资源简介 培优课 平面向量中的最值、范围问题1.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）A.a＝b B.a·b＝1C.a＝－b D.｜a｜＝｜b｜2.若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2，则a＝（ ）A.（－，） B.（，－）C.（－2，2） D.（2，－2）3.设a＝（3，m），b＝（4，2），则“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝（ ）A.a－b B.a－bC.－a＋b D.－a＋b5.已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（ ）A.－6 B.－5C.5 D.66.｜b｜＝｜a｜＝｜c｜＝1，a·b＝，则（a＋b）·（2b－c）的最小值为（ ）A.3＋ B.3－C.2＋ D.2－7.已知在边长为2的正三角形ABC中，M，N分别为BC，AC边上的动点，且CN＝BM，则·的最大值为（ ）A.－ B.－C. D.8.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，当点P满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上性质，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，｜c｜＝2，｜b｜＝1，则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜的最小值是（ ）A.2－ B.2＋C.－1 D.＋19.（多选）设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）A.（a·b）c－（c·a）b＝0B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜C.（b·c）a－（a·c）b与c垂直D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜210.（多选）在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（－3，4），如图所示，x轴，y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是（ ）A.＝2i＋3j B.＝3i＋4jC.＝－5i＋j D.＝5i－j11.（多选）已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的是（ ）A.（a＋b）⊥aB.｜2a＋b｜＝C.向量a，b的夹角为D.a·b＝－1012.（多选）设点O（0，0），A（1，0），B（0，1），P是线段AB上的一个动点，＝λ.若·≥·，则实数λ的取值可能是（ ）A.1－ B.C.1 D.1＋13.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝4，则x＝ ，y＝ .14.已知单位向量a，b，则｜a－2b｜的取值范围为 .15.设两个向量e1，e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 .16.如图，点M，N分别在△ABC的边AB，AC上，且＝x，＝y，D为线段BC的中点，G为线段MN与AD的交点.若＝，则＋的最小值为 .17.已知向量a＝（2，1），b＝（4，－3）.（1）若（a－2b）⊥（λa＋b），求λ的值；（2）若c＝（1，μ），向量a与c的夹角为锐角，求μ的取值范围.18.已知向量a＝（2＋sin x，1），b＝（2，－2），c＝（sin x－3，1），d＝（1，k）（x∈R，k∈R）.（1）若x∈，且a∥（b＋c），求x的值；（2）若函数f（x）＝a·b，求f（x）的最小值；（3）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.培优课 平面向量中的最值、范围问题1.D 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C错误；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B错误；｜a｜＝｜b｜＝1，则选项D正确.2.D 因为向量a与b方向相同，且｜a｜＝2，所以a＝λb＝（λ，－λ），λ＞0，且｜a｜2＝λ2＋（－λ）2＝2λ2＝（2）2＝8，解得λ＝2，所以a＝（2，－2）.故选D.3.A 当m＝－1时，a－b＝（－1，－3），a·（a－b）＝3×（－1）＋（－1）×（－3）＝0，a⊥（a－b）成立，所以“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的充分条件； 当a⊥（a－b）时，a－b＝（－1，m－2），a·（a－b）＝3×（－1）＋m·（m－2）＝0，解得m＝－1或m＝3，所以“m＝－1”不是“a⊥（a－b）”的必要条件，所以“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的充分不必要条件，故选A.4.C 画出图形如图所示，由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD是菱形，四边形OBDC是菱形， 所以＝＝－＝－＝－a＋b.