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培优课　解三角形的综合问题
1.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且A＝B，sin B＝2sin C，则cos B＝（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝1，则B的大小为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山CD的高度为（　　）
A. B.
C. D.
4.在锐角△ABC中，AB＝2，sin C＝2sin A，则△ABC面积的取值范围是（　　）
A.（，1） B.（，1）
C.（，） D.（1，）
5.在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝（　　）
A. B. C.－ D.－
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋b（sin A＋sin B）－csin C＝0，c＝2，则a＋b的取值范围是（　　）
A.（2，4] B.（，4］
C.（2，］ D.［，4］
7.（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1－≤，则角C的可能取值是（　　）
A. B. C. D.
8.（多选）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（　　）
A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
9.（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正确的是（　　）
A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B.cos A＝
C.△ABC是钝角三角形
D.若c＝6，则△ABC的外接圆直径为
10.如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为　　　　 km.
11.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边.已知b＝2，A＝45°，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c有两个解，则a的取值范围是　　　　.
12.（2022·全国甲卷16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝　　　　.
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝1，A＝，且△ABC的面积为.
（1）求a的值；
（2）若D为BC上一点，且　　　，求sin∠ADB的值.
从①AD＝1；②∠CAD＝.这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
14.已知在四边形ABCD中，BC⊥CD，AC＝BC，∠ABC＝.
（1）求∠ACB的值；
（2）若BC＝，AD＝，求BD的长.
15.为迎接第十五届全运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的五边形ABCDE，运动员的公路自行车在比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车或收容车上获得帮助.比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点进行，另外还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝ km，DE＝4 km.
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cos∠DBE＝；
（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即BA＋AE最大）？最长为多少？
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
培优课　解三角形的综合问题
1.A　在△ABC中，因为A＝B，所以a＝b，因为sin B＝2sin C，所以b＝2c，所以a＝2c，由cos B＝＝.故选A.
2.B　由＋＝1及正弦定理得＋＝1，所以c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），整理可得，b2＝a2＋c2－ac，由余弦定理的推论可得，cos B＝＝，因为0°＜B＜180°，所以B＝60°.故选B.
3.C　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，根据正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝AC·sin∠CAD＝AC×sin β＝，故选C.
4.A　因为△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜，0＜C＜，所以sin C＝2sin A＜1，所以sin A＜，所以0＜A＜，所以B＝π－（A＋C）＞，故B的取值范围是（，），因为sin C＝2sin A，所以AB＝2BC，又AB＝2，故S△ABC＝AB·BCsin B＝sin B∈（，1）.
5.C　设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin ＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－.故选C.
6.C　由asin A＋b（sin A＋sin B）－csin C＝0及正弦定理得a2＋ab＋b2－c2＝0.由余弦定理得cos C＝＝＝－.又0＜C＜π，所以C＝.由a2＋ab＋b2－c2＝0及c＝2得a2＋ab＋b2＝4，即（a＋b）2－ab＝4.所以ab＝（a＋b）2－4≤（a＋b）2，所以a＋b≤，当且仅当a＝b＝时取等号.又a＋b＞2＝c，所以2＜a＋b≤，所以a＋b的取值范围为（2，］.
7.ABC　由1－≤得，a（a＋c）＋b（b＋c）≥（b＋c）（a＋c），化简，得a2＋b2－c2≥ab，两边同除以2ab，利用余弦定理得cos C≥，所以0＜C≤.
8.AC　由＝＝及正弦定理可得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，故△ABC是等边三角形，A正确；由acos A＝bcos B及余弦定理可得a·＝b·，即（c2－a2－b2）（a2－b2）＝0，所以c2＝a2＋b2或a＝b，故△ABC是直角或等腰三角形，B不正确；由余弦定理知，b·＋c·＝b，所以＝b，所以a＝b，故△ABC为等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cos C＝＞0，故角C为锐角，但角A，B不一定是锐角，D不正确.故选A、C.
9.AB　由（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11得a∶b∶c＝4∶5∶6，∴由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，∴A对；易知△ABC的最小内角为A，最大内角为C，设a＝4k，b＝5k，c＝6k（k＞0），则cos C＝＝，cos A＝＝，∴B对；由上可知最大角C为锐角，∴C错；∵sin C＝＝，∴△ABC的外接圆直径为＝＝，∴D错.故选A、B.
10.3　解析：连接AB，由题意AC＝BC＝，∠ACB＝120°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝3＋3－2×3×，即AB2＝9，即AB＝3 km.
