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6.1　余弦定理与正弦定理
第一课时　余弦定理
1.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2＋c2＝a2－bc，则A＝（　　）
A.　　　　　　　　　　B.
C. D.
2.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝（　　）
A.1 B.
C.2 D.3
3.在△ABC中，BC＝8，CA＝7，B＝60°，则AB＝（　　）
A.2 B.3
C.2或5 D.3或5
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝1，b＝2，C＝，则△ABC的形状是（　　）
A.等腰直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
5.（多选）在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列四个结论中正确的是（　　）
A.a＋b＋c＝0
B.若a·b＜0，则△ABC为锐角三角形
C.若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
D.若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形
6.（多选）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若（a2＋c2－b2）tan B＝ac，则B＝（　　）
A.30° B.60°
C.150° D.120°
7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝　　　　.
8.已知△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝3，则与的夹角的大小为　　　　.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，a2＋c2－ac＝4b－4，则b＝　　　　.
10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝，a＋c＝4，求a的值.
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值范围是（　　）
A.（0，］ B.（，］
C.（0，］ D.（，］
12.已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝ab，且bccos A＋accos B＝c＋1，cos C＝，则S的最大值为（　　）
A.6 B.4
C.2 D.1
13.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝　　　　，AC边上的高为　　　　.
14.在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状.
15.（多选）在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则（　　）
A.CD＝
B.cos B＝
C.△ABC的周长为8＋4
D.△ABC为钝角三角形
16.已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.
第一课时　余弦定理
1.C　∵b2＋c2＝a2－bc，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝＝＝－.∵0＜A＜π，∴A＝.故选C.
2.C　因为a＝2，所以bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.故选C.
3.D　由条件可知，a＝8，b＝7，B＝60°，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos 60°，即c2－8c＋64＝49，得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.即AB＝3或5.故选D.
4.D　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×＝3，满足a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形，且两直角边不相等，故选D.
5.ACD　△ABC中，＝c，＝a，＝b，a＋b＋c＝＋＋＝0，故A正确.a·b＜0，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定△ABC是锐角三角形，故B错.a·b＝0，则a⊥b，则△ABC为直角三角形，故C正确.（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2－（c－b）2＝0，a2＝c2＋b2－2｜b｜｜c｜cos（π－A），又因为a2＝c2＋b2－2｜b｜｜c｜cos A，所以cos A＝cos（π－A）＝－cos A，所以A＝，则△ABC为直角三角形，故D正确.故选A、C、D.
6.BD　由题得tan B＝，根据余弦定理可知cos B tan B＝sin B＝，∴B＝60°或B＝120°.故选B、D.
7.　解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理，cos B＝＝＝.
8.　解析：△ABC中，cos C＝＝＝－，因为0＜C＜π，所以C＝，与的夹角是π－C＝.
9.2　解析：在△ABC中，B＝，a2＋c2－ac＝4b－4，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝4b－4，即b2－4b＋4＝0，解得b＝2.
10.解：（1）∵cos B＝，
cos C＝，
∴原式化为·＝－，整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cos B＝＝＝－.
又0＜B＜π，∴B＝.
（2）将b＝，a＋c＝4，B＝代入b2＝a2＋c2－2accos B得，13＝a2＋（4－a）2－2a（4－a）·cos，即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
11.C　因为a2＋b2＝2c2，即c2＝.由余弦定理得cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号.又C∈（0，π），所以可得C∈（0，］.故选C.
12.C　由余弦定理及bccos A＋accos B＝c＋1得＋＝c＋1，整理是2c2－3c－2＝0，所以c＝2（负值舍去），又因为cos C＝，所以4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，所以ab≤5，S＝ab≤2，当且仅当a＝b时取等号.
13.　　解析：由余弦定理，可得cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝，所以sin A＝.则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝.
14.解：由余弦定理知cos A＝，
cos B＝，cos C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
化简整理得（a2－b2）2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形.
