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5.1　向量的数量积
1.若向量a，b满足｜b｜＝2，a为单位向量，且a与b夹角θ＝，则b在a上的投影向量为（　　）
A.a　　　　　　　　　 B.－a
C.2a D.－2a
2.已知△ABC中，·＜0，则△ABC的形状为（　　）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
3.已知a，b方向相反，且｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜2a－b｜＝（　　）
A.1 B.13
C.2 D.3
4.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
5.（多选）对任意平面向量a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A.若a·b＝b·c，则a＝c
B.若a＝b，b＝c，则a＝c
C.｜a｜－｜b｜＜｜a｜＋｜b｜
D.｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
6.（多选）已知a，b，c是三个向量，在下列命题中真命题是（　　）
A.a·b＝b·a
B.a·（b＋c）＝a·b＋a·c
C.（a·b）·c＝a·（b·c）
D.若a·b＝a·c，则b＝c
7.已知a⊥b，（3a＋2b）⊥（ka－b），若｜a｜＝2，｜b｜＝3，则实数k的值为　　　　.
8.已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝　　　　.
9.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则｜b｜＝　　　　.
10.已知向量a，b的夹角为，｜a｜＝1，｜b｜＝2.
（1）求a·b的值；
（2）若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值.
11.已知｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
12.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b的夹角为30°
B.若a·b＞0，则a，b的夹角为锐角
C.若·＝·＋·＋·，则△ABC一定是直角三角形
D.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且｜｜＝｜｜，则向量在向量方向上的投影数量为
13.如图，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝　　　　.
14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
（2）求·的取值范围.
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则｜2＋｜的值为　　　　；（＋）·的最小值为　　　　.
16.（1）如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和DB的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
（2）借助上述数学模型，对任意非零向量a，b，你能否证明a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]（极化恒等式）.
5.1　向量的数量积
1.B　｜b｜cos θa＝2×cos a＝2×a＝－a，即b在a上的投影向量为－a.
2.A　∵·＝｜｜·｜｜·cos B＜0，∴cos B＜0，又∵B为△ABC的内角.∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.
3.B　∵｜2a－b｜2＝（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4×32－4×3×7×cos 180°＋72＝169，∴｜2a－b｜＝13.
4.C　由（2a＋b）·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
5.BD　对于A，若b＝0，则a与c不一定相等，所以A不正确；由向量相等的充要条件，可知B正确；对于C，若b＝0，则不等式不成立，所以C不正确；｜a·b｜＝｜a｜｜b｜｜cos＜a，b＞｜≤｜a｜｜b｜，所以D正确.故选B、D.
6.AB　向量数量积公式满足交换律和分配律，所以A、B正确；（a·b）·c表示与向量c共线的向量，a·（b·c）表示与向量a共线的向量，两个向量不一定相等，故C不正确；a·b＝a·c a·（b－c）＝0，那么a＝0或b＝c或a⊥（b－c），故D不正确.故选A、B.
7.　解析：由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由（3a＋2b）·（ka－b）＝0 3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0，∴12k－18＝0，∴k＝.
8.－8或5　解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－（3a＋λb），即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
9.　解析：设e1与e2的夹角为θ，∴e1·e2＝｜e1｜｜e2｜·cos θ＝cos θ＝.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b·（e1－e2）＝0，且b·e1＝b·e2＝1，∴b与e1，e2的夹角均为30°，∴b·e1＝｜b｜｜e1｜cos 30°＝1，从而｜b｜＝＝.
10.解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos＝1×2×＝－1.
（2）因为2a－b和ta＋b垂直，
所以（2a－b）·（ta＋b）＝0，
整理得2t｜a｜2＋（2－t）a·b－｜b｜2＝0，
即2t－（2－t）－4＝0，解得t＝2.
11.B　∵Δ＝a2－4｜a｜·｜b｜cos θ（θ为向量a与b的夹角），若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4｜a｜·｜b｜cos θ≥0，又｜a｜＝2｜b｜，4｜b｜2－8｜b｜2cos θ≥0，∴cos θ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.
12.ACD　由向量减法法则及题意知，向量a，b，a－b可以组成一个等边三角形，向量a，b的夹角为60°，又由向量加法的平行四边形法则知，以a，b为邻边的平行四边形为菱形，所以a与a＋b的夹角为30°，故选项A中说法正确.
