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§3　从速度的倍数到向量的数乘
3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系
1.点C在线段AB上，且＝，则＝（　　）
A.　　　　　　　 B.
C.－ D.－
2.－＝（　　）
A.a－b＋2c　　 B.5a－b＋2c
C.a＋b＋2c　　 D.5a＋b
3.在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是（　　）
A.平行四边形 B.菱形
C.梯形 D.矩形
4.已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋（2－m）b共线，则实数m的值为（　　）
A.－1或3 B.
C.－1或4 D.3或4
5.设△ABC中BC边上的中线为AD，点O满足＝2，则＝（　　）
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
6.（多选）已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为（　　）
A.m（a－b）＝ma－mb
B.（m－n）a＝ma－na
C.若ma＝mb，则a＝b
D.若ma＝na，则m＝n
7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝　　　　.
8.若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝　　　　.
9.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝　　　　.
10.已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
（1）用e，f表示；
（2）证明四边形ABCD为梯形.
11.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且｜｜＝｜｜，则－＝（　　）
A. B.
C. D.
12.（多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是（　　）
A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B.存在不相等的两个实数λ，μ，使λa－μb＝0
C.xa＋yb＝0（其中实数x，y满足x＋y＝0）
D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
13.在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝　　　　（用a，b表示）.
14.证明：若向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得＝λ＋μ，反之也成立.
15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
16.设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.
（1）试用向量法证明：PQ∥AB；
（2）若AB＝3CD，求PQ∶AB的值.
3.1　向量的数乘运算
3.2　向量的数乘与向量共线的关系
1.D　∵＝，∴＝－，∴＝－.
2.A　－＝（3a－2a）＋＋（c＋c）＝a－b＋2c.故选A.
3.C　∵＝－，∴AB∥CD且｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD是梯形.
4.A　因为向量ma－3b与a＋（2－m）b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以ma－3b＝λa＋（2－m）λb，所以解得m＝－1或m＝3，故选A.
5.A　如图所示：∵D为BC的中点，∴＝＋，∵＝2，∴＝＝＋，∴＝－＝－＝－＋，故选A.
6.AB　对于A，根据向量数乘的运算律可得m（a－b）＝ma－mb，故A正确；对于B，根据向量数乘的运算律可得（m－n）a＝ma－na，故B正确；对于C，由ma＝mb可得m（a－b）＝0，当m＝0时，该等式恒成立，不能推出a＝b，故C错误；对于D，由ma＝na可得（m－n）a＝0，当a＝0时，该等式也成立，不能推出m＝n.故D错误.故选A、B.
7.2　解析：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.
8.4b－3a　解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
9.3　解析：∵＋＋＝0，∴＋＝－，
又由＋＝m得（＋）＋（＋）＝m，所以（＋）－2＝m，即－3＝m＝－m，∴m＝3.
10.解：（1）由题意，有＝＋＋＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f.
（2）证明：由（1）知＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2，即＝2.
根据向量的数乘的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.
11.A　－＝－＝＝.故选A.
12.AB　对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线.
13.b－a
解析：如图，＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋（a＋b）＝（b－a）.
14.证明：∵向量，，的终点A，B，C共线，
∴存在实数t，使得＝t，
即－＝t（－），＝（1－t）＋t.
令λ＝1－t，μ＝t，则有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
反之，若＝λ＋μ，（*）
∵λ＋μ＝1，∴λ＝1－μ，
代入（*）式，得＝（1－μ）＋μ，－＝μ（－），即＝μ.
∴向量，，的终点A，B，C共线.
15.C　因为＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），所以＝λ（＋），λ∈（0，＋∞），即与＋共线，而＋是以，为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC的交点是线段BC中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.
16.解：（1）证明：∵Q为BD的中点，
∴＋＝2，
又P为AC的中点，∴＝2，
∴2＝2－2＝（＋）－＝＋＝（－）＋（＋）＝＋，
又向量与共线，∴存在实数λ，使得＝λ，
则2＝（1＋λ），
∴＝， ①
又在梯形ABCD中，｜｜≠｜｜，
∴λ≠－1，∴∥，即PQ∥AB.
（2）∵向量与方向相反，且｜｜＝3｜｜，
∴＝－3，即λ＝－，代入①式，得＝＝，∴PQ∶AB的值为.
1 / 2§3　从速度的倍数到向量的数乘
3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算律，理解其几何意义 数学运算
2.掌握共线（平行）向量基本定理及其应用 数学抽象、数学运算
　　一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a.