15.ACD　设CD＝x，则由题意知CB＝2x.在△CBD中，由余弦定理得cos∠CDB＝，解得x＝，即CD＝，CB＝2，A项正确；在△BCD中，由余弦定理得cos B＝，所以cos B＝，故B项错误；在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，解得AC＝2，故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋2＋2＝8＋4，故C项正确；对于D，由余弦定理得cos C＝＝－＜0，故C为钝角，故D项正确.
16.解：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边，
∴∴a＞.
要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，还需满足即a＞2.
由题意知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ（钝角），则cos θ＝＜0，
∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，即a2－8a＜0，解得0＜a＜8.
又∵a＞2，∴a的取值范围是（2，8）.
2 / 26.1　余弦定理与正弦定理
第一课时　余弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法 逻辑推理
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 数学运算
利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角.
【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　余弦定理
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形任何一边的平方等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
公式表达 a2＝　　　　　　　　， b2＝　　　　　　　　， c2＝　　　　　　　　　
推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.（　　）
（2）在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.（　　）
（3）在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.（　　）
（4）在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则角C为钝角.（　　）
2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是（　　）
A.8　　　　　　　　　 B.2
C.6 D.2
3.在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则C＝　　　　.
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】　（1）在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
（2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若本例（2）中的条件变为a＝3，b＝3，B＝30°，试解这个三角形.
通性通法
已知两边及一角解三角形的两种情况
（1）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解；
（2）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.
【跟踪训练】
　已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝　　　　；cos A＝　　　　.
题型二 已知三边解三角形
【例2】　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
尝试解答
通性通法
已知三角形的三边解三角形的方法
　　利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.
【跟踪训练】
　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求最小角.
题型三 判断三角形的形状
【例3】　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
尝试解答
通性通法
1.利用余弦定理判断三角形形状的一般思路
（1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
（2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
（1）△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
（2）△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2；
（3）△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
【跟踪训练】
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＞0，则△ABC（　　）
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形
题型四 有关三角形面积的计算问题
【例4】　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积是，则b＝（　　）
A.1＋　　　　　　　　 B.
C. D.2＋
尝试解答
通性通法
有关三角形面积问题的解题途径
　　解有关三角形面积问题，无论是求三角形的面积，还是已知三角形的面积求其他元素，其关键是结合已知条件选择恰当的面积公式，以建立三角形的面积与三角形边角之间的关系.
【跟踪训练】
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝（　　）
A. B.
C. D.
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，cos A＝，则a＝（　　）
A.　　　　　　　　　　B.
C.2 D.3
2.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）
A.90° B.120°
C.135° D.150°
4.（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列等式成立的是（　　）
A.a2＝b2＋c2－2bccos A
B.b2＝c2＋a2－2accos B
C.cos A＝
D.cos C＝
5.在△ABC中，a＝3，b＝，B＝60°，则c＝　　　，△ABC的面积为　　　　.
第一课时　余弦定理
【基础知识·重落实】
知识点
其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍　b2＋c2－2bccos A　a2＋c2－2accos B　a2＋b2－2abcos C
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）×
2.D　∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋62－2×4×6cos 120°＝16＋36＋24＝76，∴c＝2.
3.　解析：cos C＝＝＝.又∵0＜C＜π，∴C＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋（2）2－2×3×2·cos 30°＝3，所以a＝.
（2）由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋（3）2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理的推论得cos A＝＝0，A＝90°，C＝60°.
母题探究
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时，cos A＝＝－，
∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时，cos A＝＝，
∵0°＜A＜180°，
∴A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
跟踪训练
　2　　解析：根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝.
【例2】　解：∵a＞c＞b，
∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝－.
又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，
∴最大角A为120°.
跟踪训练
　解：易知a＜c＜b，
∴角A为最小角.
根据余弦定理，得cos A＝
＝＝.
∵A∈（0，π），
∴A＝.
【例3】　解：由acos B＋acos C＝b＋c，结合余弦定理，得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理，得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
跟踪训练
　C　由＞0得－cos C＞0，所以cos C＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选C.
