资源简介

4.1　平面向量基本定理
1.如图所示，向量a－b＝（　　）
A.－4e1－2e2　　　　　　　B.－2e1－4e2
C.e1－3e2 D.3e1－e2
2.设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为（　　）
A.0，0 B.1，1
C.3，0 D.3，4
3.如图所示，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝（　　）
A.a－b B.a＋b
C.a＋b D.a－b
4.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线段AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）
A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D.1
5.（多选）设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基的是（　　）
A.a＝e1＋e2，b＝e1
B.a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C.a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D.a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
6.（多选）已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的结论为（　　）
A.＝－a－b B.＝a＋b
C.＝－a＋b D.＝a
7.设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝　　　　.
8.如图，在 ABCD中，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ＝　　　　.
9.设a是已知的平面向量且a≠0，有如下三个命题（向量b，c和a在同一平面内且两两不共线），则真命题的序号为　　　　.
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
10.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.
11.已知O是△ABC的重心，动点P满足＝（＋＋2），则点P一定为（　　）
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点（非重心）
C.△ABC的重心
D.AB边的中点
12.在△ABC中，D是直线AB上的点.若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则＝（　　）
A. B.
C. D.
13.在四边形ABCD中，AB∥CD，设＝λ＋μ（λ，μ∈R）.若λ＋μ＝，则＝　　　　.
14.如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求△APC的面积.
15.南开大学的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知该多边形由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量a＝（　　）
A.2n＋3k
B.（2＋）n＋3k
C.（2＋）n＋（2＋）k
D.（1＋）n＋（2＋）k
16.在△AOB中，∠AOB为直角，＝，＝，AD与BC相交于点M，连接OM，记＝a，＝b.
（1）试用a，b表示向量；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过点M，设＝λ，＝μ，求＋的值.
4.1　平面向量基本定理
1.C　a－b＝＝e1－3e2.
2.D　∵向量e1与e2不共线，
∴解得故选D.
3.D　因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝a－b.
4.A　∵M为BC边上任意一点，∴可设＝x＋y，且x＋y＝1.∵N为线段AM的中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝（x＋y）＝.
5.ACD　对A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对B，b＝a，所以a，b共线，故不符合；对C，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合，故选A、C、D.
6.ABC　如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋（－b－a）＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确.
7.－m＋n　解析：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x（2a－3b）＋y（4a－2b）＝（2x＋4y）a＋（－3x－2y）b，得解得所以p＝－m＋n.
8.　解析：∵＝＋＝－＋＝－＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝－1，∴λ－μ＝.
9.①②　解析：因为向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，所以b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故①正确；当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量{b，c}可作为一组基，由平面向量基本定理可知a＝λb＋μc成立，故②正确；因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故③错误.
10.解：＝＋＝＋＝a＋（b－a）＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋（b－a）＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋（b－a）＝a＋b.
11.B　∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴＝（－＋2）＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点（非重心）.
12.D　依题意作图，设＝μ＝μ（－）＝－μ＋μ ，由条件知＝＋，∴μ＝－，＝μ＝－，＝－，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，∴＝＝，故选D.
13.　解析：如图，过点C作CE∥AD.
又CD∥AB，所以四边形AECD是平行四边形.所以＝＋.已知＝λ＋μ（λ，μ∈R）.所以μ＝1，＝λ.又λ＋μ＝，所以λ＝，则＝＝.
14.解：设＝a，＝b，则＝a＋b，
＝a＋b.
∵点A，P，E共线且点D，P，C共线，
∴存在实数λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.
又＝＋＝a＋μb，
∴解得
连接BP（图略），则S△PAB＝S△ABC＝14×＝8，S△PBC＝14×＝2，
∴S△APC＝14－8－2＝4.
15.D　根据题意可得｜n｜＝｜k｜，题中多边形是由以正方形中心为中心逆时针旋转45°后与原正方形组合而成的，如图，连接CE，FG，由对称性可得｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜k｜＝｜n｜，则｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜n｜，且点B，C，E，Q共线，点Q，F，G共线.所以＝＋＋＝（2＋）k，＝＋＝（1＋）n，所以a＝＝＋＝（2＋）k＋（1＋）n，故选D.
