资源简介

第二课时　正弦定理
1.在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c＝（　　）
A.1　　　　　　　　　　 B.
C.3 D.
2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝，则cos B＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
4.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A＋sin2C－sin Asin C－sin2B＝0，则C＝（　　）
A. B.
C. D.
5.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝（　　）
A.4 B.4
C.4 D.4
6.（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，A＝.若△ABC有唯一解，则a的值可以是（　　）
A.1 B.
C. D.
7.（多选）以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　）
A.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
B.在△ABC中，a≥bsin A
C.在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B
D.在△ABC中，＝
8.在△ABC中，已知a＝，sin C＝2sin A，则c＝　　　　.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若bsin A＝asin C，c＝1，则b＝　　　　，△ABC面积的最大值为　　　　.
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝4，B＝，bsin C＝2sin B.
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积.
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，b＝2，c＝8，则＝（　　）
A. B.4
C. D.
12.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件使得△ABC有唯一解的是（　　）
A.a＝3，b＝4，A＝30°
B.a＝3，b＝4，cos B＝
C.a＝3，b＝4，C＝30°
D.a＝3，b＝4，B＝30°
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为　　　　.
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
（1）求B；
（2）若b＝3，sin C＝sin A，求a，c.
15.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则下列三个不等式中成立的是　　　　.
①sin A＞sin B；
②cos A＜cos B；
③sin A＋sin B＞cos A＋cos B.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2bcsin A＝（a2＋c2－b2）.
（1）求B的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径为，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
第二课时　正弦定理
1.C　C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3.故选C.
2.B　由题意可知＝b＝，则sin B＝1，又B∈（0，π），故B为直角，△ABC是直角三角形.
3.B　依题意＝＝，故cos B＝sin B，故tan B＝，又B∈（0，π），则B＝，所以cos B＝，故选B.
4.A　sin2A＋sin2C－sin Asin C－sin2B＝0，由正弦定理得b2＝a2＋c2－ac.又a＝2c，所以b2＝4c2＋c2－2c2＝3c2，从而cos C＝＝＝.又因为C∈（0，π），所以C＝.故选A.
5.C　易知A＝45°，由＝得b＝＝＝4.
6.BD　因为b＝2，A＝，△ABC有唯一解，所以a＝bsin A＝或a≥b＝2，即a∈{}∪[2，＋∞），故选B、D.
7.BCD　在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B，或A＋B＝，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故A错误；在△ABC中，由正弦定理得a＝，因为sin B∈（0，1]，所以a≥bsin A，故B正确；在△ABC中，由正弦定理得sin A＞sin B ＞ a＞b A＞B，所以若sin A＞sin B，则A＞B，故C正确；在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2R，所以＝＝2R＝，故D正确.故选B、C、D.
8.2　解析：由正弦定理，得c＝＝2a＝2.
9.1　　解析：因为bsin A＝asin C，所以由正弦定理可得ba＝ac，所以b＝c＝1，所以S△ABC＝bcsin A＝sin A≤，当sin A＝1，即A＝90°时，三角形面积最大为.
10.解：（1）因为bsin C＝2sin B，
所以由正弦定理得bc＝2b，即c＝2，
由余弦定理得b2＝22＋42－2×2×4cos ＝28.所以b＝2.
（2）因为a＝4，c＝2，B＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝2.
11.C　由a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋64－2×2×8×＝52，解得a＝2.设△ABC外接圆半径为R，则
＝＝2R
＝＝＝.
12.BCD　选项A，由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.因为＜＜，所以角B在（30°，45°）和（135°，150°）上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于π，所以A中三角形有两个解，故A错误.选项B，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得16＝9＋c2－c，解得c＝5或c＝－（舍去），所以B中三角形有唯一解，故B正确.选项C，已知两边及其夹角，根据余弦定理可以求得唯一的边c，所以C中三角形有唯一解，故C正确.选项D，由正弦定理＝，得sin A＝sin B＝×＝.因为＜，所以角A在（0°，30°）和（150°，180°）上各有一个解，当解在（150°，180°）时，角B与角A的和大于180°，舍去，所以D中三角形有唯一解，故D正确.故选B、C、D.
13.（，2）　解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理可得＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2.
14.解：（1）由bsin A＝acos B及正弦定理，
得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，∴sin B＝cos B，
∴tan B＝.
∵0＜B＜π，∴B＝.
