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6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
1.已知力F的大小｜F｜＝10，在F的作用下产生的位移s的大小｜s｜＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为（　　）
A.7 B.10
C.14 D.70
2.点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的（　　）
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高所在直线的交点
3.在四边形ABCD中，若＝（1，2），＝（－4，2），则该四边形的面积为（　　）
A.　　　B.2　　 C.5　　　D.10
4.已知P是边长为4的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是（　　）
A.[－8，24] B.[－8，8]
C.[－4，24] D.[－8，16]
5.（多选）在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k）.若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（　　）
A.－1 B.
C. D.
6.（多选）点P是△ABC所在平面内一点，满足｜－｜－｜＋－2｜＝0，则△ABC的形状可能是（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
7.已知点A（1，1），M（x，y），且A与M不重合，若向量与向量a＝（1，2）垂直，则点M的坐标x，y之间的关系为　　　　　　　　.
8.在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为　　　　千米/时.
9.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则（＋）·＝　　　　.
10.已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m.力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（取重力加速度大小为10 m/s2）
11.在△ABC中，设－＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（　　）
A.垂心 B.内心
C.外心 D.重心
12.（多选）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　）
A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N
B.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0
C.当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N
D.当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N
13.如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知｜F1｜＝80 N，则G的大小为　　　　，F2的大小为　　　　.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，｜｜＝2｜｜＝2，∠OAB＝，＝（－1，）.
（1）求点B，点C的坐标；
（2）求四边形OABC的面积.
15.（多选）已知点P为△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A.若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上
B.若＋＋＝0，则点P为△ABC的重心
C.若·＞0，则△ABC为锐角三角形
D.若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2
16.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（cos θ＝，θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（注：cos（θ－45°）＝）
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
1.D　F做的功为F·s＝｜F｜｜s｜cos 60°＝10×14×＝70.
2.D　∵·＝·，∴（－）·＝0，∴·＝0，∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直线的交点.
3.C　∵·＝0，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜＝××2＝5.
4.A　连接AE，则正六边形中AB⊥AE，如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），设P（m，n），则m∈[－2，6]，·＝（m，n）·（4，0）＝4m∈[－8，24].
5.BCD　若A为直角，则AB⊥AC，则·＝0，∴2＋3k＝0，解得k＝－.若B为直角，则BC⊥AB，则·＝0，∵＝（2，3），＝（1，k），∴＝（－1，k－3），∴－2＋3k－9＝0，解得k＝.若C为直角，则BC⊥AC，则·＝0，∴－1＋k（k－3）＝0，解得k＝.综上可得，k的值可能为－，，，.故选B、C、D.
6.BC　因为P是△ABC所在平面内一点，且｜－｜－｜＋－2｜＝0，所以｜｜－｜（－）＋（－）｜＝0，即｜｜＝｜＋｜，所以｜－｜＝｜＋｜，两边平方并化简得·＝0，所以⊥，所以A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形.故选B、C.
7.x＋2y－3＝0（x≠1）　解析：·a＝（x－1，y－1）·（1，2）＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0.又A与M不重合，所以x≠1.
8.4　解析：用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度，则v0＋v1表示船实际航行速度.∵｜v0｜＝4，｜v1｜＝8，∴｜v0＋v1｜＝＝4.
9.－　解析：如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），∴C（2，1）.∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F（1，1），∴＋＝，＝（－2，1），∴（＋）·＝3×（－2）＋×1＝－.
10.解：如图所示，设木块的位移为s，则F·s＝｜F｜｜s｜·cos 30°＝50×20×＝500（J）.
将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2，则｜f1｜＝｜F｜sin 30°＝50×＝25（N）.
所以｜f｜＝μ（｜G｜－｜f1｜）＝0.02×（8×10－25）＝1.1（N）.
因此f·s＝｜f｜｜s｜cos 180°＝1.1×20×（－1）＝－22（J）.
故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和－22 J.
11.C　假设BC的中点是O，则－＝（＋）·（－）＝2·＝2·，即（－）·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故选C.