16.解：（1）设＝ma＋nb.
∵C，M，B三点共线，∴存在非零实数k使得＝k＝k（－）＝kb－a，
∴＝＋＝a＋kb－a＝a＋kb，
∴ m＝. ①
又∵D，M，A三点共线，∴存在非零实数t使得＝t＝t（－）＝ta－b.∴＝＋＝b＋ta－b＝ta＋b.
又＝ma＋nb，
∴ n＝. ②
由①②解得m＝，n＝，
∴＝a＋b.
（2）由（1）知＝a＋b，
∵F，M，E三点共线，
∴存在非零实数h使得＝h＝h（－）＝hλa－hμb.
∵＝－＝a＋b，
∴
消去h得μ＋3λ＝7λμ，
∴＋＝7.
2 / 34.1　平面向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
理解平面向量基本定理及其意义 数学抽象
　　共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？
【问题】　如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　平面向量基本定理
平面向 量基本 定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}
续表
正交基 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解
标准正交基 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基
提醒　（1）对平面向量基本定理的再理解：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，说明e1，e2均不为零向量；
（2）基具备两个特征：①基是由两个不共线的向量构成的；②基的选择是不唯一的.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.（　　）
（2）零向量可以作为基中的向量.（　　）
（3）当一个平面内的一组基确定之后，平面内任何一个向量均可由这一组基唯一表示.（　　）
2.设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝4e1，＝6e2，则2e1－3e2＝（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
3.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中能作为基的是　　　　.
①e1，e2；②e1，2e1；③e1，2e2；④e2，2e2.
题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】　（多选）如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基，λ，μ是实数，则下列说法正确的是（　　）
A.若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
B.对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对
C.线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量
尝试解答
通性通法
对基的理解
（1）同一平面内两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作为基，反之，则可作为基；
（2）一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
提醒　一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，其线性表示是不同的.
【跟踪训练】
1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为一组基的向量是（　　）
A.， B.，
C.， D.，
2.已知向量a，b是平面内的一组基，则下列四组向量中也能作为平面内向量的一组基的是（　　）
A.a－b，b－a　　　　　 B.a，b－a
C.0，a D.a＋b，2a＋2b
题型二 用基表示向量
【例2】　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基{a，b}表示，.
尝试解答
通性通法
用基表示向量的两种基本方法
　　一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基表示向量的唯一性求解.
【跟踪训练】
1.在△ABC中，点D满足＝3，则（　　）
A.＝＋　B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
2.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为　　　　.
题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】　在△ABC中，
（1）若D是BC边的中点，求证：＝（＋）；
（2）若点M满足＋＋＝0，求证：点M是△ABC的重心.
尝试解答
通性通法
用向量解决平面几何问题的一般步骤
（1）选取不共线的两个平面向量作为一组基；
（2）将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
（3）利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解；
（4）再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
【跟踪训练】
如图，在 ABCD中，F是边CD的中点，AF与BD交于点E，用向量方法证明：点E为线段BD的三等分点.
1.设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中不能作为基的是（　　）
A.e1＋2e2和e1－e2　 B.4e1＋2e2和2e2－4e1
C.e1－2e2和4e2－2e1 D.2e1＋e2和e1＋2e2
2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若＝x＋y，则x＝（　　）
A.2　　　B.　　　C.　　　D.
3.在四边形ABCD中，AB＝2，单位向量与平行，P是BC的中点，AP∩DC＝Q，则＝　　　（用，表示）.
4.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线.
4.1　平面向量基本定理
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.B　如图，＝＝（－）＝2e1－3e2.
3.①③　解析：由于e1，e2不共线，则e1，2e2不共线，所以①③中的向量组都可以作为基；因为e1与2e1共线，e2与2e2共线，所以②④中的向量组都不能作为基.