（2）由sin C＝sin A及正弦定理，
得c＝a， ①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋c2－2accos B，
即a2＋c2－ac＝9， ②
联立①②，解得a＝3，c＝3.
15.①②③　解析：A＞B a＞b sin A＞sin B，故①成立.函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，∵A＞B，∴cos A＜cos B，故②成立.在锐角三角形中，∵A＋B＞，∴0＜－B＜A＜，函数y＝sin x在区间上单调递增，则有sin A＞sin，即sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，故③成立.
16.解：（1）由余弦定理及2bcsin A＝（a2＋c2－b2），
可得bsin A＝acos B，
又由正弦定理，可得
sin Bsin A＝sin Acos B，
因为0＜A＜π，所以sin A≠0，
所以sin B＝cos B，
所以tan B＝，
又因为0＜B＜π，
所以B＝.
（2）由（1）可知sin B＝，又知△ABC外接圆的半径为，
则由正弦定理得b＝2Rsin B＝2××＝3.
又由S＝acsin B＝，可得ac＝9，
根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－3ac，
所以（a＋c）2＝b2＋3ac＝9＋3×9＝36，所以a＋c＝6，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9.
2 / 2第二课时　正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.掌握正弦定理的表示形式及证明过程 逻辑推理
2.会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题 数学运算
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小.
【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　正弦定理
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的　　　　的比相等
符号语言 ＝　　　　＝　　　　
知识点二　正弦定理的拓展
1.正弦定理与三角形外接圆的关系
以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，则＝＝＝2R.
2.正弦定理的变式（R为△ABC外接圆的半径）
变式1：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
变式2：sin A＝，sin B＝，sin C＝；
变式3：asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；
变式4：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正弦定理对任意的三角形都成立.（　　）
（2）在△ABC中，等式bsin C＝csin B总能成立.（　　）
（3）在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.（　　）
（4）任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.（　　）
2.在△ABC中，若a＝10，b＝10，A＝60°，则B＝（　　）
A.30°　　　　　　　　 B.45°
C.60° D.30°或150°
3.若△ABC是☉O的内接正三角形，且☉O的半径为10，则△ABC的边长为　　　　.
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.（ 参考值sin 75°＝）
尝试解答
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
　在△ABC中，B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为　　　　.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形.（ 参考值sin 75°＝，sin 15°＝）
尝试解答
【母题探究】
　（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”其他条件不变，解此三角形.
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
1.在△ABC中，若a＝6，b＝6，A＝30°，则B＝（　　）
A.60°　　　　　　　　　B.60°或120°
C.60°或150° D.120°
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝（　　）
A. B.
C.或 D.或
题型三 判断三角形的形状
【例3】　已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.
（1）若acos B＝bcos A，则△ABC是　　　三角形；
（2）若b2＋c2＝a2＋bc，且sin B·sin C＝sin2A，则△ABC是　　　　三角形.
尝试解答
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的方法
（1）化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
（2）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角形的形状.
【跟踪训练】
　已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一个内角是30°的直角三角形
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是（　　）
A.　　　　　　　　　B.
C. D.
2.在△ABC中，若sin A＝sin C，则△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
3.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝（　　）
A.1 B.2
C.2 D.2
4.（多选）不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（　　）
A.a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C.a＝，b＝，A＝60°，无解
D.a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
5.在△ABC中，A＝45°，a＝6，b＝3，则B＝　　　.
第二课时　正弦定理
【基础知识·重落实】
知识点一
正弦　　
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）×
2.A　由＝，得sin B＝＝＝.又a＞b，所以A＞B，所以B＝30°.
3.10　解析：设☉O的半径为R，则由正弦定理的推广得＝＝2R＝20，解得a＝10.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由＝得，c＝＝
＝＝4（＋1）.
所以A＝45°，c＝4（＋1）.
跟踪训练
　5　解析：利用正弦定理可知，B对的边最大，∵B＝，C＝，∴A＝，∵＝，∴b＝＝＝5.
【例2】　解：由正弦定理＝，知sin A＝＝，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝＝＝.
故当A＝60°时，C＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝15°，c＝.
母题探究
解：由正弦定理＝，知sin B＝＝，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝＝＝.
跟踪训练
1.B　a＜b A＜B B＞30°，由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°.故选B.
2.A　由题意可得sin B＝＝＝，则B＝或B＝.因为b＜a，所以B＜A，所以B＝.故选A.