故选C.5.C 由题意，c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.6.B （a＋b）·（2b－c）＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－（a＋b）·c，因为－｜a＋b｜·｜c｜≤（a＋b）·c≤｜a＋b｜·｜c｜，所以（a＋b）·c的最大值为｜a＋b｜·｜c｜＝，所以（a＋b）·（2b－c）的最小值为3－.7.B 以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（－1，0），C（1，0），A（0，），∴＝（2，0），＝（－1，），设＝t（0≤t≤1），则＝t（0≤t≤1），∴M（2t－1，0），N（1－t，t），∴＝（2t－1，－），＝（2－3t，t），∴·＝（2t－1）·（2－3t）＋（－）·（t）＝－6t2＋4t－2＝－6（t－）2－，∵0≤t≤1，∴当t＝时，·取得最大值，为－，故选B.8.B 设a＝（x，y），b＝（1，0），c＝（0，2），则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜＝＋＋.记P（x，y），A（1，0），B（－1，0），C（0，2），则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜的几何意义为点P（x，y）到A（1，0），B（－1，0）和点C（0，2）三个点的距离之和，且△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得，要保证∠APB＝120°，则∠APO＝60°.因为OA＝1，则OP＝，所以点P坐标为（0，）时，距离之和最小，最小距离之和为＋＋（2－）＝2＋.故选B.9.BCD 由于b，c是不共线的向量，因此（a·b）c与（c·a）b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，故B正确；由于[（b·c）a－（c·a）b]·c＝（b·c）（a·c）－（c·a）（b·c）＝0，故C中两向量垂直，故C正确；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的.故选B、C、D.10.ACD i，j互相垂直，故{i，j}可作为一组基，由平面向量基本定理，得＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故A、C、D正确.11.ACD 对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝（3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于选项B，可求得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝＝＝2，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则cos θ＝＝＝－，所以θ＝，即向量a，b的夹角为，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确.故选A、C、D.12.ABC ＝λ ＝（1－λ）＋λ＝（1－λ，λ），＝－＝（1－λ）＝（λ－1，1－λ），＝λ＝（－λ，λ），·≥· （1－λ，λ）·（－1，1）≥（λ，－λ）·（λ－1，1－λ） 2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋.因为P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1，又因1－＜＜1，1＋＞1，由上可知A、B、C可取到，但D不可能取到.13. 解析：由＝4，得－＝4（－），即＝＋，所以x＝，y＝.14.[1，3] 解析：设向量a与b的夹角为θ，则（a－2b）2＝a2＋4b2－4a·b＝5－4cos θ，因为cos θ∈[－1，1]，所以（a－2b）2∈[1，9]，所以｜a－2b｜∈[1，3].15.（－7，－）∪（－，－）解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得＜0，即（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，化简可得2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－.当夹角为π时，也有（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，但此时夹角不是钝角，设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ＜0，可得解得∴所求实数t的取值范围是（－7，－）∪（－，－）.16. 解析：依题意有＝＝·（＋）＝（＋）＝＋，因为M，G，N三点共线，所以＋＝1，所以＋＝.即＝－，所以＋＝＋4×（－）2＝5（－）2＋，由题意知，0＜x≤1，所以≥1，故当＝时，＋取得最小值.17.解：（1）因为a＝（2，1），b＝（4，－3），所以a－2b＝（－6，7），λa＋b＝（2λ＋4，λ－3）.又（a－2b）⊥（λa＋b），所以－6（2λ＋4）＋7（λ－3）＝0，解得λ＝－9.（2）因为向量a与c的夹角为锐角，所以a·c＞0且a与c不共线.所以解得μ＞－2且μ≠.所以μ的取值范围为（－2，）∪（，＋∞）.18.解：（1）∵b＋c＝（sin x－1，－1），a∥（b＋c），∴－（2＋sin x）＝sin x－1，即sin x＝－.又x∈，∴x＝－.（2）∵a＝（2＋sin x，1），b＝（2，－2），∴f（x）＝a·b＝2（2＋sin x）－2＝2sin x＋2.∵x∈R，∴－1≤sin x≤1，∴0≤f（x）≤4，∴f（x）的最小值为0.