【典型例题·精研析】
【例1】　AC　A正确：若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0；B不正确：由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定；C正确：平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；D不正确：结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.
跟踪训练
1.B　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为一组基，与不共线，可作为一组基.故选B.
2.B　对于选项A，a－b＝－（b－a），所以a－b，b－a共线，所以不能作为一组基；对于选项B，b－a≠λa，所以a，b－a不共线，所以可以作为一组基；对于选项C，0，a共线，所以不能作为一组基；对于选项D，2a＋2b＝2（a＋b），所以a＋b，2a＋2b共线，所以不能作为一组基.故选B.
【例2】　解：法一　由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
法二　设＝x，＝y，则＝＝y，
又则
所以x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
跟踪训练
1.A　＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.故选A.
2.　解析：由题意，得＝（＋）.又＝＝－，所以＝（－＋2）＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝.
【例3】　证明：（1）因为D是BC边的中点，所以＝＝，于是＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.
（2）如图，设E是AB边的中点.因为＋＋＝0，
所以＋＝－，
又＋＝2，
所以＝－2，于是M，C，E三点共线，即点M在中线CE上，且是靠近AB边中点的一个三等分点，因此，M是△ABC的重心.
跟踪训练
　证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a.
因为点A，E，F与点B，D，E分别共线，
所以存在实数λ，μ，使＝λ，＝μ，
于是＝a＋λb，＝μb－μa.因为＋＝，所以（1－μ）a＋μb＝a＋λb.因为a与b不共线，
所以
解得λ＝μ＝，
所以＝，所以点E为线段BD的三等分点.
随堂检测
1.C　作为基的两个向量一定不共线，A，B，D中不存在实数λ，使e1＋2e2＝λ（e1－e2），4e1＋2e2＝λ（2e2－4e1），2e1＋e2＝λ（e1＋2e2），故可以作为一组基；C中，4e2－2e1＝－2（e1－2e2），即存在λ＝－2，故它们共线，不能作为一组基.故选C.
2.C　在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，因为＝＋，＝＋＝－，所以＝x＋y＝（x－）＋（＋y）.又＝＋，
所以
解得x＝.
3.2＋　解析：＝2＝2（＋）＝2＋.
4.证明：设＝e1，＝e2，则＝＝e2.
∵＝＝e2，＝＝e1.
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1
＝3＝3，
∴向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线.
3 / 4(共59张PPT)
4.1　平面向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
理解平面向量基本定理及其意义 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　共线向量基本定理的实质是，
所有共线的向量中，只要指定一个
非零向量，则其他向量都可以用这
个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？
【问题】　如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分
别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？




知识点　平面向量基本定理
平面
向量 基本
定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内
任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1
＋λ2e2
基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一
组基，记为{e1，e2}
正交
基 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解
标准
正交基 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基
提醒　（1）对平面向量基本定理的再理解：e1，e2是同一平面内两
个不共线的向量，说明e1，e2均不为零向量；
（2）基具备两个特征：①基是由两个不共线的向量构成的；②基的
选择是不唯一的.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.
（　×　）
（2）零向量可以作为基中的向量. （　×　）
（3）当一个平面内的一组基确定之后，平面内任何一个向量均可
由这一组基唯一表示. （　√　）
×
×
√
2. 设O为平行四边形ABCD的对称中心， ＝4e1， ＝6e2，则
2e1－3e2＝（　　）
解析：如图， ＝ ＝ （ － ）＝2e1－3e2.
3. 设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中能作为
基的是 .
①e1，e2；②e1，2e1；③e1，2e2；④e2，2e2.
解析：由于e1，e2不共线，则e1，2e2不共线，所以①③中的向量
组都可以作为基；因为e1与2e1共线，e2与2e2共线，所以②④中的
向量组都不能作为基.