当a＝λb≠0时不成立，故选项B中说法错误.
因为·＝·＋·＋·，所以·＝·（－）－·＝·－·，所以·＝0，即⊥，所以△ABC是直角三角形，故选项C中说法正确.
如图，其中四边形ABDC为平行四边形，因为＋＝2，所以O为AD，BC的交点，又｜｜＝｜｜＝｜｜，所以△AOC为等边三角形，所以∠ACB＝60°，且BC为外接圆的直径，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，BC＝2，AC＝1，所以AB＝，则向量在向量方向上的投影数量为｜｜cos∠ABC＝×＝.故选项D中说法正确.故选A、C、D.
13.－　解析：过点O作AB的垂线，垂足为D（图略），可知D为AB的中点，则在上的投影向量为，所以·＝·＝－｜｜2，同理，·＝－｜｜2，·＝－｜CA｜2，∴·＋·＋·＝－×（62＋72＋82）＝－.
14.解：（1）连接AM，BM（图略），
由已知可得＝，
＝－，
易得四边形OAMB是菱形，
则＝＋，
所以＝－＝－（＋）＝－－.
（2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO或MA重合时，MC最大，
此时MC＝1，则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为.
15.1　　解析：设BE＝x，x∈，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，∴（2＋）2＝4＋4·＋＝4x2＋4x（1－2x）×cos 0°＋（1－2x）2＝1，∴｜2＋｜＝1，∵（＋）·＝（＋）·（＋）＝＋·＝（x）2＋（1－2x）×（1－x）＝5x2－3x＋1＝5＋，∴当x＝时，（＋）·的最小值为.
16.解：（1）可发现以下结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
即在平行四边形ABCD中，AC2＋DB2＝2（AB2＋AD2）.
探究过程如下：
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图，取{，}为一组基，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2， ①
＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2. ②
①＋②，得＋＝2（a2＋b2）.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AC2＋BD2＝2（AB2＋AD2）.
（2）证明：以a，b为邻边作平行四边形ABCD.
不妨设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b，
｜｜2＝（a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2， ③
｜｜2＝（a－b）2＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2， ④
③－④可得极化恒等式，即a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2].
此式当a，b共线时仍成立.
2 / 25.1　向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中力的做功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象、数学运算
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 数学运算
　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜·cos θ.
【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　向量的数量积
1.数量积的定义
条件 非零向量a与b，它们的夹角为＜a，b＞或θ（0°≤θ≤180°）
结论 　　　　称为a与b的数量积（或内积）
记法 a与b的数量积记作a·b，即a·b＝　　　　　　　　　　　
规定 零向量与任一向量的数量积为　　
2.投影向量和投影数量
（1）a在b上的投影向量：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A'，得到向量γ＝'，γ称为投影向量；
（2）向量a在向量b方向上的投影数量是　　　　　　　，也可以表示为　　　　.
【想一想】
1.向量的数量积的运算结果是一个数量还是一个向量？
2.两个非零向量a，b，其中a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数量是否相同？
3.已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对吗？
知识点二　向量的数量积的性质及运算律
1.数量积的性质
（1）若e是单位向量，则a·e＝e·a＝　　　　　　　；
（2）若a，b是非零向量，则a·b＝0 　　　　　　　；
（3）a·a＝　　　　，即｜a｜＝；
（4）cos＜a，b＞＝（｜a｜｜b｜≠0）；
（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，当且仅当　　　　时等号成立.
2.数量积的运算律
对任意的向量a，b，c和实数λ：
（1）a·b＝　　　　（交换律）；
（2）　　　　＝（λa）·b＝　　　　（与数乘的结合律）；
（3）（a＋b）·c＝　　　　　　（关于加法的分配律）.
提醒　（1）向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两向量的数量积仍是一个向量.（　　）
（2）若a·b＝0，则a＝0或b＝0.（　　）
（3）设a与b的夹角为θ，则cos θ＞0 a·b＞0.（　　）
（4）对于任意向量a，b，总有（a·b）2＝a2·b2.（　　）
2.已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝2，a·b＝1，则｜a－b｜＝（　　）
A.　　　　　　　　　B.2
C.2 D.3
3.长为4的向量a与单位向量e的夹角为，则向量a在向量e方向上的投影向量为　　　　.
题型一 向量数量积的运算
角度1　数量积的简单运算
【例1】　已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，求：
（1）a·b；
（2）（2a－b）·（a＋3b）.