11.（2，2）　解析：由题意可知三角形有两个解.由图可知CD＝bsin A＝2×sin 45°＝2.若c有两解，以C为圆心，a为半径的圆弧与射线AD有两个交点，则CD＜a＜AC，即a∈（2，2）.
12.－1　解析：设BD＝k（k＞0），则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋（2k）2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，∵k＋1＋≥2（ 当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立），∴≥4－＝4－2＝（－1）2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.
13.解：（1）因为c＝1，A＝，
S△ABC＝bcsin A＝，
所以b＝2，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，解得a＝.
（2）若选①，当AD＝1时，
在△ABC中，由正弦定理得
＝，
即＝，所以sin B＝.
因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝B，
所以sin∠ADB＝sin B，
所以sin∠ADB＝.
若选②，当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理知，cos B＝＝＝.
因为A＝，所以∠DAB＝－＝，
所以B＋∠ADB＝，所以sin∠ADB＝cos B，
所以sin∠ADB＝.
14.解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得
＝，
又由AC＝BC，
解得sin∠BAC＝，
因为∠BAC为锐角，
所以∠BAC＝，
因此∠ACB＝π－∠ABC－∠BAC＝.
（2）因为BC⊥CD，所以∠BCD＝，
所以∠ACD＝.
设CD＝x（x＞0），在△ACD中，AC＝BC＝3，
由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos，即（）2＝32＋x2－2×3×x×，
整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1（舍）.
因此，BD＝＝＝.
15.解：（1）在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝，解得BD＝3.
选①，因为∠BCD＝，∠CBD＝，所以∠BDC＝π－（∠BCD＋∠CBD）＝π－（＋）＝，
所以∠BDE＝∠CDE－∠BDC＝－＝，
所以在Rt△BDE中，BE＝＝＝5，
所以服务通道BE的长度为5 km.
选②，在△BDE中，由余弦定理的推论可得
cos ∠DBE＝，
即＝，
解得BE＝5或BE＝－（舍）.
所以服务通道BE的长度为5 km.
（2）在△ABE中，由余弦定理可得BE2＝BA2＋AE2－2BA·AE·cos∠BAE，即25＝BA2＋AE2＋BA·AE＝（BA＋AE）2－BA·AE，
所以（BA＋AE）2＝25＋BA·AE≤25＋（）2，
解得BA＋AE≤，当且仅当BA＝AE时取等号，
所以BA＋AE的最大值为.
所以设计BA＝AE且∠BAE＝，可使折线段赛道BAE最长，最长为 km.
3 / 3培优课　解三角形的综合问题
题型一 解三角形与三角函数的综合问题
【例1】　已知函数f（x）＝－sin（2x－）.
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积.
尝试解答
通性通法
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝2sin（2x－）－1.
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A为锐角，a＝，若f（A＋）＋1＝bsin C，且△ABC的面积为.求△ABC的周长.
题型二 三角形中的最值（范围）问题
【例2】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2（＋A）－cos A＝－.
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
尝试解答
通性通法
三角形中的最值（范围）问题的求解方法
基本不 等式法 利用正、余弦定理，面积公式建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解
几何法 根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解
【跟踪训练】
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＋ab＝c2，且△ABC的面积为c，则ab的最小值为　　　　.
培优课　解三角形的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）∵f（x）＝－sin（2x－），
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
又∵x∈[0，π]，
∴函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为［0，］和［，π］.
（2）由（1）知f（x）＝－sin（2x－），
∴f（A）＝－sin（2A－）＝－1，
∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜，
∴－＜2A－＜，∴2A－＝，即A＝.
又∵bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
跟踪训练
　解：（1）由T＝＝＝π，故最小正周期为π.
由2x－＝kπ，∴x＝＋，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（＋，－1），k∈Z.
（2）由于f（A＋）＋1＝2sin（A＋－）－1＋1＝2sin A，
故2sin A＝bsin C，于是2a＝bc，
又a＝，解得bc＝6.
S△ABC＝bcsin A＝，
解得sin A＝.
故A＝或A＝（舍去）.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，则7＝b2＋c2－12·，
化简得b2＋c2＝13，∴（b＋c）2－2bc＝13，
∴b＋c＝5，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
【例2】　解：（1）∵sin2（＋A）－cos A＝－，
∴cos2A－cos A＋＝0，
解得cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝.
（2）由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A＝AC2＋AB2－AC·AB＝9，即（AC＋AB）2－3AC·AB＝9.