【例4】　A　∵B＝30°，△ABC的面积是，∴S＝acsin B＝×ac＝，则ac＝6.∵2b＝a＋c，∴4b2＝a2＋c2＋2ac①，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac×②，由①－②得3b2＝2ac＋2ac×＝12＋6，即b2＝4＋2，即b＝1＋.
跟踪训练
　C　根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝.
随堂检测
1.D　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋4－2×3×2×＝9，所以a＝3.
2.C　∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得cos A＝＝＝，又由A∈（0°，180°），得A＝60°.故选C.
3.B　设△ABC三边分别为AB＝5，AC＝7，BC＝8，则由余弦定理得cos B＝＝＝，B为△ABC的内角，∴B＝60°，∵BC＞AC＞AB，∴A＞B＞C，∴最大角与最小角的和为A＋C＝180°－B＝120°.
4.ABC　由余弦定理知：A、B、C正确.对选项D，由余弦定理得cos C＝，故D错误.故选A、B、C.
5.4　3　解析：由余弦定理，得9＋c2－2×3c×＝13，解得c＝4.由三角形的面积公式得S＝acsin B＝×3×4×＝3.
3 / 3(共55张PPT)
第一课时　余弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法 逻辑推理
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角.
【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意
选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能
根据这三个量求出AB的距离吗？




知识点　余弦定理
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余
弦
定
理 语言叙
述 三角形任何一边的平方等于

公式表
达 a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝ 　
推论
其他两边的平方和减去这
两边与它们夹角余弦的积的两倍　
b2＋c2－2bc cos A　
a2＋c2－2ac cos B　
a2＋b2－2ab cos C　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.
（　×　）
（2）在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.
（　√　）
（3）在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角. （　√　）
（4）在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则角C为钝角. （　×　）
×
√
√
×
2. 在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是（　　）
A. 8
解析：　∵c2＝a2＋b2－2ab cos C＝42＋62－2×4×6 cos 120°＝
16＋36＋24＝76，∴c＝2 .
3. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则C＝ .
解析： cos C＝ ＝ ＝ .又∵0＜C＜π，∴C＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】（1）在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a；
解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋
（2 ）2－2×3×2 · cos 30°＝3，
所以a＝ .
（2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解这个三角形.
解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得32＝a2＋（3 ）2－2a×3 × cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，
解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，
由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝0，A＝90°，C＝60°.
【母题探究】
（变条件）若本例（2）中的条件变为a＝3 ，b＝3，B＝30°，
试解这个三角形.
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时， cos A＝ ＝－ ，∵0°＜A＜180°，∴A＝
120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时， cos A＝ ＝ ，∵0°＜A＜180°，∴A＝
60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
通性通法
已知两边及一角解三角形的两种情况
（1）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的
一元二次方程求解；
（2）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，
再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.
【跟踪训练】
已知在△ABC中，a＝1，b＝2， cos C＝ ，则c＝ ； cos A
＝ .
解析：根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－
2×1×2× ＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得 cos A＝
＝ .
2　
　
题型二 已知三边解三角形
【例2】　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解：∵a＞c＞b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
cos A＝ ＝ ＝－ .
又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，∴最大角A为120°.
通性通法
已知三角形的三边解三角形的方法
　　利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.
【跟踪训练】
　在△ABC中，已知a＝2 ，b＝6＋2 ，c＝4 ，求最小角.
解：易知a＜c＜b，∴角A为最小角.
根据余弦定理，得 cos A＝
＝ ＝ .
∵A∈（0，π），∴A＝ .
题型三 判断三角形的形状
【例3】　在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形
的形状.
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时， cos A＝ ＝－ ，∵0°＜A＜180°，∴A＝
120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时， cos A＝ ＝ ，∵0°＜A＜180°，∴A＝
60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
通性通法
1. 利用余弦定理判断三角形形状的一般思路
（1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量
关系；
（2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量
关系.
2. 判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
（1）△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋
c2；
（2）△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2
＞b2；
（3）△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
【跟踪训练】
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ＞
0，则△ABC（　　）
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形 D. 是锐角或直角三角形
解析：　由 ＞0得－ cos C＞0，所以 cos C＜0，从而C为钝
角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选C.