①③　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】　（多选）如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基，
λ，μ是实数，则下列说法正确的是（　　）
A. 若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
B. 对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数
λ，μ有无数对
C. 线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
D. 当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量
解析：　A正确：若λ≠0，则e1＝－ e2，从而向量e1，e2共线，
这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0；B不正确：由平面向量
基本定理可知λ，μ唯一确定；C正确：平面α内的任一向量a可表
示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；D不正确：结合向量加法的平
行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯
一确定.
通性通法
对基的理解
（1）同一平面内两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是
否共线.若共线，则不能作为基，反之，则可作为基；
（2）一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这
组基唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向
量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
提醒　一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表
示，其线性表示是不同的.
【跟踪训练】
1. 如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为一组基的
向量是（　　）
解析：　由题中图形可知 与 ， 与 ， 与 共线，
不能作为一组基， 与 不共线，可作为一组基.故选B.
2. 已知向量a，b是平面内的一组基，则下列四组向量中也能作为平
面内向量的一组基的是（　　）
A. a－b，b－a B. a，b－a
C. 0，a D. a＋b，2a＋2b
解析：　对于选项A，a－b＝－（b－a），所以a－b，b－a
共线，所以不能作为一组基；对于选项B，b－a≠λa，所以a，
b－a不共线，所以可以作为一组基；对于选项C，0，a共线，所
以不能作为一组基；对于选项D，2a＋2b＝2（a＋b），所以a
＋b，2a＋2b共线，所以不能作为一组基.故选B.
题型二 用基表示向量
【例2】　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线 ＝a， ＝
b，试用基{a，b}表示 ， .
解：法一　由题意知， ＝ ＝ ＝ a，
＝ ＝ ＝ b.
所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b，
＝ ＋ ＝ a＋ b.
法二　设 ＝x， ＝y，则 ＝ ＝y，
又则
所以x＝ a－ b，y＝ a＋ b，
即 ＝ a－ b， ＝ a＋ b.
通性通法
用基表示向量的两种基本方法
　　一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至
用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基表
示向量的唯一性求解.
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，点D满足 ＝3 ，则（　　）
解析：　 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝
＋ .故选A.
2. 如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若 ＝λ ＋
μ ，则λ＋μ的值为 .
　
解析：由题意，得 ＝ （ ＋ ）.又 ＝ ＝ －
，所以 ＝ （－ ＋2 ）＝－ ＋ .又 ＝λ
＋μ ，所以λ＋μ＝－ ＋1＝ .
题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】　在△ABC中，
（1）若D是BC边的中点，求证： ＝ （ ＋ ）；
证明：因为D是BC边的中点，所以 ＝ ＝ ，于是 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ .
（2）若点M满足 ＋ ＋ ＝0，求证：点M是△ABC的重心.
证明：如图，设E是AB边的中点.
因为 ＋ ＋ ＝0，
所以 ＋ ＝－ ，
又 ＋ ＝2 ，
所以 ＝－2 ，于是M，C，E三点共
线，即点M在中线CE上，且是靠近AB边中点
的一个三等分点，因此，M是△ABC的重心.
通性通法
用向量解决平面几何问题的一般步骤
（1）选取不共线的两个平面向量作为一组基；
（2）将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
（3）利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解；
（4）再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
【跟踪训练】
如图，在 ABCD中，F是边CD的中点，AF与BD交于点E，用向量
方法证明：点E为线段BD的三等分点.
证明：设 ＝a， ＝b，则 ＝ － ＝b－a， ＝ ＋
＝ ＋ ＝b＋ a.
因为点A，E，F与点B，D，E分别共线，
所以存在实数λ，μ，使 ＝λ ， ＝μ ，
于是 ＝ a＋λb， ＝μb－μa.因为 ＋ ＝ ，所以
（1－μ）a＋μb＝ a＋λb.因为a与b不共线，所以
解得λ＝μ＝ ，
所以 ＝ ，所以点E为线段BD的三等分点.