12.ACD　易知F1与G的夹角为90°.对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，F2的方向竖直向上，且｜F2｜＝4 N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确.
13.160 N　80 N
解析：如图，由向量分解的平行四边形法则，＝sin 30°，＝cos 30°，计算可得｜G｜＝160 N，｜F2｜＝80 N.
14.解：（1）在平面直角坐标系xOy中，设B（xB，yB），因为｜＝2｜｜＝2，所以A（2，0）.又∠OAB＝，所以xB＝2＋cos＝，
yB＝0＋sin＝，
所以点B.
又＝（－1，），所以＝＋＝＝，
所以点C.
（2）由（1）可得，
＝，
＝，
所以＝3，
∥.
又｜｜＝＝2＝｜｜，
所以四边形OABC为等腰梯形.
如图，延长CB交x轴于点D，则DC＝DO，BD＝AD.
又∠BAD＝π－＝，则△OCD，△ABD均为等边三角形.
所以四边形OABC的面积S＝S△OCD－S△ABD＝×32－×12＝2.
15.ABD　对于A，设AB的中点为点D，BC的中点为点E，∵＋3＋2＝0，∴＋＝－2（＋），∴2＝－4，即＝2，∴P，D，E三点共线，又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A中说法正确；对于B，设AB的中点为点D，由＋＋＝0得＋＝－＝，又＋＝2，∴＝2，∴点P在中线CD上，且＝2，∴点P为△ABC的重心，B中说法正确；对于C，∵·＞0，∴与的夹角为锐角，即角A为锐角，但此时角B，C有可能是直角或钝角，故不一定能得出△ABC为锐角三角形，C中说法错误；对于D，∵＝＋，∴点P为线段BC上靠近点C的三等分点，则＝，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D中说法正确.故选A、B、D.
16.解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，
∴＝（＋）2＝＋＋2·.
∴＝＋－2｜｜｜｜·cos（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）.
依题意得≤（60＋10t）2，
解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭.
2 / 26.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
新课程标准解读 核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 数学建模
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学运算、逻辑推理
　　在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.
【问题】　你能从数学的角度解释上述现象吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　平面向量的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将　　　　　　　转化为向量问题；
（2）通过　　　　　　，研究几何元素之间的关系；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
2.向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；
（2）向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中；
（3）动量mv是向量的数乘运算；
（4）功是力F与所产生的位移s的数量积.
【想一想】
　用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD？
　　
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若△ABC是直角三角形，则有·＝0.（　　）
（2）若∥，则直线AB与CD平行.（　　）
（3）功W＝｜F｜｜s｜cos＜F，s＞是一个实数，它可正、可负，也可为零.（　　）
（4）物体在斜面上的受力分析可用向量的加、减法运算.（　　）
2.若＝3a，＝－5a，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是（　　）
A.平行四边形 B.菱形
C.等腰梯形 D.非等腰梯形
3.某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2（｜v1｜＞｜v2｜），则逆风行驶的速度的大小为（　　）
A.v1－v2 B.v1＋v2
C.｜v1｜－｜v2｜ D.
题型一 利用向量证明平面几何问题
【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
尝试解答
通性通法
用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
（1）利用线性运算证明的四个步骤：①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化；
（2）利用坐标运算证明的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化.
【跟踪训练】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
题型二 利用向量解决平面几何求值问题
【例2】　如图，已知｜p｜＝2，｜q｜＝3，p，q的夹角为，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则｜｜＝　　　　.
尝试解答
通性通法
1.用向量法求长度的策略
（1）根据图形特点选择基，利用向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；
（2）建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝（x，y），则｜a｜＝.
2.用向量法解决平面几何问题的两种思想
（1）几何法：选取适当的基（基中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
【跟踪训练】
求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
题型三 平面向量在物理中的应用
角度1　利用向量解决速度、位移问题
【例3】　在风速为75（－）km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向.
尝试解答
角度2　利用向量解决力与做功问题
【例4】　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m.其中｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°；｜F2｜＝4 N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.
尝试解答
通性通法
　　平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.