题型四 有关三角形面积的计算问题
【例4】　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，如果
2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积是 ，则b＝（　　）
解析：　∵B＝30°，△ABC的面积是 ，∴S＝ ac sin B＝ × ac
＝ ，则ac＝6.∵2b＝a＋c，∴4b2＝a2＋c2＋2ac①，则由余弦定
理得b2＝a2＋c2－2ac× ②，由①－②得3b2＝2ac＋2ac× ＝12
＋6 ，即b2＝4＋2 ，即b＝1＋ .
通性通法
有关三角形面积问题的解题途径
　　解有关三角形面积问题，无论是求三角形的面积，还是已知三角
形的面积求其他元素，其关键是结合已知条件选择恰当的面积公式，
以建立三角形的面积与三角形边角之间的关系.
【跟踪训练】
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为
，则C＝（　　）
解析：　根据题意及三角形的面积公式知 ab sin C＝ ，所
以 sin C＝ ＝ cos C，所以在△ABC中，C＝ .
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝
2， cos A＝ ，则a＝（　　）
D. 3
解析：　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋4－
2×3×2× ＝9，所以a＝3.
2. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ ，b
＝3，c＝2，则A＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　∵a＝ ，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得 cos A＝
＝ ＝ ，又由A∈（0°，180°），得A＝60°.故
选C.
3. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）
A. 90° B. 120°
C. 135° D. 150°
解析：　设△ABC三边分别为AB＝5，AC＝7，BC＝8，则由余
弦定理得 cos B＝ ＝ ＝ ，B为△ABC的内
角，∴B＝60°，∵BC＞AC＞AB，∴A＞B＞C，∴最大角与最
小角的和为A＋C＝180°－B＝120°.
4. （多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列
等式成立的是（　　）
A. a2＝b2＋c2－2bc cos A
B. b2＝c2＋a2－2ac cos B
解析：　由余弦定理知：A、B、C正确.对选项D，由余弦定
理得 cos C＝ ，故D错误.故选A、B、C.
5. 在△ABC中，a＝3，b＝ ，B＝60°，则c＝ ，△ABC的
面积为 .
解析：由余弦定理，得9＋c2－2×3c× ＝13，
解得c＝4.由三角形的面积公式得
S＝ ac sin B＝ ×3×4× ＝3 .
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
b2＋c2＝a2－bc，则A＝（　　）
解析：　∵b2＋c2＝a2－bc，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴ cos A＝
＝ ＝－ .∵0＜A＜π，∴A＝ .故选C.
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2. 在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B＝（　　）
A. 1
C. 2 D. 3
解析：　因为a＝2，所以b cos C＋c cos B＝b· ＋
c· ＝ ＝a＝2.故选C.
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3. 在△ABC中，BC＝8，CA＝7，B＝60°，则AB＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 2或5 D. 3或5
解析：　由条件可知，a＝8，b＝7，B＝60°，由余弦定理可
知b2＝a2＋c2－2ac cos 60°，即c2－8c＋64＝49，得c2－8c＋15
＝0，解得c＝3或c＝5.即AB＝3或5.故选D.
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4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝1，
b＝2，C＝ ，则△ABC的形状是（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 直角三角形
解析：　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－
2×1×2× ＝3，满足a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形，且两
直角边不相等，故选D.
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5. （多选）在△ABC中， ＝c， ＝a， ＝b，则下列四个结
论中正确的是（　　）
A. a＋b＋c＝0
B. 若a·b＜0，则△ABC为锐角三角形
C. 若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
D. 若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形
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解析：　△ABC中， ＝c， ＝a， ＝b，a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝0，故A正确.a·b＜0，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定△ABC是锐角三角形，故B错.a·b＝0，则a⊥b，则△ABC为直角三角形，故C正确.（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2－（c－b）2＝0，a2＝c2＋b2－2｜b｜｜c｜ cos （π－A），又因为a2＝c2＋b2－2｜b｜｜c｜ cos A，所以 cos A＝ cos （π－A）＝－ cos A，所以A＝ ，则△ABC为直角三角形，故D正确.故选A、C、D.
