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2.2　向量的减法
1.化简＋－＝（　　）
A.　　　　　　　　　　B.0
C. D.
2.在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则－－＝（　　）
A. B.
C. D.
3.八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图①所示的是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则－＝（　　）
A. B.
C. D.
4.如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，则（　　）
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
5.（多选）已知＋＝，则下列结论正确的是（　　）
A.＋＝ B.＋＝
C.－＝ D.＋＝
6.（多选）化简以下各式，结果为0的有（　　）
A.＋＋
B.－＋－
C.－＋
D.＋＋－
7.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝　　　　.
8.已知a，b是非零向量，则｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立的充要条件是　　　　.
9.已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为　　　　，｜｜的范围是　　　　.
10.向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
（1）用a，d，e表示；
（2）用b，c表示；
（3）用a，b，e表示；
（4）用d，c表示.
11.已知平面内M，N，P三点满足－＋＝0，则下列说法正确的是（　　）
A.M，N，P是一个三角形的三个顶点
B.M，N，P是一条直线上的三个点
C.M，N，P是平面内的任意三个点
D.以上都不对
12.（多选）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中正确的为（　　）
A.＝
B.｜｜＝｜｜
C.｜－｜＝｜＋｜
D.｜＋｜＝｜－｜
13.在△ABC中，｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，则｜－｜＝　　　　.
14.如图所示，已知在矩形ABCD中，｜｜＝4，设＝a，＝b，＝c.试求｜a＋b＋c｜的值.
15.对于不等式｜a｜－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，给出下列四个结论：
①不等式左端的不等号“≤”只能在a＝b＝0时取“＝”；
②不等式左端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且不共线时取“＜”；
③不等式右端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且同向共线时取“＝”；
④不等式右端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且不共线时取“＜”.
其中正确的结论有（　　）
A.0个 B.1个
C.2个 D.4个
16.已知△OAB中，＝a，＝b，满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜＝2，求｜a＋b｜与△OAB的面积.
2.2　向量的减法
1.A　＋－＝－＝＋＝.故选A.
2.B　－－＝＋＋＝＝.
3.B　由题意可得，＝，－＝－＝.故选B.
4.A　＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
5.BD　根据向量的线性运算，对A，＋＝，错误；对B，化为－＝，即＋＝，正确；对C，对＋＝移项可得－＝，错误；对D，由－－＝－，即＋＝，正确；故选B、D.
6.ABD　因为＋＋＝＋＝0，所以A选项符合题意；因为－＋－＝＋－＝－＝0，所以B选项符合题意；因为－＋＝＋＝，所以C选项不符合题意；因为＋＋－＝＋（－）＝＋＝0，所以D选项符合题意.故选A、B、D.
7.0　解析：因为D是边BC的中点，所以－＋＝＋－＝－＝0.
8.a与b方向相反　解析：根据向量减法法则可知｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立的充要条件是a与b反向.
9.2　（0，4）　解析：因为－＋＝＋＋＝，又｜｜＝2，所以｜－＋｜＝｜｜＝2.因为＝＋，且在菱形ABCD中，｜｜＝2，所以｜｜｜－｜｜｜＜｜｜＝｜＋｜＜｜｜＋｜｜，即0＜｜｜＜4.
10.解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
（1）＝＋＋＝d＋e＋a.
（2）＝－＝－－＝－b－c.
（3）＝＋＋＝e＋a＋b.
（4）＝－＝－（＋）＝－c－d.
11.C　因为－＋＝＋＋＝＋＝0，所以＋＋＝0对任意情况都恒成立，所以M，N，P是平面内的任意三个点.
12.BCD　菱形ABCD中，向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B选项正确，A选项错误；因为｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，故C选项正确；因为｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以D选项正确，故选B、C、D.
13.　解析：如图，延长CB到点D，使CB＝BD，连接AD.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，－＝＋＝＋＝.易求得AD＝，即｜｜＝.所以｜－｜＝.
14.解：a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图，延长BC至点E，使｜｜＝｜｜，连接DE.