（3）∵a＋d＝（3＋sin x，1＋k），b＋c＝（sin x－1，－1），若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0，即（3＋sin x）（sin x－1）－（1＋k）＝0，∴k＝sin2x＋2sin x－4＝（sin x＋1）2－5，由sin x∈[－1，1]，得k∈[－5，－1]，∴存在k∈[－5，－1]，使得（a＋d）⊥（b＋c）.1 / 3培优课 平面向量中的最值、范围问题题型一 平面向量数量积的最值、范围问题【例1】 在△ABC中，C＝，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P在边AB上运动（点P可与A，B重合），则·的最小值为 .尝试解答通性通法数量积的最值、范围问题的处理方法（1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基表示后，再运算；（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理；（3）利用极化恒等式来处理.【跟踪训练】已知圆O半径为2，弦AB＝2，点C为圆O上任意一点，则·的最大值是 .题型二 平面向量模的最值、范围问题【例2】 已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足｜－－｜＝1，则｜｜的最小值为（ ）A.－1 B.2－1C.2－1 D.－1尝试解答通性通法向量模的最值、范围问题的处理方法 设a＝（x，y），则｜a｜＝＝，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，可以结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基表示再求.【跟踪训练】已知｜｜＝｜｜＝2，点C在线段AB上，且｜｜的最小值为，则｜＋t｜（t∈R）的最小值为（ ）A. B. C.2 D.题型三 平面向量夹角的最值、范围问题【例3】 已知a＝（λ，2），b＝（－3，5），且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .尝试解答通性通法夹角的最值、范围问题的处理方法（1）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若＜a，b＞为锐角 a·b＞0且＜a，b＞≠0；（2）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若＜a，b＞为钝角 a·b＜0且＜a，b＞≠π.【跟踪训练】非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b的夹角的最小值是 .培优课 平面向量中的最值、范围问题【典型例题·精研析】【例1】 解析：法一 如图，以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，则C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0，1），依题意可设P（x，2－x），0≤x≤2，则＝（x，1－x），＝（x，2－x），所以·＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2（ x－）2＋≥.故·的最小值为.法二 取MC的中点为Q，连接PQ，则｜｜＝，所以·＝·＝－＝－≥（ ）2－＝，故·的最小值为.跟踪训练 6 解析：如图，取AB中点D，连接OD，OA，OC，则cos∠OAD＝，∴·＝·（－）＝·－·＝｜｜｜｜cos＜，＞＋｜｜·｜｜cos∠OAD＝4cos＜，＞＋2≤6；当cos＜，＞＝1，即，同向时取“＝”；∴·的最大值为6.【例2】 C 如图，建立平面直角坐标系，则A（0，），B（－1，0），C（1，0），设P（x，y），＝（x，y－），＝（－1，－），＝（1，－），－－＝（x，y＋），｜－－｜＝＝＝1，则P到（0，－）距离为1，则｜｜最小值为2－1.跟踪训练 B 当OC⊥AB时，｜｜取得最小值，因为｜｜＝｜｜＝2，所以此时点C为线段AB的中点，因为｜｜＝｜｜，所以∠A＝，故∠AOB＝，则·＝｜｜·｜｜cos＝2，因为｜＋t｜2＝t2｜｜2＋2t·＋｜｜2＝4t2＋4t＋4＝（2t＋1）2＋3≥3，故｜＋t｜≥.故选B.【例3】 （ －∞，－）∪（ －，）解析：由于a与b的夹角为锐角，∴a·b＞0，且a与b不共线同向，由a·b＞0 －3λ＋10＞0，解得λ＜，当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－，因此λ的取值范围是（ －∞，－）∪（ －，）.跟踪训练 解析：由题意得a·b＝｜a｜2｜b｜2，（｜a｜＋｜b｜）2＝4，整理得｜a｜2＋｜b｜2＝4－2｜a｜·｜b｜≥2｜a｜·｜b｜，即｜a｜·｜b｜≤1.cos＜a，b＞＝＝｜a｜·｜b｜≤，∴≤＜a，b＞≤π，所以a与b夹角的最小值为.2 / 2(共50张PPT)培优课 平面向量中的最值、范围问题目录典型例题·精研析01知能演练·扣课标02典型例题·精研析01课堂互动 关键能力提升题型一 平面向量数量积的最值、范围问题【例1】 在△ABC中，C＝ ，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P在边AB上运动（点P可与A，B重合），则 · 的最小值为 . 解析：法一 如图，以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，则C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0，1），依题意可设P（x，2－x），0≤x≤2，则 ＝（x，1－x）， ＝（x，2－x），所以 ·＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2（ x－ ）2＋ ≥ .故 · 的最小值为 .法二 取MC的中点为Q，连接PQ，则｜ ｜＝ ，所以 · ＝· ＝ － ＝ － ≥（ ）2－ ＝ ，故 · 的最小值为 .