尝试解答
通性通法
　　求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角.若是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律进行化简，再进行数量积运算.
角度2　几何图形中向量数量积的运算
【例2】　在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝　　　　.
尝试解答
通性通法
1.解决几何图形中的向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
2.向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中，与，与，与的夹角不是角C，角A，角B，而是它们的补角.
【跟踪训练】
1.已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，a·b＋b·c＋c·a＝　　　　.
2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·＝　　　　.
题型二 投影向量与投影数量
【例3】　已知向量a，b，c，其中｜a｜＝3，｜b｜＝4，a与c的夹角θ＝120°，b与c的夹角γ＝45°.
（1）若｜c｜＝1，求a在c方向上的投影向量；
（2）求a＋b在c方向上的投影数量.
尝试解答
通性通法
　　求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键.在确定两向量的夹角时，一定要注意“共起点”.
【跟踪训练】
1.在等腰梯形ABCD中，＝2，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A.　　　　　　　　B.
C. D.
2.已知｜a｜＝12，｜b｜＝8，a·b＝24，求a在b方向上的投影向量和投影数量.
题型三 向量的模
【例4】　（1）平面向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝（　　）
A.　　　　　　　　　B.2
C.4 D.12
（2）已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝3，求｜a＋b＋c｜.
尝试解答
通性通法
求向量模的一般思路及常用公式
（1）求向量模的常见思路
（2）常用公式：
①（a－b）·（a＋b）＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2；
②｜a±b｜2＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.
【跟踪训练】
1.已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝5，且｜a＋b｜＝6，则｜a－b｜＝（　　）
A.6　　　B.8　　　C.36　　　D.64
2.已知向量a，b的夹角为45°，且｜a｜＝1，｜2a－b｜＝，则｜b｜＝　　　　.
题型四 向量的夹角与垂直问题
【例5】　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若将本例中的条件变为“｜a｜＝1，a·b＝，（a－b）·（a＋b）＝”，试求a与b的夹角.
2.（变条件，变设问）若将本例中的条件变为“a，b不共线，且｜2a＋b｜＝｜a＋2b｜”，试证明：（a＋b）⊥（a－b）.
通性通法
1.求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝求cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos θ有两种情形，一种是求出a·b，｜a｜，｜b｜的值；另一种是得到a·b，｜a｜，｜b｜之间的关系分别代入公式计算.
2.两向量垂直 a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决.
【跟踪训练】
1.已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－，则a与b的夹角为（　　）
A.30° B.45°
C.135° D.150°
2.已知平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，若（a－mb）⊥a，则实数m的值为（　　）
A.1 B.
C.2 D.3
1.等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，则a·b＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
2.若｜a｜＝4，｜b｜＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影数量为（　　）
A.2 B.
C.2 D.4
3.若单位向量e1，e2的夹角为60°，a＝λe1－e2，且｜a｜＝，则实数λ＝（　　）
A.－1 B.2
C.0或－1 D.2或－1
4.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，则实数k的值为　　　　.
5.1　向量的数量积
【基础知识·重落实】
知识点一
1.｜a｜｜b｜cos θ　｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞＝｜a｜·｜b｜cos θ　0　2.（2）｜a｜cos＜a，b＞　a·
想一想
1.提示：运算结果是一个数量.
2.提示：不同.a在b方向上的投影数量为｜a｜cos＜a，b＞或a·，而b在a方向上的投影数量为｜b｜cos＜a，b＞或b·.
3.提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0.
知识点二
1.（1）｜a｜cos＜a，e＞　（2）a⊥b　（3）｜a｜2　（5）a∥b　2.（1）b·a　（2）λ（a·b）　a·（λb）　（3）a·c＋b·c
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.A　∵｜a－b｜2＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝4－2＋4＝6，∴｜a－b｜＝.
3.－2e　解析：向量a在向量e方向上的投影向量为｜a｜cos π·e＝4×e＝－2e.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝2×3×＝－3.
（2）（2a－b）·（a＋3b）＝2｜a｜2＋5｜a｜｜b｜·cos 120°－3｜b｜2＝8－15－27＝－34.
【例2】　－　解析：由已知得＝（＋），＝，＝＋＝－.·＝（＋）·（－）＝×（｜｜2－｜｜2－·）＝×（－1－cos 60°）＝－.