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6. （多选）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若（a2＋
c2－b2）tan B＝ ac，则B＝（　　）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
解析：　由题得 tan B＝ ，根据余弦定理可知 cos B
tan B＝ sin B＝ ，∴B＝60°或B＝120°.故选B、D.
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7. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c
满足b2＝ac，且c＝2a，则 cos B＝ .
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理， cos B
＝ ＝ ＝ .
　
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8. 已知△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝3，则 与 的夹角的大
小为 .
解析：△ABC中， cos C＝ ＝ ＝－ ，
因为0＜C＜π，
所以C＝ ， 与 的夹角是π－C＝ .
　
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9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝ ，a2
＋c2－ac＝4b－4，则b＝ .
解析：在△ABC中，B＝ ，a2＋c2－ac＝4b－4，由余弦定理可
得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝4b－4，即b2－4b＋4＝
0，解得b＝2.
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解：∵ cos B＝ ， cos C＝ ，
∴原式化为 · ＝－ ，整理得a2＋c2
－b2＋ac＝0，
∴ cos B＝ ＝ ＝－ .
又0＜B＜π，∴B＝ .
10. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 ＝－
.
（1）求角B的大小；
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（2）若b＝ ，a＋c＝4，求a的值.
解：将b＝ ，a＋c＝4，B＝ 代入b2＝a2＋c2－
2ac cos B得，13＝a2＋（4－a）2－2a（4－a）· cos ，
即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
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11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝
2c2，则角C的取值范围是（　　）
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解析：　因为a2＋b2＝2c2，即c2＝ .由余弦定理得 cos C
＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当a＝b时取等号.又
C∈（0，π），所以可得C∈（0， ］.故选C.
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12. 已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
△ABC的面积S＝ ab，且bc cos A＋ac cos B＝ c＋1， cos C＝
，则S的最大值为（　　）
A. 6 B. 4
C. 2 D. 1
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解析：　由余弦定理及bc cos A＋ac cos B＝ c＋1得
＋ ＝ c＋1，整理是2c2－3c－2＝0，所以c＝2（负值
舍去），又因为 cos C＝ ，所以4＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2
－ ab≥2ab－ ab＝ ab，所以ab≤5，S＝ ab≤2，当且仅当
a＝b时取等号.
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13. 在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则A＝
解析：由余弦定理，可得
cos A＝ ＝ ＝ ，
又0＜A＜π，所以A＝ ，
所以 sin A＝ .
则AC边上的高h＝AB sin A＝3× ＝ .
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14. 在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断△ABC的形状.
解：由余弦定理知 cos A＝ ，
cos B＝ ， cos C＝ ，
代入已知条件得
a· ＋b· ＋c· ＝0，
化简整理得（a2－b2）2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，
即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形.
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15. （多选）在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若
CB＝2CD， cos ∠CDB＝－ ，则（　　）
D. △ABC为钝角三角形
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解析：　设CD＝x，则由题意知CB＝2x.在△CBD中，由
余弦定理得 cos ∠CDB＝ ，解得x＝ ，即CD＝ ，
CB＝2 ，A项正确；在△BCD中，由余弦定理得 cos B＝
，所以 cos B＝ ，故B项错误；
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在△ABC中，由余弦定理得 cos B＝ ，解得AC＝2 ，故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋2 ＋2 ＝8＋4 ，故C项正确；对于D，由余弦定理得 cos C＝ ＝－ ＜0，故C为钝角，故D项正确.
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16. 已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，求实数a的取值
范围.
解：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边，
∴∴a＞ .
要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，还需满足
即a＞2.
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由题意知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ（钝
角），则 cos θ＝ ＜0，
∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，
即a2－8a＜0，
解得0＜a＜8.
又∵a＞2，
∴a的取值范围是（2，8）.
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