【问题】　（1）它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？
（2）蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　向量的数乘运算
1.向量的数乘的定义
实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件：
向量 λ的符号 方向 模
λa λ＞0 与向量a的方向相同 ｜λa｜＝ ｜λ｜｜a｜
λ＜0 与向量a的方向相反
λ＝0 向量为0，方向任意
这种运算称为向量的数乘.
提醒　（1）实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义；（2）当λ＝0或a＝0时，均有λa＝0.反之，若λa＝0，则λ＝0或a＝0.
2.λa的几何意义
（1）当λ＞0时，表示向量a的有向线段在　　　　伸长或缩短为原来的　　　倍；
（2）当λ＜0时，表示向量a的有向线段在　　　　伸长或缩短为原来的　　　　倍；
（3）在非零向量a方向上的单位向量是　　　.
3.数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，a，b为向量，那么
（1）（λ＋μ）a＝　　　　；
（2）λ（μa）＝　　　 　；
（3）λ（a＋b）＝　　　　.
特别地，我们有（－λ）a＝－λa＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
【想一想】
1.向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果是实数还是向量？
2.根据向量数乘的定义对于向量a（a≠0）反方向上的单位向量如何表示？
知识点二　共线（平行）向量基本定理
1.定理：给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝　　　　.
2.直线的向量表示
（1）如图，已知A，B两点确定一条直线l，直线l上任意一点P所对应的向量与向量共线，从而可以用
表示，即存在唯一实数t，使得＝t.
这说明由一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与向量共线的直线l.
（2）通常可以用　　　　表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量.
【想一想】
共线（平行）向量基本定理中的条件b≠0能否去掉？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）实数λ与向量a的积还是向量.（　　）
（2）对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反.（　　）
（3）向量－8a的模是向量4a的模的2倍.（　　）
（4）若b＝λa（a≠0），则a与b方向相同或相反.（　　）
（5）若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.（　　）
2.a＋b＋a－4b＝（　　）
A.2a＋3b　　　　　　　　B.a－3b
C.2a－3b D.2a－2b
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝　　　　.
题型一 向量的数乘运算
【例1】　（多选）已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是（　　）
A.λa∥a
B.λa与a的方向相同
C.是单位向量
D.若｜λa｜＞｜a｜，则λ＞1
尝试解答
通性通法
对数乘向量的三点说明
（1）λa中的实数λ叫作向量a的系数；
（2）向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小；
（3）向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量.
【跟踪训练】
设a为任一非零向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是（　　）
A.e＝　　　　　　　 B.a＝｜a｜e
C.a＝－｜a｜e D.a＝±｜a｜e
题型二 向量的线性运算
【例2】　化简下列各式：
（1）3（6a＋b）－9；
（2）－2；
（3）2（5a－4b＋c）－3（a－3b＋c）－7a.
尝试解答
通性通法
向量线性运算的方法
（1）向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数；
（2）向量也可以通过列方程来解——把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解.在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
【跟踪训练】
1.化简＝　　　　.
2.已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
题型三 共线（平行）向量基本定理及其应用
角度1　向量共线的判定
【例3】　判断下列各题中的向量a，b是否共线（其中e1，e2是两非零不共线向量）.
（1）a＝5e1，b＝－10e1；
（2）a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
（3）a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
尝试解答
通性通法
　　向量共线的判定一般是用其判定定理，即给定一个非零向量b，若存在唯一一个实数λ，使得a＝λb，则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.
【跟踪训练】
已知向量e1，e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋2e2，求证：a∥b.
角度2　用已知向量表示未知向量
【例4】　如图，在△ABC中，＝2.若＝a，＝b，则＝（　　）
A.a＋b B.a－b
C.a＋b D.a－b
尝试解答
通性通法
用已知向量表示未知向量的方法
【跟踪训练】
如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b所在线段为邻边的平行四边形，对角线交于点C，＝，＝，试用向量a，b表示，，.
1.＝（　　）
A.2a－b　　　　　　 B.2b－a
C.b－a D.a－b
2.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
3.在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则－＝（　　）
A.－2 B.－
C.－ D.－2
4.（多选）已知向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是（　　）
A.a∥b B.向量a，b方向相反
C.｜a｜＝3｜b｜ D.b＝－3a
5.已知＝－，则使得＝λ的实数λ＝　　 　.