通性通法数量积的最值、范围问题的处理方法（1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基表示后，再运算；（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理；（3）利用极化恒等式来处理.【跟踪训练】已知圆O半径为2，弦AB＝2，点C为圆O上任意一点，则 ·的最大值是 .6 解析：如图，取AB中点D，连接OD，OA，OC，则 cos∠OAD＝ ，∴ · ＝ ·（ － ）＝ · －· ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＋｜ ｜｜｜· cos ∠OAD＝4 cos ＜ ， ＞＋2≤6；当 cos＜ ， ＞＝1，即 ， 同向时取“＝”；∴ · 的最大值为6.题型二 平面向量模的最值、范围问题【例2】 已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足｜ － － ｜＝1，则｜ ｜的最小值为（ ）解析： 如图，建立平面直角坐标系，则A（0，），B（－1，0），C（1，0），设P（x，y）， ＝（x，y－ ）， ＝（－1，－）， ＝（1，－ ）， － － ＝（x，y＋ ），｜ － － ｜＝ ＝ ＝1，则P到（0，－ ）距离为1，则｜ ｜最小值为2 －1.通性通法向量模的最值、范围问题的处理方法 设a＝（x，y），则｜a｜＝ ＝ ，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，可以结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基表示再求.【跟踪训练】已知｜ ｜＝｜ ｜＝2，点C在线段AB上，且｜ ｜的最小值为 ，则｜ ＋t ｜（t∈R）的最小值为（ ）C. 2解析： 当OC⊥AB时，｜ ｜取得最小值，因为｜ ｜＝｜｜＝2，所以此时点C为线段AB的中点，因为｜ ｜＝ ｜｜，所以∠A＝ ，故∠AOB＝ ，则 · ＝｜ ｜·｜ ｜cos ＝2，因为｜ ＋t ｜2＝t2｜ ｜2＋2t · ＋｜ ｜2＝4t2＋4t＋4＝（2t＋1）2＋3≥3，故｜ ＋t ｜≥ .故选B.题型三 平面向量夹角的最值、范围问题【例3】 已知a＝（λ，2），b＝（－3，5），且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .解析：由于a与b的夹角为锐角，∴a·b＞0，且a与b不共线同向，由a·b＞0 －3λ＋10＞0，解得λ＜ ，当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－ ，因此λ的取值范围是（ －∞，－ ）∪（ － ，）.（ －∞，－ ）∪（ － ， ） 通性通法夹角的最值、范围问题的处理方法（1）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若＜a，b＞为锐角 a·b＞0且＜a，b＞≠0；（2）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若＜a，b＞为钝角 a·b＜0且＜a，b＞≠π. 解析：由题意得a·b＝ ｜a｜2｜b｜2，（｜a｜＋｜b｜）2＝4，整理得｜a｜2＋｜b｜2＝4－2｜a｜·｜b｜≥2｜a｜·｜b｜，即｜a｜·｜b｜≤1.cos ＜a，b＞＝ ＝ ｜a｜·｜b｜≤ ，∴ ≤＜a，b＞≤π，所以a与b夹角的最小值为 .知能演练·扣课标02课后巩固 核心素养落地1. 如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）A. a＝b B. a·b＝1C. a＝－b D. ｜a｜＝｜b｜解析： 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C错误；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B错误；｜a｜＝｜b｜＝1，则选项D正确.1234567891011121314151617182. 若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2 ，则a＝（ ）C. （－2，2） D. （2，－2）解析： 因为向量a与b方向相同，且｜a｜＝2 ，所以a＝λb＝（λ，－λ），λ＞0，且｜a｜2＝λ2＋（－λ）2＝2λ2＝（2 ）2＝8，解得λ＝2，所以a＝（2，－2）.故选D.1234567891011121314151617183. 设a＝（3，m），b＝（4，2），则“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件123456789101112131415161718解析： 当m＝－1时，a－b＝（－1，－3），a·（a－b）＝3×（－1）＋（－1）×（－3）＝0，a⊥（a－b）成立，所以“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的充分条件； 当a⊥（a－b）时，a－b＝（－1，m－2），a·（a－b）＝3×（－1）＋m·（m－2）＝0，解得m＝－1或m＝3，所以“m＝－1”不是“a⊥（a－b）”的必要条件，所以“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的充分不必要条件，故选A.1234567891011121314151617184. 如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧 上的两个三等分点， ＝a， ＝b，则 ＝（ ）123456789101112131415161718解析： 画出图形如图所示，由于C，D是半圆弧 上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD是菱形，四边形OBDC是菱形， 所以 ＝ ＝ － ＝ － ＝－ a＋b.