跟踪训练
1.－　解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－.
2.1　解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝｜｜·｜｜cos θ.由图可知，｜｜·cos θ＝｜｜，因此·＝｜｜2＝1.
【例3】　解：（1）∵｜c｜＝1，∴c为单位向量，
∴a在c方向上的投影向量为｜a｜·cos 120°·c＝3×c＝－c.
（2）（a＋b）·＝a·＋b·
＝｜a｜cos θ＋｜b｜cos γ
＝3cos 120°＋4cos 45°
＝－＋2.
跟踪训练
1.C　如图，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB于E，F，在等腰梯形ABCD中，＝2，可得AE＋BF＝DC＝AB，则AE＝BF＝AB，故向量在向量上的投影向量为.
2.解：∵a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，∴cos θ＝＝＝，
∴a在b方向上的投影向量为｜a｜cos θ·＝12××b＝b.
a在b方向上的投影数量为＝＝3.
【例4】　（1）B　｜a＋2b｜＝
＝
＝
＝＝2.
（2）解：①当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0°，
所以｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝6；
②当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c皆为非零向量.
设a，b，c所成的角均为θ，则3θ＝360°，
即θ＝120°，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝－1.
同理b·c＝－3，c·a＝－，
由｜a＋b＋c｜2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，故｜a＋b＋c｜＝.
综上所述，｜a＋b＋c｜＝6或.
跟踪训练
1.B　因为｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝50＋2a·b＝36，所以a·b＝－7.因为｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝50＋2×7＝64，所以｜a－b｜＝8.故选B.
2.3　解析：∵a，b的夹角为45°，｜a｜＝1，∴a·b＝｜a｜｜b｜·cos 45°＝｜b｜，｜2a－b｜2＝4－4×｜b｜＋｜b｜2＝10，∴｜b｜＝3.
【例5】　解：∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 60°＝cos 60°＝，
∴a·b＝（2e1＋e2）·（2e2－3e1）
＝－6＋e1·e2＋2＝－.
又∵a2＝（2e1＋e2）2＝4＋4e1·e2＋＝7，
b2＝（2e2－3e1）2＝4－12e1·e2＋9＝7，
∴｜a｜＝｜b｜＝，
则cos θ＝＝＝－.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
母题探究
1.解：因为（a－b）·（a＋b）＝，所以｜a｜2－｜b｜2＝.又因为｜a｜＝1，所以｜b｜＝＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
2.证明：∵｜2a＋b｜＝｜a＋2b｜，
∴（2a＋b）2＝（a＋2b）2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2.∴（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
∴（a＋b）⊥（a－b）.
跟踪训练
1.A　∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
2.D　∵（a－mb）⊥a，∴（a－mb）·a＝0，∴a2－ma·b＝0，即9－m×3×2×cos 60°＝0，∴m＝3.
随堂检测
1.A　a·b＝1×1×cos ＝－， 故选A.
2.C　a在b方向上的投影数量为｜a｜cos＜a，b＞＝4×cos 30°＝2.故选C.
3.D　因为｜a｜＝，所以a2＝3，所以（λe1－e2）2＝3，即λ2－2λe1·e2＋＝λ2－2λ·cos 60°＋1＝3，即λ2－λ－2＝0，解得λ＝2或λ＝－1.故选D.
4.－5　解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos＝2×1×＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋k b2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
3 / 4(共71张PPT)
5.1　向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中力的做功等实例，理解平面向量数量积的
概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象、
数学运算
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量
的意义 直观想象
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为
力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜
F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位
移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜
s｜· cos θ.
【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之
间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果
能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由.




知识点一　向量的数量积
1. 数量积的定义
条件 非零向量a与b，它们的夹角为＜a，b＞或θ
（0°≤θ≤180°）
结论 称为a与b的数量积（或内积）
记法 a与b的数量积记作a·b，即a·b＝
规定 零向量与任一向量的数量积为
｜a｜｜b｜ cos θ　
｜a｜｜b｜· cos ＜a，b＞＝｜a｜·｜b｜ cos θ　
0　
2. 投影向量和投影数量
（1）a在b上的投影向量：已知两个非零向量a和b，作 ＝a， ＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A'，得到向量γ
＝ '，γ称为投影向量；
（2）向量a在向量b方向上的投影数量是 ，也可以表示为 .