∵AC·AB≤（）2（当且仅当AC＝AB时取等号），
∴9＝（AC＋AB）2－3AC·AB≥（AC＋AB）2－3（）2＝（AC＋AB）2，
解得AC＋AB≤6（当且仅当AC＝AB＝3时取等号），BC＝3，
∴△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤9，∴△ABC周长的最大值为9.
跟踪训练
　48　解析：在△ABC中，a2＋b2＋ab＝c2，结合余弦定理a2＋b2－2abcos C＝c2，可得cos C＝－，所以sin C＝.由三角形的面积公式，可得c＝absin C，将sin C＝代入化简可得c＝.将c＝代入a2＋b2＋ab＝c2可得a2＋b2＝－ab，因为a2＋b2≥2ab，所以－ab≥2ab，解不等式可得ab≥48，当且仅当a＝b＝4时取等号，所以ab的最小值为48.
1 / 1(共46张PPT)
培优课　解三角形的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 解三角形与三角函数的综合问题
【例1】　已知函数f（x）＝－ sin （2x－ ）.
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
解：∵f（x）＝－ sin （2x－ ），
令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
又∵x∈[0，π]，
∴函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为［0， ］和［ ，π］.
（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知f（A）＝－1，a＝2，b sin C＝a sin A，求△ABC的面积.
解：由（1）知f（x）＝－ sin （2x－ ），
∴f（A）＝－ sin （2A－ ）＝－1，
∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜ ，
∴－ ＜2A－ ＜ ，
∴2A－ ＝ ，即A＝ .
又∵b sin C＝a sin A，
∴bc＝a2＝4，
∴S△ABC＝ bc sin A＝ .
通性通法
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝2 sin （2x－ ）－1.
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
解：由T＝ ＝ ＝π，故最小正周期为π.
由2x－ ＝kπ，
∴x＝ ＋ ，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（ ＋ ，－1），k∈Z.
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A为锐
角，a＝ ，若f（ A＋ ）＋1＝ b sin C，且△ABC的面积
为 .求△ABC的周长.
解：由于f（ A＋ ）＋1＝2 sin （A＋ － ）－1＋1＝2 sin A，
故2 sin A＝ b sin C，于是2a＝ bc，
又a＝ ，解得bc＝6.
S△ABC＝ bc sin A＝ ，
解得 sin A＝ .
故A＝ 或A＝ （舍去）.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，则7＝b2＋c2－12· ，
化简得b2＋c2＝13，∴（b＋c）2－2bc＝13，
∴b＋c＝5，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋ .
题型二 三角形中的最值（范围）问题
【例2】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， sin 2（
＋A）－ cos A＝－ .
（1）求A；
解：∵ sin 2（ ＋A）－ cos A＝－ ，
∴ cos 2A－ cos A＋ ＝0，
解得 cos A＝ ，又0＜A＜π，∴A＝ .
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
解：由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝
AC2＋AB2－AC·AB＝9，
即（AC＋AB）2－3AC·AB＝9.
∵AC·AB≤（ ）2（当且仅当AC＝AB时取等号），
∴9＝（AC＋AB）2－3AC·AB≥（AC＋AB）2－3
（ ）2＝ （AC＋AB）2，
解得AC＋AB≤6（当且仅当AC＝AB＝3时取等号），BC＝3，
∴△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤9，
∴△ABC周长的最大值为9.
通性通法
三角形中的最值（范围）问题的求解方法
基本不 等式法 利用正、余弦定理，面积公式建立a＋b，ab，a2＋b2之
间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解
几何法 根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形
结合求解
【跟踪训练】
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＋ab
＝c2，且△ABC的面积为 c，则ab的最小值为 .
48　
解析：在△ABC中，a2＋b2＋ab＝c2，结合余弦定理a2＋b2－2ab cos
C＝c2，可得 cos C＝－ ，所以 sin C＝ .由三角形的面积公式，可
得 c＝ ab sin C，将 sin C＝ 代入化简可得c＝ .将c＝ 代入
a2＋b2＋ab＝c2可得a2＋b2＝ －ab，因为a2＋b2≥2ab，所以
－ab≥2ab，解不等式可得ab≥48，当且仅当a＝b＝4 时取
等号，所以ab的最小值为48.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且A＝B，
sin B＝2 sin C，则 cos B＝（　　）
A. B. C. D.
解析：　在△ABC中，因为A＝B，所以a＝b，因为 sin B＝2
sin C，所以b＝2c，所以a＝2c，由 cos B＝ ＝
.故选A.