∵＝＝，∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴｜a＋b＋c｜＝｜｜＝2｜｜＝2｜｜＝8.
15.A　当a＝－b≠0时，｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜也成立，故①不正确；当b≠0，a＝0时，｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜也成立，故②不正确；当a，b有一个为0时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜也成立，故③不正确；当a与b反向共线时，｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜也成立，故④不正确.所以正确的结论有0个.
16.解：由已知得｜｜＝｜｜，以，为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则可知其为菱形，且＝a＋b，＝a－b，
由于｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴｜a＋b｜＝｜｜＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝.
2 / 32.2　向量的减法
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义 数学运算、直观想象
　　如图，向量是向量与向量x的和.
【问题】　你能作出向量x吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　向量的减法
1.定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的　　　　　　，即a－b＝a＋（－b）.
2.几何意义：给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，a－b可以表示为从向量b的　　　　指向被减向量a的　　　　的向量（向量a与b的起点均为点O）.
【想一想】
1.若a与b共线同向且｜a｜＜｜b｜，如何求作a－b？
2.若｜a－b｜＝｜a＋b｜，则a与b的夹角是多少度？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个向量的差仍是一个向量.（　　）
（2）＝－.（　　）
（3）a－b的相反向量是b－a.（　　）
（4）｜a－b｜＜｜a＋b｜.（　　）
2.在△ABC中，＝a，＝b，则＝（　　）
A.a＋b　　　　　　　　B.a－b
C.b－a D.－a－b
3.化简：＋－－＝　　　　.
题型一 求作向量的差
【例1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
尝试解答
通性通法
关于向量的减法
（1）作两向量的差向量的步骤：
（2）求两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋（－b）即可；
（3）向量减法的三角形法则对共线向量也适用.
【跟踪训练】
如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作：
（1）向量b＋c－a；
（2）向量a－b－c.
题型二 向量的减法运算
【例2】　化简下列各式：
（1）（＋）＋（－－）；
（2）－－.
尝试解答
通性通法
1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式
（1）首尾相连则为和；（2）起点相同则为差.
【跟踪训练】
　化简下列式子：
（1）－－－；
（2）（－）－（－）.
题型三 向量减法运算的几何意义
【例3】　如图，四边形ABCD是平行四边形，设＝a，＝b.
（1）试用a，b表示，；
（2）当向量a，b满足什么条件时，四边形ABCD是矩形？
（3）当向量a，b满足什么条件时，四边形ABCD是菱形？
尝试解答
通性通法
　　要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中，各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系，能够运用向量的加法与减法进行正确的表示，同时还要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示.
【跟踪训练】
　已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论正确的是（　　）
A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在直线上
D.点P在△ABC的外部
题型四 向量加减法的综合应用
【例4】　（1）已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示；
（2）已知非零向量a，b满足｜a｜＝＋1，｜b｜＝－1，且｜a－b｜＝4，求｜a＋b｜的值.
尝试解答
通性通法
1.关于向量的加法和减法问题，一种就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决.
2.用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找（或作）有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果.
【跟踪训练】
若｜｜＝8，｜｜＝5，则｜｜的取值范围是（　　）
A.[3，8]　　　　　　　　 B.（3，8）
C.[3，13] D.（3，13）
1.在△ABC中，D是BC边上的一点，则－＝（　　）
A.　　　　　　　　　B.
C. D.
　　
2.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则｜a＋b－c｜＝（　　）
A.0 B.1
C. D.2
3.（多选）下列各式中能化简为的是（　　）
A.（－）－
B.－（＋）
C.－（＋）－（＋）
D.－－＋
4.已知四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是　　　　.
5.若向量a与b满足｜a｜＝5，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最小值为　　　，｜a－b｜的最大值为　　　.
2.2　向量的减法
【基础知识·重落实】
知识点
1.相反向量　2.终点B　终点A
想一想
1.提示：
作有向线段＝a，＝b，如图，则即为a－b.
2.提示：
如图，∵｜a－b｜＝｜a＋b｜，∴四边形OACB是矩形，∴a与b的夹角是90°.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
2.C　＝－＝b－a.