【跟踪训练】
　两人提起一个旅行包，旅行包所受的重力为G，两人用力大小都为｜F｜，夹角为θ，若｜F｜＝｜G｜，则θ的值为（　　）
A.30°　　　　　　　B.60°
C.90° D.120°
1.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么（　　 ）
A.s＞｜a｜ B.s＜｜a｜
C.s＝｜a｜ D.s与｜a｜不能比大小
2.在△ABC中，若·＝－5，则△ABC的形状一定是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
3.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为（　　）
A.5 N B.5 N
C.5 N D.5 N
4.（多选）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，｜a｜＝｜c｜，则｜b·c｜的值一定等于（　　）
A.以a，b为邻边的平行四边形的面积
B.以b，c为邻边的平行四边形的面积
C.以a，b为两边的三角形面积的2倍
D.以b，c为两边的三角形面积
5.在四边形ABCD中，已知＝（4，－2），＝（7，4），＝（3，6），则四边形ABCD的面积是　　　　.
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）平面几何问题　（2）向量运算
想一想
　提示：证明或计算·＝0，从而得出AB⊥CD.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.C　∵＝3a，＝－5a，∴∥，｜｜≠｜｜，∵｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD是等腰梯形.故选C.
3.C　题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数.故逆风行驶的速度的大小为｜v1｜－｜v2｜.
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：法一　设＝a，＝b，
则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋，
＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－－a·b＋
＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），
则＝（2，1），＝（1，－2）.
因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
跟踪训练
证明：建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，
DP＝λ（0＜λ＜），则A（0，1），P（λ，λ），
E（1，λ），F（λ，0），
所以＝（－λ，1－λ），
＝（λ－1，－λ）.
所以｜｜＝＝，
｜｜＝
＝，
所以｜｜＝｜｜，所以PA＝EF.
【例2】　　解析：由题意知2＝＋，因为＝5p＋2q，＝p－3q，所以2＝＋＝6p－q，所以2｜｜＝｜6p－q｜＝＝15，所以｜｜＝.
跟踪训练
解：如图，分别以等腰直角三角形OAB的两直角边OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.C，D分别为OB，OA的中点，设A（2a，0），B（0，2a），则D（a，0），C（0，a），
∴＝（－2a，a），＝（a，－2a）.
设向量与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.
故所求的钝角的余弦值为－.
【例3】　解：设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞机的飞行速度为vb，则va＝vb＋v0，且va，vb，v0可构成三角形（如图所示），
∵｜｜＝｜va｜＝150，｜｜＝｜v0｜＝75（－），｜｜＝｜vb｜，
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，
则∠BAD＝45°，∴｜｜＝｜｜＝｜｜＝75 ，
∴｜｜＝｜｜＋｜｜＝｜｜＋｜｜＝75（－）＋75＝75，
从而tan ∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，｜｜＝150 ，｜vb｜＝150，
∴没有风时飞机的飞行速度为150 km/h，航向为北偏西60°.
【例4】　解：如图所示，以O为原点，正东方向为x轴的正方向、正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1＝（1，），F2＝（2，2），F3＝（－3，3），所以F＝F1＋F2＋F3＝（2－2，2＋4）.
因为位移s＝（4，4），
所以合力F所做的功W＝F·s＝（2－2，2＋4）·（4，4）＝24（J）.
故合力F所做的功为24 J.
跟踪训练
　D　设＝F1，＝F2，＝－G，由向量加法法则可得＝＋， 当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.故选D.
随堂检测
1.A　s＝200＋300＝500（km），｜a｜＝＝100（km），∴s＞｜a｜.故选A.
2.D　因为·＝－5＜0，所以A为钝角，所以△ABC一定是钝角三角形.故选D.
3.D　两个力的合力的大小为｜F1＋F2｜＝＝5（N）.
4.AC　设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则｜b·c｜＝｜b｜·｜c｜·｜cos α｜＝｜b｜·｜a｜·｜cos（90°±θ）｜＝｜b｜·｜a｜·sin θ.故选A、C.