3.1　向量的数乘运算
3.2　向量的数乘与向量共线的关系
【基础知识·重落实】
知识点一
2.（1）原方向　λ　（2）反方向　｜λ｜　（3）
3.（1）λa＋μa　（λμ）a　λa＋λb
想一想
1.提示：向量的线性运算的结果是向量.
2.提示：－.
知识点二
1.λb　2.（2）＝t
想一想
　提示：不能，若b＝0，a≠0，显然a与b共线，但不存在实数λ使a＝λb.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×　（5）×
2.C　原式＝a＋（1－4）b＝2a－3b.故选C.
3.－　解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）]，
所以解得
【典型例题·精研析】
【例1】　AC　已知a≠0，λ∈R，由向量数乘的定义知，选项A正确；当λ＜0时，λa与a的方向相反，故选项B错误；因为｜｜＝＝1，故选项C正确；由｜λa｜＞｜a｜得，｜λ｜｜a｜＞｜a｜，又｜a｜≠0，所以｜λ｜＞1，解得λ＞1或λ＜－1，故选项D错误.
跟踪训练
　D　∵a∥e，∴e与a的方向相同或相反.当e与a的方向相同时，e＝；当e与a的方向相反时，e＝－.∴e＝±，则a＝±｜a｜e.
【例2】　解：（1）原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
（2）原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
（3）原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
跟踪训练
1.a－b　解析：原式＝（ 4a－3b＋b－a＋b）＝
＝＝a－b.
2.解：由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，
代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，所以y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
【例3】　解：（1）因为b＝－2a，所以a与b共线.
（2）因为a＝b，
所以a与b共线.
（3）设a＝λb，则e1＋e2＝λ（3e1－3e2），
所以（1－3λ）e1＋（1＋3λ）e2＝0.
因为e1与e2是两个非零不共线向量，
所以1－3λ＝0，1＋3λ＝0.
这样的λ不存在，
因此a与b不共线.
跟踪训练
证明：若e1＝e2＝0，则a＝b＝0，
所以a与b共线，即a∥b；
若e1，e2中至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝λe1（λ∈R），且a＝（1－λ）e1，b＝2（1＋λ）e1，所以a∥e1，b∥e1.
因为e1≠0，所以a∥b.综上可知，a∥b.
【例4】　C　由题意可得，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.
跟踪训练
　解：因为＝－＝a－b，
所以＝＝＝（a－b），
所以＝＋＝b＋（a－b）＝a＋b.
因为＝＝，
所以＝＋＝＋＝＝（＋）＝（a＋b）＝a＋b.
所以＝－＝（a＋b）－（a＋b）＝a－b.
随堂检测
1.B　原式＝（2a＋8b）－（4a－2b）＝a＋b－a＋b＝－a＋2b.
2.A　＋＋＝a＋2b＋（－5a＋6b）＋（7a－2b）＝3a＋6b＝3（a＋2b）＝＝3.所以A，B，D三点共线.
3.D　∵在矩形ABCD中，E为AB的中点，∴－＝－－（－）＝－－－＋＝－2，故选D.
4.ABD　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由共线向量定理知，A正确；－3＜0，a与b方向相反，故B正确；由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C错误.故选A、B、D.
5.－2　解析：＝－，则A在线段BC上，所以＝－2，又＝λ，所以λ＝－2.
4 / 5(共62张PPT)
3.1　向量的数乘运算
3.2　向量的数乘与向量共线的关系
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算律，
理解其几何意义 数学运算
2.掌握共线（平行）向量基本定理及其应用 数学抽象、
数学运算
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如
果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a.
【问题】　（1）它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表
示？是3a吗？
（2）蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？
你能用图形表示吗？




知识点一　向量的数乘运算
1. 向量的数乘的定义
实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件：
向量 λ的符号 方向 模
λ
a λ＞0 与向量a的方向相同 ｜λa｜＝
｜λ｜｜a｜
λ＜0 与向量a的方向相反 λ＝0 向量为0，方向任意 这种运算称为向量的数乘.
提醒　（1）实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无
意义；（2）当λ＝0或a＝0时，均有λa＝0.反之，若λa＝0，
则λ＝0或a＝0.
2. λa的几何意义
（1）当λ＞0时，表示向量a的有向线段在 伸长或缩短
为原来的 倍；
（2）当λ＜0时，表示向量a的有向线段在 伸长或缩短
为原来的 倍；
（3）在非零向量a方向上的单位向量是 .