1. 设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中不能作
为基的是（　　）
A. e1＋2e2和e1－e2 B. 4e1＋2e2和2e2－4e1
C. e1－2e2和4e2－2e1 D. 2e1＋e2和e1＋2e2
解析：作为基的两个向量一定不共线，A，B，D中不存在实数λ，使e1＋2e2＝λ（e1－e2），4e1＋2e2＝λ（2e2－4e1），2e1＋e2＝λ（e1＋2e2），故可以作为一组基；C中，4e2－2e1＝－2（e1－2e2），即存在λ＝－2，故它们共线，不能作为一组基.故选C.
2. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的
中点，若 ＝x ＋y ，则x＝（　　）
A. 2
解析：　在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，
因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ － ，所以 ＝
x ＋y ＝（x－ ） ＋（ ＋y） .又 ＝ ＋ ，
所以解得x＝ .
3. 在四边形ABCD中，AB＝2，单位向量 与 平行，P是BC的
中点，AP∩DC＝Q，则 ＝ （用 ， 表示）.
解析： ＝2 ＝2（ ＋ ）＝2 ＋ .
2 ＋ 　
4. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且
BM＝ AB，点N在BC上，且BN＝ BC. 求证：M，N，D三点
共线.
证明：设 ＝e1， ＝e2，则 ＝ ＝e2.
∵ ＝ ＝ e2， ＝ ＝ e1.
∴ ＝ － ＝ e2－ e1.
又∵ ＝ － ＝e2－ e1＝3 ＝3 ，∴向量
与 共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示，向量a－b＝（　　）
A. －4e1－2e2
B. －2e1－4e2
C. e1－3e2
D. 3e1－e2
解析：　a－b＝ ＝e1－3e2.
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2. 设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋
2xe2，则实数x，y的值分别为（　　）
A. 0，0 B. 1，1
C. 3，0 D. 3，4
解析：　∵向量e1与e2不共线，∴
解得故选D.
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3. 如图所示，在 ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，
则 ＝（　　）
解析：　因为E是BC的中点，所以 ＝ ＝－ ＝－
b，所以 ＝ ＋ ＝a－ b.
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4. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线段AM的中点， ＝
λ ＋μ ，则λ＋μ＝（　　）
D. 1
解析：　∵M为BC边上任意一点，∴可设 ＝x ＋y ，
且x＋y＝1.∵N为线段AM的中点，∴ ＝ ＝ x ＋
y ＝λ ＋μ .∴λ＋μ＝ （x＋y）＝ .
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5. （多选）设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作
为该平面内一组基的是（　　）
A. a＝e1＋e2，b＝e1
C. a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D. a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
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解析：　对A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对B，b＝ a，所以a，b共线，故不符合；对C，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合，故选A、C、D.
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6. （多选）已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中
点，且 ＝a， ＝b，给出下列结论，其中正确的结论为（　）
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解析：　如图， ＝ ＋ ＝－b＋ ＝－b－ a，A正确； ＝ ＋ ＝a＋ b，B正确； ＝ ＋ ＝－b－a， ＝ ＋ ＝b＋ （－b－a）＝ b－ a，C正确； ＝ ＝－ a，D不正确.
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解析：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x（2a－3b）＋y（4a－
2b）＝（2x＋4y）a＋（－3x－2y）b，得解
得所以p＝－ m＋ n.
－ m＋ n　
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8. 如图，在 ABCD中，点E是线段BC的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ－μ＝ .
　
解析：∵ ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝ － ＝λ
＋μ ，
∴λ＝ ，μ＝－1，
∴λ－μ＝ .
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9. 设a是已知的平面向量且a≠0，有如下三个命题（向量b，c和a
在同一平面内且两两不共线），则真命题的序号为 .
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋
μc.
①②　
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解析：因为向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，所以
b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所
求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故①正确；当向量
b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量{b，c}可作为一组
基，由平面向量基本定理可知a＝λb＋μc成立，故②正确；因
为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长
度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出
来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故③错误.
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10. 如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若 ＝a， ＝b，用a，b表示 ， ， .
解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a＋ （b－a）＝ a＋ b；
＝ ＋ ＝ ＋ ＝a＋ （b－a）＝ a＋ b； ＝
＋ ＝ ＋ ＝a＋ （b－a）＝ a＋ b.