3.0　解析：＋－－＝＋－（＋）＝－＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝b－c.过点A作AD BC，连接OD，则＝b－c，所以＝＋＝a＋b－c.
法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，则＝a＋b－c.
法三　如图③，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
跟踪训练
　解：（1）以OB，OC为邻边作 OBDC，如图，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
（2）由a－b－c＝a－（b＋c），如图，以OB，OC为邻边，作 OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝－＝a－（b＋c）＝a－b－c.
【例2】　解：（1）原式＝＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝.
（2）原式＝－（＋）＝－＝.
跟踪训练
　解：（1）原式＝＋－＝＋＝－＝0.
（2）原式＝－－＋
＝（－）＋（－）＝＋＝0.
【例3】　解：（1）由向量加、减法运算法则可得＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
（2）因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以要使四边形ABCD是矩形，应满足｜｜＝｜｜，即｜a＋b｜＝｜b－a｜.
（3）因为邻边相等的平行四边形是菱形，所以要使四边形ABCD是菱形，应满足｜｜＝｜｜，即｜a｜＝｜b｜.
跟踪训练
D　由＋＝，可得＝－＝，所以四边形PBCA为平行四边形.可知点P在△ABC的外部.故选D.
【例4】　解：
（1）法一　如图所示，
＝＋＝a＋＝a＋（－）＝a＋c－b.
法二　＝＋＋＋＝＋＋（＋）＝＋＋0＝＋（＋）＝a＋（－b＋c）＝a－b＋c.
（2）设＝a，＝b，则｜｜＝｜a－b｜.以OA，OB为邻边作平行四边形OAEB（图略），则｜｜＝｜a＋b｜.
∵（＋1）2＋（－1）2＝42，
∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，
∴OA⊥OB.
∴平行四边形OAEB是矩形.
∵矩形的对角线相等，
∴｜｜＝｜｜＝4，
即｜a＋b｜＝4.
跟踪训练
　C　因为＝－，故当，同向共线时，｜｜＝｜｜－｜｜＝3；当，反向共线时，｜｜＝｜｜＋｜｜＝13；当，不共线时，｜｜｜－｜｜｜＜｜－｜＜｜｜＋｜｜，即3＜｜｜＜13.综上可得3≤｜｜≤13.
随堂检测
1.C　在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
2.A　因为＝a，＝b，＝c，所以｜a＋b－c｜＝｜＋－｜＝｜－｜＝0.故选A.
3.ABC　对于A，（－）－＝＋＋＝，故正确；对于B，－（＋）＝－0＝，故正确；对于C，－（＋）－（＋）＝－（＋）－－＝－－＋＝，故正确；对于D，－－＋＝2＋≠，故不正确.故选A、B、C.
4.平行四边形　解析：已知四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则－＝－ ＝，所以BA＝CD，BA∥CD，则四边形ABCD的形状是平行四边形.
5.7　17　解析：由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜可得.
3 / 4(共53张PPT)
2.2　向量的减法
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法
运算，理解其几何意义 数学运算、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图，向量 是向量 与向量x的和.
【问题】　你能作出向量x吗？




知识点　向量的减法
1. 定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的 ，即a
－b＝a＋（－b）.
2. 几何意义：给定向量a与b，作有向线段 ＝a， ＝b，a－b
可以表示为从向量b的 指向被减向量a的 的
向量（向量a与b的起点均为点O）.
相反向量　
终点B　
终点A　
【想一想】
1. 若a与b共线同向且｜a｜＜｜b｜，如何求作a－b？
提示：作有向线段 ＝a， ＝b，如图，则 即为a－b.
2. 若｜a－b｜＝｜a＋b｜，则a与b的夹角是多少度？
提示：如图，∵｜a－b｜＝｜a＋b｜，∴四边形OACB是矩形，∴a与b的夹角是90°.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个向量的差仍是一个向量. （　√　）
（2） ＝ － . （　√　）
（3）a－b的相反向量是b－a. （　√　）
（4）｜a－b｜＜｜a＋b｜. （　×　）
√
√
√
×
2. 在△ABC中， ＝a， ＝b，则 ＝（　　）
A. a＋b B. a－b
C. b－a D. －a－b
解析：　 ＝ － ＝b－a.