5.30　解析：因为＝－＝（3，6）＝，又因为·＝（4，－2）·（3，6）＝0，所以四边形ABCD为矩形，所以｜｜＝＝2，｜｜＝＝3，所以S＝｜｜·｜｜＝2×3＝30.
4 / 4(共66张PPT)
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
新课程标准解读 核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以
及其他实际问题 数学建模
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂
夹角越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.
【问题】　你能从数学的角度解释上述现象吗？




知识点　平面向量的应用
1. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何
元素，将 转化为向量问题；
（2）通过 ，研究几何元素之间的关系；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
平面几何问题　
向量运算　
2. 向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；
（2）向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与
分解中；
（3）动量mv是向量的数乘运算；
（4）功是力F与所产生的位移s的数量积.
【想一想】
用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD？
提示：证明或计算 · ＝0，从而得出AB⊥CD.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若△ABC是直角三角形，则有 · ＝0. （　×　）
（2）若 ∥ ，则直线AB与CD平行. （　×　）
（3）功W＝｜F｜｜s｜ cos ＜F，s＞是一个实数，它可正、可
负，也可为零. （　√　）
（4）物体在斜面上的受力分析可用向量的加、减法运算.
（　√　）
×
×
√
√
2. 若 ＝3a， ＝－5a，且｜ ｜＝｜ ｜，则四边形ABCD
是（　　）
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形
解析：　∵ ＝3a， ＝－5a，∴ ∥ ，｜ ｜≠｜
｜，∵｜ ｜＝｜ ｜，∴四边形ABCD是等腰梯形.故
选C.
3. 某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2（｜v1｜＞｜
v2｜），则逆风行驶的速度的大小为（　　）
A. v1－v2 B. v1＋v2
C. ｜v1｜－｜v2｜ D.
解析：　题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速
度，速度是向量，速度的大小是实数.故逆风行驶的速度的大小
为｜v1｜－｜v2｜.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用向量证明平面几何问题
【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中
点，求证：AF⊥DE.
证明：法一　设 ＝a， ＝b，
则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0.
又 ＝ ＋ ＝－a＋ ，
＝ ＋ ＝b＋ ，
所以 · ＝ ·
＝－ － a·b＋ ＝－ ｜a｜2＋ ｜b｜2＝0.
故 ⊥ ，即AF⊥DE.
法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形
的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，
0），F（2，1），则 ＝（2，1）， ＝（1，
－2）.
因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以 ⊥ ，即
AF⊥DE.
通性通法
用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
（1）利用线性运算证明的四个步骤：①选取基；②用基表示相关向
量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何
问题向量化；
（2）利用坐标运算证明的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标
系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关
系；④把几何问题向量化.
【跟踪训练】
如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端
点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向
量法证明：PA＝EF.
证明：建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，
DP＝λ（0＜λ＜ ），
则A（0，1），P（ λ， λ），
E（1， λ），F（ λ，0），
所以 ＝（－ λ，1－ λ）， ＝（ λ－1，－ λ）.
所以｜ ｜＝＝ ，
｜ ｜＝
＝ ，
所以｜ ｜＝｜ ｜，所以PA＝EF.
题型二 利用向量解决平面几何求值问题
【例2】　如图，已知｜p｜＝2 ，｜q｜＝3，p，q的夹角为 ，
若 ＝5p＋2q， ＝p－3q，D为BC的中点，则｜ ｜
＝ .
　
解析：由题意知2 ＝ ＋ ，
因为 ＝5p＋2q， ＝p－3q，
所以2 ＝ ＋ ＝6p－q，
所以2｜ ｜＝｜6p－q｜
＝ ＝15，
所以｜ ｜＝ .
通性通法
1. 用向量法求长度的策略
（1）根据图形特点选择基，利用向量的数量积转化，用公式｜
a｜2＝a2求解；
（2）建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝
（x，y），则｜a｜＝ .