｜a｜ cos ＜a，b＞
a· 　
【想一想】
1. 向量的数量积的运算结果是一个数量还是一个向量？
提示：运算结果是一个数量.
2. 两个非零向量a，b，其中a在b方向上的投影数量与b在a方向上
的投影数量是否相同？
提示：不同.a在b方向上的投影数量为｜a｜ cos ＜a，b＞或
a· ，而b在a方向上的投影数量为｜b｜ cos ＜a，b＞或
b· .
3. 已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角
对吗？
提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0.
知识点二　向量的数量积的性质及运算律
1. 数量积的性质
（1）若e是单位向量，则a·e＝e·a＝ ；
（2）若a，b是非零向量，则a·b＝0 ；
（3）a·a＝ ，即｜a｜＝ ；
（4） cos ＜a，b＞＝ （｜a｜｜b｜≠0）；
（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，当且仅当 时等号成立.
｜a｜ cos ＜a，e＞　
a⊥b　
｜a｜2　
a∥b　
2. 数量积的运算律
对任意的向量a，b，c和实数λ：
（1）a·b＝ （交换律）；
（2） ＝（λa）·b＝ （与数乘的结
合律）；
（3）（a＋b）·c＝ （关于加法的分配律）.
b·a　
λ（a·b）　
a·（λb）　
提醒　（1）向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向
量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）（a·b）·c≠a·（b·c），
因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向
量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）
在一般情况下不成立.
a·c＋b·c　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两向量的数量积仍是一个向量. （　×　）
（2）若a·b＝0，则a＝0或b＝0. （　×　）
（3）设a与b的夹角为θ，则 cos θ＞0 a·b＞0. （　×　）
（4）对于任意向量a，b，总有（a·b）2＝a2·b2. （　×　）
×
×
×
×
2. 已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝2，a·b＝1，则｜a－b｜＝（　　）
B. 2 D. 3
解析：　∵｜a－b｜2＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝4－2＋4＝6，
∴｜a－b｜＝ .
3. 长为4的向量a与单位向量e的夹角为 ，则向量a在向量e方向上
的投影向量为 .
解析：向量a在向量e方向上的投影向量为
｜a｜ cos π·e＝4× e＝－2e.
－2e　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量数量积的运算
角度1　数量积的简单运算
【例1】　已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，求：
（1）a·b；
解：a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝2×3× ＝－3.
（2）（2a－b）·（a＋3b）.
解：（2a－b）·（a＋3b）＝2｜a｜2＋5｜a｜｜b｜· cos 120°－3｜b｜2＝8－15－27＝－34.
通性通法
　　求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角.若是两个或
两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律进行化
简，再进行数量积运算.
角度2　几何图形中向量数量积的运算
【例2】　在边长为1的正三角形ABC中，设 ＝2 ， ＝
3 ，则 · ＝ .
解析：由已知得 ＝ （ ＋ ）， ＝ ， ＝ ＋
＝ － . · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ ×（ ｜
｜2－｜ ｜2－ · ）＝ ×（ －1－ cos 60°）＝－ .
－ 　
通性通法
1. 解决几何图形中的向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及
其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长
度的向量.
2. 向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中， 与 ，
与 ， 与 的夹角不是角C，角A，角B，而是它们的补角.
【跟踪训练】
1. 已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，a·b＋
b·c＋c·a＝ .
解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝
0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－ .
－ 　
2. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 ·
＝ .
解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可
得 · ＝ · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos θ.由图
可知，｜ ｜· cos θ＝｜ ｜，因此 ·
＝｜ ｜2＝1.
1　
题型二 投影向量与投影数量
【例3】　已知向量a，b，c，其中｜a｜＝3，｜b｜＝4，a与c的
夹角θ＝120°，b与c的夹角γ＝45°.
（1）若｜c｜＝1，求a在c方向上的投影向量；
解：∵｜c｜＝1，∴c为单位向量，
∴a在c方向上的投影向量为｜a｜· cos 120°·c＝3× c＝
－ c.
（2）求a＋b在c方向上的投影数量.
解：（a＋b）· ＝a· ＋b·
＝｜a｜ cos θ＋｜b｜ cos γ＝3 cos 120°＋4 cos 45°
＝－ ＋2 .
通性通法
　　求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投
影，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键.在确
定两向量的夹角时，一定要注意“共起点”.