3. 化简： ＋ － － ＝ .
解析： ＋ － － ＝ ＋ －（ ＋ ）＝ －
＝0.
0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求作向量的差
【例1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解：法一　如图①，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b， ＝c，连接BC，则 ＝b－c.过点A作AD BC，连接OD，则 ＝b－c，所以 ＝ ＋ ＝a＋b－c.
法二　如图②，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，连接OB，则 ＝a＋b，再作 ＝c，连接CB，则 ＝a＋b－c.
法三　如图③，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，连接OB，则 ＝a＋b，再作 ＝c，连接OC，则 ＝a＋b－c.
通性通法
关于向量的减法
（1）作两向量的差向量的步骤：
（2）求两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行，如a－
b，可以先作－b，然后用加法a＋（－b）即可；
（3）向量减法的三角形法则对共线向量也适用.
【跟踪训练】
如图所示，O为△ABC内一点， ＝a， ＝b， ＝c，求作：
（1）向量b＋c－a；
解：以OB，OC为邻边作 OBDC，如
图，连接OD，AD，则 ＝ ＋ ＝b＋
c， ＝ － ＝b＋c－a.
（2）向量a－b－c.
解：由a－b－c＝a－（b＋c），如图，以OB，OC为邻边，作 OBEC，连接OE，则 ＝ ＋ ＝b＋c，连接AE，则 ＝ － ＝a－（b＋c）＝a－b－c.
题型二 向量的减法运算
【例2】　化简下列各式：
（1）（ ＋ ）＋（－ － ）；
解：原式＝ ＋ ＋ ＋
＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）
＝ ＋ ＝ .
（2） － － .
解：原式＝ －（ ＋ ）＝ － ＝ .
通性通法
1. 向量减法运算的常用方法
2. 向量加减法化简的两种形式
（1）首尾相连则为和；（2）起点相同则为差.
【跟踪训练】
　化简下列式子：
（1） － － － ；
解：原式＝ ＋ － ＝ ＋ ＝ － ＝0.
（2）（ － ）－（ － ）.
解：原式＝ － － ＋
＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ＝0.
题型三 向量减法运算的几何意义
【例3】　如图，四边形ABCD是平行四边形，设 ＝a， ＝b.
（1）试用a，b表示 ， ；
解：由向量加、减法运算法则可得 ＝ ＋ ＝a＋b， ＝ － ＝b－a.
（2）当向量a，b满足什么条件时，四边形ABCD是矩形？
解：因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以要使四边形ABCD是矩形，应满足｜
｜＝｜ ｜，即｜a＋b｜＝｜b－a｜.
（3）当向量a，b满足什么条件时，四边形ABCD是菱形？
解：因为邻边相等的平行四边形是菱形，所以要使四边形
ABCD是菱形，应满足｜ ｜＝｜ ｜，即｜a｜＝｜b｜.
通性通法
　　要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中，各边对应向量
以及对角线对应向量之间的关系，能够运用向量的加法与减法进行正
确的表示，同时还要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角
度，运用向量语言进行表示.
【跟踪训练】
已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足 ＋ ＝
，则下列结论正确的是（　　）
A. 点P在△ABC的内部 B. 点P在△ABC的边AB上
C. 点P在AB边所在直线上 D. 点P在△ABC的外部
解析：D　由 ＋ ＝ ，可得 ＝ － ＝ ，所以四边
形PBCA为平行四边形.可知点P在△ABC的外部.故选D.
题型四 向量加减法的综合应用
【例4】　（1）已知O为平行四边形ABCD内一点， ＝a， ＝
b， ＝c，试用a，b，c表示 ；
解：法一　如图所示， ＝ ＋ ＝
a＋ ＝a＋（ － ）＝a＋c－b.