故选C.1234567891011121314151617185. 已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（ ）A. －6 B. －5C. 5 D. 6解析： 由题意，c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以 cos ＜a，c＞＝ cos ＜b，c＞，即＝ ，即 ＝3＋t，解得t＝5，故选C.1234567891011121314151617186. ｜b｜＝｜a｜＝｜c｜＝1，a·b＝ ，则（a＋b）·（2b－c）的最小值为（ ）解析： （a＋b）·（2b－c）＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－（a＋b）·c，因为－｜a＋b｜·｜c｜≤（a＋b）·c≤｜a＋b｜·｜c｜，所以（a＋b）·c的最大值为｜a＋b｜·｜c｜＝，所以（a＋b）·（2b－c）的最小值为3－ .1234567891011121314151617187. 已知在边长为2的正三角形ABC中，M，N分别为BC，AC边上的动点，且CN＝BM，则 · 的最大值为（ ）123456789101112131415161718解析： 以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（－1，0），C（1，0），A（0， ），∴ ＝（2，0）， ＝（－1， ），设 ＝t （0≤t≤1），则 ＝t （0≤t≤1），∴M（2t－1，0），N（1－t， t），∴ ＝（2t－1，－ ）， ＝（2－3t， t），∴ · ＝（2t－1）·（2－3t）＋（－ ）·（ t）＝－6t2＋4t－2＝－6（t－ ）2－ ，∵0≤t≤1，∴当t＝ 时， · 取得最大值，为－ ，故选B.1234567891011121314151617188.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，当点P满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上性质，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，｜c｜＝2，｜b｜＝1，则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜的最小值是（ ）123456789101112131415161718解析： 设a＝（x，y），b＝（1，0），c＝（0，2），则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜＝ ＋ ＋ .记P（x，y），A（1，0），B（－1，0），C（0，2），则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜的几何意义为点P（x，y）到A（1，0），B（－1，0）和点C（0，2）三个点的距离之和，且△ABC为等腰三角形，123456789101112131415161718如图，由费马点的性质可得，要保证∠APB＝120°，则∠APO＝60°.因为OA＝1，则OP＝ ，所以点P坐标为（0， ）时，距离之和最小，最小距离之和为 ＋ ＋（2－ ）＝2＋ .故选B.1234567891011121314151617189. （多选）设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）A. （a·b）c－（c·a）b＝0B. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜C. （b·c）a－（a·c）b与c垂直D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2123456789101112131415161718解析： 由于b，c是不共线的向量，因此（a·b）c与（c·a）b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，故B正确；由于[（b·c）a－（c·a）b]·c＝（b·c）（a·c）－（c·a）（b·c）＝0，故C中两向量垂直，故C正确；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的.故选B、C、D.12345678910111213141516171810. （多选）在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（－3，4），如图所示，x轴，y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是（ ）解析： i，j互相垂直，故{i，j}可作为一组基，由平面向量基本定理，得 ＝2i＋3j， ＝－3i＋4j， ＝ － ＝－5i＋j， ＝ － ＝5i－j，故A、C、D正确.12345678910111213141516171811. （多选）已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的是（ ）A. （a＋b）⊥aD. a·b＝－10123456789101112131415161718解析： 对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝（3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于选项B，可求得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝ ＝ ＝2 ，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则 cos θ＝ ＝ ＝－ ，所以θ＝ ，即向量a，b的夹角为 ，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确.