【跟踪训练】
1. 在等腰梯形ABCD中， ＝2 ，则向量 在向量 上的投影
向量为（　　）
解析：　如图，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB于E，F，在等腰梯形ABCD中， ＝2 ，可得AE＋BF＝DC＝ AB，则AE＝BF＝ AB，故向量 在向量 上的投影向量
为 .
2. 已知｜a｜＝12，｜b｜＝8，a·b＝24，求a在b方向上的投影向
量和投影数量.
解：∵a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝
，∴a在b方向上的投影向量为｜a｜ cos θ· ＝12× × b
＝ b.
a在b方向上的投影数量为 ＝ ＝3.
题型三 向量的模
【例4】　（1）平面向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝
1，则｜a＋2b｜＝（　　）
解析： 　｜a＋2b｜＝
＝
＝
＝ ＝2 .
C. 4 D. 12
（2）已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且｜
a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝3，求｜a＋b＋c｜.
解：①当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0°，
所以｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝6；
②当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c皆为非零向量.
设a，b，c所成的角均为θ，
则3θ＝360°，
即θ＝120°，所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝－1.
同理b·c＝－3，c·a＝－ ，
由｜a＋b＋c｜2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，
故｜a＋b＋c｜＝ .
综上所述，｜a＋b＋c｜＝6或 .
通性通法
求向量模的一般思路及常用公式
（1）求向量模的常见思路
（2）常用公式
①（a－b）·（a＋b）＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2；
②｜a±b｜2＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.
【跟踪训练】
1. 已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝5，且｜a＋b｜＝6，则｜a
－b｜＝（　　）
A. 6 B. 8
C. 36 D. 64
解析：　因为｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝50＋2a·b＝36，所
以a·b＝－7.因为｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝50＋2×7＝64，所
以｜a－b｜＝8.故选B.
2. 已知向量a，b的夹角为45°，且｜a｜＝1，｜2a－b｜＝ ，
则｜b｜＝ .
解析：∵a，b的夹角为45°，｜a｜＝1，
∴a·b＝｜a｜｜b｜· cos 45°＝ ｜b｜，
｜2a－b｜2＝4－4× ｜b｜＋｜b｜2＝10，
∴｜b｜＝3 .
3 　
题型四 向量的夹角与垂直问题
【例5】　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b
＝2e2－3e1的夹角θ.
解：∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos 60°＝ cos 60°＝ ，
∴a·b＝（2e1＋e2）·（2e2－3e1）
＝－6 ＋e1·e2＋2 ＝－ .
又∵a2＝（2e1＋e2）2＝4 ＋4e1·e2＋ ＝7，
b2＝（2e2－3e1）2＝4 －12e1·e2＋9 ＝7，
∴｜a｜＝｜b｜＝ ，
则 cos θ＝ ＝ ＝－ .
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
【母题探究】
1. （变条件）若将本例中的条件变为“｜a｜＝1，a·b＝ ，（a－
b）·（a＋b）＝ ”，试求a与b的夹角.
解：因为（a－b）·（a＋b）＝ ，所以｜a｜2－｜b｜2＝ .又
因为｜a｜＝1，所以｜b｜＝ ＝ ，设a与b的夹角
为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ .又因为θ∈[0，π]，所
以θ＝ .
2. （变条件，变设问）若将本例中的条件变为“a，b不共线，且｜
2a＋b｜＝｜a＋2b｜”，试证明：（a＋b）⊥（a－b）.
证明：∵｜2a＋b｜＝｜a＋2b｜，
∴（2a＋b）2＝（a＋2b）2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2.
∴（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，∴（a＋b）⊥（a－b）.
通性通法
1. 求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式 cos θ＝
求 cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求 cos θ有两种情
形，一种是求出a·b，｜a｜，｜b｜的值；另一种是得到
a·b，｜a｜，｜b｜之间的关系分别代入公式计算.
2. 两向量垂直 a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题
解决.
【跟踪训练】
1. 已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－ ，则a
与b的夹角为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 135° D. 150°
解析：　∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝
－3a·b＝－ ，∴a·b＝ .设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝
＝ .又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
2. 已知平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝2，a与b的夹角为
60°，若（a－mb）⊥a，则实数m的值为（　　）
A. 1
C. 2 D. 3
解析：　∵（a－mb）⊥a，∴（a－mb）·a＝0，∴a2－ma·b
＝0，即9－m×3×2× cos 60°＝0，∴m＝3.