原方向　
λ　
反方向　
｜λ｜　
　
3. 数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，a，b为向量，那么
（1）（λ＋μ）a＝ ；
（2）λ（μa）＝ ；
（3）λ（a＋b）＝ .
特别地，我们有（－λ）a＝－λa＝λ（－a），λ（a－
b）＝λa－λb.
λa＋μa　
（λμ）a　
λa＋λb　
【想一想】
1. 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算，
向量的线性运算的结果是实数还是向量？
提示：向量的线性运算的结果是向量.
2. 根据向量数乘的定义对于向量a（a≠0）反方向上的单位向量如何
表示？
提示：－ .
知识点二　共线（平行）向量基本定理
1. 定理：给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件
是存在唯一一个实数λ，使a＝ .
λb　
（1）如图，已知A，B两点确定一条直线l，直线l上任意一点P
所对应的向量 与向量 共线，从而 可以用 表示，
即存在唯一实数t，使得 ＝t .这说明由一个点A和一个
非零向量 可以唯一地确定过点A与向量 共线的直线l.
（2）通常可以用 表示过点A，B的直线l，其中
称为直线l的方向向量.
＝t 　
2. 直线的向量表示
【想一想】
共线（平行）向量基本定理中的条件b≠0能否去掉？
提示：不能，若b＝0，a≠0，显然a与b共线，但不存在实数λ使a
＝λb.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）实数λ与向量a的积还是向量. （　√　）
（2）对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反. （　√　）
（3）向量－8a的模是向量4a的模的2倍. （　√　）
（4）若b＝λa（a≠0），则a与b方向相同或相反. （　×　）
（5）若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa. （　×　）
√
√
√
×
×
2. a＋b＋ a－4b＝（　　）
A. 2a＋3b
B. a－3b
C. 2a－3b
D. 2a－2b
解析：　原式＝ a＋（1－4）b＝2a－3b.故选C.
3. 已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共
线，则λ＝ .
解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）]，所
以解得
－ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的数乘运算
【例1】　（多选）已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是（　　）
A. λa∥a B. λa与a的方向相同
D. 若｜λa｜＞｜a｜，则λ＞1
解析：　已知a≠0，λ∈R，由向量数乘的定义知，选项A正确；
当λ＜0时，λa与a的方向相反，故选项B错误；因为｜ ｜＝
＝1，故选项C正确；由｜λa｜＞｜a｜得，｜λ｜｜a｜＞｜
a｜，又｜a｜≠0，所以｜λ｜＞1，解得λ＞1或λ＜－1，故选项D
错误.
通性通法
对数乘向量的三点说明
（1）λa中的实数λ叫作向量a的系数；
（2）向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大
或缩小；
（3）向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量.
【跟踪训练】
设a为任一非零向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正
确的是（　　）
B. a＝｜a｜e
C. a＝－｜a｜e D. a＝±｜a｜e
解析：　∵a∥e，∴e与a的方向相同或相反.当e与a的方向相同
时，e＝ ；当e与a的方向相反时，e＝－ .∴e＝
± ，则a＝±｜a｜e.
题型二 向量的线性运算
【例2】　化简下列各式：
（1）3（6a＋b）－9 ；
解：原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
（2） －2 ；
解：原式＝ －a－ b＝a＋ b－a－ b＝0.
（3）2（5a－4b＋c）－3（a－3b＋c）－7a.
解：原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
通性通法
向量线性运算的方法
（1）向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括
号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的
乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，
实数看作是向量的系数；
（2）向量也可以通过列方程来解——把所求向量当作未知数，利用
解代数方程的方法求解.在运算过程中要多注意观察，恰当运用
运算律，简化运算.
【跟踪训练】
1. 化简 ＝ 　 a－ b　.
解析：原式＝
＝
＝ ＝ a－ b.
a－ b　
2. 已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系
式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
解：由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，
代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，所以y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
题型三 共线（平行）向量基本定理及其应用
角度1　向量共线的判定
【例3】　判断下列各题中的向量a，b是否共线（其中e1，e2是两非
零不共线向量）.
（1）a＝5e1，b＝－10e1；
解：因为b＝－2a，所以a与b共线.
（2）a＝ e1－ e2，b＝3e1－2e2；
解：因为a＝ b，所以a与b共线.
（3）a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
解：设a＝λb，则e1＋e2＝λ（3e1－3e2），
所以（1－3λ）e1＋（1＋3λ）e2＝0.