2. 用向量法解决平面几何问题的两种思想
（1）几何法：选取适当的基（基中的向量尽量已知模或夹角），
将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律
或性质求解；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何
问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
【跟踪训练】
求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
解：如图，分别以等腰直角三角形OAB的两直角边
OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标
系.C，D分别为OB，OA的中点，设A（2a，0），
B（0，2a），则D（a，0），C（0，a），
∴ ＝（－2a，a）， ＝（a，－2a）.
设向量 与 的夹角为θ，
则 cos θ＝ ＝ ＝ ＝－ .
故所求的钝角的余弦值为－ .
题型三 平面向量在物理中的应用
角度1　利用向量解决速度、位移问题
【例3】　在风速为75（ － ）km/h的西风中，飞机正以150 km/h
的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向.
解：设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无
风时飞机的飞行速度为vb，则va＝vb＋v0，且va，
vb，v0可构成三角形（如图所示），
∵｜ ｜＝｜va｜＝150，｜ ｜＝｜v0｜＝75
（ － ），｜ ｜＝｜vb｜，
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，
则∠BAD＝45°，∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜
＝75 ，
∴｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜
＝75（ － ）＋75 ＝75 ，
从而tan ∠CAD＝ ＝ ＝ ，
∴∠CAD＝30°，
｜ ｜＝150 ，
｜vb｜＝150 ，
∴没有风时飞机的飞行速度为150 km/h，航向为北偏西60°.
角度2　利用向量解决力与做功问题
【例4】　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北
偏东45°的方向移动了8 m.其中｜F1｜＝2 N，方向为北偏东
30°；｜F2｜＝4 N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6 N，方向为北偏
西30°，求合力F所做的功.
解：如图所示，以O为原点，正东方向为x轴
的正方向、正北方向为y轴的正方向建立平面
直角坐标系，则F1＝（1， ），F2＝
（2 ，2），F3＝（－3，3 ），所以F＝
F1＋F2＋F3＝（2 －2，2＋4 ）.
因为位移s＝（4 ，4 ），
所以合力F所做的功W＝F·s＝（2 －2，2
＋4 ）·（4 ，4 ）＝24 （J）.
故合力F所做的功为24 J.
通性通法
　　平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问
题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加
法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.
【跟踪训练】
两人提起一个旅行包，旅行包所受的重力为G，两人用力大小都
为｜F｜，夹角为θ，若｜F｜＝｜G｜，则θ的值为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
解析：　设 ＝F1， ＝F2， ＝－G，由向量加法法则可得
＝ ＋ ， 当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC为正三角
形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.故选D.
1. 如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行
的路程为s，位移为a，那么（　　 ）
A. s＞｜a｜ B. s＜｜a｜
C. s＝｜a｜ D. s与｜a｜不能比大小
解析：　s＝200＋300＝500（km），｜a｜＝ ＝
100 （km），∴s＞｜a｜.故选A.
2. 在△ABC中，若 · ＝－5，则△ABC的形状一定是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
解析：　因为 · ＝－5＜0，所以A为钝角，所以△ABC一定
是钝角三角形.故选D.
3. 一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5
N，则两个力的合力的大小为（　　）
A. 5 N B. 5 N
C. 5 N D. 5 N
解析：　两个力的合力的大小为｜F1＋F2｜＝
＝5 （N）.
4. （多选）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非
零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，｜a｜＝｜c｜，则｜
b·c｜的值一定等于（　　）
A. 以a，b为邻边的平行四边形的面积
B. 以b，c为邻边的平行四边形的面积
C. 以a，b为两边的三角形面积的2倍
D. 以b，c为两边的三角形面积
解析：　设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则｜b·c｜
＝｜b｜·｜c｜·｜ cos α｜＝｜b｜·｜a｜·｜ cos （90°±θ）｜
＝｜b｜·｜a｜· sin θ.故选A、C.
5. 在四边形ABCD中，已知 ＝（4，－2）， ＝（7，4），
＝（3，6），则四边形ABCD的面积是 .