1. 等边三角形ABC的边长为1， ＝a， ＝b，则a·b＝（　　）
解析：　a·b＝1×1× cos ＝－ ， 故选A.
2. 若｜a｜＝4，｜b｜＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的
投影数量为（　　）
A. 2 D. 4
解析：　a在b方向上的投影数量为｜a｜ cos ＜a，b＞＝4×
cos 30°＝2 .故选C.
3. 若单位向量e1，e2的夹角为60°，a＝λe1－e2，且｜a｜＝ ，
则实数λ＝（　　）
A. －1 B. 2
C. 0或－1 D. 2或－1
解析：　因为｜a｜＝ ，所以a2＝3，所以（λe1－e2）2＝3，
即λ2 －2λe1·e2＋ ＝λ2－2λ· cos 60°＋1＝3，即λ2－λ－
2＝0，解得λ＝2或λ＝－1.故选D.
4. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为 ，若向量2a＋kb与a
＋b垂直，则实数k的值为 .
解析：a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝2×1× ＝1.因为2a＋kb与a＋
b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b
＋k b2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
－5　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若向量a，b满足｜b｜＝2，a为单位向量，且a与b夹角θ＝
，则b在a上的投影向量为（　　）
C. 2a D. －2a
解析：　｜b｜ cos θa＝2× cos a＝2× a＝－ a，
即b在a上的投影向量为－ a.
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2. 已知△ABC中， · ＜0，则△ABC的形状为（　　）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰直角三角形
解析：　∵ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos B＜0，∴ cos B＜0，
又∵B为△ABC的内角.∴ ＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.
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3. 已知a，b方向相反，且｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜2a－b｜＝
（　　）
A. 1 B. 13 C. 2 D. 3
解析：　∵｜2a－b｜2＝（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4×32
－4×3×7× cos 180°＋72＝169，∴｜2a－b｜＝13.
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4. 若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a与
b的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：由（2a＋b）·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角
为θ，∴2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝0，∴ cos θ＝－
＝－ ＝－ ，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
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5. （多选）对任意平面向量a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A. 若a·b＝b·c，则a＝c
B. 若a＝b，b＝c，则a＝c
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a｜＋｜b｜
D. ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
解析：　对于A，若b＝0，则a与c不一定相等，所以A不正确；由向量相等的充要条件，可知B正确；对于C，若b＝0，则不等式不成立，所以C不正确；｜a·b｜＝｜a｜｜b｜｜ cos ＜a，b＞｜≤｜a｜｜b｜，所以D正确.故选B、D.
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6. （多选）已知a，b，c是三个向量，在下列命题中真命题是（　　）
A. a·b＝b·a
B. a·（b＋c）＝a·b＋a·c
C. （a·b）·c＝a·（b·c）
D. 若a·b＝a·c，则b＝c
解析：　向量数量积公式满足交换律和分配律，所以A、B正确；（a·b）·c表示与向量c共线的向量，a·（b·c）表示与向量a共线的向量，两个向量不一定相等，故C不正确；a·b＝a·c a·（b－c）＝0，那么a＝0或b＝c或a⊥（b－c），故D不正确.故选A、B.
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7. 已知a⊥b，（3a＋2b）⊥（ka－b），若｜a｜＝2，｜b｜＝
3，则实数k的值为 .
解析：由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由（3a＋2b）·（ka－b）
＝0 3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0，∴12k－18＝0，∴k＝ .
　
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8. 已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹
角为 ，则实数λ＝ .
解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－（3a＋λb），即49c2＝
9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝
1，则49＝9＋λ2＋6λ cos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或
λ＝5.
－8或5　
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解析：设e1与e2的夹角为θ，∴e1·e2＝｜e1｜｜e2｜· cos θ＝ cos
θ＝ .又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·（e1－e2）＝0，且b·e1＝b·e2＝1，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝｜b｜｜e1｜ cos 30°＝1，
从而｜b｜＝ ＝ .
9. 已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝ .若平面向量b满足b·e1＝
b·e2＝1，则｜b｜＝ .
　
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10. 已知向量a，b的夹角为 ，｜a｜＝1，｜b｜＝2.
（1）求a·b的值；
解：a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝1×2× ＝－1.
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（2）若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值.