因为e1与e2是两个非零不共线向量，
所以1－3λ＝0，1＋3λ＝0.
这样的λ不存在，因此a与b不共线.
通性通法
　　向量共线的判定一般是用其判定定理，即给定一个非零向量b，
若存在唯一一个实数λ，使得a＝λb，则任意向量a与非零向量b共
线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相
表示，由此判断共线.
【跟踪训练】
已知向量e1，e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋2e2，求
证：a∥b.
证明：若e1＝e2＝0，则a＝b＝0，
所以a与b共线，即a∥b；
若e1，e2中至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝λe1
（λ∈R），且a＝（1－λ）e1，b＝2（1＋λ）e1，所以a∥e1，
b∥e1.
因为e1≠0，所以a∥b.综上可知，a∥b.
角度2　用已知向量表示未知向量
【例4】　如图，在△ABC中， ＝2 .若 ＝a， ＝b，则
＝（　　）
解析：　由题意可得， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （
－ ）＝ ＋ ＝ a＋ b.
通性通法
用已知向量表示未知向量的方法
【跟踪训练】
如图，四边形OADB是以向量 ＝a， ＝b所在线段为邻边的平
行四边形，对角线交于点C， ＝ ， ＝ ，试用向量
a，b表示 ， ， .
解：因为 ＝ － ＝a－b，
所以 ＝ ＝ ＝ （a－b），
所以 ＝ ＋ ＝b＋ （a－b）＝ a＋ b.
因为 ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （a
＋b）＝ a＋ b.所以 ＝ － ＝（ a＋ b）－（ a＋
b）＝ a－ b.
1. ＝（　　）
A. 2a－b B. 2b－a
C. b－a D. a－b
解析：　原式＝ （2a＋8b）－ （4a－2b）＝ a＋ b－ a＋
b＝－a＋2b.
2. 已知向量a，b，且 ＝a＋2b， ＝－5a＋6b， ＝7a－
2b，则一定共线的三点是（　　）
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
解析：　 ＋ ＋ ＝a＋2b＋（－5a＋6b）＋（7a－
2b）＝3a＋6b＝3（a＋2b）＝ ＝3 .所以A，B，D三点
共线.
3. 在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则 － ＝（　　）
解析：　∵在矩形ABCD中，E为AB的中点，∴ － ＝
－ －（ － ）＝－ － － ＋ ＝ －2 ，
故选D.
4. （多选）已知向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是（　　）
A. a∥b B. 向量a，b方向相反
C. ｜a｜＝3｜b｜ D. b＝－3a
解析：　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由共线向量定理知，A正确；－3＜0，a与b方向相反，故B正确；
由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C错误.故选A、B、D.
5. 已知 ＝－ ，则使得 ＝λ 的实数λ＝ .
解析： ＝－ ，则A在线段BC上，所以 ＝－2 ，又
＝λ ，所以λ＝－2.
－2 　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 点C在线段AB上，且 ＝ ，则 ＝（　　）
解析：　∵ ＝ ，∴ ＝－ ，∴ ＝－ .
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2. － ＝（　　）
解析：　 － ＝（3a－2a）＋
＋（c＋c）＝a－ b＋2c.故选A.
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3. 在四边形ABCD中，若 ＝－ ，则此四边形是（　　）
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 梯形 D. 矩形
解析：　∵ ＝－ ，∴AB∥CD且｜ ｜＝ ｜ ｜，
∴四边形ABCD是梯形.
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4. 已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋（2－
m）b共线，则实数m的值为（　　）
A. －1或3
C. －1或4 D. 3或4
解析：　因为向量ma－3b与a＋（2－m）b共线，且向量a，b
是两个不共线的向量，所以ma－3b＝λa＋（2－m）λb，所以
解得m＝－1或m＝3，故选A.
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5. 设△ABC中BC边上的中线为AD，点O满足 ＝2 ，则 ＝
（　　）
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解析：　如图所示：∵D为BC的中点，∴ ＝
＋ ，∵ ＝2 ，∴ ＝ ＝
＋ ，∴ ＝ － ＝ － ＝
－ ＋ ，故选A.