解析：因为 ＝ － ＝（3，6）＝ ，又因为 · ＝
（4，－2）·（3，6）＝0，所以四边形ABCD为矩形，所以｜
｜＝ ＝2 ，｜ ｜＝ ＝3 ，所以S
＝｜ ｜·｜ ｜＝2 ×3 ＝30.
30　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知力F的大小｜F｜＝10，在F的作用下产生的位移s的大小｜
s｜＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为（　　）
A. 7 B. 10
C. 14 D. 70
解析：F做的功为F·s＝｜F｜｜s｜ cos 60°＝10×14× ＝70.
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2. 点O是△ABC所在平面内的一点，满足 · ＝ · ＝
· ，则点O是△ABC的（　　）
A. 三个内角的角平分线的交点
B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点
D. 三条高所在直线的交点
解析：　∵ · ＝ · ，∴（ － ）· ＝0，
∴ · ＝0，∴OB⊥AC. 同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三
条高所在直线的交点.
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3. 在四边形ABCD中，若 ＝（1，2）， ＝（－4，2），则该四
边形的面积为（　　）
A. B. 2
C. 5 D. 10
解析：∵ · ＝0，∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD的面积S
＝ ｜ ｜｜ ｜＝ × ×2 ＝5.
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4. 已知P是边长为4的正六边形ABCDEF内的一点，则 · 的取值
范围是（　　）
A. [－8，24] B. [－8，8]
C. [－4，24] D. [－8，16]
解析：　连接AE，则正六边形中AB⊥AE，
如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所
在直线为y轴建立直角坐标系，则A（0，0），
B（4，0），设P（m，n），则m∈[－2，
6]， · ＝（m，n）·（4，0）＝4m∈[－8，24].
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5. （多选）在△ABC中， ＝（2，3）， ＝（1，k）.若△ABC
是直角三角形，则k的值可以是（　　）
A. －1 B.
C. D.
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解析：　若A为直角，则AB⊥AC，则 · ＝0，∴2＋3k
＝0，解得k＝－ .若B为直角，则BC⊥AB，则 · ＝0，
∵ ＝（2，3）， ＝（1，k），∴ ＝（－1，k－3），
∴－2＋3k－9＝0，解得k＝ .若C为直角，则BC⊥AC，则
· ＝0，∴－1＋k（k－3）＝0，解得k＝ .综上可得，
k的值可能为－ ， ， ， .故选B、C、D.
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6. （多选）点P是△ABC所在平面内一点，满足｜ － ｜－｜
＋ －2 ｜＝0，则△ABC的形状可能是（　　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
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解析：　因为P是△ABC所在平面内一点，且｜ － ｜－｜ ＋ －2 ｜＝0，所以｜ ｜－｜（ － ）＋
（ － ）｜＝0，即｜ ｜＝｜ ＋ ｜，所以｜ －
｜＝｜ ＋ ｜，两边平方并化简得 · ＝0，所以
⊥ ，所以A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能
是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形.故选
B、C.
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7. 已知点A（1，1），M（x，y），且A与M不重合，若向量 与
向量a＝（1，2）垂直，则点M的坐标x，y之间的关系为
.
解析： ·a＝（x－1，y－1）·（1，2）＝x－1＋2y－2＝x＋
2y－3＝0.又A与M不重合，所以x≠1.
x＋
2y－3＝0（x≠1）　
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8. 在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方
向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为 千米/时.
解析：用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度，则v0
＋v1表示船实际航行速度.∵｜v0｜＝4，｜v1｜＝8，∴｜v0＋v1｜
＝ ＝4 .
4 　
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解析：如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），
9. 已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的
中点，则（ ＋ ）· ＝ .
－ 　
∴C（2，1）.∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E ，F
（1，1），∴ ＋ ＝ ， ＝（－2，1），∴（ ＋
）· ＝3×（－2）＋ ×1＝－ .
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10. 已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一
个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平
平面上运动了20 m.力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（取重
力加速度大小为10 m/s2）
解：如图所示，设木块的位移为s，则F·s
＝｜F｜｜s｜· cos 30°＝50×20× ＝
500 （J）.