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11. 已知O是△ABC的重心，动点P满足 ＝ （ ＋ ＋
2 ），则点P一定为（　　）
A. AB边中线的中点 B. AB边中线的三等分点（非重心）
C. △ABC的重心 D. AB边的中点
解析：　∵O是△ABC的重心，∴ ＋ ＋ ＝0，∴ ＝
（－ ＋2 ）＝ ，∴点P是线段OC的中点，即AB边
中线的三等分点（非重心）.
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12. 在△ABC中，D是直线AB上的点.若2 ＝ ＋λ ，记
△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则 ＝（　　）
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解析：　依题意作图，设 ＝μ ＝μ（ － ）＝－
μ ＋μ ，由条件知 ＝ ＋ ，∴μ＝－ ， ＝μ
＝－ ， ＝－ ，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝
AB，∴ ＝ ＝ ，故选D.
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13. 在四边形ABCD中，AB∥CD，设 ＝λ ＋μ （λ，
μ∈R）.若λ＋μ＝ ，则 ＝ 　 　.
解析：如图，过点C作CE∥AD.
又CD∥AB，所以四边形AECD是平行四边形.
所以 ＝ ＋ .已知 ＝λ ＋μ
（λ，μ∈R）.所以μ＝1， ＝λ .又λ
＋μ＝ ，所以λ＝ ，则 ＝ ＝ .

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14. 如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的
点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求
△APC的面积.
解：设 ＝a， ＝b，
则 ＝a＋ b，
＝ a＋b.
∵点A，P，E共线且点D，P，C共线，
∴存在实数λ和μ，使 ＝λ ＝λa＋ λb，
＝μ ＝ μa＋μb.
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又 ＝ ＋ ＝ a＋μb，
∴解得
连接BP（图略），则
S△PAB＝ S△ABC＝14× ＝8，
S△PBC＝14× ＝2，
∴S△APC＝14－8－2＝4.
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15. 南开大学的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方
正正做人”，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新
知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形
中，已知该多边形由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针
旋转45°后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量a＝（　）
A. 2n＋3k
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解析：　根据题意可得｜n｜＝｜k｜，题
中多边形是由以正方形中心为中心逆时针旋转
45°后与原正方形组合而成的，如图，连接
CE，FG，由对称性可得｜ ｜＝｜ ｜
＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜
＝｜k｜＝｜n｜，则｜ ｜＝｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ｜n｜，且点B，C，E，Q共线，点Q，F，G共线.所以 ＝ ＋ ＋ ＝（2＋ ）k， ＝ ＋ ＝（1＋ ）n，所以a＝ ＝ ＋ ＝（2＋ ）k＋（1＋ ）n，故选D.
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16. 在△AOB中，∠AOB为直角， ＝ ， ＝ ，AD与
BC相交于点M，连接OM，记 ＝a， ＝b.
（1）试用a，b表示向量 ；
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解：设 ＝ma＋nb.
∵C，M，B三点共线，∴存在非零实
数k使得 ＝k ＝k（ － ）＝kb－ a，
∴ ＝ ＋ ＝ a＋kb－ a＝ a＋kb，
∴ m＝ . ①
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又∵D，M，A三点共线，
∴存在非零实数t使得 ＝t ＝t（ － ）＝ta－ b.
∴ ＝ ＋ ＝ b＋ta－ b＝ta＋ b.
又 ＝ma＋nb，∴ n＝ . ②
由①②解得m＝ ，n＝ ，∴ ＝ a＋ b.
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（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线
EF过点M，设 ＝λ ， ＝μ ，求 ＋ 的值.
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解：由（1）知 ＝ a＋ b，
∵F，M，E三点共线，
∴存在非零实数h使得 ＝h ＝h
（ － ）＝hλa－hμb.∵ ＝ － ＝ a＋ b，
∴
消去h得μ＋3λ＝7λμ，∴ ＋ ＝7.
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谢 谢 观 看！

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