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2. 已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
＋ ＝1，则B的大小为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　由 ＋ ＝1及正弦定理得 ＋
＝1，所以c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），整理
可得，b2＝a2＋c2－ac，由余弦定理的推论可得， cos B＝
＝ ，因为0°＜B＜180°，所以B＝60°.故选B.
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3. 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔
底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山CD
的高度为（　　）
A.
B.
C.
D.
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解析：　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，
∠BAC＝α－β，根据正弦定理得 ＝ ，即
＝ ，∴AC＝ ＝ .在
Rt△ACD中，CD＝AC· sin ∠CAD＝AC× sin β＝ ，
故选C.
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4. 在锐角△ABC中，AB＝2， sin C＝2 sin A，则△ABC面积的取值范
围是（　　）
A. （ ，1） B. （ ，1）
C. （ ， ） D. （1， ）
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解析：　因为△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜ ，0＜C＜ ，
所以 sin C＝2 sin A＜1，所以 sin A＜ ，所以0＜A＜ ，所以B＝π
－（A＋C）＞ ，故B的取值范围是（ ， ），因为 sin C＝2
sin A，所以AB＝2BC，又AB＝2，故S△ABC＝ AB·BC sin B＝ sin
B∈（ ，1）.
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5. 在△ABC中，B＝ ，BC边上的高等于 BC，则 cos A＝（　　）
A. B. C. － D. －
解析：　设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题
意可得 a＝c sin ＝ c，则a＝ c.在△ABC中，由余弦定理可
得b2＝a2＋c2－ ac＝ c2＋c2－3c2＝ c2，则b＝ c.由余弦定
理，可得 cos A＝ ＝ ＝－ .故选C.
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6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin A＋b
（ sin A＋ sin B）－c sin C＝0，c＝2，则a＋b的取值范围是（　）
A. （2，4] B. （ ，4］
C. （2， ］ D. ［ ，4］
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解析：　由a sin A＋b（ sin A＋ sin B）－c sin C＝0及正弦定理
得a2＋ab＋b2－c2＝0.由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝－
.又0＜C＜π，所以C＝ .由a2＋ab＋b2－c2＝0及c＝2得a2＋
ab＋b2＝4，即（a＋b）2－ab＝4.所以ab＝（a＋b）2－4≤
（a＋b）2，所以a＋b≤ ，当且仅当a＝b＝ 时取等号.又
a＋b＞2＝c，所以2＜a＋b≤ ，所以a＋b的取值范围为
（2， ］.
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7. （多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
1－ ≤ ，则角C的可能取值是（　　）
A. B. C. D.
解析：　由1－ ≤ 得，a（a＋c）＋b（b＋c）≥
（b＋c）（a＋c），化简，得a2＋b2－c2≥ab，两边同除以
2ab，利用余弦定理得 cos C≥ ，所以0＜C≤ .
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8. （多选）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
下列说法正确的有（　　）
A. 若 ＝ ＝ ，则△ABC一定是等边三角形
B. 若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形
C. 若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D. 若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
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解析：　由 ＝ ＝ 及正弦定理可得 ＝ ＝
，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，故△ABC是等边三
角形，A正确；由a cos A＝b cos B及余弦定理可得a· ＝
b· ，即（c2－a2－b2）（a2－b2）＝0，所以c2＝a2＋b2
或a＝b，故△ABC是直角或等腰三角形，B不正确；由余弦定理
知，b· ＋c· ＝b，所以 ＝b，所以a＝b，
故△ABC为等腰三角形，C正确；由余弦定理可得 cos C＝ ＞0，故角C为锐角，但角A，B不一定是锐角，D不正确.故选A、C.
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9. （多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正确
的是（　　）
A. sin A∶ sin B∶ sin C＝4∶5∶6
B. cos A＝
C. △ABC是钝角三角形
D. 若c＝6，则△ABC的外接圆直径为
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解析：　由（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11得
a∶b∶c＝4∶5∶6，∴由正弦定理得 sin A∶ sin B∶ sin C＝
a∶b∶c＝4∶5∶6，∴A对；易知△ABC的最小内角为A，最大
内角为C，设a＝4k，b＝5k，c＝6k（k＞0），则 cos C＝
＝ ， cos A＝ ＝
，∴B对；由上可知最大角C为锐角，∴C错；∵ sin C＝
＝ ，∴△ABC的外接圆直径为 ＝ ＝ ，
∴D错.故选A、B.
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10. 如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的
北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离
为 km.