解：因为2a－b和ta＋b垂直，
所以（2a－b）·（ta＋b）＝0，
整理得2t｜a｜2＋（2－t）a·b－｜b｜2＝0，
即2t－（2－t）－4＝0，
解得t＝2.
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11. 已知｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0
有实根，则a与b的夹角的取值范围是（　　）
解析：　∵Δ＝a2－4｜a｜·｜b｜ cos θ（θ为向量a与b的夹
角），若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4｜a｜·｜b｜ cos
θ≥0，又｜a｜＝2｜b｜，4｜b｜2－8｜b｜2 cos θ≥0，
∴ cos θ≤ ，又0≤θ≤π，∴ ≤θ≤π.
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12. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b的
夹角为30°
B. 若a·b＞0，则a，b的夹角为锐角
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解析：　由向量减法法则及题意知，向量a，b，a－b可以组成一个等边三角形，向量a，b的夹角为60°，又由向量加法的平行四边形法则知，以a，b为邻边的平行四边形为菱形，所以a与a＋
b的夹角为30°，故选项A中说法正确.当a＝λb≠0时不成立，故选项B中说法错误.因为 · ＝ · ＋ · ＋ · ，所以 · ＝ ·（ － ）－ · ＝ · － · ，所以 · ＝0，即 ⊥ ，所以△ABC是直角三角形，故选项C中说法正确.
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如图，其中四边形ABDC为平行四边形，因为 ＋
＝2 ，所以O为AD，BC的交点，又｜ ｜＝｜
｜＝｜ ｜，所以△AOC为等边三角形，所以
∠ACB＝60°，且BC为外接圆的直径，所以∠ABC＝
30°.在Rt△ABC中，BC＝2，AC＝1，所以AB＝ ，则向量 在向量 方向上的投影数量为｜ ｜ cos ∠ABC＝ × ＝ .故选项D中说法正确.故选A、C、D.
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13. 如图，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，
则 · ＋ · ＋ · ＝ 　－ 　.
－
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解析：过点O作AB的垂线，垂足为D（图略），可知D为AB的
中点，则 在 上的投影向量为 ，所以 · ＝
· ＝－ ｜ ｜2，同理， · ＝－ ｜ ｜2，
· ＝－ ｜CA｜2，∴ · ＋ · ＋ · ＝－ ×
（62＋72＋82）＝－ .
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14. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB
上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用 ， 表
示向量 ；
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解：连接AM，BM（图略），
由已知可得 ＝ ， ＝ － ，
易得四边形OAMB是菱形，
则 ＝ ＋ ，
所以 ＝ － ＝ －（ ＋ ）
＝－ － .
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（2）求 · 的取值范围.
解：易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ，
则 · ＝ × × cos 60°＝ .
当MC与MO或MA重合时，MC最大，
此时MC＝1，则 · ＝ cos 60°＝ .
所以 · 的取值范围为 .
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15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，
DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则｜2 ＋
｜的值为 ；（ ＋ ）· 的最小值为 .
1　
　
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解析：设BE＝x，x∈ ，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝ x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，∴（2 ＋ ）2＝4 ＋4 · ＋ ＝4x2＋4x（1－2x）× cos 0°＋（1－2x）2＝1，∴｜2 ＋ ｜＝1，∵（ ＋ ）· ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋ · ＝（ x）2＋（1－2x）×（1－x）＝5x2－3x＋1＝5 ＋ ，∴当x＝ 时，（ ＋ ）· 的最小值为 .
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16. （1）如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和DB的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
解：可发现以下结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
即在平行四边形ABCD中，AC2＋DB2＝2（AB2＋AD2）.
探究过程如下：
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第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图，取{ ， }为一组基，设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b， ＝a－b.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2， ①
＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2. ②
①＋②，得 ＋ ＝2（a2＋b2）.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
AC2＋BD2＝2（AB2＋AD2）.
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（2）借助上述数学模型，对任意非零向量a，b，你能否证明
a·b＝ [（a＋b）2－（a－b）2]（极化恒等式）.
解：证明：以a，b为邻边作平行四边形ABCD.
不妨设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b， ＝a－b，
｜ ｜2＝（a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2， ③
｜ ｜2＝（a－b）2＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2， ④
③－④可得极化恒等式，即a·b＝ [（a＋b）2－（a－b）2].
此式当a，b共线时仍成立.
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