故选A、C、D.12345678910111213141516171812. （多选）设点O（0，0），A（1，0），B（0，1），P是线段AB上的一个动点， ＝λ .若 · ≥ · ，则实数λ的取值可能是（ ）C. 1123456789101112131415161718解析： ＝λ ＝（1－λ） ＋λ ＝（1－λ，λ）， ＝ － ＝（1－λ） ＝（λ－1，1－λ）， ＝λ ＝（－λ，λ）， · ≥ · （1－λ，λ）·（－1，1）≥（λ，－λ）·（λ－1，1－λ） 2λ2－4λ＋1≤0，解得1－ ≤λ≤1＋ .因为P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－ ≤λ≤1，又因1－ ＜ ＜1，1＋ ＞1，由上可知A、B、C可取到，但D不可能取到.12345678910111213141516171813. 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点， ＝x ＋y ，且 ＝4 ，则x＝ ，y＝ . 解析：由 ＝4 ，得 － ＝4（ － ），即 ＝＋ ，所以x＝ ，y＝ .12345678910111213141516171814. 已知单位向量a，b，则｜a－2b｜的取值范围为 .解析：设向量a与b的夹角为θ，则（a－2b）2＝a2＋4b2－4a·b＝5－4 cos θ，因为 cos θ∈[－1，1]，所以（a－2b）2∈[1，9]，所以｜a－2b｜∈[1，3].[1，3] 12345678910111213141516171815. 设两个向量e1，e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 .（－7，－ ）∪（－ ，－ ） 123456789101112131415161718解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得 ＜0，即（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，化简可得2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－ .当夹角为π时，也有（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，但此时夹角不是钝角，设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ＜0，可得解得∴所求实数t的取值范围是（－7，－ ）∪（－ ，－ ）.12345678910111213141516171816. 如图，点M，N分别在△ABC的边AB，AC上，且 ＝x ，＝y ，D为线段BC的中点，G为线段MN与AD的交点.若＝ ，则 ＋ 的最小值为 . 123456789101112131415161718解析：依题意有 ＝ ＝ · （ ＋ ）＝ （ ＋）＝ ＋ ，因为M，G，N三点共线，所以＋ ＝1，所以 ＋ ＝ .即 ＝ － ，所以 ＋ ＝ ＋4×（ － ）2＝5（ － ）2＋ ，由题意知，0＜x≤1，所以≥1，故当 ＝ 时， ＋ 取得最小值 .12345678910111213141516171817. 已知向量a＝（2，1），b＝（4，－3）.（1）若（a－2b）⊥（λa＋b），求λ的值；解：因为a＝（2，1），b＝（4，－3），所以a－2b＝（－6，7），λa＋b＝（2λ＋4，λ－3）.又（a－2b）⊥（λa＋b），所以－6（2λ＋4）＋7（λ－3）＝0，解得λ＝－9.123456789101112131415161718（2）若c＝（1，μ），向量a与c的夹角为锐角，求μ的取值范围.解：因为向量a与c的夹角为锐角，所以a·c＞0且a与c不共线.所以解得μ＞－2且μ≠ .所以μ的取值范围为（－2， ）∪（ ，＋∞）.12345678910111213141516171818. 已知向量a＝（2＋ sin x，1），b＝（2，－2），c＝（ sin x－3，1），d＝（1，k）（x∈R，k∈R）.（1）若x∈ ，且a∥（b＋c），求x的值；解：∵b＋c＝（ sin x－1，－1），a∥（b＋c），∴－（2＋ sin x）＝ sin x－1，即 sin x＝－ .又x∈ ，∴x＝－ .123456789101112131415161718（2）若函数f（x）＝a·b，求f（x）的最小值；解：∵a＝（2＋ sin x，1），b＝（2，－2），∴f（x）＝a·b＝2（2＋ sin x）－2＝2 sin x＋2.∵x∈R，∴－1≤ sin x≤1，∴0≤f（x）≤4，∴f（x）的最小值为0.123456789101112131415161718（3）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.解：∵a＋d＝（3＋ sin x，1＋k），b＋c＝（ sin x－1，－1），若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0，即（3＋ sin x）（ sin x－1）－（1＋k）＝0，∴k＝ sin 2x＋2 sin x－4＝（ sin x＋1）2－5，由 sin x∈[－1，1]，得k∈[－5，－1]，∴存在k∈[－5，－1]，使得（a＋d）⊥（b＋c）.123456789101112131415161718谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 培优课 平面向量中的最值、范围问题.docx 培优课 平面向量中的最值、范围问题.pptx 培优课 平面向量中的最值、范围问题（练习，含解析）.docx
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