法二　 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋（ ＋ ）＝
＋ ＋0＝ ＋（ ＋ ）＝a＋（－b＋c）＝a－b＋c.
解：设 ＝a， ＝b，则｜ ｜＝｜a－b｜.以OA，OB为邻
边作平行四边形OAEB（图略），则｜ ｜＝｜a＋b｜.
∵（ ＋1）2＋（ －1）2＝42，∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝
｜ ｜2，
∴OA⊥OB. ∴平行四边形OAEB是矩形.
∵矩形的对角线相等，
∴｜ ｜＝｜ ｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
（2）已知非零向量a，b满足｜a｜＝ ＋1，｜b｜＝ －1，
且｜a－b｜＝4，求｜a＋b｜的值.
通性通法
1. 关于向量的加法和减法问题，一种就是依据三角形法则通过作
图来解决，另一种就是通过表示向量的有向线段的字母符号运
算来解决.
2. 用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位
置；第二步，寻找（或作）有关的平行四边形或三角形；第三步，
利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果.
【跟踪训练】
若｜ ｜＝8，｜ ｜＝5，则｜ ｜的取值范围是（　　）
A. [3，8] B. （3，8）
C. [3，13] D. （3，13）
解析：　因为 ＝ － ，故当 ， 同向共线时，｜ ｜
＝｜ ｜－｜ ｜＝3；当 ， 反向共线时，｜ ｜＝｜
｜＋｜ ｜＝13；当 ， 不共线时，｜｜ ｜－｜
｜｜＜｜ － ｜＜｜ ｜＋｜ ｜，即3＜｜ ｜＜13.
综上可得3≤｜ ｜≤13.
1. 在△ABC中，D是BC边上的一点，则 － ＝（　　）
解析：　在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法
的几何意义可得 － ＝ .
2. 已知正方形ABCD的边长为1， ＝a， ＝b， ＝c，则｜a
＋b－c｜＝（　　）
A. 0 B. 1 D. 2
解析：　因为 ＝a， ＝b， ＝c，所以｜a＋b－c｜
＝｜ ＋ － ｜＝｜ － ｜＝0.故选A.
3. （多选）下列各式中能化简为 的是（　　）
解析：　对于A，（ － ）－ ＝ ＋ ＋ ＝ ，故正确；对于B， －（ ＋ ）＝ －0＝ ，故正确；对于C，－（ ＋ ）－（ ＋ ）＝－（ ＋ ）－ － ＝－ － ＋ ＝ ，故正确；对于D，－ － ＋ ＝2 ＋ ≠ ，故不正确.故选A、B、C.
4. 已知四边形ABCD和点O，若 ＋ ＝ ＋ ，则四边形
ABCD的形状是 .
解析：已知四边形ABCD和点O，若 ＋ ＝ ＋ ，则
－ ＝ － ＝ ，所以BA＝CD，BA∥CD，则四边
形ABCD的形状是平行四边形.
5. 若向量a与b满足｜a｜＝5，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最小值
为 ，｜a－b｜的最大值为 .
解析：由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，｜｜
a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜可得.
平行四边形　
7　
17　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 ＋ － ＝（　　）
B. 0
解析：　 ＋ － ＝ － ＝ ＋ ＝ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则 － － ＝
（　　）
解析：　 － － ＝ ＋ ＋ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会
现象.如图①所示的是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八
边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则 － ＝
（　　）
解析：由题意可得， ＝ ， － ＝ － ＝ .故选B.
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4. 如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，则
（　　）
解析：　 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＝0.
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5. （多选）已知 ＋ ＝ ，则下列结论正确的是（　　）
解析：　根据向量的线性运算，对A， ＋ ＝ ，错误；
对B，化为 － ＝ ，即 ＋ ＝ ，正确；对C，对
＋ ＝ 移项可得 － ＝ ，错误；对D，由－
－ ＝－ ，即 ＋ ＝ ，正确；故选B、D.