【例3】　（1）等腰　（2）等边　解析：（1）由正弦定理＝，得＝.又acos B＝bcos A，所以cos A、cos B均不为零，所以＝，所以＝，所以＝，即tan A＝tan B.因为A，B是三角形内角，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.
（2）在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cos A＝＝＝.又因为A∈（0，π），所以A＝.因为sin B·sin C＝sin2A，所以bc＝a2.又由b2＋c2＝a2＋bc，得（b－c）2＝a2－bc＝0，所以b＝c，所以△ABC的形状是等边三角形.
跟踪训练
　C　已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝，C＝，则△ABC是等腰直角三角形.故选C.
随堂检测
1.A　根据正弦定理，得＝＝.故选A.
2.B　由sin A＝sin C及正弦定理，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
3.C　由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理＝，因此，AC＝＝2.故选C.
4.BC　选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解.判断错误；选项B，bsin A＝25sin 150°＝，则a＞b＞bsin A，则三角形有一解.判断正确；选项C，bsin A＝sin 60°＝，则a＜bsin A，则三角形无解.判断正确；选项D，bsin A＝9sin 45°＝，则a＜bsin A，则三角形无解.判断错误.故选B、C.
5.30°　解析：在△ABC中，A＝45°，a＝6，b＝3，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.因为a＝6，b＝3，所以A＞B，所以B＝30°.
3 / 3(共58张PPT)
第二课时　正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.掌握正弦定理的表示形式及证明过程 逻辑推理
2.会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且
已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小.
【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长吗？




知识点一　正弦定理
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等
符号语言
正弦　
　
　
知识点二　正弦定理的拓展
1. 正弦定理与三角形外接圆的关系
以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，
则 ＝ ＝ ＝2R.
2. 正弦定理的变式（R为△ABC外接圆的半径）
变式1：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
变式2： sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ；
变式3：a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；
变式4：a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正弦定理对任意的三角形都成立. （　√　）
（2）在△ABC中，等式b sin C＝c sin B总能成立. （　√　）
（3）在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.
（　×　）
（4）任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.
（　×　）
√
√
×
×
2. 在△ABC中，若a＝10 ，b＝10，A＝60°，则B＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 30°或150°
解析：　由 ＝ ，得 sin B＝ ＝ ＝ .又a＞
b，所以A＞B，所以B＝30°.
3. 若△ABC是☉O的内接正三角形，且☉O的半径为10，则△ABC的
边长为 .
解析：设☉O的半径为R，则由正弦定理的推广得 ＝ ＝2R
＝20，解得a＝10 .
10 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
（ 参考值 sin 75°＝ ）
解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由 ＝ 得，c＝ ＝ ＝ ＝4（ ＋1）.所
以A＝45°，c＝4（ ＋1）.
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
在△ABC中，B＝ ，C＝ ，a＝5，则此三角形的最大边长
为 .
解析：利用正弦定理可知，B对的边最大，
∵B＝ ，C＝ ，∴A＝ ，∵ ＝ ，
∴b＝ ＝ ＝5 .
5 　
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】　在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角
形.（ 参考值 sin 75°＝ ， sin 15°＝ ）
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ ；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝ ＝ ＝ .
故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ；
当A＝120°时，C＝15°，c＝ .
【母题探究】
（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”其他条件不变，
解此三角形.
解：由正弦定理 ＝ ，
知 sin B＝ ＝ ，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ .
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝（　　）
A. 60° B. 60°或120°
C. 60°或150° D. 120°
解析：　a＜b A＜B B＞30°，由正弦定理可知 ＝
，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，∵B∈（30°，180°），∴B
＝60°或120°.故选B.
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b
＝3， sin A＝ ，则B＝（　　）
解析：　由题意可得 sin B＝ ＝ ＝ ，则B＝ 或B＝ .
因为b＜a，所以B＜A，所以B＝ .故选A.
题型三 判断三角形的形状
【例3】　已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.
（1）若a cos B＝b cos A，则△ABC是 三角形；
解析：由正弦定理 ＝ ，得 ＝ .
又a cos B＝b cos A，所以 cos A、 cos B均不为零，
所以 ＝ ，所以 ＝ ，
所以 ＝ ，
即tan A＝tan B. 因为A，B是三角形内角，则A＝B，故△ABC
是等腰三角形.
等腰　
（2）若b2＋c2＝a2＋bc，且 sin B· sin C＝ sin 2A，则△ABC是 　　等
三角形.
