，C正确；定义两个非零向量存在夹角，而零向量与任何向量不存在夹角，D不正确.4. 给出下列命题：①｜ ｜＝｜ ｜；②向量a与向量b的方向相同或相反，则a∥b；③方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量.其中，正确的命题的序号是 .解析：由①知 与 互为相反向量，它们的模一定相等，①正确.对于②，由共线向量的定义可知②正确.对于③，表述的两向量为方向相反的向量，两向量一定共线，③正确.①②③ 5. 如图所示，已知小正方形的边长为1，则向量 的长度是 ， 与 的夹角为 .解析：｜ ｜＝ ＝2 ，｜ ｜＝ ＝ ，｜｜＝5，则BA2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，即 与的夹角为90°.2 90° 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有（ ）A. 2个 B. 3个C. 4个 D. 5个解析： ②③④⑤是向量.123456789101112131415162. 在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是（ ）解析： 由两向量夹角的定义知， 与 的夹角的大小是180°－∠B，为钝角， 与 的夹角是∠A，为锐角， 与的夹角与∠C的大小相等，为锐角， 与 的夹角的大小是180°－∠C，为钝角.故选B.123456789101112131415163. “向量 ， 共线”是“直线AB∥CD”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析： 向量 ， 共线 直线AB，CD平行或重合；直线AB∥CD 向量 ， 共线.因此“向量 ， 共线”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件.123456789101112131415164. 下列说法中，正确的是（ ）A. 任意单位向量的模都相等C. 若向量a∥b，b∥c，则a∥cD. 单位向量与任意向量平行解析： 根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确； 与 互为相反向量，故B错误；若b＝0时，a与c不一定共线，故C错误；零向量与任意向量平行而不是单位向量，D错误；故选A.123456789101112131415165. （多选）已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）A. C A B. A∩B＝{a}C. C B D. A∩B {a}解析： 因为A∩B＝{a，－a}，所以A、C、D正确.123456789101112131415166. （多选）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）解析： 与 显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；｜ ｜与｜ ｜表示等腰梯形两腰的长度，所以｜ ｜＝｜ ｜，故B正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥ ，故D正确.故选B、D.123456789101112131415167. 将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当 与 是平行向量，且｜ ｜＝2｜ ｜＝2时，｜ ｜＝ .解析：当 与 同向时，｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝3；当与 反向时，｜ ｜＝｜ ｜－｜ ｜＝1.3或1 123456789101112131415168. 已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则 的值为 1 .解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以 的值为1.1123456789101112131415169. 如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：（1）有两个向量的模相等，这两个向量是 ，它们的模都等于 ；解析：模相等的两个向量是 ， ，｜ ｜＝｜ ｜＝ ＝ .， 12345678910111213141516（2）存在着共线向量，这些共线的向量是 ，它们的模的和等于 .解析：共线的向量是 ， ，且｜ ｜＋｜ ｜＝2 ＋3 ＝5 .， 5 1234567891011121314151610. 如图，等边△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角：（1） 与 ；解： 与 的夹角是∠EDA＝120°.（2） 与 ；解：因为 ＝ ，所以 与 的夹角等于 与 的夹角，即∠FDA＝60°.12345678910111213141516（3） 与 .解：如图，延长FD至B'，使DB'＝FD，则 '＝ ，则 与 的夹角等于 与 '的夹角，即∠FDB'＝180°.1234567891011121314151611. 下列说法中正确的个数是（ ）①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.A. 1 B. 2解析：对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确.C. 3 D. 41234567891011121314151612. （多选）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是（ ）解析：∵三个四边形都是菱形，∴｜ ｜＝｜ ｜，AB∥CD∥FH，故 与 共线.又三点D，C，E共线，∴ 与 共线，故A、B、D都正确.故选A、B、D.1234567891011121314151613. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，｜ ｜＝2，则｜ ｜＝ 1 .解析：连接AC（图略），由｜ ｜＝｜ ｜，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×2＝1.11234567891011121314151614. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地.（1）在如图所示的坐标系中画出 ， ， ， ；解：向量 ， ， ， 如图所示.12345678910111213141516（2）求B地相对于A地的位置向量.解：由题意知 ＝ ，∴AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴ ＝ ，∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”.1234567891011121314151615. 已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则｜ ｜＝ .解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝ AB＝1.在Rt△ABO中，易得｜ ｜＝ ，∴｜ ｜＝2｜ ｜＝2 .2 1234567891011121314151616. 如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{ ｜M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数.12345678910111213141516解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个.12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系（练习，含解析）.docx 1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系.docx 1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系.pptx
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