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将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2，则｜f1｜＝｜F｜ sin 30°＝50× ＝25（N）.
所以｜f｜＝μ（｜G｜－｜f1｜）＝0.02×（8×10－25）＝1.1（N）.
因此f·s＝｜f｜｜s｜ cos 180°＝1.1×20×（－1）＝－22（J）.
故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和－22 J.
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11. 在△ABC中，设 － ＝2 · ，那么动点M的轨迹必通
过△ABC的（　　）
A. 垂心 B. 内心
C. 外心 D. 重心
解析：　假设BC的中点是O，则 － ＝（ ＋
）·（ － ）＝2 · ＝2 · ，即（ －
）· ＝ · ＝0，所以 ⊥ ，所以动点M在线段
BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故选C.
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12. （多选）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水
平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　）
A. 当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N
B. 当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0
C. 当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N
D. 当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N
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解析：　易知F1与G的夹角为90°.对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝ ＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为 ＝2 （N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，F2的方向竖直向上，且｜F2｜＝4 N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确.
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13. 如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平
衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦
力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知｜F1｜＝80 N，则G的大小
为 ，F2的大小为 .
160 N 　
80 N　
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解析：，量分解的平行四边形法则， ＝ sin 30°，
＝ cos 30°，计算可得｜G｜＝160 N，｜F2｜＝80 N.
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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，｜ ｜＝2｜ ｜＝2，
∠OAB＝ ， ＝（－1， ）.
（1）求点B，点C的坐标；
解：在平面直角坐标系xOy中，设B
（xB，yB），因为 ｜＝2｜ ｜＝2，所以A（2，0）.
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又∠OAB＝ ，所以xB＝2＋ cos ＝ ，
yB＝0＋ sin ＝ ，
所以点B .
又 ＝（－1， ），
所以 ＝ ＋ ＝ ＝ ，
所以点C .
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（2）求四边形OABC的面积.
解：由（1）可得， ＝ ，
＝ ，
所以 ＝3 ， ∥ .
又｜ ｜＝ ＝2＝｜ ｜，
所以四边形OABC为等腰梯形.如图，延长
CB交x轴于点D，则DC＝DO，BD＝AD.
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又∠BAD＝π－ ＝ ，
则△OCD，△ABD均为等边三角形.
所以四边形OABC的面积
S＝S△OCD－S△ABD＝ ×32－ ×12＝2 .
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15. （多选）已知点P为△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的
是（　　）
A. 若 ＋3 ＋2 ＝0，则点P在△ABC的中位线上
B. 若 ＋ ＋ ＝0，则点P为△ABC的重心
C. 若 · ＞0，则△ABC为锐角三角形
D. 若 ＝ ＋ ，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2
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解析：　对于A，设AB的中点为点D，BC的中点为点E，
∵ ＋3 ＋2 ＝0，∴ ＋ ＝－2（ ＋ ），
∴2 ＝－4 ，即 ＝2 ，∴P，D，E三点共线，又DE
为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A中说法正确；
对于B，设AB的中点为点D，由 ＋ ＋ ＝0得 ＋ ＝
－ ＝ ，又 ＋ ＝2 ，∴ ＝2 ，∴点P在中线
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＝2，∴点P为△ABC的重心，B中说法正确；对于C，∵ · ＞0，∴ 与 的夹角为锐角，即角A为锐角，但此时角B，C有可能是直角或钝角，故不一定能得出△ABC为锐角三角形，C中说法错误；对于D，∵ ＝ ＋ ，∴点P为线段BC上靠近点C的三等分点，则 ＝ ，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D中说法正确.故选A、B、D.
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16. 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（ cos θ＝ ，θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的
侵袭？（注： cos （θ－45°）＝ ）
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解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵
袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵ ＝ ＋ ，
∴ ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2 · .
∴ ＝ ＋ －2｜ ｜｜ ｜· cos （θ－45°）＝
3002＋（20t）2－2×300×20t× ＝100（4t2－96t＋900）.
依题意得 ≤（60＋10t）2，解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭.
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谢 谢 观 看！

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