解析：在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，
所以 cos A＝ ＝ ＝ .
又因为A∈（0，π），所以A＝ .
因为 sin B· sin C＝ sin 2A，所以bc＝a2.
又由b2＋c2＝a2＋bc，得（b－c）2＝a2－bc＝0，
所以b＝c，所以△ABC的形状是等边三角形.
等边
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的方法
（1）化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根
据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形
的形状；
（2）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根
据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而
确定三角形的形状.
【跟踪训练】
已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝
＝ ，则△ABC是（　　）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 有一个内角是30°的直角三角形
解析：　已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A，
cos B＝ sin B，故A＝B＝ ，C＝ ，则△ABC是等腰直角三角形.故
选C.
1. 在△ABC中，a＝5，b＝3，则 sin A∶ sin B的值是（　　）
解析：　根据正弦定理，得 ＝ ＝ .故选A.
2. 在△ABC中，若 sin A＝ sin C，则△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
解析：　由 sin A＝ sin C及正弦定理，知a＝c，∴△ABC为等腰
三角形.
3. 在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝（　　）
A. 1 B. 2
解析：　由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理
＝ ，因此，AC＝ ＝2 .故选C.
4. （多选）不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是
（　　）
A. a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
D. a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
解析：　选项A，b sin A＝14 sin 30°＝7＝a，则三角形有
一解.判断错误；选项B，b sin A＝25 sin 150°＝ ，则a＞b＞
b sin A，则三角形有一解.判断正确；选项C，b sin A＝ sin
60°＝ ，则a＜b sin A，则三角形无解.判断正确；选项D，
b sin A＝9 sin 45°＝ ，则a＜b sin A，则三角形无解.判断
错误.故选B、C.
5. 在△ABC中，A＝45°，a＝6，b＝3 ，则B＝ 　 　.
解析：在△ABC中，A＝45°，a＝6，b＝3 ，由正弦定理得
＝ ，即 ＝ ，解得 sin B＝ .因为a＝6，b＝
3 ，所以A＞B，所以B＝30°.
30°
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c＝（　　）
A. 1
解析：　C＝180°－30°－15°＝135°，c＝ ＝ ＝
3 .故选C.
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2. 在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析：　由题意可知 ＝b＝ ，则 sin B＝1，又B∈（0，
π），故B为直角，△ABC是直角三角形.
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3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ＝
，则 cos B＝（　　）
解析：　依题意 ＝ ＝ ，故 cos B＝ sin B，故tan
B＝ ，又B∈（0，π），则B＝ ，所以 cos B＝ ，故选B.
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4. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝
2c， sin 2A＋ sin 2C－ sin A sin C－ sin 2B＝0，则C＝（　　）
解析：　 sin 2A＋ sin 2C－ sin A sin C－ sin 2B＝0，由正弦定理
得b2＝a2＋c2－ac.又a＝2c，所以b2＝4c2＋c2－2c2＝3c2，从而
cos C＝ ＝ ＝ .又因为C∈（0，π），所以C
＝ .故选A.
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5. 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝（　　）
D. 4
解析：　易知A＝45°，由 ＝ 得b＝ ＝ ＝4 .
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6. （多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
b＝2，A＝ .若△ABC有唯一解，则a的值可以是（　　）
A. 1
解析：　因为b＝2，A＝ ，△ABC有唯一解，所以a＝b sin A
＝ 或a≥b＝2，即a∈{ }∪[2，＋∞），故选B、D.
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7. （多选）以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　）
A. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则a＝b
B. 在△ABC中，a≥b sin A
C. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B
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解析：　在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则2A＝2B，或A
＋B＝ ，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故A错误；在△ABC中，由正
弦定理得a＝ ，因为 sin B∈（0，1]，所以a≥b sin A，故B正
确；在△ABC中，由正弦定理得 sin A＞ sin B ＞ a＞
b A＞B，所以若 sin A＞ sin B，则A＞B，故C正确；在△ABC
中，由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2R，所以 ＝
＝2R＝ ，故D正确.故选B、C、D.
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8. 在△ABC中，已知a＝ ， sin C＝2 sin A，则c＝ .
解析：由正弦定理，得c＝ ＝2a＝2 .
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9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b sin A
＝a sin C，c＝1，则b＝ ，△ABC面积的最大值为 .