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解析：连接AB，由题意AC＝BC＝ ，∠ACB＝120°，则AB2
＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 120°＝3＋3－2×3× ，即AB2
＝9，即AB＝3 km.
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11. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在
△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边.已知b＝
2 ，A＝45°，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大
小，并使得c有两个解，则a的取值范围是 .
解析：由题意可知三角形有两个解.由图可知CD＝b sin A＝2 × sin 45°＝2.若c有两解，以C为圆心，a为半径的圆弧与射线AD有两个交点，则CD＜a＜AC，即a∈（2，2 ）.
（2，2 ）　
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12. （2022·全国甲卷16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB
＝120°，AD＝2，CD＝2BD. 当 取得最小值时，BD＝ .
－1　
解析：设BD＝k（k＞0），则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.
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在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos
∠ADB＝22＋k2－2×2k× ＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC＝22＋（2k）2－2×2×2k× ＝4k2－4k＋4，则 ＝ ＝ ＝4－ ＝4－ ＝4－ ，∵k＋1＋ ≥2 （ 当且仅当k＋1＝ ，即k＝ －1时等号成立），∴ ≥4－ ＝4－2 ＝（ －1）2，∴当 取得最小值 －1时，BD＝k＝ －1.
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13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝
1，A＝ ，且△ABC的面积为 .
（1）求a的值；
解：因为c＝1，A＝ ，S△ABC＝ bc sin A＝ ，
所以b＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝7，解得
a＝ .
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（2）若D为BC上一点，且 　　，求 sin ∠ADB的值.
从①AD＝1；②∠CAD＝ .这两个条件中任选一个，补充
在上面问题中并作答.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：若选①，当AD＝1时，
在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，
即 ＝ ，所以 sin B＝ .
因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝B，
所以 sin ∠ADB＝ sin B，所以 sin ∠ADB＝ .
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若选②，当∠CAD＝ 时，在△ABC中，由余弦定理知，
cos B＝ ＝ ＝ .
因为A＝ ，所以∠DAB＝ － ＝ ，
所以B＋∠ADB＝ ，所以 sin ∠ADB＝ cos B，
所以 sin ∠ADB＝ .
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14. 已知在四边形ABCD中，BC⊥CD，AC＝ BC，∠ABC＝ .
（1）求∠ACB的值；
解：在△ABC中，由正弦定理可得 ＝ ，
又由AC＝ BC，解得 sin ∠BAC＝ ，
因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝ ，
因此∠ACB＝π－∠ABC－∠BAC＝ .
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（2）若BC＝ ，AD＝ ，求BD的长.
解：因为BC⊥CD，所以∠BCD＝ ，
所以∠ACD＝ .
设CD＝x（x＞0），在△ACD中，AC＝ BC
＝3，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·
cos ，即（ ）2＝32＋x2－2×3×x× ，
整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1（舍）.
因此，BD＝ ＝ ＝ .
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15. 为迎接第十五届全运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道
的平面示意图为如图所示的五边形ABCDE，运动员的公路自行车
在比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车或收容
车上获得帮助.比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定
修车点进行，另外还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、
工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条
服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，
BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝ ，
∠CBD＝ ，CD＝ km，DE＝4 km.
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解：在△BCD中，由正弦定理可得 ＝ ，即 ＝ ，解得BD＝3.
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝ ；② cos ∠DBE＝ ；
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选①，因为∠BCD＝ ，∠CBD＝ ，所以∠BDC＝π－
（∠BCD＋∠CBD）＝π－（ ＋ ）＝ ，
所以∠BDE＝∠CDE－∠BDC＝ － ＝ ，
所以在Rt△BDE中，BE＝ ＝ ＝5，
所以服务通道BE的长度为5 km.
选②，在△BDE中，由余弦定理的推论可得
cos ∠DBE＝ ，
即 ＝ ，解得BE＝5或BE＝－ （舍）.
所以服务通道BE的长度为5 km.
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（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE
最长（即BA＋AE最大）？最长为多少？
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：在△ABE中，由余弦定理可得
BE2＝BA2＋AE2－2BA·AE· cos ∠BAE，
即25＝BA2＋AE2＋BA·AE＝（BA＋
AE）2－BA·AE，所以（BA＋AE）2＝25
＋BA·AE≤25＋（ ）2，
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解得BA＋AE≤ ，当且仅当BA＝AE时取等号，
所以BA＋AE的最大值为 .
所以设计BA＝AE且∠BAE＝ ，可使折线段赛道BAE最
长，最长为 km.
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