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6. （多选）化简以下各式，结果为0的有（　　）
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解析：　因为 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，所以A选项符合
题意；因为 － ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝
0，所以B选项符合题意；因为 － ＋ ＝ ＋ ＝ ，
所以C选项不符合题意；因为 ＋ ＋ － ＝ ＋（
－ ）＝ ＋ ＝0，所以D选项符合题意.故选A、B、D.
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7. 如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则
－ ＋ ＝ .
解析：因为D是边BC的中点，所以 － ＋ ＝ ＋ －
＝ － ＝0.
0　
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8. 已知a，b是非零向量，则｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立的充要
条件是 .
解析：根据向量减法法则可知｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立的充
要条件是a与b反向.
a与b方向相反　
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9. 已知菱形ABCD的边长为2，则向量 － ＋ 的模
为 ，｜ ｜的范围是 .
解析：因为 － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，又｜ ｜
＝2，所以｜ － ＋ ｜＝｜ ｜＝2.因为 ＝ ＋
，且在菱形ABCD中，｜ ｜＝2，所以｜｜ ｜－｜
｜｜＜｜ ｜＝｜ ＋ ｜＜｜ ｜＋｜ ｜，即0
＜｜ ｜＜4.
2　
（0，4）　
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10. 向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
（1）用a，d，e表示 ；
解：由题图知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e.
＝ ＋ ＋ ＝d＋e＋a.
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（2）用b，c表示 ；
解： ＝ － ＝－ － ＝－b－c.
（3）用a，b，e表示 ；
解： ＝ ＋ ＋ ＝e＋a＋b.
（4）用d，c表示 .
解： ＝－ ＝－（ ＋ ）＝－c－d.
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11. 已知平面内M，N，P三点满足 － ＋ ＝0，则下列说
法正确的是（　　）
A. M，N，P是一个三角形的三个顶点
B. M，N，P是一条直线上的三个点
C. M，N，P是平面内的任意三个点
D. 以上都不对
解析：　因为 － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＝0，所以 ＋ ＋ ＝0对任意情况都恒成立，所以M，
N，P是平面内的任意三个点.
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12. （多选）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中正确的为（　　）
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解析：　菱形ABCD中，向量 与 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B选项正确，A选项错误；因为｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，故C选项正确；因为｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以D选项正确，故选B、C、D.
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13. 在△ABC中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1，则｜ － ｜
＝ .
解析：如图，延长CB到点D，使CB＝BD，连接
AD. 在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝
120°， － ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .易
求得AD＝ ，即｜ ｜＝ .所以｜ －
｜＝ .
　
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14. 如图所示，已知在矩形ABCD中，｜ ｜＝4 ，设 ＝a， ＝b， ＝c.试求｜a＋b＋c｜的值.
解：a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝ ＋
.如图，延长BC至点E，使｜ ｜
＝｜ ｜，连接DE.
∵ ＝ ＝ ，∴四边形ACED是平行四边形，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ，∴｜a＋b＋c｜＝｜ ｜
＝2｜ ｜＝2｜ ｜＝8 .
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15. 对于不等式｜a｜－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，给出下
列四个结论：
①不等式左端的不等号“≤”只能在a＝b＝0时取“＝”；
②不等式左端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且不共线
时取“＜”；
③不等式右端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且同向共
线时取“＝”；
④不等式右端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且不共线
时取“＜”.
其中正确的结论有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个
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解析：　当a＝－b≠0时，｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜也成
立，故①不正确；当b≠0，a＝0时，｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜
也成立，故②不正确；当a，b有一个为0时，｜a＋b｜＝｜a｜
＋｜b｜也成立，故③不正确；当a与b反向共线时，｜a＋b｜
＜｜a｜＋｜b｜也成立，故④不正确.所以正确的结论有0个.
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16. 已知△OAB中， ＝a， ＝b，满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－
b｜＝2，求｜a＋b｜与△OAB的面积.
解：由已知得｜ ｜＝｜ ｜，以 ， 为
邻边作平行四边形OACB，如图所示，则可知其
为菱形，且 ＝a＋b， ＝a－b，
由于｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴｜a＋b｜＝｜ ｜＝2× ＝2 ，
S△OAB＝ ×2× ＝ .
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