解析：因为b sin A＝a sin C，所以由正弦定理可得ba＝ac，所以b
＝c＝1，所以S△ABC＝ bc sin A＝ sin A≤ ，当 sin A＝1，即A＝
90°时，三角形面积最大为 .
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10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝
4，B＝ ，b sin C＝2 sin B.
（1）求b的值；
解：因为b sin C＝2 sin B，
所以由正弦定理得bc＝2b，即c＝2，
由余弦定理得b2＝22＋42－2×2×4 cos ＝28.
所以b＝2 .
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（2）求△ABC的面积.
解：因为a＝4，c＝2，B＝ ，
所以S△ABC＝ ac sin B＝ ×4×2× ＝2 .
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11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝ ，b
＝2，c＝8，则 ＝（　　）
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解析：　由a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋64－2×2×8× ＝52，
解得a＝2 .设△ABC外接圆半径为R，则 ＝
＝2R＝ ＝ ＝ .
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12. （多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
下列各组条件使得△ABC有唯一解的是（　　）
A. a＝3，b＝4，A＝30°
C. a＝3，b＝4，C＝30°
D. a＝3，b＝4，B＝30°
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解析：　选项A，由正弦定理 ＝ ，得 sin B＝ · sin A
＝ × ＝ .因为 ＜ ＜ ，所以角B在（30°，45°）和
（135°，150°）上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小
于π，所以A中三角形有两个解，故A错误.选项B，根据余弦定理
b2＝a2＋c2－2ac cos B，得16＝9＋c2－ c，解得c＝5或c＝－
（舍去），所以B中三角形有唯一解，故B正确.选项C，
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已知两边及其夹角，根据余弦定理可以求得唯一的边c，所以C中三角形有唯一解，故C正确.选项D，由正弦定理 ＝ ，得 sin A＝ sin B＝ × ＝ .因为 ＜ ，所以角A在（0°，30°）和（150°，180°）上各有一个解，当解在（150°，180°）时，角B与角A的和大于180°，舍去，所以D中三角形有唯一解，故D正确.故选B、C、D.
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13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B
＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 .
解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，
由正弦定理可得 ＝ ，得c＝ .
若此三角形有两解，
则必须满足的条件为c＞b＞c sin B，
即 ＜b＜2.
（ ，2）　
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14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 b sin A
＝a cos B.
（1）求B；
解：由 b sin A＝a cos B及正弦定理，
得 sin B sin A＝ sin A cos B.
在△ABC中， sin A≠0，
∴ sin B＝ cos B，
∴tan B＝ .
∵0＜B＜π，
∴B＝ .
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（2）若b＝3， sin C＝ sin A，求a，c.
解：由 sin C＝ sin A及正弦定理，
得c＝ a， ①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得32＝a2＋c2－2ac cos B，
即a2＋c2－ ac＝9， ②
联立①②，解得a＝3，c＝3 .
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15. 锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B. 则下列三个不
等式中成立的是 .
① sin A＞ sin B；
② cos A＜ cos B；
③ sin A＋ sin B＞ cos A＋ cos B.
①②③　
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解析：A＞B a＞b sin A＞ sin B，故①成立.函数y＝ cos x在
区间[0，π]上单调递减，∵A＞B，∴ cos A＜ cos B，故②成立.
在锐角三角形中，∵A＋B＞ ，∴0＜ －B＜A＜ ，函数y＝
sin x在区间 上单调递增，则有 sin A＞ sin ，即 sin
A＞ cos B，同理 sin B＞ cos A，故③成立.
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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2bc sin A
＝ （a2＋c2－b2）.
（1）求B的大小；
解：由余弦定理及2bc sin A＝ （a2＋c2－b2），
可得b sin A＝ a cos B，
又由正弦定理，可得 sin B sin A＝ sin A cos B，
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因为0＜A＜π，
所以 sin A≠0，
所以 sin B＝ cos B，
所以tan B＝ ，
又因为0＜B＜π，
所以B＝ .
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（2）若△ABC外接圆的半径为 ，△ABC的面积为 ，求
△ABC的周长.
解：由（1）可知 sin B＝ ，又知△ABC外接圆的半径为 ，
则由正弦定理得b＝2R sin B＝2× × ＝3.
又由S＝ ac sin B＝ ，
可得ac＝9，
根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝（a＋c）2－3ac，
所以（a＋c）2＝b2＋3ac＝9＋3×9＝36，
所以a＋c＝6，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9.
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谢 谢 观 看！

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