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6. （多选）已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的
为（　　）
A. m（a－b）＝ma－mb
B. （m－n）a＝ma－na
C. 若ma＝mb，则a＝b
D. 若ma＝na，则m＝n
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解析：　对于A，根据向量数乘的运算律可得m（a－b）＝ma
－mb，故A正确；对于B，根据向量数乘的运算律可得（m－n）
a＝ma－na，故B正确；对于C，由ma＝mb可得m（a－b）＝
0，当m＝0时，该等式恒成立，不能推出a＝b，故C错误；对于
D，由ma＝na可得（m－n）a＝0，当a＝0时，该等式也成立，
不能推出m＝n.故D错误.故选A、B.
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7. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ＋ ＝
λ ，则λ＝ .
解析：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴ ＋ ＝ ＝2 ，∴λ＝2.
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8. 若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝
.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋
3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
4b－
3a　
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9. 已知在△ABC中，点M满足 ＋ ＋ ＝0，若存在实数m使
得 ＋ ＝m 成立，则m＝ .
解析：∵ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－ ，
又由 ＋ ＝m 得（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝m ，
所以（ ＋ ）－2 ＝m ，
即－3 ＝m ＝－m ，
∴m＝3.
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10. 已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足 ＝e＋
2f， ＝－4e－f， ＝－5e－3f.
（1）用e，f表示 ；
解：由题意，有 ＝ ＋ ＋ ＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f.
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（2）证明四边形ABCD为梯形.
解：证明：由（1）知 ＝－8e－2f＝2（－4e－
f）＝2 ，即 ＝2 .
根据向量的数乘的定义， 与 同方向，且 的长度为
的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且
AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.
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11. 中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切
的联系.在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点
的多边形为正五边形，且｜ ｜＝ ｜ ｜，则 － ＝（　　）
解析：　 － ＝ － ＝ ＝ .故选A.
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12. （多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一
定能使a，b共线的是（　　）
A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B. 存在不相等的两个实数λ，μ，使λa－μb＝0
C. xa＋yb＝0（其中实数x，y满足x＋y＝0）
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解析：　对于A，可解得a＝ e，b＝－ e，故a与b共线；
对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa
－μb＝0得a＝ b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与
b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能
AD∥BC，故a与b不一定共线.
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13. 在 ABCD中， ＝a， ＝b， ＝3 ，M为BC的中
点，则 ＝ （用a，b表示）.
解析：如图， ＝ ＋ ＋ ＝－ b－a＋ ＝－ b－a＋ （a＋b）＝ （b－a）.
b－ a　
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14. 证明：若向量 ， ， 的终点A，B，C共线，则存在实数
λ，μ，且λ＋μ＝1，使得 ＝λ ＋μ ，反之也成立.
证明：∵向量 ， ， 的终点A，B，C共线，
∴存在实数t，使得 ＝t ，
即 － ＝t（ － ）， ＝（1－t） ＋t .
令λ＝1－t，μ＝t，则有 ＝λ ＋μ ，且λ＋μ＝1.
反之，若 ＝λ ＋μ ，（*）
∵λ＋μ＝1，∴λ＝1－μ，
代入（*）式，得 ＝（1－μ） ＋μ ， － ＝μ
（ － ），即 ＝μ .
∴向量 ， ， 的终点A，B，C共线.
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15. O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满
足 ＝ ＋λ（ ＋ ），λ∈（0，＋∞），则P的轨迹
一定通过△ABC的（　　）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
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解析：　因为 ＝ ＋λ（ ＋ ），λ∈（0，＋∞），
所以 ＝λ（ ＋ ），λ∈（0，＋∞），即 与 ＋
共线，而 ＋ 是以 ， 为邻边的平行四边形的对角
线表示的向量，而对角线与BC的交点是线段BC中点，所以P的
轨迹一定通过△ABC的重心.
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16. 设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.
（1）试用向量法证明：PQ∥AB；
解：证明：∵Q为BD的中点，
∴ ＋ ＝2 ，
又P为AC的中点，∴ ＝2 ，
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∴2 ＝2 －2 ＝（ ＋ ）－ ＝ ＋ ＝
（ － ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ，
又向量 与 共线，∴存在实数λ，使得 ＝
λ ，则2 ＝（1＋λ） ，
∴ ＝ ， ①
又在梯形ABCD中，｜ ｜≠｜ ｜，
∴λ≠－1，∴ ∥ ，即PQ∥AB.
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（2）若AB＝3CD，求PQ∶AB的值.
解：∵向量 与 方向相
反，且｜ ｜＝3｜ ｜，
∴ ＝－3 ，即λ＝－ ，代入
①式，得 ＝ ＝ ，
∴PQ∶AB的值为 .
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